13/02/23 13:48:28.45
>>403
>[1] P. Soven, Phys. Rev. 156 (1967) 809.
下記URLにPDFがある。これによると、
表題：Coherent-Potential Model of Substitusional Disordered Alloys
p810 左上に"A different approach to the problem has been taken by Yonezawa and Matsubara.7"とあり、彼らの論文はよりsystematicだが未完成だと。
p812 右下に"As noted by Yonezawa and Matsubara this is essential requirement of any theory of nondilute alloys."とある。
なお
p813 右下に"ACKNOWLEDGEMENTS We wish to acknowledge helpful conversations with Dr.M.Lax and Dr.D.W.Taylor."とある。
fURLﾘﾝｸ(www.phy.pku.edu.cn)
（引用おわり）
”Coherent Potential”という名称は、著者 Paul Soven の表題から来ている。（ちなみに、著者の所属はベル研とある。）
Yonezawa and Matsubara の論文はしっかり読んでいるようだ
412:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/23 14:20:24.24
>>403
>Fumiko Yonezawa and Kazuo Morigaki (1973). "Coherent Potential Approximation: Basic Concepts and Applications". Progress of Theoretical Physics Supplement 53: 1?76. Bibcode 1973PThPS..53....1Y. doi:10.1143/PTPS.53.1.
これは、下記 URL
URLﾘﾝｸ(ptps.oxfordjournals.org)
P6 後半
This idea was employed to study the single-particle of elementary excitations in disordered binary alloys by Taylor 11) and Soven 12).
Onodera and Toyozawa 13) attained the same results from physical considerations.
Yonezawa 14) and Leath independently evaluated the best first-order approximation via diagram techniques and obtained formulations were found to be identical with the CPA.
The fact that this approximation has been reached through various methods quite independently suggests that the theory serves as a good approximation from many view poins.
とある
Soven 12)は、>>411
Taylor 11)は、>>411のDr.D.W.Taylorで、Phys. Rev. 156 (1967) 1017 (Sovenとの議論で触発されたのか)
Yonezawa 14) は、
Fumiko Yonezawa：
A Systematic Approach to the Problems of Random Lattices. I: A Self-Contained First-Order Approximation Taking into Account the Exclusion Effect Prog. Theor. Phys. (1968) 40(4): 734-757 doi:10.1143/PTP.40.734
URLﾘﾝｸ(ptp.oxfordjournals.org)
413:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/23 14:45:34.68
>>412
>Yonezawa 14) and Leath independently
Leathは、>>402
「私はこの複素数を数学的な解析から導いた。この理論に到達したとき「こんなことを思いつく人は、世界中に誰もいないだろう」と考えたが、実は米国の物理学者Ｐ・リースがほとんど同時に似た内容の論文を発表した。
私は後にリースと会い、お互い「他人に頭の中をのぞかれたような気がした」と語り合い、盛り上がることになる。」
Yonezawa 14) は、URLは>>412にあるが、ここでの引用文献は、Dr.D.W.TaylorのPhys. Rev. 156 (1967) 1017のみ。Soven 12).を無視している。>>412でも、時間順なら、Soven が先なのだが・・
Leath論文は下記だが、有料
URLﾘﾝｸ(prola.aps.org)
Phys. Rev. 171, 725?727 (1968)
Self-Consistent-Field Approximations in Disordered Alloys
P. L. Leath
Department of Physics, Rutgers?The State University, New Brunswick, New Jersey
Received 5 February 1968; published in the issue dated July 1968
The connection between Taylor's recent self-consistent calculations of phonon frequency spectra in disordered alloys and those of Davies and Langer in the usual self-consistent-field approximation is established.
It is found that Taylor's results are equivalent to summing the same diagrams summed by Davies and Langer, but with proper compensation against multiple occupancy of sites by defects.
The recently developed technique of Elliot, Aiyer, and Leath, which self-consistently adjusts the diagram rules to obtain proper compensation, is used.
This method is quite general and clearly can be used for other self-consistent calculations is disordered alloys.
c 1968 The American Physical Society
URL:
URLﾘﾝｸ(link.aps.org)
DOI:
10.1103/PhysRev.171.725
414:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/23 15:05:59.44
>>403
結論として、The coherent potential approximation (or CPA)の由来は、 P. Soven, Phys. Rev. 156 (1967) 809.から
とすれば、英.wikipediaでSovenに言及がないのはちょっと変
ただし、Sovenの論文では、Yonezawa and Matsubara に言及しているし、Yonezawa 14) はSovenを超えて理論を発展させているので、Yonezawa がCPAに本質的な寄与をしている
なので、英.wikipediaが、Fumiko Yonezawa and Kazuo Morigaki (1973). "Coherent Potential Approximation: Basic Concepts and Applications". を引用しているのは、それなりに理由があると思われる
415:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/23 15:25:56.12
昔コヒーレント・ポテンシャル近似の米沢 富美子の記事を読んだのは、下記固体物理だったのだろう
別の雑誌（金属学会報）だったように思ったが、ヒットしないので、おそらく下記固体物理
数式の羅列で、著者が女性だったので強烈な印象でびっくりした記憶がある
URLﾘﾝｸ(ci.nii.ac.jp)
20
コヒーレント・ポテンシャル近似 CPA-1-
米沢 富美子
固体物理 6(12), 693-703, 1971-12
21
コヒーレント・ポテンシャル近似(CPA)-2-CPAの応用
米沢 富美子
固体物理 7(1), 3-10, 1972-01
416:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/24 09:58:18.54
>>412
>Taylor 11)は、>>411のDr.D.W.Taylorで、Phys. Rev. 156 (1967) 1017 (Sovenとの議論で触発されたのか)
Dr.D.W.Taylor補足
URLﾘﾝｸ(www.physics.mcmaster.ca)
David W. Taylor's Homepage Professor Emeritus
Department of Physics and Astronomy
McMaster University
Research Interest
David W. Taylor did his undergraduate and graduate studies at Oxford University, obtaining his D.Phil. in 1965.
He spent 1965-67 as a Member of the Technical Staff at Bell Telephone Laboratories, Murray Hill, N.J. and then joined the Physics Department at McMaster.
He has been Professor of Physics since 1977.
He spent 1974-75 on a Senior Research Fellowship at the Department of Theoretical Physics, Oxford.
Dr. Taylor's research is mainly in the area of lattice vibrations, with the emphasis being on the vibrational properties of substitutionally disordered crystals.
Of current interest is the use of the embedded atom model both for disordered crystals and also to calculate the anharmonic vibrational properties of crystals.
McMaster University
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
マックマスター大学（英：McMaster University、通称：Mac）は、カナダのオンタリオ州・ハミルトンにある大学。フルタイムの学生が1万8,238人、パートタイムが3,836人（2006年現在）。伝統的に医学と工学に強い大学として知られる。
ノーベル賞受賞者
バートラム・ブロックハウス： 1994・教授 - 物理学賞。
マイロン・ショールズ： 1997・卒業生 - 経済学賞。
417:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/24 10:26:05.35
>>416
補足
>He spent 1965-67 as a Member of the Technical Staff at Bell Telephone Laboratories, Murray Hill, N.J. and then joined the Physics Department at McMaster.
Dr.D.W.Taylorは、1965-67にベル研（Bell Telephone Laboratories）に居た
P. Sovenの所属もベル研で、 (1967)の論文で、"ACKNOWLEDGEMENTS We wish to acknowledge helpful conversations with Dr.M.Lax and Dr.D.W.Taylor.">>411とあることと符合する
（分かっていると思うが、fURLﾘﾝｸ(www.phy.pku.edu.cn) は、httpではないのでURL窓にコピーして飛ばないとｐｄｆには行けない）
>>402
>私やリースの論文と同時期に、米国とカナダの科学者が「物理的考察」から独立にこの複素数を求めた。奇しくもわれわれ４人は28歳と29歳だった。
米国：P. Soven
カナダの科学者：Dr.D.W.Taylor
ということなのでしょうね
>>412
>Fumiko Yonezawa and Kazuo Morigaki (1973). "Coherent Potential Approximation: Basic Concepts and Applications". Progress of Theoretical Physics Supplement 53: 1?76. Bibcode 1973PThPS..53....1Y. doi:10.1143/PTPS.53.1.
目次の章立てが下記。Taylor and Soven、Onodera-Toyozawa、Matsubara-Yonezawa、Leath。登場人物は７人。
（目次）
Sec.4 CPAに対する種々のアプローチ
4.1 摂動
(1-a)普通の摂動（non self consistent(平均t-matrix）)
(1-b)普通の摂動（self consistent）
(2) Effectiv medium method (multiple scattering method of Taylor and Soven)
4.2 Interpolation method due to Onodera-Toyozawa
4.3 Cumulant expansion method due to Matsubara-Yonezawa
(1) Cumulant expansion of the Green's function
(2) Representation by means of diagrams
(3) Expression by means of a continued fraction
4.4 Self-contained cumulant expansion method due to Yonezawa and Leath
418:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/24 10:48:55.69
>>412
つづき
Leathの論文：Received 5 February 1968; published in the issue dated July 1968 >>413
米沢の論文：発行 October 1968, Received June 3,1968 >>412
結局、米沢の論文が一番遅いが
しかしLeathの論文はわずか３ページだし、Taylor and Sovenも同じく短いPhys. Rev. でしかないのと物理的に導かれていて数学的基礎付けは米沢とLeathだと
そして、Fumiko Yonezawa and Kazuo Morigaki (1973)がCPAの包括的報告になっていると
ようやく事情が分かった
ただ、世間の常識では、Sovenが最初に論文を出して創始者として”Coherent-Potential Model”と銘々してCPAという近似法の語源になった
Yonezawa and Leathはその数学的基礎付けを与えたということになるのだろう
>私やリースの論文と同時期に、米国とカナダの科学者が「物理的考察」から独立にこの複素数を求めた。奇しくもわれわれ４人は28歳と29歳だった。>>402
Onodera-Toyozawaに言及していないのは、如何なものかと思う
私の履歴書が書籍になるときに、「二人の日本人」を入れるようおすすめします。
419:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/24 16:33:38.62
Paul Soven補足
URLﾘﾝｸ(www.physics.upenn.edu)
米ペンシルバニア大
Paul Soven
Professor of Physics
Professor, University of Pennsylvania
Associate Chair of Undergraduate Affairs (1985-89)
Associate Chair of Graduate Affairs (1976-79)
Education:
Ph.D., University of Chicago (1965)
M.S., University of Chicago (1961)
B.S., City College of New York (1960)
Research Interests:
Theoretical Condensed Matter Physics
My research interests locus on the electronic structure of materials.
Early in my career, I studied the band structure of ordered solids and developed and exploited methods of computing the electronic spectra of disordered materials (alloys).
My research interests gradually switched to surface physics, first into the area of spectra of sudace-induced features (surface states) in the electronic spectrum,
and more recently to dynamical processes involved in the optical response of small systems and surfaces.
Selected Publications:
"Relativistic Band Structure and Fermi Surface of Thallium, I," Phys. Rev. 137, A1706 (1965).
"Relativistic Band Structure and Fermi Surface of Thallium, II," Phys. Rev. 137, A1717 (1965).
"Coherent-Potential Model of Substitutional Disordered Alloys," Phys. Rev. 156, 809 (1967).
"Density Fuctional Approach to Local Field Effects in Finite Systems: Photoabsorption in Rare Gases," (with A. Zangwill), Phys. Rev. A21, 1561 (1980).
"A Time-Dependent Local Density Theory of Dielectric Effects in Small Molecules," (with Z. Levine), Phys. Rev. A29, 625 (1984).
420:１３２人目の素数さん
13/02/25 21:54:03.09
yosodeyare
421:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/27 21:54:17.24
乙
よそでか
面白いやつだな
いつもこういう勘違いがわいてくるんだ
ここをどこだと思っているんだろうね？ 高尚な学会？ アカデミー？
いやいや、なんでもありの２ちゃんねるさ
AA、シモネタ、エンタ、お笑い、ギャグ、ジョーク・・・、花も荒らしもある
猫もいれば、クマもいる（独ではKummerとか書くそうだ）
最近は、狢も出没
そのうちキツネやタヌキも出るかも。まあ、動物園と思えば当らずとも遠からず
玉石混交なんでもありの２ちゃんねる
しかも世界一過疎の数学板のこのスレで
チラシの裏と言われながら、真っ白な裏の余白があまりすぎるくらい余っているんだよ
なにを期待して、ここに来ているんだろうね？
つまらんことを言う暇があれば、少しくらい自分で気の利いたを書いてから言ったらどうだい（まず、無理だろうけど・・）
まあ、こっちはマイペース、いま米沢 富美子おばさんが面白い
422:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/27 21:55:51.93
>>421
訂正
少しくらい自分で気の利いたを書いてから言ったらどうだい
↓
少しくらい自分で気の利いたことを書いてから言ったらどうだい
423:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/27 22:22:19.39
といっても、CPAについて、ほとんど書き尽くしたが、もう少々お付き合いを
>>417
>Fumiko Yonezawa and Kazuo Morigaki (1973). "Coherent Potential Approximation: Basic Concepts and Applications". Progress of Theoretical Physics Supplement 53: 1?76. Bibcode 1973PThPS..53....1Y. doi:10.1143/PTPS.53.1.
このP41から41にかけて、概略次のようなことが書かれている
１．Green関数法が、1950年代の終わりの頃に導入された。
２．だが、初期段階では、いろいろ問題があった。
３．これらの問題点が徐々に取り除かれて行き、ついにCPAにたどり着いた。
４．それは、EdwardsがGreen関数法を提案してからCPAにたどり着くまでおよそ10年ほどかかり、多くの人の手によるものである。
５．CPAの歴史的な進歩の様子をTable Iに示す。それは、初期の方法に含まれていた不十分な点がいかにして徐々に取り除かれていったかをも示している。
と
424:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/27 22:36:02.65
>>423
この視点に立てば、>>403の日本語wikipediaに記されている下記
「コヒーレントポテンシャル近似（コヒーレントポテンシャルきんじ、Coherent Potential Approximation、CPA） は1967年に P. Soven[1]が考案したバンド計算手法のことである。」
はちょっと違う
「EdwardsがGreen関数法を提案してから、１０年かけて多くの人の力でようやくCPAにたどり着いたのだ」と
英語版のwikipediaは、この米沢の意見に賛同しているのだろう
だから、P. Sovenに触れずに、Further readingとしてFumiko Yonezawa and Kazuo Morigaki (1973)を引用しているのではないだろうか
おそらく、私個人としては、P. SovenはCoherent Potential の（創始者ではないとしても）命名者とは言えるとは思うのだけれど。
ともかく、英語版のwikipediaと日本語wikipediaとの大きな差
その理由がなんとなく分かった気がした
425:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/27 23:22:00.18
>>423
訂正
このP41から41にかけて、概略次のようなことが書かれている
↓
このP41から42にかけて、概略次のようなことが書かれている
426:１３２人目の素数さん
13/02/28 14:45:23.44
かんどころのガロア理論ってどうですか？
427:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/28 21:26:28.86
はい
既出かも知れないが、まずはこんなところ（下記）を
URLﾘﾝｸ(www.tsuyama-ct.ac.jp)
ガロア理論入門ノート（詳細）Osamu MATSUDA
ガロア理論とは, 19世紀始めのフランス人数学者エヴァリスト・ガロアの名
前からきている. ガロア理論といって先ず思い出す有名な定理は, 「一般の5次
以上の方程式には解の公式が存在しない」というものである. そして「不可能で
あることを証明する」ということ，これがガロア理論の醍醐味である.
どんな4次以下の方程式も, 方程式の係数どうしの四則演算と n 乗根を用いて解くことができる.
代数学では, 方程式の係数どうしの四則演算とn乗根を用いて解くことを代数的に解くという.
だから4次以下の方程式は全て代数的に解けるのである.
しかし5次以上の方程式の中には, 代数的に解けないものがある.
これは, 5次以上の方程式には, 代数的に解くための解の公式が存在しないということを意味する.
この結論を証明するために, ガロアは方程式そのものを考えず, 方程式の背後に潜む群という集合を考えていった.
これは現代流に言えば, 「対象となる数学の内在的性質を探る」という手法の先駆けであるように思える.
ガロアは21歳のとき, 恋人をめぐる決闘によってその人生を閉じた. これはまた驚くべきことでもある.
つまりガロア理論は彼が10代の時に考えたものであるということだ.
しかしこの理論は現在の私達にも,なんともいえない数学の美しさを与えてくれる.
このノートではガロア理論のみを, 特に最初に挙げた定理のみを扱う.
そのために, 必要ない代数学の知識は一切省いた. 基本的に代数学の知識ゼロを出発
点として, このノートだけで完全に証明を理解できるように努めた.
このノート作成にあたり, 特に[1],[2]の中の命題, 証明等を参考に構成した.
428:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/28 21:29:24.60
>>427
ガロア理論をどう捉えるか？
それは、その人のレベルによって異なるように思う
学部生は学部生なりに
院生は院生なりに
大数学者は大数学者なりに
それぞれの深い理解があるのだろう
429:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/28 21:42:46.33
>>428
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
坂本龍馬 「なるほど西郷というやつは、わからぬやつだ。少しく叩けば少しく響き、大きく叩けば大きく響く。もし馬鹿なら大きな馬鹿で、利口なら大きな利口だろう」
（引用おわり）
「なるほどガロア理論というやつは、わからぬやつだ。少しく叩けば少しく響き、大きく叩けば大きく響く。」（私の説）
ガロア理論は、その人のレベルに応じて響く
430:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/02 13:13:00.85
ここに一つの物体が置かれているとする
色は黒（青でも赤でも良いが）で、中は見えない。ばらすことはできないとする
これを理解する一つの方法は、いろいろと角度を変えて見ることだろう
もう一つの方法は、切って断面を見ること。但し、一断面では分からないから複数断面を見る必要がある。例えていえば、CTでX線断層写真を作るようなものと思えば良い
ここに、ガロア理論という対象がある
見えない人には、見えないし
レベルの高い人には、見えるものがある
１．一つの視点は、現代代数学の出発点
２．一つの視点は、現代数学が式という具体的な対象を離れて、体や群という抽象的な対象を研究し出した出発点だと
３．歴史的には、ラグランジュが到達した対称式の置換からガウスの円分等周論、アーベルのアーベル群をさらに一般化した理論だと
４．数学理論の面では、方程式の解法を数体の拡大ととらえ直し、数体の拡大を方程式の根の置換群との関係でとらえ直すという画期的手法の導入だと
・
・
書けば、その人のレベルでいろいろあるだろう
いまの君にはいまの君なりのとらえ方がある
もっとレベルを上げれば、違った風景が見えてくるだろう
それがガロア理論
431:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/03 14:45:28.42
ガロア理論とは？
自分の理解を簡単に書いておこう
１．まずガロア分解式（リゾルベント）
V=Aa+Bb+Cc+・・・
a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、係数A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとるように定める（前スレ283）
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:283番)
２．ガロア分解式Vにラグランジュ分解式の論法（根の置換）を適用する（ラグランジュ分解式については下記参照）
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp) <[数学]ガロア理論と方程式 | [数学][反復]反復的集合観と公理...>2012-05-27方程式からガロア理論
URLﾘﾝｸ(www5a.biglobe.ne.jp) 伊那 闊歩 方程式の大海にて
３．ガロア分解式を通じて、ガロアは方程式の群を導入する。（ラグランジュ分解式の論法で、具体的な式の変形の工夫はすべて、根の置換によって取る分解式の値の数の問題に移される）
４．方程式の代数的解法とは？：式の係数のべき根と１のべき根とを用いて根を表すこと→式の係数のべき根の添加によって数体を拡大し、方程式の根を添加した数体に到達できるか？
５．ここで、式の係数のべき根の添加によって数体の拡大が問題となる。→式の係数のべき根の添加による数体の拡大とは？→１のべき根添加を前提として、それは巡回拡大となり巡回群で特徴づけられる
６．すなわち、方程式の係数を有理数体として、巡回拡大により方程式の根を添加した数体に到達できるか？という問題に帰着できる
７．方程式の根を添加した数体は、一般の方程式では対称群Snとなる。対称群Snは、n>=5の場合に正規部分群として交代群Anを含み、n>=5の場合にAnは単純群になるので、巡回拡大では一般の方程式は解けないことが分かる
補足
ガロア分解式を使わずに、体の自己同型写像を使って群を導くのが、デデキントやアルティンの流儀で現代数学の主流（上記はガロアの原論文によるものだが、オリジナルな発想を知る上では重要だと思う）
式の係数のべき根の添加が、１のべき根添加を前提として、それは巡回拡大となり巡回群で特徴づけられるということは、ガウスは明確に意識していた。また、アーベルも分かっていた。（おそらく、ラグランジュもぼんやりとは。）
432:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/03 14:48:49.32
>>431
補足
ガロア理論が知られて以降と知られる前では、明確に数学の質が変わった
そういう意味で、ガロア理論は数学の革命だったといえるだろう
ガロア理論がそれ以降の数学にどういう影響を与えたのか？
そのとらえ方は、その人の立ち位置とレベルで異なる
433:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/03 14:55:59.25
>>431
訂正
５．ここで、式の係数のべき根の添加によって数体の拡大が問題となる。→式の係数のべき根の添加による数体の拡大とは？→１のべき根添加を前提として、それは巡回拡大となり巡回群で特徴づけられる
↓
５．ここで、式の係数のべき根の添加によって得られる数体の拡大が問題となる。→式の係数のべき根の添加による数体の拡大とは？→１のべき根添加を前提として、それは巡回拡大となり巡回群で特徴づけられる
（さらに補足）
正確には、５次以上の方程式の可解性については、アーベルが解いたと言われる。ガウスも気づいていたようだ。
ガロアは、一段高い視点から、方程式の可解性とべき根拡大の関係を論じたところが、革新の本質だ（念のため一言）
434:あのこうちやんは始皇帝だった
13/03/04 19:38:23.24
＞＞４３３
ニートの、ごくつぶしのクソガキ！
抹殺するから、覚悟しとけ！！！！！！！！
435:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/04 21:35:46.76
おお、ありがとうよ
言ってくれるじゃないか
じゃ、聞くけど、あのこうちやんの年収はいくらだ？
おれは、ちょっと下がって840万くらいになったんだが・・・
436:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/06 22:10:13.62
>>430 補足
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2 でも紹介した下記高瀬氏のブログより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:432番)
URLﾘﾝｸ(reuler.blog108.fc2.com)
2009-09-20-Sun
新しい数学史を求めて(105) 情緒の数学史(45)代数的可解性の基本原理をめぐって
（抜粋）
ラグランジュのいうガウスの「美しい発見」というのは何かというと、ここでもまた4年前の一通目の手紙で語られたのと同じ円周等分方程式に関することが語られているのですが、
ラグランジュの言葉をそのまま写すと、「二項方程式の解法を3次と4次の方程式の解法の原理と同じ原理に帰着させた」という状況を指しています。
「二項方程式」というのは円周等分方程式x^n-1=0のことで、この方程式の左辺が二つの項で構成されているところに着目して「二項方程式」という名で呼んでいます。
ガウスは円周等分方程式をいくつかの低次数の「純粋方程式」（これはガウスの用語です）、すなわちx^k=aという形の一系の方程式の解法に組織的に帰着させる手順を示したのですが、
その道筋は3次方程式と4次方程式の解の公式を導くときの手法とまったく同じです。
そこでラグランジュは「（ガウスは）3次方程式と4次方程式を解くのと同じ原理に帰着させた」と言い、これを「美しい発見」と呼んで賞賛したのでした。
ガウスが示した手法はどれほど高い次数の円周等分方程式にも適用可能ですし、
しかもいっそう根源的に、そもそも方程式が代数的に解けるというのはどのようなことなのかという根本原理が明示されているのですから、ラグランジュが驚嘆したのも無理からぬことでした。
ルフィニに欠如していたのはこの根本原理で、そのことがそのままルフィニの「不可能の証明」の欠陥になりました。
アーベルはといえばガウスに学んでこの原理を理解して自分のものにしていましたので、「不可能の証明」に成功するとともに、ルフィニの失敗の原因もすぐにわかったのでした。
「不可能の証明」の正否を分けたのは代数的可解性の根本原理の認識なのであり、これを欠いていたのでは「置換の理論」なども働く余地がありません。
ガウスは別格で、アーベルの証明はガウスの目にはあたりまえのことのように映じたことでしょう。
437:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/07 06:00:11.65
>>436
ラグランジュは、方程式の解法の探求で、ラグランジュの分解式を考案し、根の置換から方程式の解法を導けることを、3次と4次の方程式の解法の原理として示した
ラグランジュ以前は、式の変形を工夫することで、3次と4次の方程式を解いた
ラグランジュは、根の置換が本質だと示した
ラグランジュは、5次の方程式も解法があると思い込んでいた。そこが分かれ道
高瀬氏の見解では
ガウスはさらに先に進んで、「いっそう根源的に、そもそも方程式が代数的に解けるというのはどのようなことなのかという根本原理が明示されている」という
アーベルとガロアは、ラグランジュおよびガウスを読んでいたと思われる
438:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/07 06:12:23.84
>>437
ガウスは、5次の方程式の解法は無いと思っていた
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アーベル-ルフィニの定理
ガウスは不可能性の直接証明こそ行わなかったが、それが不可能問題であることに確信を持っていた。
学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。
代数的に可解な系列として円分方程式論を展開しているが、これはアーベルやガロアの理論のプロトタイプといえるものであり、両者に影響を与えた。
なおガウスは後年アーベル、ガロアの論文を受け取っているが、全く関心を示さなかったという。
ガウスにとって既に重要な問題とは見えなかったらしい。
439:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/09 07:20:20.13
既出かも知れないが、ご参考まで
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
再帰の反復
<[本][数学]高瀬正仁『ガウスの数... | [数学]ガロア理論についてのメモ>
2011-07-21
5次以上の方程式が代数的に解けないことについて
まずは「5次以上」ではなく「2次以上」の話から始める。
以下略
440:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/09 11:01:41.10
これも既出で、過去なんどか紹介したが
下記、定理3-3が本質
URLﾘﾝｸ(homepage2.nifty.com)
方程式論の歴史（平成14年）
P13
3. ラグランジュの方程式論
定理3-3 有理式f(x1, x2, …, xn)を変えない置換で，有理式g(x1, x2, …, xn)を変え
ないならば，
g =（a0 + a1f + a2f2 +… + ai-1fi-1）/（b0 + b1f + b2f2 +… + bi-1fi-1）
ただし，分母子共に次数はi-1以下で，係数はx1, x2, …, xnの対称式である．
証明
略
441:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/09 11:14:49.78
>>440
定理3-3の示すところは、根x1, x2, …, xnの有理式が二つfとgがあって、根x1, x2, …, xnの置換でどう変わるかが本質で、
有理式fを変えない置換で，有理式gを変えない（変わらない）ならば，gはfの有理式
つまりは、根x1, x2, …, xnの有理式は、どんなごたごたした式の変形をしても、本質は根x1, x2, …, xnの置換で尽くされる（＝具体的な式の変形ではなく根の置換で取る値を考えるべき（＝根の置換（群）が本質だ））
（余談だが定理3-3の証明で使う式G(x)の構成が巧みだ。最初見たときに意味が分からなかった。が、みれば見るほど美しい式だ。）
ラグランジュの方程式論は、”根の置換（群）が本質だ”ということを示した
ラグランジュがそれをどこまで深く理解したかは別として
ルフィニ、ガウス、アーベル、ガロアは、”根の置換（群）が本質だ”ということをより深く理解したのだった・・・、それぞれのレベルで・・・
442:仙石６２
13/03/09 12:33:06.64
うるせぇ！
443:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/09 15:27:33.42
仙石６２か
減らず口元気そうだな
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む(初代スレ)
671 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/03/17(土) 20:01:59.56
仙石６０って、これ？ ゴミだな
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
60才からの数学への理解
1 : 仙石６０: 2011/01/13(木) 15:44:31 いまや 毎日が日曜日。
職業に関係する知識とノウハウは誰にも負けん。
しかし数学は大學理科（非数学）れべるに止まっている。
ジャルゴンだけなら、数学用語もしっているが本質はしらん。
そこで数学勉強を始めようとおもう。
情報処理能力は若い奴に葉ソフトハードともにまけん。
よろしくご教示指導願いたい。
遊民的暇つぶしなどと言わないでよろしくお願いする。
（引用おわり）
672 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/03/17(土) 20:04:27.10
で、仙石６０って、コテと匿名（１３２人目の素数さん）とageとsageとを使い分ける多重人格かよ？ 全く信用できないオッサンだな
444:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/10 21:31:35.81
これ、なかなか面白い
URLﾘﾝｸ(www.nagano-c.ed.jp)
平成１８年度課題研究 長野県木曽青峰高等学校
３ 代数方程式の解を求めて 研究者 小桂 重徳 小松 洵 鈴木 弘道 林 洋樹 指導教諭 今井 隆 先生
URLﾘﾝｸ(www.nagano-c.ed.jp)
445:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/10 22:19:55.65
>>444
引用
”[1] では、5次方程式についてはルフィニによって「置換群」とよばれるものから段々と方程式そのものから離れた抽象的な数学に進んでいく。時間と知識が追いつかない我々にとって、手に負えない代物になってきた。
そんなとき、クロネッカーが1850年代に1つの証明を与えていることを知った。[2] その方法は、代数方程式を解くという我々の気持ちを延長した解決法であり、ようやく我々の目標の達成に至ることになる。
ただし、クロネッカー(Leopold Kronecker 1823/12/7～1891/12/29)の証明は方程式論全体の流れの中では孤立しているため余り知られていないようである。
定理 クロネッカーの定理
pを2と異なる素数とする。このとき有理数を係数とする p 次の既約方程式が代数的に解けるとすれば、実数解の個数は1個かｐ個のいずれかである。”
”[1] ガロア理論 /矢ヶ部巌（現代数学社）
[2] 方程式 /志賀浩二（岩波書店）”
（引用おわり）
”定理 クロネッカーの定理
pを2と異なる素数とする。このとき有理数を係数とする p 次の既約方程式が代数的に解けるとすれば、実数解の個数は1個かｐ個のいずれかである。”
この定理自身は、ガロア理論入門エミール・アルティン 著にも記されている。第三章の定理46の系として扱われている。アルティン 本以外でも見たような気がする。ただ、クロネッカーの定理とはされていない
URLﾘﾝｸ(www.chikumashobo.co.jp)
ガロア理論入門
エミール・アルティン 著 , 寺田 文行 翻訳
446:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/10 22:28:11.94
>>445
>ただし、クロネッカー(Leopold Kronecker 1823/12/7～1891/12/29)の証明は方程式論全体の流れの中では孤立しているため余り知られていないようである。
こんなところが参考になるだろう（下記）
URLﾘﾝｸ(reuler.blog108.fc2.com)
（ガウス33）クロネッカーの代数方程式論(1) 2008/04/28 22:37
アーベルの代数方程式論は「不可能の証明」と「代数的可解性を左右する要因の解明」という、ふたつの基本契機に支えられて成立しました。
前者の究明はアーベルを「代数的可解方程式の根がもつ特殊な形状」の考察へと誘い、後者の問いからはアーベル方程式の概念が誕生しました。
ドイツの数学者レオポルト・クロネッカーはこのような二通りの様相の交錯点に立脚して「アーベル方程式の根の形状の確定」に向かい、虚数乗法論という新世界の扉を開きました。
しばらく1853年の論文「代数的に解ける方程式について」の記述を追いたいと思います。
クロネッカーは1856年に同じ標題の論文をもうひとつ書いています。今から紹介する1853年の論文を「第一論文」、1856年の論文の方は「第二論文」と呼んで区別しています。
《次数が素数である［既約］方程式の可解性に関する従来の研究－特にアーベルとガロアの研究。それらはこの領域において引き続き行なわれたすべての研究の土台をなすものである
－は本質的に、結果として、ある与えられた方程式が［代数的に］解けるか否かを判定しうる二通りの基準を明らかにした。
それにもかかわらず、これらの判定基準は可解方程式それ自体の本性に関しては、実際にはごくわずかな光さえも与えなかった。》
アーベルとガロアは代数的可解性に対する二通りの判定基準を明らかにしたとクロネッカーは言っていますが、ガロアが見つけた判定基準については前回、紹介した通りです。
アーベルの方はというと、代数的に解ける方程式の根の形状を三通りの仕方で明示しただけで、代数的可解条件それ自体を記述したわけではありません。
ですが、これは少し後に紹介するつもりですが、クロネッカーはアーベルの表示式の考察の中から、代数的可解性のひとつの判定基準を取り出しました。
以下略
447:あのこうちやんは始皇帝だった
13/03/11 11:27:54.12
>>443
偽者はあいてにすんなよ
448:仙谷６２
13/03/11 11:32:29.83
うるせぇ！
449:仙石XX
13/03/11 22:38:45.41
↑
謝罪と補償をもとめる。
450:仙谷６２
13/03/11 22:39:29.84
何やとコラ
ワシは元エリート社員やぞ
451:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/12 06:33:20.97
>>447-450
ケンカすな
みんな仲良く荒らしてね
452:仙谷６２
13/03/12 09:24:11.18
↑
謝罪と補償をもとめる。
453:１３２人目の素数さん
13/03/12 09:31:11.76
,r"´⌒｀ﾞ`ヽ
／ , -‐- !､
／ {,}f -‐- ,,,__､)
／ / .r'~"''‐--､)
,r''"´⌒ヽ{ ヽ (・)ﾊ(・)}､
/ ＼ （⊂｀-'つ）i-､
`}. （__,,ノヽ_ﾉ,ﾉ ＼
l ｀-" ,ﾉ ヽ
} ､､___,j'' l
454:仙谷６２
13/03/12 17:10:57.53
うるせぇ！
455:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/12 21:23:31.85
>>452
OK！
おれが悪かった
補償をするので、仙谷６２の実名と住所をここに晒してくれ
現金書留で補償金を送るから
456:１３２人目の素数さん
13/03/12 23:51:53.94
大阪都立動物園メスパンダ宿舎 仙石６２
457:仙石６２
13/03/13 00:12:04.78
,ｘ彡 ミ{､{v､⌒ヽ､ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
xイ ㍉ｲヽ、 ヽ. |
〃 川 ヽ.ヾヾ. .|
リ ヽ.v|｝ .|
彡ｲ＿＿ rｪ'v' |
彡彡〃二二､＿＞'卞》, |
,xイ ,.ｘ≦《ｔッ= 〕f‐〔テ.} 》 |
_,,ｘ≦三ﾆ≡《＿＿》" ヽrく ＼
＿_ｘﾁ'＜, ￣￣ f⌒ ,,.. }:. , /／￣￣￣￣￣￣￣￣
ｌ´⌒>’`ゝ:;;ゝ f ゝ-'´`く:.:. i /'
{ 仆i , :. ,xｪｭ,: | 謝罪と補償をまっているぞ
. ∧ ゝﾑ ',:. r''ﾆ二え |
∨ ゝ、＿ >, ` ::: ､.|
＼ { : ､.::.:.:.:.|
}川 : :.:. . ー'',r'
l｢￣￣≧ｘ､,_ :::::::::::／
458:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/13 05:53:15.45
本名：仙石 仙人太郎
住所：〒 00-0000 日本国仙人県仙人山頂1-1
か
分かった！ すぐ仙万円送るよ！ まっててね
459:１３２人目の素数さん
13/03/14 01:31:31.14
ガロアを読むのはいいが、おまえはどういう発展に寄与したのかね？
それとも新たなガロア理論を展開したのかね
460:１３２人目の素数さん
13/03/14 23:11:14.81
こいつは何でもWiki依存の知ったか野郎だよ
461:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/14 23:36:30.06
>>459
来るところを間違えてないか？
”おまえはどういう発展に寄与したのかね？”、 ”それとも新たなガロア理論を展開したのかね”？
ここはどこ？ 大数学者のつどう学会か？ 研究所か？ 高等サロンか？
いやいや、ただの２ちゃんねるのおれの立てたスレだよ
来るところを、お間違えじゃないですか？
462:仙谷６２
13/03/14 23:38:34.46
うるせぇ！
463:仙石２０
13/03/14 23:46:47.86
ゴミの集まりだね
464:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/14 23:49:14.23
>>460
ああ、よく言われるよ
Wikiからの引用が多いからね
紙の本から引用しようとすれば、逐一文字を起こす必要がある
が、Wikiからの引用ならコピペで済む。それに、Wikiは簡潔にまとまっている
ネット検索で引っ掛かるPDFなどもよくコピペするが、数十ページを超える文書からだと２ちゃんねるの字数制限に引っ掛かる場合が多い
なので、第一がWikiからの引用、第二がネット検索で適当な文を見つけてコピペ、最後が書棚の本からタイプ起こしだ
書棚の本からタイプ起こしは、面倒だから最小限にしている
だからと言って、本を読んでいないわけじゃない。本を読んで知っていることを、Wikiやネット検索で落ちている部分から探してコピペする
それを見て勘違いするやつがおおい
何も知らないでWiki引用しているとか。そう思うのは勝手だがね・・。現実は知っているがタイプ起こしが面倒だから、検索で拾ったものをコピペする。そうでなければ、あの速さではレスできないよ
465:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/14 23:50:06.82
>>462-463
いいね
なにせ、ここは２ちゃんねる
気取っちゃいけないよ
466:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/14 23:52:51.15
>>459
マジレスすれば、以前も書いたけど、おいらは工学系で数学は使う人で、理論を作る人じゃないよ
以上
467:１３２人目の素数さん
13/03/15 00:03:24.08
いいね
なにせ、ここは２ちゃんねる
気取っちゃいけないよ
468:１３２人目の素数さん
13/03/15 02:07:13.98
工学系でも必要なら数学理論をつくるよ！
469:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/15 05:29:10.32
>>468
乙
Yes!
古くは、オイラーがそうだった
多くの（弾性論や流体力学などの）偏微分方程式や変分法を創案した
その他下記
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler, 1707年4月15日 - 1783年9月18日）は数学者・物理学者であり、天文学者（天体物理学者）である。
業績
解析学（無限小解析）においては膨大な業績があり、微分積分の創始以来もっともこの分野の技法的な完成に寄与した。
級数や連分数、母関数の方法、補間法や近似計算、特殊関数や微分方程式、多重積分や偏微分法などなど、
古典的な解析学のあらゆる部分に、基本的なものから応用にいたるまでの業績があり、自身の発見を教科書を通して広く一般に普及させた。
あまりにも膨大な量のため、彼の解析学における仕事、例えば公式ひとつひとつまでも完全に伝わっているということはなく、あらたな公式の発見などしばしばオイラーの再発見に過ぎないことも多い。
その名前は、指数関数と三角関数の間の関係を与えるオイラーの公式、オイラー＝マクローリンの和公式、オイラーの微分方程式、オイラーの定数などに残っている。
フェルマー以降進展がなかった整数論において、ラグランジュの出現まではほとんど一人で研究し続け、二次形式や原始根、フェルマーの小定理の拡張など、部分的ではあるが広大な結果を残した。
数論的関数の一つであるオイラー関数（オイラーのφ関数）に現在も彼の名前が残っている。
またゼータ関数を初めて扱って（ゼータ関数の名称自体はリーマンによるもの）、後に解析的整数論の重要な主題となるいくつかの非常に重大な結果を得ている。
彼は ζ(2)=(π^2)/6 を求めることに初めて成功
彼はゼータ関数と素数の関係を表すオイラー積の公式を発見（1737年）、素数の逆数の和が発散するという新しい結果を得た。
更に彼は超人的な数学的直感を利用して、ゼータ関数の負の数における値に意味付けを与えた（後にこれは数学的に正当化されることとなる）。
数の分割の理論においては、母関数の方法の応用が著しく、五角数定理をはじめ様々な組み合わせ的、あるいは楕円関数論的な恒等式を得た。
つづく
470:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/15 05:31:48.15
つづき
幾何学においては、位相幾何学の嚆矢となったオイラーの多面体定理（ただしオイラーは証明を与えていない）や「ケーニヒスベルクの橋の問題」が特に有名である。
特性類の一つであるオイラー類は本質的にこのオイラーの多面体定理によって特徴付けられるものである。
「ケーニヒスベルクの橋の問題」は一種の一筆書きの問題だが、これに取り組んでオイラーは一筆書きの可能になる必要十分条件を求めた。
それに因んで今日では一筆書きのできるグラフはオイラーグラフと呼ばれる。これはグラフ理論の起源となった。
物理学では、ニュートン力学の幾何学的表現を解析学的に修正して、現代的なスタイルに変更することになった。
彼は1736年に初めて力をはっきり定義し、解析的形で運動方程式を与えた。
そしてそれ以後、この定式化に基づいて振動弦の問題を論じ、また地球の章動の研究において運動方程式による3体問題の定式化を行った。
そして1755年には流体力学の基礎方程式（オイラーの連続方程式と運動方程式）を導いて体系化し、
さらに1760年には剛体の力学を論じ、剛体に固定した運動座標系を導入してオイラーの運動方程式を得、これを発展させた。
剛体の方位を規定する3つの角は「オイラーの角」と呼ばれる。
だが、彼は1760年代までニュートンの重力理論を容認できず、デカルトの充満理論、エーテル理論に固執した。その他、変分法に関する業績も多い。
ライプニッツによって定義された関数を初めてy=f(x)の形で表したのもオイラーである。
オイラーは人類史上最も多くの論文を書いた数学者であったと言われ、彼の論文は5万ページを超える全集にまとめられているが、その全集は未だに完結していない。
471:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/15 05:47:09.99
>>469-470
ガウスが数学の王とすれば、オイラーはKing of Kings。数学の皇帝と呼ばれるのが相応しいと、工学系のおいらも思う
URLﾘﾝｸ(dic.nicovideo.jp)
カール・フリードリヒ・ガウスは18世紀末から19世紀にかけてのドイツの数学、天文学、物理学者。恐らくは人類史上最強の数学者であり、誰が呼んだか「数学王」の異名をとる。
対抗できるのは多分オイラーぐらいしかいない。
概要
言葉を覚えるより前に計算を始め、5,6歳で父親を凌駕。15歳にして素数定理を予想し、18歳の時には既に当代最強になっていた。
その後はヨーロッパ数学界のドンとして君臨し、ほぼ無敵のまま生涯を終える。
主要業績は……当時の数学のほぼ全分野。他の数学者全員が得た大半の事実は、ガウス一人が独自に、しかも数年から数十年早く発見している。まさしくチート中のチート数学者である。
もっとも、生前はそれらをほとんど公にせず、手紙で知人に伝えたり、日記に発見を書き残したものが多くを占める。
何か新発見を聞く度に「それなら私が昔やった(ｷﾘｯ」としか言わなかった為、まじめなルジャンドルなどは「ガウスは天才を笠に着て全部自分の手柄みたいにいうヤツだ」と思ってたようである。
またあるときは、ゼーバーという数学者がある問題を証明しようと発表した248ページから成る論文（がんばったのだろうが途中までしか証明できず結局未完成のまま発表した）を書評で取り上げ
「頑張りは認めるけど、論文の内容は数語にまとめられる」「それらの重要な部分は30年前に私がやった（けど細かいことに興味無いから全部やらなかっただけなんだよね(ｷﾘｯ ）」
「この書評のなかで彼の説を完成させることに貢献する（俺が本気出せばこんなもんヨユー）」と知らない人が読めば、中二病患者か名人様かと思うようなことを書いた後、
たった1ページ半 40行ほどの計算をしただけできれいに証明を完成させてしてしまった。
ガウスの死語40年ほどして遺稿が整理されると……まあ出るわ出るわ。
生前からガウスは「何か隠してる」とウワサになっていたのだが、予想を遙かに凌駕する内容に数学者達は度肝を抜かれたのであった。
472:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/15 05:48:03.37
つづき
全盛期のガウス伝説
「整数論」の最初の方はフェルマー、オイラー、ルジャンドルらの数論史まとめ。ただしガウスに言わせると「ほとんどの定理は少年時代に自力で見つけた(ｷﾘｯ 」
リアル中二時代のガウスは素数で一山当てようと頑張るも成果が上がらない。面倒になったので「素数の分布を確率的に統計処理して大体の傾向をつかめばいんじゃね？」と考えて素数定理を発見。計算は一日十五分。俺そんな暇じゃないし(ｷﾘｯ
高校生ぐらいの歳に初めてオイラーを読んで、自分の発見をほとんど先取りされていたことに大ショック。しかしオイラーがやっていない定理もあったことに自信を持つ。
楕円関数では三十年後に後輩のアーベル、ヤコビに追い抜かれた。何故なら楕円関数を見つけた一月後にモジュラー関数まで進んで放ったらかしにしたから。モジュラー関数が世に出てくるのはアーベル達からさらに二十年後。
ある時、数値計算で約4.81048という極限値を得る。
これを見たガウス：「自然対数を取ると1.5708...=π/2？」と即座に予想。
非ユークリッド幾何学を提唱したヤノーシュ・ボヤイは、父がガウスの親友だった事からガウスに論文の批評を依頼。帰ってきた返事は「良くできてるけど褒めると自画自賛になっちゃうんだよね。
二十年以上前に同じ結果出てたから。周りがうるさいから発表しなかったけど(ｷﾘｯ 」。ヤノーシュはヤケになって以後人生を投げてしまう。
コンピュータ時代に発展する高速フーリエ変換アルゴリズム（FFT）を何故か知ってた。
ちなみに、ガウスはごく普通の煉瓦職人の息子であり、両親の家系を追っても学術的才能を示した人物など全くいない。
天才数学者は数おれど、ここまで極端な突然変異はガウスぐらいのものである。
473:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/15 05:50:37.88
>>471-472
補足
ニコニコ大百科(NICO NICO Pedia)とあって、だれが書いていたか知らないが、面白いね
474:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/15 05:58:25.32
>>473
訂正
だれが書いていたか知らないが
↓
だれが書いたか知らないが
475:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/15 06:00:39.78
>>469-474
で、まあ天才はいるけれど
時代が進むと、天才が考えたことを皆で消化して、普通に使うようになる。それがおいらみたいな工学系
476:本物の仙石をしるもの
13/03/15 13:07:32.19
げんきになってよかったね。
477:有能な政治家を貶め、無能な政治家を持ち上げ国力を削ぐ在日カルト
13/03/15 13:37:27.12
★マインドコントロールの手法★
・沢山の人が偏った意見を一貫して支持する
偏った意見でも、集団の中でその意見が信じられていれば、自分の考え方は間違っているのか、等と思わせる手法
・不利な質問をさせなくしたり、不利な質問には答えない
誰にも質問や反論をさせないことにより、誰もが皆、疑いなど無いんだと信じ込ませる手法
↑マスコミや、在日カルトのネット工作員がやっていること
TVなどが、偏った思想や考え方に染まった人間をよく使ったり、左翼を装った人間にキチガイなフリをさせるのは、視聴者に、自分と違う考え方をする人間が世の中には大勢いるんだなと思わせる効果がある。
..
478:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 08:49:27.65
>>476
乙
”本物の仙石をしるもの[はい] ”か
この板は、IDがでないのが不便だが、”本物の仙石”そのものではないように感じる
>げんきになってよかったね。
こういうとき、日本語の主語省略文は意味不明確になる
これがスレ主に対してなら、年末年始は忙しくてねカキコの時間がなかったんで、それが主原因なんだ
479:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 09:47:59.87
思い返せば、初代スレが下記2012/01/31(火)から始まった
それから、１年を過ぎ”その７”まで来た
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
1 名前：名無しさん[] 投稿日：2012/01/31(火) 22:32:36.78 ID:LTM9xtnu [1/10]
480:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 09:53:51.91
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
40 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/04/13(金) 22:42:31.66
URLﾘﾝｸ(www.sci.nagoya-u.ac.jp)
眠りから覚めた微分ガロア理論 梅村 浩 多元数理科学専攻教授 名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌 No.10 p14_15
彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
（１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
（２）ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。
方程式の場合、目のつけどころであるカナメの部分がガロア群である。ヒヨコのお尻と違って、方程式の対称性であるガロア群は隠れているので、発見するのが難しいのである。
ガロア理論は上に述べた歴史的難問の解決に役立っただけではない。19世紀以降の数論、代数幾何学の発展はガロア理論なくして考えられない。たとえば300年を越える眠りから覚めたフェルマの最終定理の証明もそうである。
192 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2012/04/21(土) 10:35:24.20
隠れた対称性なんて言葉は無意味。
素直にガロア群と言えばいい。
無意味な言葉に酔ってるんじゃないよ
231 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2012/04/21(土) 15:15:43.09
アランコンヌはガロアの業績の紹介の中で
ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる。
Brisure de symetrie
Le premier pas de la demarche de Galois consiste a briser
de maniere maximale la symetrie entre les racines
d'une equation en choisissant une fonction
auxiliaire largement arbitraire de n variables.
481:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 09:58:13.60
>>480 過去スレつづき
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
236 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/04/21(土) 17:55:20.77
>>231-233
乙です
いや、面白ね
で、231はPS版で、同じ内容のPDF版が下記にあるね
URLﾘﾝｸ(www.alainconnes.org)
Alain Connes -- Documents
La Pensee d'Evariste Galois et le Formalisme moderne [PDF] 259 KB URLﾘﾝｸ(www.alainconnes.org) [PS] 1.6 MB
238 返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/04/21(土) 18:15:32.63
>>236 つづき
”アランコンヌはガロアの業績の紹介の中で
ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる。”>>231は、全くの誤訳誤解でしょ
"Brisure de symetrie"は、正確には ”2. Brisure de symetrie” で、２章の表題だろ（因みに、”1. Introduction” ）
で、結論から言えば、 ”2. 対称性の分解”とすべきだろう
239 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2012/04/21(土) 18:24:27.47
>>236
なんで対称性の破壊者と呼んだかわかるかな？
ガロアは論文の始めに対称群で不変となる式でなく
恒等置換以外の全ての置換で不変とならないもの
を定義してそれを議論の中心においた。
このことを指している。
コンヌだからこそ言える台詞。
そこらの二流の数学者じゃ群といったら対称性と
脊髄反射的に月並みな台詞を吐くのが関の山。
482:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 10:01:51.25
>>481 過去スレつづき
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
241 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/04/21(土) 18:28:46.39
>>238 つづき
”2. Brisure de symetrie”の10行ほど後に、
V = Aa + B b + C c +
と出てくる
これは有名なガロア分解式（リゾルベント）>>15
ならば、Brisure de symetrie＝対称性の分解
しかも、”ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる。”というのはどの文を根拠にしている？ （”ガロアを”の部分が読めない）
おいらも、仏語はよく分からないが、いまネット翻訳もあるから（例えば下記）翻訳にかけているのでよろしく
URLﾘﾝｸ(www.excite.co.jp)
243 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/04/21(土) 18:36:38.02
>>239
じゃ聞くが
”2. Brisure de symetrie”のすぐ（10行ほど）前に下記があるよ
L'un des aspects des idees de Galois qui est passe le plus facilement dans les outils
conceptuels des scientiques de notre epoque est celui relie a la notion de symetrie.
Gr^ace a cet acquis il n'est pas irrealiste d'esperer que les textes de Galois soient
devenus accessibles au scientique non-mathematicien (physicien chimiste et peut-
^etre biologiste). Raison de plus pour en commencer la lecture !
これを訳してみな
483:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 10:12:50.51
>>482 過去スレつづき
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
245 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/04/21(土) 18:52:16.53
>>231
いやー面白いね
ネット翻訳で、仏→日は使えないが仏→英はかなり使える
URLﾘﾝｸ(www.excite.co.jp)
例えばこの文
仏
2. Brisure de symetrie
Le premier pas de la demarche de Galois consiste a briser de maniere maximale
la symetrie entre les racines d'une equation en choisissant une fonction auxiliaire
largement arbitraire de n variables. Il enonce
英
2. Break of symetrie
The first step of the d emarche of Galois consists has break mani maximal era the symetrie between the roots of an equation while choosing an auxiliary function extensively arbitrary of variable n. It expresses
だれがどう見ても、英訳ではガロア分解式についての説明だよね
仏
Gr^ace has this acquirement he is not irr ealiste of esp erer that the texts of Galois became accessible to the scienti that no-math ematicien (physicist chemist and can - ^ to be a biologist). All the more reason to begin reading of it!
英訳
One of the aspects of the idees of Galois that is the most easily e pass in the conceptual tools of the scienti ques of our time is the one e reli has the notion of symetrie.
を見る限り、意味の取れないところもあるが
”ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる”と真逆だと思うのだが
484:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 10:28:08.59
>>480-483
ここらが一番面白かった
群論＝対称性
そんなのは、おいら（工学系で数学を使う立場）からすれば、空気や水と同じで、それが理解できていない人間がいることが理解できなかったし、おどろいた
だが、間違った考えをおいらのこのスレで見過ごすわけにはいかない
アランコンヌの仏文を引用されたときは、ちょっと困惑した
が、「アランコンヌたるものが”群論＝対称性”と違うこと書くはずが無い！」という確信があったから、原典を当たれば（関連のところをしっかり読めば）誤読していることはすぐ分かるはずと思った
ネット翻訳があったのは助かったね
最初exciteの翻訳を使っていたが、google翻訳も良いね
仏→英はかなり使える（仏→日はだめ）
群論＝対称性が分からんというのは、勉強不足以外のなにものでもない（視野が狭い）
そもそも、群論＝対称性を否定する日本語の文献が見つからない時点で気づけよおい
で、アランコンヌの仏文を誤引用するに至ってはないをかいわんだ
まあ１年たつから彼もかなり成長したろうと思う
485:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 10:36:50.64
>>471
>主要業績は……当時の数学のほぼ全分野。他の数学者全員が得た大半の事実は、ガウス一人が独自に、しかも数年から数十年早く発見している。まさしくチート中のチート数学者である。
チート解説
URLﾘﾝｸ(dic.nicovideo.jp)
チート(英：cheat)とは
和製英語。コンピューターゲームなどで自分が有利になるよう「データのイカサマ改造」をすること。
ネット用語。「イカサマ並に凄い」「チート改造したように凄い」を意味する褒め言葉。（例：チートｗｗｗ）
チート（褒め言葉）
2ちゃんねるやニコニコ動画においては、「人間のなせる技ではない余りにチート改造に見える」もしくは、チート改造に見えるあまりに「それズルいぞ」「それは卑怯だ」などの意味合いでコメントされることもある。
さらに言えば、あまりにも凄すぎる人や行動に「チートｗｗｗｗｗ」「テラチートｗｗｗｗｗ」と使われることがあるが、これは「チート改造をしているかのように凄い」という褒め言葉の意味を含む。
またゲームに限らず、アニメ･漫画でもその世界観を崩しかねない圧倒的な強さを持つキャラに対しても『チートキャラ』という表現が使われることもある。
ただしこの場合強すぎるというよりは、どんな状況でもものともしない、または様々なスキルを持っていて非常に便利がいいという意味が含まれることもある。
いずれにしてもこの場合は本来の英単語の「cheat」とは離れた言葉になっている。
486:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 10:49:28.83
>>485
さらに補足
当時の数学のほぼ全分野：時代が違うので、現在とは分野の広さが違うだろう
他の数学者全員：時代が違うので、現在とは数学者の数が違うだろう （職業数学者の定義をどうするかもあるし、大学の数も違うし、数学科があったのかどうかもよく分からないが、当時は少なかったろう）
数年から数十年早く：これも時計の進み方（情報の伝達スピード）が違うと思う。電話もない時代で、紙のお手紙で情報をやりとり。プレプリント情報をe-mailやネットでやりとりする現代とは、時計の進み方が違うだろう
としても
ガウスが数学の王と呼ばれること>>471-472に異論を唱える人はいないだろう
そんなガウスだが、オイラーと比較するとガウスが小さく見える・・>>469-470
487:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 14:29:02.34
工学と理学（物理、化学、数学）との関係で、ラングミュアの記事を読んだことがある
昔のことなので、典拠を示すことはできない
が、とりあえず下記など
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アーヴィング・ラングミュア（Irving Langmuir, 1881年1月31日 - 1957年8月16日）は、アメリカ合衆国の化学者、物理学者である。1932年に界面化学の分野への貢献でノーベル化学賞を受賞した。
コロンビア大学を卒業後、ゲッティンゲン大学で、ヴァルター・ネルンストのもとで化学を学び、1909年からゼネラル・エレクトリックの研究所で研究を始め1950年まで在籍した。
また、「事実でない事柄についての科学」を病的科学として定義したことでも知られている。
業績
不活性ガス封入によるタングステン電球寿命の延長（1913年）
ラングミュアの吸着式の提出
水素プラズマの研究→プラズマの命名（1928年）、静電探針を考案
高真空水銀ポンプの発明
ラングミュアの真空計の発明
ルイス－ラングミュアの原子価理論（1919年）→オクテット則
白金の触媒作用の研究
単分子膜（ラングミュア・ブロジェット膜：LB膜）の研究（1934年）
キャサリン・ブロジェットとの共同研究
人工降雨の実験（1946年）
同じ研究所に所属していたバーナード・ヴォネガットが、ヨウ化銀が雲の核を形成に使えることを発見していた。
488:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 14:32:28.07
ラングミュアーは、電球の寿命を延ばす研究から、フィラメントの表面に入り、「表面化学」というひとつの化学分野をうち立て、ノーベル賞をもらったのだった
URLﾘﾝｸ(ch.ce.nihon-u.ac.jp)
ゼネラルエレクトロニクスに入って、ラングミュアーのまずやったことは、白熱電球の寿命を延ばすにはどうすればいいのだろうか、という誠に実用的な研究をスタートさせたわけです。
ところがその電球の寿命を延ばすというとフィラメントの寿命をのばすということです。だから、まずフィラメントがどんなふうに変わっていくのか、ということを調べることになるわけです。そうすると当時の電球は中が真空だったのです。
真空のところにフィラメント成分が蒸発して飛んでいってしまい、電球のガラスについてしまう、ということを見つけたのです。
だから、電球の中に不活性なガスーアルゴンとか窒素とかーを封入することによって、フィラメントの表面から蒸発するものを少なくすることができて、電球の寿命をのばすことに成功したのです。
ラングミュアーのよいところは、そのときに表面、物質の表面が非常に大事であるということに気づいたのです。
さっき申し上げましたように、フィラメントの表面から成分が蒸発して飛んでいっているということは、すなわち表面がどうなっているのかということを研究すれば、どうすればいいのか、ということがある程度分かるはずです。
表面が非常に大事だということを提唱して、「表面化学」というひとつの化学分野をうち立てた人なのです。
その功績によりラングミュアーはノーベル賞をもらっております。ラングミュアーは企業の研究者であって応用から研究をスタートしたのです。
489:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 14:39:13.30
電球の寿命を延ばす研究から、ノーベル化学賞を受賞というところが、一つのモデルだと
つまり、ラングミュアは本質を掘り下げて探求したんだと
490:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 14:51:35.23
>ラングミュアは本質を掘り下げて探求したんだと
"佐藤幹夫 数学を語る"(下記)で、高木類体論の「代数的整数論」で、”ぼくは証明の細かいところは読まないから、読みやすかった。・・証明というのは、定理の内容がわかってみれば、自分流に考えたほうがよく分かる”と
本質をしっかり理解するということが共通かな
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
数学の50年 数学セミナー創刊50周年記念 発刊日：2013.02
第１部 数学50年を語る
森 重文氏フィールズ賞インタビュー／画家のように数学を
加藤和也氏インタビュー／フェルマーの最終定理
松本幸夫氏インタビュー／低次元トポロジーの50年
原田耕一郎氏インタビュー／有限群論の50年
三村昌泰氏インタビュー／現象と数理の50年
佐藤幹夫 数学を語る／超函数から超局所解析まで
491:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 14:58:11.32
"佐藤幹夫 数学を語る"で、イジング模型の話が出てくる
”今度は非線型をやることにした。非線型を始めるには、物理からの方がアプローチしやすい”と
ディラックの量子論を佐藤は読んでいたと書いている
物理のイジング模型をやったころ、ソリトンとの出会いがあった
そんなことが書いてある
492:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 15:20:18.61
佐藤幹夫 イジング模型の補足は下記
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
武部尚志
2013/02/19
可積分系への代数解析の応用
今日は特別講義。"Survey on Algebraic-analysis in applications to Integrable Systems" と題して「数理解析研究所５０周年で書かされた文章を元に三つのトピックスについて 1976 年から 1994 年までのことを…」、
おお！Ising 模型と KP hierarchy と XXZ 模型だ！(^o^)「話すつもりでしたが、三つは多すぎるので二つにします。したがって 1984 年まで。」おっとっと、XXZ は脱落。(^^;; さらに途中で「あ、この調子では二つも無理ですね。」ありゃりゃ、KP も落ちた…。(;_;)
と言う訳で、Ising 模型の定義から、Onsager, Yang, Wu-McCoy-Tracy-Barouch らの結果, 「なぜこんなもの（相関関数が Painleve 方程式の解で書ける）が出てくるのかを説明するのが数学」、
転送行列、Wigner 変換による fermion の導入、Clifford 代数と Clifford 群、disorder/order variables, 波動関数とそれの満たす holonomic 系とモノドロミー保存、解が存在するための両立条件から Painleve 方程式という非線形微分方程式が出てくる、という流れ。
それにしても、この Ising の話は Sato-Miwa-Jimbo の非常に有名な仕事ですが、今の今まで三輪先生からも神保先生からもこれに関する講義を直に聞いたことはありませんでした。
こういう昔の話を後の世代にもう少し語り伝えてくれてもいいんじゃないかなぁ（本はありますけど）
以下、途中で出てきた話：
代数解析とは「関数と方程式を調べること、と言うと数学全体になってしまって粗すぎる定義だが、我々が考えるのは物理の無限自由度系から来ているもので、その対称性が方程式となって現れる。それで関数を調べるのが（我々の）代数解析」。
「嘘か本当か分からないが」と前置きした上で、McCoy 氏達が最初に Ising の相関関数が Painleve 方程式の解で書けるという結果を出した論文はある雑誌に reject された。その理由というのが「物理にこんな複雑な関数が現れるはずがない」というものだった。
493:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 15:27:23.19
もう一つ工学と理学（物理、化学、数学）との関係で書いておくと
１８世紀に鉄鋼業が発展した
鉄鋼業では鉄の温度を測ることが重要なんだが、その測定に光温度計が使われるようになった（下記）
光温度計の研究から黒体輻射の研究が進み、プランクの法則やアインシュタインの研究につながり、量子力学が生まれたと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
放射温度計（ほうしゃおんどけい）は、物体から放射される赤外線や可視光線の強度を測定して、物体の温度を測定する温度計である。
これらの赤外線や可視光線といった熱放射は黒体放射によって生じ、温度と放出エネルギーとの関係を表すシュテファン＝ボルツマンの法則およびプランクの法則によって、物体の温度を算出することができるのを活用している(色温度)。
494:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 15:33:33.53
量子力学が現代数学に大きな影響を与えた、あるいは与えていることは、知る人ぞ知る事実
いろんな話があるんだよね。面白い話が
数学の理論があってその応用がある。応用から新しい数学が生まれる。そういうことがあると思う
ソリトンなどはそんな感じじゃないだろうか
495:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 20:38:58.56
>>485
>「チート改造したように凄い」を意味する褒め言葉。（例：チートｗｗｗ）
話は飛ぶが、ガウスやオイラーの時代と違うのは、コンピュータの発達
ガウスやオイラーからみれば、「コンピュータ使うのは、”チートｗｗｗ”！」と言われるかもしれない
けど、現代人にとってはコンピュータ使うのはチート（じゃない）
予想を立てるのに、コンピュータ使ってやるのは普通。ガウスは天才的な手計算だったけど・・
群論では、散在単純群の構成にコンピュータ使ったと
最後のモンスター群は、コンピュータ使わなかったから、ほめ言葉の”チートｗｗｗ”だな
496:仙谷６２
13/03/16 20:43:02.78
うるせぇ！
497:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 20:44:03.18
>>495
訂正
けど、現代人にとってはコンピュータ使うのはチート（じゃない）
↓
けど、現代人にとってはコンピュータ使うのはチートじゃない
つづき
四色問題はコンピュータによる解決だった
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
1976年に ケネス・アッペル (Kenneth Appel) とヴォルフガング・ハーケン (Wolfgang Haken) は、「放電」と呼ばれる手続きを考案し、1405個の不可避集合に対してコンピュータを利用した演算を行った結果、四色定理を証明するに至った[1][2][3]。
当初は、あまりに複雑なプログラムのため他人による検証が困難であることや、ハードウェアおよびプログラムのバグの可能性を考慮して、この証明を疑問視する声があった。
その後、1996年にニール・ロバートソン (Neil Robertson) らによりアルゴリズムやプログラムの改良が行われ、より簡易な手法（従来の放電手続きよりシンプルな放電手続きを考案し、不可避集合の数を1405個から633個に抑えた）による再証明が行われた[4]。
更に、2004年にはジョルジュ・ゴンティエ (Georges Gonthier) が定理証明支援系言語である Coq を用いて、よりシンプルな証明を行った[5]。その結果、現在では四色問題の解決を否定する専門家はいなくなっている。
四色定理は実用的には地図作製だけでなく、携帯電話の基地局配置にも応用されている。周波数の同じ電波同士で混信してしまうFDMA・TDMA方式の携帯電話システムでは、隣接する基地局同士に同じ周波数を割り当てないように、配慮している。
498:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 20:44:55.40
>>496
ごくろう
ありがとうよ
499:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 20:52:12.79
ケプラー予想も、コンピュータ使用
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
球充填
1611年、ヨハネス・ケプラーは、これが正規配置と非正規配置全てについて最高密度の配置であると予想した。この命題はケプラー予想と呼ばれる。
1998年、Thomas Callister Hales は1953年に Laszlo Fejes Toth が示唆した手法を使って、ケプラー予想を証明したと発表した。
Hales の証明は、コンピュータを使ってあらゆる個々のケースを調べつくすという方法であった。
審査員は Hales の証明の正しさを99%としており、ケプラー予想は「ほぼ」証明された状態と言える。
24次元にはリーチ格子が知られているため特別である。これは最良接吻数であり、長い間最密な格子充填であると考えられていた。
2004年、Cohn と Kumar（参考文献参照）はこの予想の証明を発表し、リーチ格子よりも高密度な非正規充填があったとしても、それによる密度の向上はせいぜい 2×10?30 であることを示した。
500:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 20:56:23.47
>>497
> 1976年に ケネス・アッペル (Kenneth Appel) とヴォルフガング・ハーケン (Wolfgang Haken) は
ハーケンは、３次元多様体の研究のハーケン多様体で有名
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヴォルフガング（ウルフガング）・ハーケン（Wolfgang Haken、1928年6月21日 - ）はドイツ出身の数学者。専門分野はトポロジー（位相幾何学）。数学上の難問として知られる四色定理（四色問題）を証明したことで有名。
1928年、ベルリンに生まれる。キール大学 (Christian-Albrechts-Universitat zu Kiel) において哲学、物理学、そして数学を学び、1953年に博士号を取得。
その後ミュンヘンにある大企業シーメンス社に就職しマイクロ波工学の研究員となる。シーメンスでの仕事の傍ら、トポロジーの研究を続けていた。
その後、国内で発表した論文をきっかけに数学会において注目されるようになり、アメリカ合衆国のイリノイ大学アーバナ・シャンペーン校に客員教授として招かれる。1965年には常任教授となった。プリンストン高等研究所への赴任経験も持つ。
ハーケンは大学生時代に知ったポアンカレ予想を証明することを目指していたが、叶えることはできず、俗に「ポアンカレ病」と呼ばれる精神疲労状態に陥ってしまう。
そんなとき数学者のハインリヒ・ヘーシュ (Heinrich Heesch) から四色問題のことを聞かされ、研究対象をポアンカレ予想から四色問題へと変更した。
1976年に4歳年下の同僚ケネス・アッペル (Kenneth Appel) と共に四色定理を電子計算機（現在のコンピュータの原型）を用いて証明した。
1990年代後半にイリノイ大学を定年退官し、その後はシカゴにある自宅での研究を続けている。
多くの子供や孫に恵まれており、息子のリッポルド・ハーケン(Lippold Haken)はイリノイ大学の電気・コンピュータ工学教授となった。
501:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 22:00:32.29
新しい本が出たみたいだな
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
本質を学ぶ ガロワ理論最短コース 梶原 健 著
ISBNコード978-4-535-78701-8 発刊日：2013.03.15
ガロワ理論の本質へ、最少の予備知識で到達できるように配慮して書かれた入門書。線形代数や群論を知らなくても読み進められる。数学的な厳密さも十分であり、理系学部1～2年生向けのセミナーなどに最適。
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
502:１３２人目の素数さん
13/03/16 22:20:32.26
ディレッタントになりたいんだね
503:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/17 06:50:51.90
ディレッタント？
URLﾘﾝｸ(dictionary.goo.ne.jp)
ディレッタント【(英)・(フランス)dilettante】
芸術や学問を趣味として愛好する人。好事家(こうずか)。ジレッタント。
（引用おわり）
「なりたい」は、数学的には正しくないな
おそらくは、「なっている」かな
群論自身は、空間群とかそういうことで勉強したし、仕事でも使う
ガロア理論は、仕事ではないけど、現代数学のモデルだし、原点ですよね。これは勉強しておいて損はない
２ちゃんねるにスレ立てて書いているのは、自分の勉強のため
書くと勉強になる
504:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/17 07:01:58.02
数学自身は、もちろん使いますよ、仕事で
ただ、将来仕事で使う数学だけを、必要十分（日常的意味で）なだけ勉強するというのはできない
だから、普段からこんな数学的道具があるということは知識として知っておいて、また必要ならそのときに勉強すれば間に合う程度の基礎をつくっておいて
ある分野の数学が必要になったときに、深く勉強する
そんな感じじゃないですか
研究者の人は、必要な数学を全部勉強してから研究を始めようとするといつまでも準備が終わらないと言われる。研究しながら、必要な勉強をするのだと言われる。アキレスと亀の理論ですかね
URLﾘﾝｸ(smcb.jp)
アキレスと亀の理論について 2009年9月9日
505:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/17 10:22:54.87
>>492
イジング模型は以前に紹介したような気がするが、念のため（知っている人には常識だが）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
イジング模型（Ising model、イジングモデルとも言う）：イジング（E. Ising、ハイゼンベルクの弟子）が、1925年に提案した強磁性の模型（モデル）。
ハイゼンベルク模型をより簡単化したもので、そのハミルトニアンは、
H = - J \sum_{\left\langle i,j \right\rangle} \sigma_i \cdot \sigma_j （注：ここ文字化け）
である。σiは（結晶）格子点i上のスピン。自由度は上向き(+1)と下向き(-1)のみである。Jは最隣接スピン間の相互作用によるエネルギー（交換相互作用エネルギー）である。 \left\langle i,j \right\rangle は最隣接格子点のみ和を取ることを意味する。
ここで、隣り合う格子点上のスピン同士が、お互い上向き(+1 × +1)または下向き(-1 × -1)の場合（スピンが平行）、 \, - {J/2} 、互いに逆向き（上向きと下向き：1 × -1または-1 × 1←スピン反平行）の場合、 \, {J/2} となる。
イジングの提案の段階で、一次元（格子系）での厳密な解は求められていて、有限温度での相転移を起こさないことが示されていた。
その後、1944年ラルス・オンサーガー(L. Onsager)が二次元イジング模型の厳密解を求めた。これは相転移を起こし、この結果は、相転移現象の記述、理解のために大変重要な役割を果たしている。
二次元の磁場の無い場合のこの模型の厳密解はオンサーガーの解法以外にもいくつかの方法が示されている.また,外部磁場が印加されたモデルの厳密解は得られていない.
三次元に関しての厳密解は、2006年現在求められていない。
厳密解が求められるのは、特殊な場合で多くの場合、平均場近似、繰り込み群、級数展開（低温展開、高温展開）の手法などと、これらを用いた数値計算手段を使って近似的に解かれる。
この模型（モデル）は、合金の規則‐不規則（秩序‐無秩序）転移や、異方性の大きな磁性の問題などに適用されている。
506:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/17 10:26:11.11
>>505
オンサーガーはノーベル賞をもらった物理系では有名な人なんだけど（知っている人には常識だが）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ラルス・オンサーガー（Lars Onsager, 1903年11月27日 - 1976年10月5日）はノルウェーオスロ出身のアメリカで活動した物理学者である。
オンザーガーあるいはオンセージャーとも表記される。不可逆過程の熱力学の研究により1968年にノーベル化学賞を受賞した。
ノルウェー工科大学卒業。チューリッヒ工科大学を経て、1928年ブラウン大学の教職員となった。1933年よりイェール大学の化学科の助教授、1940年には同大学準教授、1945年から1973年までイェール大学の教授を務めた。
1931年にオンサーガーの相反定理を発見し、熱力学第二法則の発展形である「不可逆過程の熱力学」を首尾一貫した理論体系に整備する道を拓いた。また1944年に2次元イジング模型の厳密解を導き、相転移現象の研究に一大転機を与えた。
1953年には、国際理論物理学会で来日した。
507:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/17 10:36:44.34
ソリトンについては、以前の紹介したが、もう一度下記
ソリトンが話題になっていたころ、「ソリトンは波の粒子で、だから素粒子論（波動方程式の粒子解）に応用できるのでは？」なんて書かれて、「話がうますぎる。冗談だろう」と思っていたけど、後本当に「場の量子論など多方面で応用されている」となってびっくり
話は飛ぶが、そのソリトン理論をすぐ自分の研究に取り入れて研究を発展させる人ってすごいよね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
この呼び名の由来は、1965年米国の N. Zabusky と M. Kruskal が、KdV方程式 (KdV: Korteweg-de Vries) の数値解析から、上の2条件を満たす孤立波を発見し、粒子性をあらわす接尾語-onを使ってそれをソリトンと名付けたことによる。
因みに、本来は solitary wave（-on） からソリトロン（英: solitron）と名付けるはずだったが、既に商標（会社名）として使われていたのでソリトンと名付けた。
ソリトンが現れる系をソリトン系といい、ソリトン系の従う発展方程式をソリトン方程式という。すなわち、ソリトン方程式はソリトン解をもつ。
ソリトン方程式の代表的なものに、KdV方程式、KP方程式 (KP: Kadomtsev-Petviashvili)、サインゴルドン (sine-Gordon) 方程式、非線型Schrodinger方程式、戸田格子方程式、箱玉系のセルオートマトンなどがある。
特にKdV方程式はソリトン研究において常に端緒を開く役割を果たしてきた。
ソリトン研究の初期段階においては新たなソリトン方程式が次々と発見され、発見者の名前が付けられていったが、1981年の佐藤理論の完成により、ソリトン方程式は無限に存在することが示されたのでそのようなこともなくなった。
ソリトン方程式を解く手法には逆散乱法、広田の方法（双線形化法）などがある。ソリトンは、流体力学分野だけでなく、物性物理、微分幾何学、場の量子論など多方面で応用されている。
508:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/17 11:02:46.32
佐藤理論については、下記「ソリトン～不思議な波が運んできた，古くて新しい数学の物語」を
URLﾘﾝｸ(gandalf.math.kyushu-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(gandalf.math.kyushu-u.ac.jp)
公開講座の資料 「ソリトン～不思議な波が運んできた，古くて新しい数学の物語」(pdf形式，約300KB) 入門レベル 2002年 8月9日，公開講座「現代数学入門」での講義
509:仙石６２
13/03/17 12:48:55.18
うるせぇ！
510:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/17 14:17:51.23
仙石ちゃん、ありがとう。元気でがんばってね
511:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/17 14:24:39.49
URLﾘﾝｸ(www-06.ibm.com)
日本IBM科学賞第4回(1990年)受賞者
受賞者紹介
和達 三樹（わだち・みき）昭和20年2月10日生まれ 東京大学理学部 教授
贈賞の理由
ソリトン理論の発展とその応用
バイオリンの音のような複雑な波形でも、基音(基本周波数)と倍音の足し合わせで記述できますが、こうした形に分解できない現象、つまり非線形の波動も自然界には多数あります。
ソリトンというのは非線形現象でありながら、「孤立波」の足し合わせで、あたかも線形現象のように記述できる不思議な波のことです。和達教授は、このソリトンの分野で数々の業績を上げてきました。
ソリトン問題の本質は、それがカオスやフラクタルと同様、非線形問題だということです。
線形問題はフーリエ変換で解けることが 170年前に明らかになっていましたが、非線形問題は最近まで解くことができませんでした。
しかし和達教授は、フーリエ変換を拡張した「逆散乱法」が非線形波動の問題を解くのに使えることを明らかにしました。
その結果、20年前には、大変特別なもので、Kdvと呼ばれる方程式にだけ現れると思われていたソリトンが、いろいろな方程式に現れる普遍的なものであることがわかったのです。
和達教授は次に、ソリトン理論が量子論や統計力学でも成り立つことを明らかにし、さらにこの研究から、統計力学の大きなテーマの１つであった「厳密に解ける模型」が無限個あることも明らかにしました。
研究はやがて、「ひもの理論」とも関連することになりました。
2つのからみ合った紐がトポロジー的に同じかどうかを調べるのは大変難しいことで、それを解くカギになる絡み目多項式と呼ばれる不変量を見つけるのは数学の大きなテーマの１つになっています。
和達氏はソリトン理論から、この不変量もやはり無限個あるということを明らかにしました。
これら和達教授の業績は、物性基礎論の発展はもちろん、素粒子物理、高温超伝導現象の解明、高分子物理、光ファイバーの設計、位相数学などに大きく貢献しています。
512:１３２人目の素数さん
13/03/17 18:08:22.51
ディレッタントとは、芸術や（哲学などの）学問が大好きだけれども芸術家や学者ではない、という、その道のアマチュアの事です。
学者、研究者にたいしてはこのワードは侮辱になる。
513:１３２人目の素数さん
13/03/17 18:20:34.72
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
514:あのこうちやんは始皇帝だった
13/03/17 19:12:00.64
オマエたちは、定職に就くのが先決だろがああああああああ！！！！！！！！！！
無職の、ごくつぶしの、クソガキどもがあああああああ！！！！！！！！！！！！！！
515:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/17 19:32:31.40
>>512
乙
１．以前にも書いたが、こちらは工学系でね。そういう意味では、数学は学者でもなく研究者でもない
２．ただ、数学は道具だ。工学としては当然だが。学ぶ価値のある道具だよ
３．”ディレッタントになりたいんだね”、”学者、研究者にたいしてはこのワードは侮辱になる”という書き込みが、数学的な意味は別として、実際のこの２ちゃんねるでのカキコとしては不適切だろう
その理由は、
１）（本格的な）学者、研究者がこのすれをちらっと見ることはあるとして、本格的なカキコをするはずもない
２）そもそも２ちゃんねる。匿名の年齢性別経歴不詳が原則だ。そこで、”ディレッタント”、”学者、研究者”などと書くこと自身が、「おいおい」です。（「頭は確かか？ 賢そうに見えないけど・・・」と）
以上
516:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/17 19:42:41.55
>>515
補足
せいぜい、学部２～３年まで。それ以上の住人は想定していない。たまたま迷い込んでもROMですぐ別のところへ行くだろうと
下は、高校生。３次、４次の代数方程式は理解できるレベル。微積の知識、三角関数など初等関数も前提
そんなとこかな
ディレッタント、学者、研究者なんてしったことではない
こちらの興味あること
自分の勉強をかねて、メモがわりに遠慮無く書かせてもらうよと。このスレの趣旨はそういうこと
517:プロ
13/03/17 23:10:09.53
学者、研究者のなかにもディレッタントがおおいからねえ
518:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/17 23:30:27.98
>>517
はあ、乙です
だが、プロ、学者、研究者、ディレッタントの数学的定義がまだ定まっていない
MECEでないからロジカルシンキングでもないかもね？
URLﾘﾝｸ(logical.tokusen-info.com)
ロジカルシンキングの基礎技術で最も重要なものがMECEです。
このロジカルシンキングの重要な技銃であるMECE（Mutually Exclusive and Collectively Exhaustive）とは、「各事柄間に重なりがなく、全体として漏れがない」状態のことで、「ミーシー」、「ミッシー」と呼ばれます。
例えば、「人」を「男」と「女」に分けると、それはMECEとなります。（まぁ、まれに違う例もあるようですが・・・）
一方で、「旅行」を「国内旅行」と「海外旅行」と「日帰り」に分類すると、明らかに重複があります。
「パソコンのOS」を「Windows」と「Mac OS」に分類すると、「Unix」が抜けてしまいますので、漏れが発生します。
このロジカルシンキングにおけるMECEですが、通常一つの対象に対してMECEな切り口は複数あります。
だから、目的・主題に適した切り口を選ぶ必要があるのです。（ロジカルシンキング的ですね）
但し、厳密なMECEを求めすぎる必要はありません。
あまり重要でない細部は切り捨てて、「MECE感」を大切にすればよいでしょう。
例えば「パソコン」でも下のように「OS」という切り口での分類もできれば、「利用形態」という切り口での分類も可能です。
（引用おわり）
519:１３２人目の素数さん
13/03/17 23:39:37.99
プロはそれで生活の糧を得ている人たちです。
学者、研究者がディレッタントであろうとなかろうが関係ない。
ガロアは優れた学者研究者だったがプロではなかった。 なんで食っていたんだろうか？
520:１３２人目の素数さん
13/03/18 22:37:40.38
ガロアは二十前だから、奨学金と仕送りとアルバイトだらうなあ
521:仙谷６２
13/03/18 22:40:06.41
じゃかあしぃ！！！
522:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/19 07:07:28.08
>>519
乙
>プロはそれで生活の糧を得ている人たちです。
それ、数学的には厳密じゃないね。例えば、数学に関する仕事でアルバイトをして収入を得たらプロ？ もち、そのアルバイト収入で生活するとしてだが
>学者、研究者がディレッタントであろうとなかろうが関係ない。
高校の数学教師は含めない？ 数学の仕事で生活の糧を得ていると言えなくもない・・
>>520
ガロア
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
>>521
仙谷ちゃん、元気だな。いつまでも元気でいてね。ちょくちょく荒らしに来てくれよ
523:１３２人目の素数さん
13/03/19 21:32:59.77
>>522 高校の数学教師は含めない？ 数学の仕事で生活の糧を得ていると言えなくもない・・
ノーベル賞ではないが、新しいことを数学に追加すればそのひとは数学者、研究者として
みとめられるだろう。
努力してそこへの過程にある人が大半であり、世の中、高校の数学教師にも優秀な学者、研究者に相当する人は多い都信じる。
524:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/19 22:54:54.37
>>518
>だが、プロ、学者、研究者、ディレッタントの数学的定義がまだ定まっていない
>MECEでないからロジカルシンキングでもないかもね？
ロジカルシンキングのMECEで言えば
１．数学がすきか、嫌いか
２．数学を楽しめるか、楽しめないか（１に似ているが）
３．数学を応用する立場か、純粋に数学をするのか
４．数学で収入を得ている（教師を含め）か、そうでないか（３に似ている）
５．数学科出身か、そうでないか
６．社会人か、学生か
７．専門誌に数学の論文を書いたことがある、そうでないか
こんな切り口で考えた方が意味あるかも
もちろん、ディレッタントうんぬんを全面否定するつもりはないが、何を言いたいのかこれだけでは意図が不明確だ
525:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/19 22:59:07.76
>>523
乙
高校の数学教師を即プロの数学者認定はしないだろう（認定機関があるかどうか不明だが・・・、あるはずないね・・・）
>>524で書いたが、専門誌に数学の論文を書いたことがある高校の数学教師はプロ認定してもいいと思うけどね
526:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/19 23:02:49.52
>>524
補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
日本では、『ロジカル・シンキング』(照屋華子・岡田恵子, 東洋経済新報社, 2001年)以来、主にコンサルタント系の著者たちにより、
ロジカル・シンキングのための様々なツールや手法が、論理学から離れて企業向けに提唱され、ビジネス書のブームとなった。
殊に、一般に膾炙した用語MECEは、論理学とは関係がない（論理学用語であると誤解している著者はいた）が、論理に対する世の人の関心を大いに高めた。
527:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/19 23:14:02.41
>>526
『ロジカル・シンキング』
数学では、ロジカルであることはあたりまえ
だが、概念的に大づかみにするとか、直感的に把握するということは大事なことだと思う
過去、直感を否定した大数学者がいた。ワイヤルストラスだ
が、直感を重視した大数学者もいた（下記）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クロネッカーの見方は、決して全く独断的なものではなく、後にアンリ・ポアンカレやブラウアーが、数学をより直観に基づいて組み立てるべきだとする数学的直観主義を発展させる基盤となった。
アンドレ・ヴェイユの研究書では、晩年のクロネッカーがアイゼンシュタインの楕円関数論に着想を得て、独自の楕円関数論を展開しようとしていたことが指摘されている。
経済的には、学位取得後に、亡くなった伯父の銀行と農場を引き継いで経営に成功し、財政的にも成功させていた。
528:１３２人目の素数さん
13/03/19 23:17:26.76
クロネッカーは超リアリストで、無理数の存在を認めなかった人や
529:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/19 23:24:39.44
>>490
>"佐藤幹夫 数学を語る"(下記)で、高木類体論の「代数的整数論」で、”ぼくは証明の細かいところは読まないから、読みやすかった。・・証明というのは、定理の内容がわかってみれば、自分流に考えたほうがよく分かる”と
>数学の50年 数学セミナー創刊50周年記念 発刊日：2013.02
>第１部 数学50年を語る
佐藤幹夫、この大先生は概念先行なんだ
これを読めばよくわかる
もちろん、概念をロジカルに直す（あるいは計算する）力量もかなりのものだけど
ただ、佐藤スクールの弟子たちが沢山いて、概念をロジカルに直す（あるいは計算する）ところをやったり、論文として文字にするところをやったりしている
大先生は、論文書くよりいろいろ考えることが楽しかったんだろうと思います
530:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/20 06:23:59.79
>>528
>クロネッカーは超リアリストで、無理数の存在を認めなかった人や
そうそう
そうなんだよね（下記）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
彼の、
「整数は神の作ったものだが、他は人間の作ったものである」(Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.)
という言葉は有名である。
さらには、整数から有限の演算を施して得られるような数でないものは、存在しないものとまでみなすようになる。
彼は、リンデマンによる円周率 (π) の超越性の証明（1882年）を「美しいが、しかし意味のないものだ。何故なら超越数は存在しないのだから」と評している。
カントールは、超越数が無限に存在することを証明したが、彼の立場からいえば、この結果は全く意味のないものだった。
531:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/20 06:33:55.09
>>530
つづき
カントールの連続体仮説、対角線論法の解説本を読んだことがあった
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ゲオルク・フェルディナント・ルートヴィッヒ・フィリップ・カントール（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845年3月3日 - 1918年1月6日）はロシアのサンクトペテルブルク生まれのドイツで活躍した数学者である。
素朴集合論の確立者。自然数と実数の間に全単射が存在しないことを対角線論法によって示す一方、R と Rn の間に全単射が存在することを証明した。
連続体仮説に興味を持ち研究を続けたが、存命中に成果は得られなかった。連続体仮説については、後にゲーデルとポール・コーエンの結果によって一応の解決をみている。
自身の集合論の矛盾も発見しているが、カントール自身はこうしたパラドックスは集合論を発展させていく上でプラスになる存在であると考え、あまり問題視していなかった。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
連続体仮説（れんぞくたいかせつ、Continuum Hypothesis, CH）とは、可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しないとする仮説。19世紀にゲオルク・カントールによって提唱された。
現在の数学で用いられる標準的な枠組みのもとでは「連続体仮説は証明も反証もできない命題である」ということが明確に証明されている。
つづく
532:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/20 06:36:30.33
>>531
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
歴史
この仮説は 19 世紀に集合論の創始者、ゲオルク・カントールによって提出された。彼自身この解決に熱心に取り組んだことが知られている。
可算濃度より連続体濃度の方が大きいことは、カントールの対角線論法によって証明されている。
カントールは当初、連続体仮説も証明することはそれほど難しくないと考えていたが、遂に証明することはできなかった。
1900年、パリで開かれた国際数学者会議においてヒルベルトは彼の有名な 23 の問題の第一番にこの連続体仮説を取り上げた。
その後、1940年にゲーデルは任意の ZF のモデルにおいて構成可能集合全体のクラス L が連続体仮説をみたすことを証明し、「ZFC からは連続体仮説の否定は証明できない」ことを示した。
さらに1963年、ポール・コーエンは強制法と呼ばれる新しい手法を用いて「ZFC から連続体仮説を証明することは出来ない」ことを示した。
これらの結果から ZFC に連続体仮説を加えても、またはその否定を加えても矛盾は発生しないこと、つまり連続体仮説の ZFC からの独立性が示され、連続体仮説は解決を見た
（これらの結果は全て ZF の無矛盾性を仮定している）。
コーエンはこの業績により、1966 年にフィールズ賞を受賞している。
つづく
533:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/20 06:42:30.19
>>532
つづき
で、前置きが長くなったが、”連続体濃度”：
”二つの実数 a < b の間には、そのふたつがいくら近い値であっても、常に無限に多くの実数が存在し、カントールはそれが実数全体の成す集合が含む実数の数と等しい”
を読んだときに、へーと不思議な気がしたんだ・・
直感に反すると・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
集合論における連続体濃度（英: cardinality of the continuum）は、しばしば連続体 (continuum) とも呼ばれる実数全体の成す集合 R の濃度（あるいは基数、俗に「大きさ」）をいう。
これは無限濃度のひとつであり、|R|, ?（ヘブライ文字のアレフ）または （ドイツ文字小文字の c）などで表される。
実数の全体 R は自然数の全体 N よりも多くの元を含む。もっと言えば、R は N の冪集合の元と同じ数の元をもつ。
このことはゲオルグ・カントールによって、彼の異なる無限の研究の事始めの一部として、1874年の証明で、あるいは後により簡明な対角線論法によって、示されている。
カントールは全単射の概念を用いて濃度を定義した。すなわち、「二つの集合が同じ濃度を持つとは、それらの間に全単射が存在することを言う」。
二つの実数 a < b の間には、そのふたつがいくら近い値であっても、常に無限に多くの実数が存在し、カントールはそれが実数全体の成す集合が含む実数の数と等しいことを示した。
すなわち、開区間 (a,b) は R に対等である。
これは他にもいくつかの無限集合、例えば任意次元のユークリッド空間 Rn でも同じである（空間充填曲線を参照）。
534:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/20 06:51:51.05
>>533
>”連続体濃度”：
>”二つの実数 a < b の間には、そのふたつがいくら近い値であっても、常に無限に多くの実数が存在し、カントールはそれが実数全体の成す集合が含む実数の数と等しい”
>を読んだときに、へーと不思議な気がしたんだ・・
>直感に反すると・・
ところが、物理の宇宙論でビッグバン理論が出た
（正確には、下記のように歴史は古く、ビッグバン理論がだんだん認められるようになって解説本が出てそれを読んだ）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ビッグバン (Big Bang) とは、
・ビッグバン理論（ビッグバン仮説）、つまり「この宇宙には始まりがあって、爆発のように膨張して現在のようになった。」とする説
・同説において想定されている、宇宙の最初期の超高温度・超高密度の状態
のことである。
歴史
20世紀初頭では天文学者も含めてほとんどの人々は宇宙は定常的なものだと考えていた。「宇宙には始まりがなければならない」などという考えを口にするような天文学者は皆無だった[1]。
ハッブルも、柔軟な考えを持っていると評価されているアインシュタインですらも、「宇宙に始まりがあった」などという考えはまるっきり馬鹿げていていると思っていた[1]。
科学者たちは膨張宇宙論は科学では理解しがたく、宗教上の立場だと見なしていた[1][4]。
ビッグバン理論は、紆余曲折を経て、観測と理論の両面が揃ってようやく、 徐々に認められるようになってきた歴史がある。
1927年にベルギーの司祭で天文学者のジョルジュ・ルメートルが一般相対論のフリードマン・ロバートソン・ウォーカー計量に従う方程式を独自に導き出し、
渦巻銀河が後退しているという観測結果に基づいて、「宇宙は原始的原子(primeval atom) の“爆発”から始まった」というモデルを提唱した。
1929年、エドウィン・ハッブルの観測で、彼は銀河が地球に対してあらゆる方向に遠ざかっており、その速度は地球から各銀河までの距離に比例していることを発見した
（この事実は現在「ハッブルの法則」と呼ばれている。これが、ルメートルの「原始的原子(primeval atom) の“爆発”から始まった」とする理論に対して基礎付けを与えることになった。）
つづく