13/03/28 22:15:32.23
>>404
xが最高次係数1の整数係数多項式の根のとき, あるnについて
x^n=a_[n-1]x^(n-1)+...++a_[1]x+a_[0]（a_[k]は整数）と書けるので,
xの多項式は次数下げを繰り返すことで, 1,x,x^2,...,x^(n-1)とそれらの整数倍の和で表せる。
逆に, xの任意の多項式が, 1,x,x^2,...,x^(n-1)とそれらの整数倍の和で表せるとき,
そいつらにxを乗じてやったものも同じような和で表してやると
x・1=x
ｘ・x=x^2
ｘ・x^2=x^3
...
ｘ・x^(n-1)=x^n=b_[n-1]x^(n-1)+...++b_[1]x+b_[0], b_[k]は整数
これをベクトルと行列で書き直すと「xはある整数係数行列の固有値である」ことが分かる。
行列の固有値は, その行列の固有多項式の根だから, 結局
「xがある最高次係数1の整数係数多項式の根」
⇔「あるnが存在して, xの任意の多項式は 1,x,x^2,...,x^(n-1)とそれらの整数倍の和で表せる」
が分かる。
～つづく～