13/07/23 19:29:19.51 J893tQN80
一部抜粋だけどなんだコレ？数学に強い人ナルコって天才なの？
シュバルツシルトの解（その4） 光の曲がり 、もっとaの近くへ
その3で予想したとおりに楕円積分を使ってより高い近似を試みてみよう。
rとtの関係よりも簡単なrとθの関係を先に計算してみよう。
dθ= Kh dr/√( r(c^2 r^3-Kh^2 (r-a))) (15)
Kh^2/c^2=rn^3/( rn-a)なので
dθ= dr/√( r(( rn-a) r^3/rn^3-(r-a))) = dr/√((( rn-a)/rn^3) r ( r^3- rn^3 (r-a)/( rn-a)))
= (rn √(rn/( rn-a ))) dr/√(F) (根号の中の四次式r( r^3- rn^3(r-a)/( rn-a)) =Fと略記)
三次方程式r^3- rn^3(r-a)/( rn-a)=0の根の一つはrnなので三次式r^3- rn^3(r-a)/( rn-a)は
(r-rn) (r^2+rn r-rn^2 a/( rn-a)) と因数分解出来る。
(1) a < rn のとき
二次方程式r^2+rn r-rn^2 a/( rn-a)=0は二つの実根rpと rmを持ち
rp=(rn/2) (-1+√(rn+3a)/( rn-a))) ; rm=(rn/2) (-1-√(rn+3a)/( rn-a)))
と表されこのときＦは r ( r-rn)( r-rp)( r- rm)と因数分解出来る。rp+rm= -rn 従ってrn +rp = - rmである。
このとき( r-rn)( r-rp)とr( r- rm) を組にして二次式の積の形にする
F=( r^2+rm r+rn rp)( r^2- rm r)
二つの二次式の中の一次の項を消去するため
r=(ατ+β)/(τ+1) =α-(α-β)/(τ+1)と変数変換する ( dr=dτ(α-β)/(τ+1)^2 )
dr/√(F)=dr/√(r^2+rm r+rn rp)( r^2- rm r) = dτ(α-β) /√((r^2+rm r+rn rp)(τ+1)^2( r^2- rm r)(τ+1)^2))
(r^2+rm r+rn rp)(τ+1)^2 =(ατ+β)^2+rm (ατ+β)(τ+1) +rn rp (τ+1) ^2
=τ^2(α^2+rm α+rn rp) +τ(2α β +rm (α+β)+ 2rn rp)+β ^2+rmβ+rn rp
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