13/11/06 15:25:03.50
>>220
成り立たない。
n∈Nに対してD_n＝{ [k/n, (k＋1)/n]｜k＝0,1,2,…, n－1 }と置く。
D_n はn個の閉区間の集合である。∪[i＝1～∞]D_i は可算無限集合だから、
自然数で番号づけ出来る。ここでは、以下のような番号づけを行う。
D_1＝{ I_1 }
D_2＝{ I_2, I_3 }
D_3＝{ I_4, I_5, I_6 }
D_4＝{ I_7, I_8, I_9, I_10 }
：
：
次に、f_n＝1_{ I_n } と定義する。すなわち、f_nは集合I_n⊂[0,1] の
定義関数である。このとき、関数列 { f_n } は(1)(2)(3)を全て満たすが、
\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 が成り立つようなx∈[0,1]が1つも存在しない。