13/08/06 17:44:20.03
前スレ
高校数学の質問スレPART352
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
【【【【【質問者必読！】】】】】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
URLﾘﾝｸ(mathmathmath.dotera.net)
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
2:１３２人目の素数さん
13/08/06 17:45:09.32
主な公式と記載例
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b [a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a [２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R [正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A) [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b) [加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a)) [底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2) [和差積商の微分]
3:１３２人目の素数さん
13/08/06 17:46:45.93
基本的な記号の使い方は以下を参照してください。その他については>>1のサイトで｡
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
a+b → a 足す b （足し算) a-b → a 引く b （引き算)
a*b → a 掛ける b （掛け算) a/b → a 割る b （割り算)
■ 累乗 ^
a^b a の b乗
a^(b+1) a の b+1乗
a^b + 1 （a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
a/(b + c) と a/b + c
a/(b*c) と a/b*c
はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
a[n] or a_(n) → 数列aの第n項目
a[n+1] = a[n] + 3 → 等差数列の一例
Σ[k=1,n]a_(k) → 数列の和
■ 積分 （ "∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」「すうがく」などで変換せよ（環境によって異なる）．∮は高校では使わない）
∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
■ 三角関数
(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1 cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
AB↑ a↑
ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（行（または列ごと）に表示する． 例）M=[[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, H[n,k]=nHk
■共役複素数
z=x+iy ( x , y は実数 ) に対し z~=x-iy
4:１３２人目の素数さん
13/08/06 17:50:13.78
単純計算は質問の前に URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com) などで確認
入力例
因数分解
factor x^2+3x+2
定積分
integral[2/(3-sin(2x)),{x,0,2pi}]
極限
limit(t*ln(1+(1/t^2))+2*arctan(t))) as t->infinity
無限級数
sum (n^2)/(n!) , n=1 to infinity
極方程式
PolarPlot[2/sqrt(3-sin(2t)), {t, 0, 2Pi}]
グラフ描画ソフトなど
ＦunctionView URLﾘﾝｸ(hp.vector.co.jp)
GRAPES URLﾘﾝｸ(www.osaka-kyoiku.ac.jp)
GeoGebra URLﾘﾝｸ(sites.google.com)
5:１３２人目の素数さん
13/08/06 21:01:58.23
前スレ989の問
自分はQ(X,Y)ただしX<0とおき、さらにPを(1,a)とおいてQは直線OP上にあることからQ(X,aX)とおいて
|OP||OQ|=1から、OP^2OQ^2=1を解いた結果点Qの軌跡は{x+(1/4)}^2+y^2=1/4のx<0の部分というのが出てきました。
解答だと軌跡の式は同じなんですが(x,y)は(0,0)だけ取れないと書いてありました。なぜですか？
条件|OP|・|OQ|=1より|OQ|≠0であるから、点Qが点Oに一致することはない。
6:１３２人目の素数さん
13/08/07 02:52:48.85
次の二次関数をy=a(x-p)^＋qの形に変形しなさい
y=3x^+6x+5
y=x^-10x+23
y=2x^-4x+5
分かる方いますか？
意味がわからなくて、苦戦してます
7:１３２人目の素数さん
13/08/07 03:06:11.09
>>6
>二次関数をy=a(x-p)^＋qの形に変形
する例が教科書や参考書に載ってないか？
8:１３２人目の素数さん
13/08/07 03:16:12.52
>>6
(1)
y=ax^2+bx+cの頂点（-2a/b,-4a/b^2-4ac）を求めて式に埋め込む
(2)
y=x^2±2px=(x^2±p)-p^2を用いる
9:１３２人目の素数さん
13/08/07 03:17:05.17
>>6 (p,q)が二次関数の頂点だってことは把握してるよな？
10:１３２人目の素数さん
13/08/07 03:36:12.17
皆さん解答有難うございます。よく教科書を見たら例題が載っていました。
>>9 さっきまでは理解してませんでしたが、教科書見てやっと理解しました
数学は奥が深いですね
問題頑張って解いてきます
11:１３２人目の素数さん
13/08/07 08:31:56.88
まあ、そこは超浅いところだが頑張れ
12:１３２人目の素数さん
13/08/07 16:40:05.09
aは2次の係数だし、p,qはxに適当な数字入れて連立方程式にして
求めればいい。１年の問題だ。
13:１３２人目の素数さん
13/08/07 18:36:47.64
いつの頃からか、テンプレから絶対値記号が消えてて少々不便に感じる
14:１３２人目の素数さん
13/08/07 21:59:41.81
前スレ>>993
AB＝１３、BC＝１４、CA＝１５の三角形ABCがある。この周上に２点P、Qを
線分PQが三角形ABCの面積を二等分するようにとる。
線分PQの長さの最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－
余弦定理応用→極値→条件判定→2√21
15:１３２人目の素数さん
13/08/08 00:42:26.46
nが整数のとき
S=|n|+|n-1|+…+|n-100|の最小値とそれを与えるnを求めよ。という問題なんですが…
Sはnの一次式なので直線を表すのでnの係数が0のとき最小値になりその時のnは50,51だっていうのはわかるんですが、解答にするにはどんな感じで書けば良いのかわかりません。
どなたかお願いします。
16:１３２人目の素数さん
13/08/08 01:12:00.84
どん詰まりを感じた場合、力技という手段を取ると意外と突破できることがある
17:１３２人目の素数さん
13/08/08 01:44:22.21
S(n)=|n|+|n-1|+…+|n-100|
S(n+1)=|n+1|+|n|+…+|n-101|
Min[S(n+1)-S(n)]=Min[|n-101|-|n|]
n->50.5
if n=50 S(50+1)-S(50)=50-50=0
if n=51 S(50+2)-S(51)=49-51=-2
∴･･･
18:１３２人目の素数さん
13/08/08 02:34:33.59
>>15
n≧100のとき
S=n+n-1+n-2+…+n-100=101n-5050
n=100のときに最小値5050をとる
0≦n≦100のとき
S=|n|+|n-1|+…+|n-(n-1)|+|n-n|+|n-(n+1)|+…+|n-100|
=n+(n-1)+…+{n-(n-1)}+{n-n}+{(n+1)-n}+…+(100-n)
=1/2n(n+1)+1/2(100-n)(101-n)
=n^2 -100n +5050
=(n-50)^2 +2550
n=50のとき最小値2550をとる
n≦0のとき
S=-n-(n-1)-(n-2)-…-(n-100)=-101n+5050
n=0のときに最小値5050をとる
以上より
S=|n|+|n-1|+…+|n-100| はn=50で最小値2550をとる
19:１３２人目の素数さん
13/08/08 07:18:59.82
足し算も掛け算も出来ないガウス記号糞過ぎだろ
20:１３２人目の素数さん
13/08/08 10:55:08.91
ガウス記号は等式と見せかけて実質不等式だからな
21:１３２人目の素数さん
13/08/08 22:08:56.14
>>15
図形的にはこうなります。
数直線上での距離と考えると、等間隔にある101個の点への距離の和を最小にすることになる。
0と100の２点への距離の和は２点の間にあれば100で一定。1と99については98で一定。
2と98については97で一定。これを繰り返すと、49と51のときは2。50の1点だけ残る。nは実数でもよいがn=50で最小0。
最小値はn=50のとき、0+2+4+8+...+100=2(1+2+3+...+50)=50*51=2550
22: 【東電 74.3 %】
13/08/09 08:46:55.96
>15
やさしい理系数学p20
23:１３２人目の素数さん
13/08/09 18:49:34.78
x[1], x[2], x[3], ・・・, x[n] を実数とするとき
T = Σx[i]*x[j] (1≦i≦j≦n であるすべてのi, jについての和)
は常に非負といえるでしょうか。
n=2や3のときは示せたのですが
24:１３２人目の素数さん
13/08/09 19:09:21.93
>>23
S=Σx[i](1≦i≦n)
U=Σx[i]*x[j](1≦i<j≦n)
とせよ
Tが負なら二乗項を除いたUも負
しかしS^2=T+U
25:１３２人目の素数さん
13/08/09 19:10:28.88
>>23
2T = (Σ[1=1,n]x[i])^2 + Σ[i=1,n]x[i]^2
26:１３２人目の素数さん
13/08/09 20:26:12.08
うわすげぇさすが数学板
えれがんとですわ
27:１３２人目の素数さん
13/08/10 01:16:33.57
B(x,x)=B(xi,xj)+B(xj,xi)+B(xi,xi),i<j
T(x,x)=B(xi,xj)+B(xi,xi),i<j
T=B(xpi,xpj)+B(xpi,xnj)+B(xni,xpj)+B(xni,xnj)+B(xi,xi),i<j
=B(xpi,xpj-|xnj|)-B(|xni|,xpj-|xnj|)+B(xi,xi)
=B(xpi-|xni|,xpj-|xnj|)+B(xi,xi)
=B(xpi+xni,xpj+xnj)+B(xi,xi)>=0
QED
28:１３２人目の素数さん
13/08/10 01:39:02.20
【問題】点Aと線分BCが与えられている。
直角を挟む一方の辺がAを通り、他の辺が線分BCと交叉するとき、直角の頂点の空間における軌跡を求めよ。
直角が挟むAを含まない辺とBCの交点をXとしたとき、直角の頂点がAXを直径とする球からAとXを除いた領域の任意の点を取り得るところまでは分かるのですが、それから先、どう進めれば良いか分かりません。
29:１３２人目の素数さん
13/08/10 01:50:32.39
>>28
Xは線分BC上の任意の点を取り得る
30:１３２人目の素数さん
13/08/10 01:51:03.39
何言ってるのかわからん問題文だな
31:１３２人目の素数さん
13/08/10 03:20:34.53
>>28
点Xが線分BC上を動くとき、線分AXを直径に持つ球面上の任意の点が
問題が言う直角の頂点になる。
従って、求める軌跡はXがBCを動くときAXを直径とする球面全体の合併になる。
これで終りだろ
32:１３２人目の素数さん
13/08/10 03:28:53.16
３次元空間に点Aと線分BCがある。
点Aを通過する直線が
線分BCを通過する直線と
直角に交わるとき
直角の頂点Pの領域をプロットして
その曲線Cを求めてなさい
AP*(tPB+(1-t)PC)=0
(p-a)*(t(b-p)+(1-t)(c-p))
=(p-a)*((c-p)+t(b-c))=0
t=(p-a)*(p-c)/(p-a)*(b-c)
(p-a)*(-(p-c)+t(b-c))=0
(p-c)=(p-a)+(a-c)
(p-a)*-((p-a)+(a-c)-t(b-c))=0
(p-a)^2+(p-a)((a-c)-t(b-c))=0
((p-a)-((a-c)-t(b-c))/2)^2-((a-c)-t(b-c))/2)^2=0
(p-((a+c)+t(b-c))/2)^2-((a-c)-t(b-c))/2)^2=0
33:１３２人目の素数さん
13/08/10 11:35:31.62
質問させてください
URLﾘﾝｸ(uploda.cc)
上の画像は質問したい問題の解答なのですが、
赤線（１）の6(1+r+r^2)=78r^2が赤線（２）の12r^2-r-1=0になるのか
分かりません。どのような変化を経ているのでしょうか。
34:１３２人目の素数さん
13/08/10 11:44:54.32
>>33
両辺6で割って整理しただけ
35:１３２人目の素数さん
13/08/10 16:29:28.57
Ｏを中心とする円周上に相異なる３点Ａ,Ｂ,Ｃをとり、△ＡＢＣの重心をＧで表すとき、点Ａから辺ＢＣに下ろした垂線上にＧがあるための条件を(↑ＯＡ)、(↑ＯＢ)、(↑ＯＣ)を用いて表わせ。
という問題について、
ＡからＢＣに下ろした垂線がＢＣの垂直二等分線となればよいので、すなわちＢＣの中点をＭとすると三点Ａ、Ｏ、Ｍは一直線上に存在する。
ゆえに求める条件は
(↑ＡＭ)＝k(↑ＡＯ) (k∈Ｒ)
とした上でこの式を変形して答えを出そうと思ったのですが、ｋが邪魔で答えに辿り着きません。
Ａ，Ｏ．Ｍが一直線上に並ぶことは題意を満たすための必要十分条件では無いのでしょうか？また、何が足りないのですか？
36:１３２人目の素数さん
13/08/10 16:36:30.23
えーと皆さんは整数問題はどうやって練習してますか？
感で解けるものが出てくるわけではないと思います。
おすすめがあれば教えてください
37:１３２人目の素数さん
13/08/10 17:07:32.77
>>35
オイラー線を考えると垂心、外心、重心が一直線上にあり
垂心をHとするとAH上にGがある時は、AHは中線でもあるので
A,H,G,Mは一直線上に存在します。
条件自体は問題ないです。
あとは直交条件AM↑・BC↑=0で十分では。
38:１３２人目の素数さん
13/08/10 17:08:16.30
>>36
大学受験レベルだと勘というかその場で解けるものしか無かったと思います。
39:１３２人目の素数さん
13/08/10 17:31:30.78
素因数分解、剰余、不等式評価くらいしかやることないだろ
40:１３２人目の素数さん
13/08/10 17:39:56.36
質問いいですか？
a^2+ab+b^2=7となるa,bの整数の組み合わせをすべてこたえよ
またa>=[b]とする
[]←は絶対値でお願いします
41:１３２人目の素数さん
13/08/10 17:43:13.04
>>40
>>1
> ・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
42:１３２人目の素数さん
13/08/10 18:01:43.66
>>40
a、,bどちらの方程式と見ても2次方程式なので、
一方の実数条件から他方の候補を絞ることができる。
a≧|b|≧0なので、bの実数条件を使うと後の処理が少し楽。
43:１３２人目の素数さん
13/08/10 18:02:19.85
>>41
えーと、やりかたがわかりません
適当に数を入れてけばあてはまる組み合わせはあるんですけど
全部は見つけられてないと思いますし、きれいな出し方はあるのかなぁーと思いまして…
44:１３２人目の素数さん
13/08/10 18:02:31.35
(2,1)、(3,-1)、(3,-2)かな？
45:１３２人目の素数さん
13/08/10 18:15:11.56
>>44どうやったんですか？
代入ですか？
46:１３２人目の素数さん
13/08/10 18:22:03.62
>>40
a^2 +(a +b)^2 +b^2 = 14
で、左辺の項は0,1,4,9のどれかで
9+4+1か4+9+1か9+1+4しかあり得ないから
(a,b) = (3, -1), (2, 1), (3, -2)
47:１３２人目の素数さん
13/08/10 18:36:07.74
>>46なるほど
ありがとうございます
48:１３２人目の素数さん
13/08/10 18:39:26.35
>>38 >>39
間違いなくおまえらは難関校の整数問題は解けない。保証する
49:１３２人目の素数さん
13/08/10 18:40:44.73
>>40
b^2=7-a(a+b)
a(a+b)>=0 なので b=0,±1,±2
50:１３２人目の素数さん
13/08/10 18:43:09.02
>>36
マスターオブ整数
ちなみに灘中の入試問題はマスターオブ整数の第1章レベルの整数の問題が出題されてる
URLﾘﾝｸ(nokai.jp)
URLﾘﾝｸ(nokai.jp)
51:１３２人目の素数さん
13/08/10 18:48:22.15
>>48
少なくとも東大京大東工大あたりの問題で
考えて分からないようなものは出た事無い。
52:１３２人目の素数さん
13/08/10 18:54:13.23
受験数学では整数問題が最難関という話をよく聞くけど、同意しかねる
高校生向けの問題で使えるテクニックなんてめちゃくちゃ限られてるのに
愚直に数え上げるしかない方法がないような組合せ問題の方が難しい
53:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:01:32.85
>>51
無知にもほどがある。
東大、京大あたりの整数の問題は初等整数論レベルの問題だ。
偉そうにほざいてるおまえ
>>50の灘の問題、制限時間60分だから解いてみな。1問5分かけたらTime Over
54:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:20:07.50
初等整数論レベルという言葉の広さをわからない馬鹿が何か言ってるような
55:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:20:40.00
何イキがってんだ、このバカ
56:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:24:15.07
>>52
>受験数学では整数問題が最難関という話をよく聞くけど、同意しかねる
だれがそんな間抜けなこと言ってるんだい？
難しいかどうかなんて話じゃないんだよ。
受験では組み合わせ問題より整数問題が頻出だから重視されるの。わかる？
しかも教科書の単元になくて、受験用の対策を講じないとみすみす捨て問にせざるを得ないだろうってことで>>36は聞いてるんだろ。
ちなみに
マスターオブ場合の数もあるけどな
こういうのをやりこんでもこれらの問題は試験当日紙の上で実験し、試行錯誤するはめになる。
運良く解ければいいけどリスクも多分にある
それで東大理一受験生には数学なんか2次対策はほどほどにして古文漢文、英語ばかりをやらせる予備校がある
これらはやればやるだけ確実に点数とれる。
57:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:28:19.95
y=3x^2-6x+5を点(a,b)に関して対称移動したら、
y=-3x^2-18x-29となった。a,bの値を求めよ。
という問題なのですが、中間式がなく答えに納得がいきません。
（答えにたどり着けません）
どなたか分かりやすくご説明いただけないでしょうか・・。
58:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:29:01.52
>>54
>初等整数論レベルという言葉の広さをわからない馬鹿が何か言ってるような
馬鹿はまずできない理由探すんだよな。範囲が広くて調べられませんってか？wwww
中島の代数と数論の基礎とかページめくったこともないんだろお前
ま、馬鹿は何も効果的な対策講じることなく討ち死にするだけってのが世の常
59:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:36:40.16
わーすごいねー
60:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:37:29.68
馬鹿は何も有益な情報を示せない
61:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:40:16.07
バカ丸出しな長文を書かないだけマシ
62:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:43:30.52
>>57
頂点の移動を辿る
63:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:47:48.93
>>56
スマンね、ただのぼやきだ
どの分野が重視されるかは問題にしていないし、、ましてや>>36の質問に答えたつもりなんてない
64:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:48:51.07
>>51
>少なくとも東大京大東工大あたりの問題で
>考えて分からないようなものは出た事無い。
舐めてんのか？
準備もせずその場でいきあたりばったりで解けるなら
大学への数学がわざわざ整数問題の対策本としてマスターオブ整数なんて発刊するかよ
嘘と思うなら本屋にでも行って確かめてこい
65:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:49:19.65
そいつは何でもいいから噛みつきたがってるだけだ
66:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:50:16.49
>>61
わずか数行の文章も書けないんだろ。低脳のおまえwww
67:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:50:29.04
>>64
はははｗｗｗ何がそれほどおまえさんの気に障ったんだよｗｗｗ
68:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:52:22.46
長文で 頭の悪さ 見せつける
この手の馬鹿は予備校講師に多いな
69:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:53:59.37
>>57
頂点同士が点(a,b)に関して対称になっている。
70:１３２人目の素数さん
13/08/10 19:54:04.95
>>57
２つの頂点の中点
あるいは点(s,t)が(2a-s,2b-t)に移動することを使う。
71:１３２人目の素数さん
13/08/10 20:05:42.38
どんな鯛でも代数閉包をもつことを
ツォルンの補題を使わずに示すことはできないのでしょうか。
72:１３２人目の素数さん
13/08/10 20:23:13.95
>>71
代数学総合スレッド Part6
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
あたりが扱うスレかと
73:１３２人目の素数さん
13/08/10 21:19:04.32
わかりません
74:１３２人目の素数さん
13/08/10 21:22:58.67
>>64
あまり勉強しない奴も居れば、おまえみたいにどうにもならないくらい頭の悪い奴もいるのだから
発刊には意味があるのだろう
中学高校6年間ちゃんと勉強してくる人にはあまりいらない本だしな