13/05/06 09:02:00.25
前スレ
高校数学の質問スレPART350
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
【【【【【質問者必読！】】】】】
まず>>1-3をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
URLﾘﾝｸ(mathmathmath.dotera.net)
・【自作問題禁止】
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。
2:１３２人目の素数さん
13/05/06 09:02:25.61
主な公式と記載例
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b [a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a [２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R [正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A) [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b) [加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a)) [底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2) [和差積商の微分]
3:１３２人目の素数さん
13/05/06 09:03:02.10
基本的な記号の使い方は以下を参照してください。その他については>>1のサイトで｡
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
a+b → a 足す b （足し算) a-b → a 引く b （引き算)
a*b → a 掛ける b （掛け算) a/b → a 割る b （割り算)
■ 累乗 ^
a^b a の b乗
a^(b+1) a の b+1乗
a^b + 1 （a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
a/(b + c) と a/b + c
a/(b*c) と a/b*c
はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
a[n] or a_(n) → 数列aの第n項目
a[n+1] = a[n] + 3 → 等差数列の一例
Σ[k=1,n]a_(k) → 数列の和
■ 積分 （ "∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」「すうがく」などで変換せよ（環境によって異なる）．∮は高校では使わない）
∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
∫[0,x] sin(t) dt
■ 三角関数
(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
AB↑ a↑
ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（行（または列ごと）に表示する． 例）M=[[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, H[n,k]=nHk
4:１３２人目の素数さん
13/05/06 09:03:51.75
単純計算は質問の前に URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com) などで確認
入力例
定積分
integral[2/(3-sin(2x)),{x,0,2pi}]
極方程式
PolarPlot[2/sqrt(3-sin(2t)), {t, 0, 2Pi}]
無限級数
sum (n^2)/(n!) , n=1 to infinity
極限
limit(t*ln(1+(1/t^2))+2*arctan(t))) as t->infinity
5:１３２人目の素数さん
13/05/06 09:48:28.39
因数分解
factor x^2+3x+2
>>1乙
6:１３２人目の素数さん
13/05/06 11:18:00.98
ポエムはここに書いてね
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
7:１３２人目の素数さん
13/05/06 14:06:38.33
余弦定理の使用上の問題点なんですが
まず次の問題を考えて下さい。
角A=θ、AB=c , AC=b の三角形ABCがある。
辺ABと辺ACにそれぞれ正三角形ABDと正三角形ACEを三角形ABCの「外側」に貼りつける。
このときDEの長さを求めよ。
解答として
ADEについて余弦定理を用いると、(∠DAE=120°+θなので)
DE^2 = b^2 + c^2 -2bc*cos(120°+θ) ・・・(★)
(烏賊略)
としたいのですが、
・θが60°より大きい場合は、やはり∠DAEを 240°-θ としなくてはだめか。
でも cos(120°°+θ )と cos(240°-θ) の値は同じなので、まとめてしまってもいいようにも思えます。
・θが60°のときは、ADEが三角形にならないので、ここも別に扱う必要があるか(余弦定理はあくまで三角形についての定理として)。
しかし★の式はそれらの場合も含めて統一的に正しいので、場合分けは必要ないか。
どうしたもんでしょう。
8:１３２人目の素数さん
13/05/06 15:14:39.27
xy平面で、放物線y=x^2上の点P、Q、Rは、一辺の長さがaの正三角形になっている
直線PQの傾きを1としたとき、aの値は？
9:１３２人目の素数さん
13/05/06 15:52:00.31
途中から触るのも嫌になるような汚い連立方程式を解くことになりそうだ。
10:１３２人目の素数さん
13/05/06 16:07:07.66
>>8
>>9
PQ,QR,RPの傾きを1,p,qとでもおいてみたら？
そんなに大変でもない
11:１３２人目の素数さん
13/05/06 16:31:14.20
さあ？
12:１３２人目の素数さん
13/05/06 17:17:19.24
式と方程式の分野の問題です。
実数(x,y)が
x+y=k
x^2+y^2=k
を同時にみたすような定数kの値を求めよ。
分らりません。
13:１３２人目の素数さん
13/05/06 17:38:43.88
さて、この問題は何回目でしょう
14:１３２人目の素数さん
13/05/06 17:39:01.38
y = k-x を、x^2 + y^2 = k に代入して、xが実数解をもつ判別式を調べたらどうだろう
15:１３２人目の素数さん
13/05/06 17:42:10.20
P(p,p^2), Q(q,q^2), R(r,r^2)とする
PQの傾きが1(明らかにp≠q)
(q^2-p^2)/(q-p)=q+p=1
ここでpq=kとおくと p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=1-2k
p,qはt^2-t+k=0の2解だから(x-p)(x-q)=x^2-x+k…①
p,qは異なる2つの実数であるため 1-4k>0 1/4>k
PQ=a
(p-q)^2+(p^2-q^2)^2=a^2
(p+q)^2-4pq+(p^2+q^2)^2-4p^2q^2=a^2
1-4k+(1-2k)^2-4k^2=a^2
1-4k+1-4k+4k^2-4k^2=a^2
2-8k=a^2…②
PQの中点をMとすると M((p+q)/2, (p^2+q^2)/2)=(1/2,1/2-k)
RはMを通ってPQに垂直な直線(傾き-1)上に存在するから
r^2-(1/2-k)=-(r-1/2) r^2+r-1=-k…③
RQ↑・RP↑=a*a*cos60°
(r-p)(r-q)+(r^2-p^2)(r^2-q^2)=a^2/2
(r-p)(r-q)(1+(-r-p)(-r-q))=1-4k ∵②
(r^2-r+k)(1+r^2+r+k)=1-4k ∵①
(1-k-r-r+k)(1+1-k-r+r+k)=1-4k ∵③
2(1-2r)=1-4k
2-4r=4r^2+4r-4 ∵③
2r^2+4r-3=0
r=(-2土√10)/2
k=1-r-r^2=1-r-(3-4r)/2=r-1/2=(-3土√10)/2
1/4>kだから 両方OK
a=√(2-8k)=√(2-(-12土4√10))=√(14土4√10)=√(10)土2
16:１３２人目の素数さん
13/05/06 17:47:45.59
>>14
未知数が3つなので答えはない気がするんですがどうなんですか？
17:15
13/05/06 17:55:57.81
安価付け忘れた>>8
a=√10-2の方の解がイメージしにくい
間違ってたらすまぬ
18:１３２人目の素数さん
13/05/06 18:07:01.69
2√6
19:１３２人目の素数さん
13/05/06 18:09:22.40
S(n)/n=(|x+1|+|x-2|-|x+3|........|x+n|)/nつまり
S(n)=∑(1/n)(-1)^(k-2)|x+k・(-1)^(k-1)|がn∞で収束するための
xの条件を求めよ。
20:１３２人目の素数さん
13/05/06 18:16:58.37
>>19
S(n)/n の収束なのか S(n) の収束なのか
解いてるうちにわかるかもしれないが
質問者は問題を正確に書くことを心がけてほしい
21:１３２人目の素数さん
13/05/06 18:20:39.28
S(n)/n=(|x+1|+|x-2|-|x+3|........|x+n|)/nつまり
nS(n)∑(1/n)(-1)^(k-2)|x+k・(-1)^(k-1)|がn∞で収束するための
xの条件を求めよ。
22:１３２人目の素数さん
13/05/06 18:25:59.22
>>16
y=k-xでyが消える
xの実数解条件を考えるとxが消える
kしか残らない
死ね
23:１３２人目の素数さん
13/05/06 18:32:29.54
n（n≧2）本の平行線と それらに直行するn本の平行線が それぞれ両方とも同じ間隔a（a＞０）で並んでいる。
問題 正方形は全部でいくつあるか。
24:１３２人目の素数さん
13/05/06 18:35:23.78
縦2本、横2本の直線を選べば正方形に一対一対応する
C[n,2]^2
25:１３２人目の素数さん
13/05/06 18:37:12.40
>>12
問題文は次のようなものではないのかね
x+y=k ，x^2+y^2=k を同時に満たす
実数の組 ( x ，y ) が存在するような
定数 k の値の範囲を求めよ．
もし >>12 が学校の宿題なんかの原文のママなのだとしたら
学校はあてにせずに参考書で勉強したほうがいいと思う
26:１３２人目の素数さん
13/05/06 18:47:48.44
教科書の問題ですが分らなくて困ってます。教えて下さい。
a=(sin(π/5))^2
b=(sin(2π/5))^2
とおけば
任意の自然数nに対して
(1/a^n+1/b^n)(a+b)^nは整数であることを示せ。
まず思いつくのが数学的帰納法なんですが
結局上手くいきまえんでした。
27:１３２人目の素数さん
13/05/06 21:53:32.45
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
28:１３２人目の素数さん
13/05/06 22:03:07.62
>>24
それだと長方形及び正方形の数になりませんか？
29:１３２人目の素数さん
13/05/06 22:16:44.58
>>28
ごめんなさいその通りです。
恥ずかしいことをしてしまった。
縦線をL{1}～L{n}、横線をR{1}～R{n}とすると
1辺の長さがakの正方形は
L{i},L{i+k},M{j},M{j+k} (1≦i,j≦n-k)
の４本を選ぶことで得られ、
これはi,jの取り方に一対一対応する。
このようなi,jの取り方は(n-k)^2 通り。
よって1辺の長さがa,2a,3a,…,(n-1)aとなる全ての正方形について和を取って
Σ[k=1,n-1](n-k)^2=Σ[1,n-1]k^2=(n-1)n(2n-1)/6
30:１３２人目の素数さん
13/05/06 22:25:55.85
>>29と当然同じことになるけど、
正方形の例えば左上の頂点となり得る点の個数を考えると、
最大の正方形では1個、次に大きいのは2^2個、次の大きいのは3^2個……だから、
合計で、Σ[1,n-1]k^2=(n-1)n(2n-1)/6。
31:１３２人目の素数さん
13/05/06 22:39:48.59
>>26
(1/a^n+1/b^n)(a+b)^n=(1+a/b)^n+(1+b/a)^n だから
(a/b)^n+(b/a)^n=整数 を示せば良い
(a/b)^n+(b/a)^n=(2(1+cos(4π/5)))^n+(2(1+cos(2π/5)))^n だから
(2cos(4π/5))^n+(2cos(2π/5))^n=((-1-√5)/2)^n+((-1+√5)/2)^n=整数 を示せば良い
32:１３２人目の素数さん
13/05/06 22:56:01.25
>>26
(1/a^n+1/b^n)(a+b)^n=c[n]とすると
c[n+2]=(c[n+1]-c[n])*(a+b)*(1/a+1/b)が成立
(a+b)*(1/a+1/b)=5なので帰納法からc[n]は整数
33:１３２人目の素数さん
13/05/06 23:03:24.89
>>29
>>30
有難うございます。Σを使うとは思いませんでした。問題集とか見るに漸化式使う問題とかもあるんですね…。
助かりました。
34:１３２人目の素数さん
13/05/06 23:27:06.54
>>26の記号のもとで
今の高校生は
(a+b)*(1/a+1/b)=5
を直ぐ出せるの？
35:１３２人目の素数さん
13/05/07 17:04:16.85
|x-y|=x^2を満たす(x,y)の方程式を求めよ。
36:１３２人目の素数さん
13/05/07 17:21:19.56
|x-y|=x^2
37:１３２人目の素数さん
13/05/07 17:46:39.89
違う
x-y=+-x^2より
y=x^2+xもしくは
y=x^2-xだろ
38:１３２人目の素数さん
13/05/07 17:51:09.41
(sinxcos2xtan3x)/(tanxcos2xsin3x)<0を満たすようなxの範囲を求めよ。
これどうすればいいですか？
39:１３２人目の素数さん
13/05/07 18:04:05.13
約分しろ
40:１３２人目の素数さん
13/05/07 18:12:06.53
>>37
違わねえだろ低能
41:１３２人目の素数さん
13/05/07 18:18:51.64
>>37
もしくはってなんだよw
絶対値のはずし方勉強してこい
42:１３２人目の素数さん
13/05/07 18:20:38.85
(sinxcos2xtan3x)/(tanxcos2xsin3x)
=(sinx cos2x (sin3x/cos3x)) / ((sinx/cosx) cos2x sin3x)
=cosx / cos3x
で、cosx、cos3xの符号を、x=0、π/6、2π/6、3π/6、・・・、2πまで表を書いて調べ、
判定すれば良いと思うけど
( tanx≠0、cos2x≠0、sin3x≠0 を念のためチェック）
43:１３２人目の素数さん
13/05/07 18:22:47.31
追加
後で2nπ（n=0,1,2,...）を加える
44:１３２人目の素数さん
13/05/07 18:58:07.57
f(1 or -1)=1-1-1-1-1-1-1-1-1-1.................=
=1+(-1+1)+(-1+1)....................=1
=(-1+1)+(-1+1).....................-1=-1
何故？
45:１３２人目の素数さん
13/05/07 19:03:34.07
>>44
無限級数の計算する順序は変えちゃいけない
46:１３２人目の素数さん
13/05/07 19:06:00.65
-∞じゃね？
47:１３２人目の素数さん
13/05/07 21:26:29.08
>>44
項の順番を入れ替えられるのはある条件を満たしている場合のみ
まぁ分かってて書いてるんだと思うけど
48:１３２人目の素数さん
13/05/07 22:20:45.52
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
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49:１３２人目の素数さん
13/05/08 02:23:27.56
>>44
無限の演算方法が、まだ未整備の16世紀のボルツァーノさんが提起した
ボルツァーノ級数と呼ばれる。
1－1＋1－1＋1－1＋…
当時の有識者に聞いてみたら、みんな違う答えになった。
A．(1－1)＋(1－1)＋(1－1)＋…＝0＋0＋0＋…＝0
B．1＋(－1＋1)＋(－1＋1)＋…＝1
C．1－1＋1－1＋1－1＋…＝x とおく。
2項目以降に着目すると、次のような式になる。
1－(1－1＋1－1＋1－1＋…)＝x
1－x＝x これを解くと x＝1/2
このように３人とも答えが違うとは、ナンデヤネン？（注：実際は大阪弁ではない）
当時は、無限の演算が使いこなせてなかった。
[続く]
50:１３２人目の素数さん
13/05/08 02:24:59.88
この後、19世紀のコーシーさんによって解決された。
結構 簡単な“二つのこと”を、先人たちは見逃していた。
まず一つ目、無限個ではなく、有限個の場合、A、Bのように項の“順序”を
自分で好き勝手に変えても（有限個の場合は）結局は答えは一緒になるはずなので良かったが
「無限個の場合は成立しない」 と指摘した。
この指摘は非常に重要な点である。
と同時に 少し冷静になってみれば 皆 気づいていたのかもしれないが
コーシーさんが指摘するまで、200年間 誰も気がつかなかったのである（！）
A、Bは“順序”の変更をしていることで間違い。
次に二つ目、無限個の演算の場合、「答えがないこともある」
実に単純なことだ！しかしながら200年間 誰も…（以下略）
1へ行ったり、－1へ行ったりと
今日の高校生の教科書に載っている「振動」ではあるが
この「振動」という概念を、数学の級数論に 初めて正式に取り入れた最初の人である。
これは当時として、とても斬新なアイデアであった。
C.は「答えがないものに」＝x と さも答えをおいていることに間違い。
もともと存在しないもの だのに
存在するんじゃね？と自分勝手に仮定し x とおく。
「ここで勝手に仮定してしまったから、アカンのじゃ！」（注：実際は大阪弁ではない）
51:１３２人目の素数さん
13/05/08 02:27:28.11
[まとめ]
無限個の演算の場合
１．項の“順序”を勝手に変えてはアカン
２．存在しないこともある
52:１３２人目の素数さん
13/05/08 02:41:15.94
条件収束の場合、順序を変えれば任意の値に収束させる事が出来るという練習問題をやったなー
53:１３２人目の素数さん
13/05/08 14:12:38.46
x^2 + y^2 + xy という式を
(x+y)^2 に置き換えたいので
公式のx^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy を利用すると
x^2 + y^2 = - xy として、公式に当てはめると
x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy - xy とするのはどこが駄目なのでしょうか？
54:１３２人目の素数さん
13/05/08 14:16:11.90
>x^2 + y^2 = - xy として
は？
55:１３２人目の素数さん
13/05/08 14:57:21.26
x^2+y^2+xy=(x+y)^2-xy
公式とか意味わかんないこと言ってないで普通にこれでいいんじゃねーの
56:１３２人目の素数さん
13/05/08 15:04:18.97
>>53
> x^2 + y^2 + xy という式を(x+y)^2 に置き換えたい
ここからしてよくわからない。
x^2 + y^2 + xy=(x+y)^2の場合じゃなきゃ置き換えられないが、そうなの？
だとしても、いったい何をしたいの？
> x^2 + y^2 = - xy として、
どこから出てきたの？それ。
> 公式に当てはめるとx^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy - xy とする
百歩譲ってx^2 + y^2 = - xyだとして、それをx^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xyに代入すると
-xy=(x + y)^2 - 2xyだけど？
57:１３２人目の素数さん
13/05/08 15:12:43.44
1/(1/a+1/b+1/c)
この式はこれ以上簡単に出来ますか？
分母が広すぎて・・・
58:１３２人目の素数さん
13/05/08 15:15:17.12
>>57
計算するとしてもabc/(ab+bc+ca)とかか
どちらにしてもあまり綺麗な形にはなんないだろうな
59:１３２人目の素数さん
13/05/08 16:24:42.83
あ そっちの方がまだだいぶ綺麗です
ありがとうございます
60:１３２人目の素数さん
13/05/08 17:57:54.72
元の方がきれいだと思うが
61:１３２人目の素数さん
13/05/08 18:12:42.82
x^4-y^4+x+y
これを因数分解したいのですが分りません。
62:１３２人目の素数さん
13/05/08 18:19:50.18
和と差の積の公式は知ってる？
あるいは、x=-yのときその式の値は何になる？
63:１３２人目の素数さん
13/05/08 18:39:03.80
(x^4-y^4)+(x+y)
と区切って考えて、前半を因数分解
(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)
のパターンでx^2=aと考える
共通因数(x+y)がでてきたらそれでくくる。