12/03/22 23:55:10.92
>>93
一般に線型微分演算子Lを含む線型微分方程式 Lφ(r) = ρ(r) は、
（ρは既知関数とする）
境界条件が等しい微分方程式 LG(r) = δ(r) が解ければこれを用いて解を表現することができる
具体的にどうやるかというと、
恒等式 ρ(r) = ∫dr_0 ρ(r_0) δ( r-r_0 ) にGの定義式を用いると
ρ(r) = L ∫dr_0 ρ(r_0) G( r-r_0 ) が得られる。
（Lはrにのみ作用する演算子であるからr_0は素通りすることに注意）
一方、 Lφ(r) = ρ(r) であったから、
φ(r) = ∫dr_0 ρ(r_0) G( r-r_0 ) が解になっていると分かる
このようにGは線型微分方程式の解を表現する非常に重要な関数なので、
Green関数と名前が付いている
実際3次元系において L=∇^2 で、無限遠で0の境界条件のもとでは、
G(r) = -1/( 4π |r| ) を用いれば ∇^2 G(r) = δ(r) となることが分かるので、
これを用いて方程式を解くことができる
以上は物理数学の抽象的な話だが、
このLaplacianの例題においては物理的意味は極めて明確で、
ρを電荷密度、φを静電スカラーポテンシャルだと思えば、
方程式は今考えた状況の定数倍 ∇^2 φ(r) = -ρ(r)/ε となるので、
解は今のように φ(r) = (1/4πε) ∫dr_0 ρ(r_0) / | r-r_0 | となり、
要するにGreen関数とは「重ね合わせの原理」のことを言っているだけだとすぐに分かる
>>93の状況でも方程式は全く同じだから、全く同様に重ね合わせの原理で解けるので、
式変形を省いてあるということだと思う