13/02/17 14:41:44.30
>>264
条件を満たすfが存在するとする。
条件１）,２）より、任意のa∈[0,1]でf(a)≠0 …(*)
さて、正の数εに対し
A_ε={x∈[0,1]|f(x)>ε}
A_(-ε)={x∈[0,1]|f(x)<-ε}
と定める。
もしA_εが無限集合なら、ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理より、A_εの元で収束する数列が作れる。
これは条件１）に反する。よってA_εは有限集合。A_(-ε)も同様。
B=A_(1/2)∪A_(-1/2)∪A_(1/4)∪A_(-1/4)∪A_(1/8)∪A_(-1/8)∪…
とおくと、Bは有限集合の可算個の和集合だから、高々可算集合。
一方(*)より、B=[0,1]となり矛盾。
よって、条件を満たすfは存在しない。