13/02/16 15:10:33.46
突然ですが
URLﾘﾝｸ(www.nhk.or.jp)
2月9日（土）深夜「人生はいつでもチャレンジ」（ラジオ深夜便）
２月１０日（日）午前０時台と１時台（９日（土）深夜）
オトナの生き方
米沢富美子さん（物理学者）
米沢富美子（よねざわ ふみこ）さんは、世界的に知られる物理学者で、現在慶応義塾大学名誉教授。日本の女性科学者の草分けとして、女性で初めて日本物理学会の会長になりました。
米沢さんは昭和１３年（１９３８年）大阪生まれ。自然の原理を解明したいと京都大学理学部に進学し、物理学を学びました。大学院時代に結婚。その後も物理学の研究をしながら三人の娘の子育てもしてきました。
米沢さんは長い研究生活の中で、乳がんをはじめ何度かの入院・手術を経験し、１９９６年には夫を肝臓がんで亡くしました。
しかし、「自分の可能性に限界を引かない」「めげない」をモットーに前向きに生き、１９８１年には慶応義塾大学教授に就任。１９８４年には猿橋賞を受賞しました。
現在は、母の介護のため大阪に通いながらライフワークをまとめ、それが終われば新しい研究を始めると言います。
常に前向きな米沢富美子さんに、これまでのチャレンジ人生についてお話しいただきます。
396:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/16 15:11:01.66
これ聞いたんだけど、面白かった
397:１３２人目の素数さん
13/02/16 19:17:05.13
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398:１３２人目の素数さん
13/02/16 19:33:37.40
ガロア理論入門 (ちくま学芸文庫)
と
代数方程式とガロア理論 (共立叢書 現代数学の潮流)
どっちがオススメ？
399:１３２人目の素数さん
13/02/16 20:37:00.83
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400:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/17 07:11:49.04
>>398
あなたが、どんな立場でどんなレベルの人か不明だが、間違いなく”代数方程式とガロア理論 (共立叢書 現代数学の潮流)”がおすすめ
ガロア理論入門 (ちくま学芸文庫)エミール・アルティンは、ガロア理論がある程度分かってから読む本でしょう
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
中島 匠一著シリーズ名 共立叢書 現代数学の潮流 発行年月2006年07月
本書の大きな目標は，体の代数拡大に関するガロア理論である．
第5章が本書の「心臓部」であって，第5章で「ガロア理論とはどんなものか」を解説して証明を与えている．
第6章では，ガロア理論の応用の中から，わかりやすいものをいくつか取り上げて説明してある．「ガロア理論を学ぶと何がわかるのか？」という疑問をもっている読者は，まず第6章の内容を眺めてみるのがいいかもしれない．
「この本の特徴は何なのか」という問いかけに答えるために，本書を書くにあたって筆者が心がけたことを述べておきたい．
(1) 本書が「入門書」であることを強く意識し，初学者にもわかりやすい説明をすることを心がけた．具体的には
(a) いたずらに多くのことを扱うのではなく，基本的なことに絞って丁寧に解説した。
(b) 実例をなるべく多く取り上げるようにした。
(c) 数学的内容をただ論理的に述べるだけでなく，その事柄の背景や意義なども説明した。
などの点に配慮してあるのが本書の特徴といえるだろう．
(2) 数学の中の「おもしろいこと」を取り上げるように心がけた．入門書である本書では「初心」を思い出して，数学の「おもしろさ」や「すごさ」が伝えられるように努力した．
(3) 数学的内容は「本格的」であることを心がけた．本書は「ガロア理論をきちんと理解すること」という高い地点を目標にしており，この点で譲歩はしていない．
ただ，数学の学習の過程で引っ掛かりそうな「気になるところ」についてあれやこれやと解説を加えている，というのが「入門書」という意味である．
数学の学習に慣れてきて「筆者のオシャベリにつきあっているほど暇じゃない」と感じる（いいことです）読者には，本書の定義・命題・定理だけを抜きだして自力で理解し証明していくことをお勧めしたい．
401:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/17 07:21:25.08
>>395-396
つづき
URLﾘﾝｸ(sayfox.wordpress.com)
米沢富美子（15） 夫の“激励” 2012/06/16
「怠けてないか」に奮起
抜粋
長女が１歳になる前に、第２子を妊娠した。長女の育児と第２子の妊娠の同時進行は予想していたが、これが想定外の厳しさだと判明する。使い捨ておむつも全自動洗濯機もなかった。
夫は帰宅が遅いし、週末の休みもテレビの前にペロンと寝そべっていて、家事育児は一切しない。大阪までの通勤が往復３時間かかり、疲れている様子だった。私は家事分担を巡る争いはしないと決めていた。争う時間とエネルギーが惜しい。
つわりが重いうえに、育児は一日も手を抜けない。長女出産以来の無理も積もっていた。体調が悪くて家事がはかどらず、休日も本を開けなかったりした。
そんなある日、夫が「君が勉強している姿を最近見なくなった。怠けているのじゃないか」と強い口調で切り出した。さらに「京大の助手になったくらいで慢心していたら、あとは伸びないよ」と容赦のない言葉を浴びせる。
ガーン。頭を殴られたような衝撃を受けた。「それなら少しは手伝ってよ」と反論したかったが、私は無言で立ち尽くしていた。「一番痛いところを突かれた」という思いもあった。
夫なりの激励の表現に違いない。夫は求婚の時、物理と結婚の両方を取れと言ったけれど、これは「勝手にやれ」の意味で、「手伝ってやる」ではなかったのだ。
その日からつわりも消えた。私は根性で机にかじりつき、不規則系の分野で「世界的」といわれる大仕事を完成させるのである。
（慶応大学名誉教授）
402:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/17 07:32:40.12
>>401
米沢富美子（16） 不規則系 2012/06/17
1967年、二女を妊娠中に「不規則系の新理論」を発表した。この理論はすぐに世界的に認められ、私の出世作となる。
最終段階まであと一歩のところで、なかなか視野が開けない。１日４時間睡眠で机に向かっていたある日、新しいアイデアが突然ひらめいた。「これだっ！」。雷に打たれたような衝撃に、体の震えが止まらない。
興奮の第一波が過ぎると、次にこれを論文に書くことが今回はとりわけ難しいと気づいた。数学的にかなり複雑な内容だ。自分の頭で理解することと、それを人に分かってもらうことには、大きな隔たりがある。
大学院時代の指導教授、松原武生先生の口癖を思い出した。全ての精力と時間を３等分して「テーマ探し」「実際の研究」「論文書き」に配分せよという教えである。
２番目の「実際の研究」が全てだと思い込む傾向があるが、本当は、最も適切なテーマを掘り出す１番目と、成果を確実に発表する３番目も同じくらい重要だとたたき込まれた。
フル回転モードを持続して論文を仕上げた。この理論は「コヒーレント・ポテンシャル近似」、頭文字をとって「ＣＰＡ」と名づけられ、広い分野で標準的な近似として用いられるようになる。
碁盤上の碁石を原子に見立てて、この理論を説明しよう。
交点に白と黒の碁石が不規則な並びで置かれたものが、「不規則２元合金」である。
新理論は、361個の全交点がいわば「灰色」の碁石で占められていると考えるもので、多くの実験結果をうまく説明できる。ただその「灰色さ」が鍵で、白石と黒石の数の割合を反映した「複素数」の効果を持つ灰色になる。
私はこの複素数を数学的な解析から導いた。この理論に到達したとき「こんなことを思いつく人は、世界中に誰もいないだろう」と考えたが、実は米国の物理学者Ｐ・リースがほとんど同時に似た内容の論文を発表した。
私は後にリースと会い、お互い「他人に頭の中をのぞかれたような気がした」と語り合い、盛り上がることになる。
私やリースの論文と同時期に、米国とカナダの科学者が「物理的考察」から独立にこの複素数を求めた。奇しくもわれわれ４人は28歳と29歳だった。
ノーベル物理学賞受賞者のＰ・アンダーソンはこの理論を「静かだが過激な革命」と評した。
403:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/17 07:40:42.60
>>402
英語版では米沢が二つ出てくるが、日本語版では出てこない。はて？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
The coherent potential approximation (or CPA) is a method, in physics, of finding the Green's function of an effective medium. It is a useful concept in understanding how sound waves scatter in a material which displays spatial inhomogeneity.
One version of the CPA is an extension to random materials of the muffin-tin approximation, used to calculate electronic band structure in solids.
References
^ Yukinobu Kumashiro (2000). Electric Refractory Materials. CRC Press. p. 122. ISBN 0-8247-0049-X.
Further reading
Fumiko Yonezawa and Kazuo Morigaki (1973). "Coherent Potential Approximation: Basic Concepts and Applications". Progress of Theoretical Physics Supplement 53: 1?76. Bibcode 1973PThPS..53....1Y. doi:10.1143/PTPS.53.1.
John R. Klauder (1961). "The modification of electron energy levels by impurity atoms". Annals of Physics 14: 43?76. Bibcode 1961AnPhy..14...43K. doi:10.1016/0003-4916(61)90051-3.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
コヒーレントポテンシャル近似（コヒーレントポテンシャルきんじ、Coherent Potential Approximation、CPA） は1967年に P. Soven[1]が考案したバンド計算手法のことである。
参考文献 [編集]
[1] P. Soven, Phys. Rev. 156 (1967) 809.
[2] H. Ehrenreich and L. M. Schwartz, in Solid State Physics, edited by H. Ehrenreich, F. Seitz, and D. Turnbull (Academic, New York, 1976), Vol. 31, p. 149
404:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/17 07:46:21.56
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
米沢富美子
1948年：小学校5年生のとき、知能テストでIQ175と判明[1]。大阪府の小学校で1位の数値だった。
^ その後、高校1年までに数回の知能テストを受けて常に170台をキープしていたが、「170台という数字は自分では不満で、実際には200以上でもとれたはずだと考えていた」
「知能テストの問題は、どんなものかという大体の様子を一度知ってしまえば、出題者の意図が透けて見えるようになる。そういう場合には、出題者のIQまで推定できたりする」
「問題作成時点で、170台以上のIQは想定されていなかったのだろう。問題数がもっとあれば、IQ200でも優に出せたのに、とずっと考えていた」と述べている（『まず歩きだそう』p.38-39）。
405:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/17 08:19:57.97
慶応大学名誉教授米沢富美子氏（３）内角の和―５歳で幾何の証明理解（私の履歴書）
2012/06/03 日本経済新聞 朝刊
母子とも雷に打たれた衝撃
その瞬間のことは、今でも鮮明に思い出せる。
１９４４年初秋、私は５歳の幼稚園児だった。縁側で紙を何枚も広げてお絵かきに夢中になっている。傍らで縫い物をしていた母がついと手を伸ばして紙に三角形を描き、「三角形の内角の和は２直角」と口ずさみながら、証明法を図解してくれた。
２直角とは直角を２つ合わせた角度、つまり１８０度だ。
母は高等女学校時代に数学の才能を伸ばし、特に好きな幾何の問題に次々と挑んだという。問題を解き始めると「時間がもったいない」と食事の時間も惜しむ。
何日も銭湯に行かずに幾何の問題集にかじりついている娘に、「こりゃ駄目だ」と悟った祖父が家に風呂を作らせたという。
母は高女の教師から上級学校進学を勧められたが、家長の反対でやむを得ずあきらめた。「もっと勉強したかったのに」という思いは、いつまでも消えなかったようだ。
だから絵を描く幼子の私を目の前にして、三角形や線を描いて幾何の証明に取り組んだ日々がよみがえり、思わず手が伸びたのだろう。
その時、母は話しかけている相手に内容を伝えようという気持ちはまるでなかった。母にとって意外だったのは、５歳の私が母の言葉を全部理解してしまったことだ。
証明に必要なのは、平行線、同位角、対頂角の概念だけで、絵解きにすれば幼稚園児でも理解できた。
「こんなに面白いものが世の中にあるのか！」
雷に打たれたような衝撃で体が震え、「もっと教えて」「もっと、もっと」とせがんだ。私の人生には、おもちゃも色紙（いろがみ）ももういらない。幾何があれば暮らしていける。そう思った。
実はこのとき雷に打たれたのは私だけではなかった。幾何の証明を理解する私の姿に、母の体にも電気が走ったという。「これで後継ぎができた」と母の心も震えた。それを話してくれたのは、それから６０年後のことなのだが。
縁側の出来事の後、戦局は悪化し空襲や食糧難など、生きづらい日々が続いた。それでも母は暇を見つけては「こんな問題もあるのよ」と紙に図を描き、自分の知識を私に伝えようとする。おかげで小学校低学年のうちに中学の幾何を習得できた。
406:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/17 08:25:10.71
慶応大学名誉教授米沢富美子氏（６）中学時代―数学部顧問と真剣勝負（私の履歴書）
2012/06/06 日本経済新聞 朝刊
１９５１年、吹田市立第三中学校の入学式で「６組の担任は数学の篤本（とくもと）」と発表されたとき、保護者席の母に目配せした。「ヤッター」と心の中でガッツポーズをとる。数学の教師が担任なんてついている。
２４歳の篤本篤治先生は意欲盛んな熱血教師で、数学部の顧問。私も早速入部した。部員それぞれに力に合った課題が与えられる。
私は連立方程式、因数分解、確率、統計を終え、高校の微分、積分まで進んだ。難しいので部員が次々退部し、もともと人気のない部は、私の個人教授状態になった。
先生は思いつめた表情で部室にやって来て、「これは理解できるか？」「それなら、これはどうだ？」と真剣勝負を挑んでくる。部室は２４歳と１２歳の火花散る軍場（いくさば）の様相になる。
生徒の可能性に対する実験だったのかもしれない。私の人生のこの時期に、この先生に巡り合えたのは、本当に幸運だったと今でも思う。
理科の授業も楽しかった。理科部がないのは残念だが、先生の話は全部理解できた。それは先生にも伝わったはずだ。理科の論理性を学び、「これだから理科は好きなんだ」と思った。後に私が物理の道を選ぶ最初のきっかけがここにある。
407:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/17 08:32:48.79
慶応大学名誉教授米沢富美子氏（９）物理の道へ、カメラ３台解体、壊す（私の履歴書）
2012/06/09 日本経済新聞 朝刊
まず３年からの学科への分属試験がある。当時、京大理学部には物理、化学、数学、生物など８つの学科があり、それぞれに定員があった。需要と供給の原理で、定員より志望者数が多いと分属試験が行われる。
物理は定員４０人のところ志望者は２倍以上いる。湯川秀樹教授が在職である影響で、理学部の学生の間には「物理学科にあらざれば人間にあらず」という雰囲気が広がっていた。
物理の志望者が多い分、他の学科は定員割れになる。数学科も定員割れだった。
私自身は幼稚園から大学まで、「数学が一番好き」は変わらなかった。大学に入ってからも、数学の勉強に最も多くの時間と情熱を傾けていた。教養時代の数学の教授から「数学に進みませんか」と期待されたりもした。
しかし、最終的には物理を選んだ。湯川先生のオーラには抗しがたいものがあったし、何より物理の面白さに目覚めたことが決定的な理由だ。
学び始めた量子力学や相対論。それを駆使して自然の真理に迫る。「これはただものではない」と思った。数学は物理の理論を展開する際に強力な武器になるとわかった。
408:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/17 08:36:36.53
慶応大学名誉教授米沢富美子氏（１）一生の仕事（私の履歴書）
2012/06/01 日本経済新聞 朝刊
私はほんの幼い頃から、見るもの聞くものに好奇心を示し「なぜ」「どうして」を連発していたという。空を眺めては「宇宙の果てはどうなっているの」と聞き、時計をいじっては「宇宙は無限の昔からあったの」と食い下がる。
２０世紀の物理学は、これらの問いに対する答えを用意してくれた。しかし、自然の営みには未解決の問題も多い。
思えば「なぜ」「どうして」を問い続け、そのいくつかを自分の手で明かしつつ歩んできた７３年間だった。限りない挑戦に胸躍らせ、文字通り寝食を忘れて取り組んだ。
始まりは数学だった。幼稚園の時に幾何の面白さに目覚め、大学までの十数年間、数学の演習問題を山のように解いた。数学を専門とする仕事に就くだろうと漠然と思い描いたが、大学時代に物理学の深淵をのぞき、物理の研究に携わることになる。
「不規則系の研究」という生涯のテーマにも巡り合い、納得のいく成果を上げられた。
自然の原理の解明。こんなに面白い仕事はない。もう一度生まれ変わっても、必ず物理屋になる。
私の人生を要約すると「幸運」の一語に尽きる。海外の国際学会に出席するだけでは飽き足らず、自分でいくつもの国際学会を組織した。日本物理学会の会長に選出され、学会運営の改革にも着手した。いずれも大事業だが「幸運」の後押しで実現した。
最近は「どんな哲学で生きてきたか」と問われることが多くなった。次の５つを挙げることにしている。
１、自分の可能性に限界を引かない
２、行動に移す
３、めげない
４、優先順位をつける
５、集中力を養う
格好よく言ってはみたものの１は身の程知らずにほかならない。２に関しては私に多少とも長所があるとするなら行動力だが、これは無謀とか無鉄砲に通じる。３は能天気の代名詞。４と５は有限の時間と能力の中で欲張って生きるには不可欠なことである。
６年前から９４歳の母（要介護５）の遠距離介護をしている。老老ならぬ朗朗介護が目標だ。４０年前に３人の娘たちの育児と研究を両立させたように、今は介護と研究の両立が課題である。
小さな体で、ドジで向こう見ずで、そして本人としては至って幸せに生きてきた。その軌跡を紹介したい。
409:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/17 08:43:03.22
コヒーレントポテンシャル近似（CPA）
米沢富美子さんの解説論文を読んだのは、ずいぶん昔だ
量子力学をグリーン関数を使って展開する数式の羅列だった
さっぱり分からなかったが、「米沢富美子」という女性が書いていることに衝撃を受けた
昨年、日経紙に私の履歴書を載せたんですね
知らなかったが、検索したらヒットした
「米沢富美子」という女性がCPAの論文を執筆したことに、今年ようやく納得した
410:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/17 08:48:45.25
>>403
訂正
英語版では米沢が二つ出てくるが、日本語版では出てこない。はて？
↓
英語版では米沢が一つ出てくるが、日本語版では出てこない。はて？
一つでした
しかし、日本人の名前が沢山出てくるのは、Fumiko Yonezawaの存在が大きいのだろう
411:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/23 13:48:28.45
>>403
>[1] P. Soven, Phys. Rev. 156 (1967) 809.
下記URLにPDFがある。これによると、
表題：Coherent-Potential Model of Substitusional Disordered Alloys
p810 左上に"A different approach to the problem has been taken by Yonezawa and Matsubara.7"とあり、彼らの論文はよりsystematicだが未完成だと。
p812 右下に"As noted by Yonezawa and Matsubara this is essential requirement of any theory of nondilute alloys."とある。
なお
p813 右下に"ACKNOWLEDGEMENTS We wish to acknowledge helpful conversations with Dr.M.Lax and Dr.D.W.Taylor."とある。
fURLﾘﾝｸ(www.phy.pku.edu.cn)
（引用おわり）
”Coherent Potential”という名称は、著者 Paul Soven の表題から来ている。（ちなみに、著者の所属はベル研とある。）
Yonezawa and Matsubara の論文はしっかり読んでいるようだ
412:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/23 14:20:24.24
>>403
>Fumiko Yonezawa and Kazuo Morigaki (1973). "Coherent Potential Approximation: Basic Concepts and Applications". Progress of Theoretical Physics Supplement 53: 1?76. Bibcode 1973PThPS..53....1Y. doi:10.1143/PTPS.53.1.
これは、下記 URL
URLﾘﾝｸ(ptps.oxfordjournals.org)
P6 後半
This idea was employed to study the single-particle of elementary excitations in disordered binary alloys by Taylor 11) and Soven 12).
Onodera and Toyozawa 13) attained the same results from physical considerations.
Yonezawa 14) and Leath independently evaluated the best first-order approximation via diagram techniques and obtained formulations were found to be identical with the CPA.
The fact that this approximation has been reached through various methods quite independently suggests that the theory serves as a good approximation from many view poins.
とある
Soven 12)は、>>411
Taylor 11)は、>>411のDr.D.W.Taylorで、Phys. Rev. 156 (1967) 1017 (Sovenとの議論で触発されたのか)
Yonezawa 14) は、
Fumiko Yonezawa：
A Systematic Approach to the Problems of Random Lattices. I: A Self-Contained First-Order Approximation Taking into Account the Exclusion Effect Prog. Theor. Phys. (1968) 40(4): 734-757 doi:10.1143/PTP.40.734
URLﾘﾝｸ(ptp.oxfordjournals.org)
413:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/23 14:45:34.68
>>412
>Yonezawa 14) and Leath independently
Leathは、>>402
「私はこの複素数を数学的な解析から導いた。この理論に到達したとき「こんなことを思いつく人は、世界中に誰もいないだろう」と考えたが、実は米国の物理学者Ｐ・リースがほとんど同時に似た内容の論文を発表した。
私は後にリースと会い、お互い「他人に頭の中をのぞかれたような気がした」と語り合い、盛り上がることになる。」
Yonezawa 14) は、URLは>>412にあるが、ここでの引用文献は、Dr.D.W.TaylorのPhys. Rev. 156 (1967) 1017のみ。Soven 12).を無視している。>>412でも、時間順なら、Soven が先なのだが・・
Leath論文は下記だが、有料
URLﾘﾝｸ(prola.aps.org)
Phys. Rev. 171, 725?727 (1968)
Self-Consistent-Field Approximations in Disordered Alloys
P. L. Leath
Department of Physics, Rutgers?The State University, New Brunswick, New Jersey
Received 5 February 1968; published in the issue dated July 1968
The connection between Taylor's recent self-consistent calculations of phonon frequency spectra in disordered alloys and those of Davies and Langer in the usual self-consistent-field approximation is established.
It is found that Taylor's results are equivalent to summing the same diagrams summed by Davies and Langer, but with proper compensation against multiple occupancy of sites by defects.
The recently developed technique of Elliot, Aiyer, and Leath, which self-consistently adjusts the diagram rules to obtain proper compensation, is used.
This method is quite general and clearly can be used for other self-consistent calculations is disordered alloys.
c 1968 The American Physical Society
URL:
URLﾘﾝｸ(link.aps.org)
DOI:
10.1103/PhysRev.171.725
414:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/23 15:05:59.44
>>403
結論として、The coherent potential approximation (or CPA)の由来は、 P. Soven, Phys. Rev. 156 (1967) 809.から
とすれば、英.wikipediaでSovenに言及がないのはちょっと変
ただし、Sovenの論文では、Yonezawa and Matsubara に言及しているし、Yonezawa 14) はSovenを超えて理論を発展させているので、Yonezawa がCPAに本質的な寄与をしている
なので、英.wikipediaが、Fumiko Yonezawa and Kazuo Morigaki (1973). "Coherent Potential Approximation: Basic Concepts and Applications". を引用しているのは、それなりに理由があると思われる
415:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/23 15:25:56.12
昔コヒーレント・ポテンシャル近似の米沢 富美子の記事を読んだのは、下記固体物理だったのだろう
別の雑誌（金属学会報）だったように思ったが、ヒットしないので、おそらく下記固体物理
数式の羅列で、著者が女性だったので強烈な印象でびっくりした記憶がある
URLﾘﾝｸ(ci.nii.ac.jp)
20
コヒーレント・ポテンシャル近似 CPA-1-
米沢 富美子
固体物理 6(12), 693-703, 1971-12
21
コヒーレント・ポテンシャル近似(CPA)-2-CPAの応用
米沢 富美子
固体物理 7(1), 3-10, 1972-01
416:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/24 09:58:18.54
>>412
>Taylor 11)は、>>411のDr.D.W.Taylorで、Phys. Rev. 156 (1967) 1017 (Sovenとの議論で触発されたのか)
Dr.D.W.Taylor補足
URLﾘﾝｸ(www.physics.mcmaster.ca)
David W. Taylor's Homepage Professor Emeritus
Department of Physics and Astronomy
McMaster University
Research Interest
David W. Taylor did his undergraduate and graduate studies at Oxford University, obtaining his D.Phil. in 1965.
He spent 1965-67 as a Member of the Technical Staff at Bell Telephone Laboratories, Murray Hill, N.J. and then joined the Physics Department at McMaster.
He has been Professor of Physics since 1977.
He spent 1974-75 on a Senior Research Fellowship at the Department of Theoretical Physics, Oxford.
Dr. Taylor's research is mainly in the area of lattice vibrations, with the emphasis being on the vibrational properties of substitutionally disordered crystals.
Of current interest is the use of the embedded atom model both for disordered crystals and also to calculate the anharmonic vibrational properties of crystals.
McMaster University
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
マックマスター大学（英：McMaster University、通称：Mac）は、カナダのオンタリオ州・ハミルトンにある大学。フルタイムの学生が1万8,238人、パートタイムが3,836人（2006年現在）。伝統的に医学と工学に強い大学として知られる。
ノーベル賞受賞者
バートラム・ブロックハウス： 1994・教授 - 物理学賞。
マイロン・ショールズ： 1997・卒業生 - 経済学賞。
417:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/24 10:26:05.35
>>416
補足
>He spent 1965-67 as a Member of the Technical Staff at Bell Telephone Laboratories, Murray Hill, N.J. and then joined the Physics Department at McMaster.
Dr.D.W.Taylorは、1965-67にベル研（Bell Telephone Laboratories）に居た
P. Sovenの所属もベル研で、 (1967)の論文で、"ACKNOWLEDGEMENTS We wish to acknowledge helpful conversations with Dr.M.Lax and Dr.D.W.Taylor.">>411とあることと符合する
（分かっていると思うが、fURLﾘﾝｸ(www.phy.pku.edu.cn) は、httpではないのでURL窓にコピーして飛ばないとｐｄｆには行けない）
>>402
>私やリースの論文と同時期に、米国とカナダの科学者が「物理的考察」から独立にこの複素数を求めた。奇しくもわれわれ４人は28歳と29歳だった。
米国：P. Soven
カナダの科学者：Dr.D.W.Taylor
ということなのでしょうね
>>412
>Fumiko Yonezawa and Kazuo Morigaki (1973). "Coherent Potential Approximation: Basic Concepts and Applications". Progress of Theoretical Physics Supplement 53: 1?76. Bibcode 1973PThPS..53....1Y. doi:10.1143/PTPS.53.1.
目次の章立てが下記。Taylor and Soven、Onodera-Toyozawa、Matsubara-Yonezawa、Leath。登場人物は７人。
（目次）
Sec.4 CPAに対する種々のアプローチ
4.1 摂動
(1-a)普通の摂動（non self consistent(平均t-matrix）)
(1-b)普通の摂動（self consistent）
(2) Effectiv medium method (multiple scattering method of Taylor and Soven)
4.2 Interpolation method due to Onodera-Toyozawa
4.3 Cumulant expansion method due to Matsubara-Yonezawa
(1) Cumulant expansion of the Green's function
(2) Representation by means of diagrams
(3) Expression by means of a continued fraction
4.4 Self-contained cumulant expansion method due to Yonezawa and Leath
418:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/24 10:48:55.69
>>412
つづき
Leathの論文：Received 5 February 1968; published in the issue dated July 1968 >>413
米沢の論文：発行 October 1968, Received June 3,1968 >>412
結局、米沢の論文が一番遅いが
しかしLeathの論文はわずか３ページだし、Taylor and Sovenも同じく短いPhys. Rev. でしかないのと物理的に導かれていて数学的基礎付けは米沢とLeathだと
そして、Fumiko Yonezawa and Kazuo Morigaki (1973)がCPAの包括的報告になっていると
ようやく事情が分かった
ただ、世間の常識では、Sovenが最初に論文を出して創始者として”Coherent-Potential Model”と銘々してCPAという近似法の語源になった
Yonezawa and Leathはその数学的基礎付けを与えたということになるのだろう
>私やリースの論文と同時期に、米国とカナダの科学者が「物理的考察」から独立にこの複素数を求めた。奇しくもわれわれ４人は28歳と29歳だった。>>402
Onodera-Toyozawaに言及していないのは、如何なものかと思う
私の履歴書が書籍になるときに、「二人の日本人」を入れるようおすすめします。
419:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/24 16:33:38.62
Paul Soven補足
URLﾘﾝｸ(www.physics.upenn.edu)
米ペンシルバニア大
Paul Soven
Professor of Physics
Professor, University of Pennsylvania
Associate Chair of Undergraduate Affairs (1985-89)
Associate Chair of Graduate Affairs (1976-79)
Education:
Ph.D., University of Chicago (1965)
M.S., University of Chicago (1961)
B.S., City College of New York (1960)
Research Interests:
Theoretical Condensed Matter Physics
My research interests locus on the electronic structure of materials.
Early in my career, I studied the band structure of ordered solids and developed and exploited methods of computing the electronic spectra of disordered materials (alloys).
My research interests gradually switched to surface physics, first into the area of spectra of sudace-induced features (surface states) in the electronic spectrum,
and more recently to dynamical processes involved in the optical response of small systems and surfaces.
Selected Publications:
"Relativistic Band Structure and Fermi Surface of Thallium, I," Phys. Rev. 137, A1706 (1965).
"Relativistic Band Structure and Fermi Surface of Thallium, II," Phys. Rev. 137, A1717 (1965).
"Coherent-Potential Model of Substitutional Disordered Alloys," Phys. Rev. 156, 809 (1967).
"Density Fuctional Approach to Local Field Effects in Finite Systems: Photoabsorption in Rare Gases," (with A. Zangwill), Phys. Rev. A21, 1561 (1980).
"A Time-Dependent Local Density Theory of Dielectric Effects in Small Molecules," (with Z. Levine), Phys. Rev. A29, 625 (1984).
420:１３２人目の素数さん
13/02/25 21:54:03.09
yosodeyare
421:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/27 21:54:17.24
乙
よそでか
面白いやつだな
いつもこういう勘違いがわいてくるんだ
ここをどこだと思っているんだろうね？ 高尚な学会？ アカデミー？
いやいや、なんでもありの２ちゃんねるさ
AA、シモネタ、エンタ、お笑い、ギャグ、ジョーク・・・、花も荒らしもある
猫もいれば、クマもいる（独ではKummerとか書くそうだ）
最近は、狢も出没
そのうちキツネやタヌキも出るかも。まあ、動物園と思えば当らずとも遠からず
玉石混交なんでもありの２ちゃんねる
しかも世界一過疎の数学板のこのスレで
チラシの裏と言われながら、真っ白な裏の余白があまりすぎるくらい余っているんだよ
なにを期待して、ここに来ているんだろうね？
つまらんことを言う暇があれば、少しくらい自分で気の利いたを書いてから言ったらどうだい（まず、無理だろうけど・・）
まあ、こっちはマイペース、いま米沢 富美子おばさんが面白い
422:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/27 21:55:51.93
>>421
訂正
少しくらい自分で気の利いたを書いてから言ったらどうだい
↓
少しくらい自分で気の利いたことを書いてから言ったらどうだい
423:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/27 22:22:19.39
といっても、CPAについて、ほとんど書き尽くしたが、もう少々お付き合いを
>>417
>Fumiko Yonezawa and Kazuo Morigaki (1973). "Coherent Potential Approximation: Basic Concepts and Applications". Progress of Theoretical Physics Supplement 53: 1?76. Bibcode 1973PThPS..53....1Y. doi:10.1143/PTPS.53.1.
このP41から41にかけて、概略次のようなことが書かれている
１．Green関数法が、1950年代の終わりの頃に導入された。
２．だが、初期段階では、いろいろ問題があった。
３．これらの問題点が徐々に取り除かれて行き、ついにCPAにたどり着いた。
４．それは、EdwardsがGreen関数法を提案してからCPAにたどり着くまでおよそ10年ほどかかり、多くの人の手によるものである。
５．CPAの歴史的な進歩の様子をTable Iに示す。それは、初期の方法に含まれていた不十分な点がいかにして徐々に取り除かれていったかをも示している。
と
424:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/27 22:36:02.65
>>423
この視点に立てば、>>403の日本語wikipediaに記されている下記
「コヒーレントポテンシャル近似（コヒーレントポテンシャルきんじ、Coherent Potential Approximation、CPA） は1967年に P. Soven[1]が考案したバンド計算手法のことである。」
はちょっと違う
「EdwardsがGreen関数法を提案してから、１０年かけて多くの人の力でようやくCPAにたどり着いたのだ」と
英語版のwikipediaは、この米沢の意見に賛同しているのだろう
だから、P. Sovenに触れずに、Further readingとしてFumiko Yonezawa and Kazuo Morigaki (1973)を引用しているのではないだろうか
おそらく、私個人としては、P. SovenはCoherent Potential の（創始者ではないとしても）命名者とは言えるとは思うのだけれど。
ともかく、英語版のwikipediaと日本語wikipediaとの大きな差
その理由がなんとなく分かった気がした
425:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/27 23:22:00.18
>>423
訂正
このP41から41にかけて、概略次のようなことが書かれている
↓
このP41から42にかけて、概略次のようなことが書かれている
426:１３２人目の素数さん
13/02/28 14:45:23.44
かんどころのガロア理論ってどうですか？
427:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/28 21:26:28.86
はい
既出かも知れないが、まずはこんなところ（下記）を
URLﾘﾝｸ(www.tsuyama-ct.ac.jp)
ガロア理論入門ノート（詳細）Osamu MATSUDA
ガロア理論とは, 19世紀始めのフランス人数学者エヴァリスト・ガロアの名
前からきている. ガロア理論といって先ず思い出す有名な定理は, 「一般の5次
以上の方程式には解の公式が存在しない」というものである. そして「不可能で
あることを証明する」ということ，これがガロア理論の醍醐味である.
どんな4次以下の方程式も, 方程式の係数どうしの四則演算と n 乗根を用いて解くことができる.
代数学では, 方程式の係数どうしの四則演算とn乗根を用いて解くことを代数的に解くという.
だから4次以下の方程式は全て代数的に解けるのである.
しかし5次以上の方程式の中には, 代数的に解けないものがある.
これは, 5次以上の方程式には, 代数的に解くための解の公式が存在しないということを意味する.
この結論を証明するために, ガロアは方程式そのものを考えず, 方程式の背後に潜む群という集合を考えていった.
これは現代流に言えば, 「対象となる数学の内在的性質を探る」という手法の先駆けであるように思える.
ガロアは21歳のとき, 恋人をめぐる決闘によってその人生を閉じた. これはまた驚くべきことでもある.
つまりガロア理論は彼が10代の時に考えたものであるということだ.
しかしこの理論は現在の私達にも,なんともいえない数学の美しさを与えてくれる.
このノートではガロア理論のみを, 特に最初に挙げた定理のみを扱う.
そのために, 必要ない代数学の知識は一切省いた. 基本的に代数学の知識ゼロを出発
点として, このノートだけで完全に証明を理解できるように努めた.
このノート作成にあたり, 特に[1],[2]の中の命題, 証明等を参考に構成した.
428:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/28 21:29:24.60
>>427
ガロア理論をどう捉えるか？
それは、その人のレベルによって異なるように思う
学部生は学部生なりに
院生は院生なりに
大数学者は大数学者なりに
それぞれの深い理解があるのだろう
429:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/02/28 21:42:46.33
>>428
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
坂本龍馬 「なるほど西郷というやつは、わからぬやつだ。少しく叩けば少しく響き、大きく叩けば大きく響く。もし馬鹿なら大きな馬鹿で、利口なら大きな利口だろう」
（引用おわり）
「なるほどガロア理論というやつは、わからぬやつだ。少しく叩けば少しく響き、大きく叩けば大きく響く。」（私の説）
ガロア理論は、その人のレベルに応じて響く
430:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/02 13:13:00.85
ここに一つの物体が置かれているとする
色は黒（青でも赤でも良いが）で、中は見えない。ばらすことはできないとする
これを理解する一つの方法は、いろいろと角度を変えて見ることだろう
もう一つの方法は、切って断面を見ること。但し、一断面では分からないから複数断面を見る必要がある。例えていえば、CTでX線断層写真を作るようなものと思えば良い
ここに、ガロア理論という対象がある
見えない人には、見えないし
レベルの高い人には、見えるものがある
１．一つの視点は、現代代数学の出発点
２．一つの視点は、現代数学が式という具体的な対象を離れて、体や群という抽象的な対象を研究し出した出発点だと
３．歴史的には、ラグランジュが到達した対称式の置換からガウスの円分等周論、アーベルのアーベル群をさらに一般化した理論だと
４．数学理論の面では、方程式の解法を数体の拡大ととらえ直し、数体の拡大を方程式の根の置換群との関係でとらえ直すという画期的手法の導入だと
・
・
書けば、その人のレベルでいろいろあるだろう
いまの君にはいまの君なりのとらえ方がある
もっとレベルを上げれば、違った風景が見えてくるだろう
それがガロア理論
431:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/03 14:45:28.42
ガロア理論とは？
自分の理解を簡単に書いておこう
１．まずガロア分解式（リゾルベント）
V=Aa+Bb+Cc+・・・
a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、係数A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとるように定める（前スレ283）
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:283番)
２．ガロア分解式Vにラグランジュ分解式の論法（根の置換）を適用する（ラグランジュ分解式については下記参照）
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp) <[数学]ガロア理論と方程式 | [数学][反復]反復的集合観と公理...>2012-05-27方程式からガロア理論
URLﾘﾝｸ(www5a.biglobe.ne.jp) 伊那 闊歩 方程式の大海にて
３．ガロア分解式を通じて、ガロアは方程式の群を導入する。（ラグランジュ分解式の論法で、具体的な式の変形の工夫はすべて、根の置換によって取る分解式の値の数の問題に移される）
４．方程式の代数的解法とは？：式の係数のべき根と１のべき根とを用いて根を表すこと→式の係数のべき根の添加によって数体を拡大し、方程式の根を添加した数体に到達できるか？
５．ここで、式の係数のべき根の添加によって数体の拡大が問題となる。→式の係数のべき根の添加による数体の拡大とは？→１のべき根添加を前提として、それは巡回拡大となり巡回群で特徴づけられる
６．すなわち、方程式の係数を有理数体として、巡回拡大により方程式の根を添加した数体に到達できるか？という問題に帰着できる
７．方程式の根を添加した数体は、一般の方程式では対称群Snとなる。対称群Snは、n>=5の場合に正規部分群として交代群Anを含み、n>=5の場合にAnは単純群になるので、巡回拡大では一般の方程式は解けないことが分かる
補足
ガロア分解式を使わずに、体の自己同型写像を使って群を導くのが、デデキントやアルティンの流儀で現代数学の主流（上記はガロアの原論文によるものだが、オリジナルな発想を知る上では重要だと思う）
式の係数のべき根の添加が、１のべき根添加を前提として、それは巡回拡大となり巡回群で特徴づけられるということは、ガウスは明確に意識していた。また、アーベルも分かっていた。（おそらく、ラグランジュもぼんやりとは。）
432:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/03 14:48:49.32
>>431
補足
ガロア理論が知られて以降と知られる前では、明確に数学の質が変わった
そういう意味で、ガロア理論は数学の革命だったといえるだろう
ガロア理論がそれ以降の数学にどういう影響を与えたのか？
そのとらえ方は、その人の立ち位置とレベルで異なる
433:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/03 14:55:59.25
>>431
訂正
５．ここで、式の係数のべき根の添加によって数体の拡大が問題となる。→式の係数のべき根の添加による数体の拡大とは？→１のべき根添加を前提として、それは巡回拡大となり巡回群で特徴づけられる
↓
５．ここで、式の係数のべき根の添加によって得られる数体の拡大が問題となる。→式の係数のべき根の添加による数体の拡大とは？→１のべき根添加を前提として、それは巡回拡大となり巡回群で特徴づけられる
（さらに補足）
正確には、５次以上の方程式の可解性については、アーベルが解いたと言われる。ガウスも気づいていたようだ。
ガロアは、一段高い視点から、方程式の可解性とべき根拡大の関係を論じたところが、革新の本質だ（念のため一言）
434:あのこうちやんは始皇帝だった
13/03/04 19:38:23.24
＞＞４３３
ニートの、ごくつぶしのクソガキ！
抹殺するから、覚悟しとけ！！！！！！！！
435:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/04 21:35:46.76
おお、ありがとうよ
言ってくれるじゃないか
じゃ、聞くけど、あのこうちやんの年収はいくらだ？
おれは、ちょっと下がって840万くらいになったんだが・・・
436:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/06 22:10:13.62
>>430 補足
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2 でも紹介した下記高瀬氏のブログより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:432番)
URLﾘﾝｸ(reuler.blog108.fc2.com)
2009-09-20-Sun
新しい数学史を求めて(105) 情緒の数学史(45)代数的可解性の基本原理をめぐって
（抜粋）
ラグランジュのいうガウスの「美しい発見」というのは何かというと、ここでもまた4年前の一通目の手紙で語られたのと同じ円周等分方程式に関することが語られているのですが、
ラグランジュの言葉をそのまま写すと、「二項方程式の解法を3次と4次の方程式の解法の原理と同じ原理に帰着させた」という状況を指しています。
「二項方程式」というのは円周等分方程式x^n-1=0のことで、この方程式の左辺が二つの項で構成されているところに着目して「二項方程式」という名で呼んでいます。
ガウスは円周等分方程式をいくつかの低次数の「純粋方程式」（これはガウスの用語です）、すなわちx^k=aという形の一系の方程式の解法に組織的に帰着させる手順を示したのですが、
その道筋は3次方程式と4次方程式の解の公式を導くときの手法とまったく同じです。
そこでラグランジュは「（ガウスは）3次方程式と4次方程式を解くのと同じ原理に帰着させた」と言い、これを「美しい発見」と呼んで賞賛したのでした。
ガウスが示した手法はどれほど高い次数の円周等分方程式にも適用可能ですし、
しかもいっそう根源的に、そもそも方程式が代数的に解けるというのはどのようなことなのかという根本原理が明示されているのですから、ラグランジュが驚嘆したのも無理からぬことでした。
ルフィニに欠如していたのはこの根本原理で、そのことがそのままルフィニの「不可能の証明」の欠陥になりました。
アーベルはといえばガウスに学んでこの原理を理解して自分のものにしていましたので、「不可能の証明」に成功するとともに、ルフィニの失敗の原因もすぐにわかったのでした。
「不可能の証明」の正否を分けたのは代数的可解性の根本原理の認識なのであり、これを欠いていたのでは「置換の理論」なども働く余地がありません。
ガウスは別格で、アーベルの証明はガウスの目にはあたりまえのことのように映じたことでしょう。
437:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/07 06:00:11.65
>>436
ラグランジュは、方程式の解法の探求で、ラグランジュの分解式を考案し、根の置換から方程式の解法を導けることを、3次と4次の方程式の解法の原理として示した
ラグランジュ以前は、式の変形を工夫することで、3次と4次の方程式を解いた
ラグランジュは、根の置換が本質だと示した
ラグランジュは、5次の方程式も解法があると思い込んでいた。そこが分かれ道
高瀬氏の見解では
ガウスはさらに先に進んで、「いっそう根源的に、そもそも方程式が代数的に解けるというのはどのようなことなのかという根本原理が明示されている」という
アーベルとガロアは、ラグランジュおよびガウスを読んでいたと思われる
438:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/07 06:12:23.84
>>437
ガウスは、5次の方程式の解法は無いと思っていた
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アーベル-ルフィニの定理
ガウスは不可能性の直接証明こそ行わなかったが、それが不可能問題であることに確信を持っていた。
学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。
代数的に可解な系列として円分方程式論を展開しているが、これはアーベルやガロアの理論のプロトタイプといえるものであり、両者に影響を与えた。
なおガウスは後年アーベル、ガロアの論文を受け取っているが、全く関心を示さなかったという。
ガウスにとって既に重要な問題とは見えなかったらしい。
439:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/09 07:20:20.13
既出かも知れないが、ご参考まで
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
再帰の反復
<[本][数学]高瀬正仁『ガウスの数... | [数学]ガロア理論についてのメモ>
2011-07-21
5次以上の方程式が代数的に解けないことについて
まずは「5次以上」ではなく「2次以上」の話から始める。
以下略
440:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/09 11:01:41.10
これも既出で、過去なんどか紹介したが
下記、定理3-3が本質
URLﾘﾝｸ(homepage2.nifty.com)
方程式論の歴史（平成14年）
P13
3. ラグランジュの方程式論
定理3-3 有理式f(x1, x2, …, xn)を変えない置換で，有理式g(x1, x2, …, xn)を変え
ないならば，
g =（a0 + a1f + a2f2 +… + ai-1fi-1）/（b0 + b1f + b2f2 +… + bi-1fi-1）
ただし，分母子共に次数はi-1以下で，係数はx1, x2, …, xnの対称式である．
証明
略
441:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/09 11:14:49.78
>>440
定理3-3の示すところは、根x1, x2, …, xnの有理式が二つfとgがあって、根x1, x2, …, xnの置換でどう変わるかが本質で、
有理式fを変えない置換で，有理式gを変えない（変わらない）ならば，gはfの有理式
つまりは、根x1, x2, …, xnの有理式は、どんなごたごたした式の変形をしても、本質は根x1, x2, …, xnの置換で尽くされる（＝具体的な式の変形ではなく根の置換で取る値を考えるべき（＝根の置換（群）が本質だ））
（余談だが定理3-3の証明で使う式G(x)の構成が巧みだ。最初見たときに意味が分からなかった。が、みれば見るほど美しい式だ。）
ラグランジュの方程式論は、”根の置換（群）が本質だ”ということを示した
ラグランジュがそれをどこまで深く理解したかは別として
ルフィニ、ガウス、アーベル、ガロアは、”根の置換（群）が本質だ”ということをより深く理解したのだった・・・、それぞれのレベルで・・・
442:仙石６２
13/03/09 12:33:06.64
うるせぇ！
443:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/09 15:27:33.42
仙石６２か
減らず口元気そうだな
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む(初代スレ)
671 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/03/17(土) 20:01:59.56
仙石６０って、これ？ ゴミだな
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
60才からの数学への理解
1 : 仙石６０: 2011/01/13(木) 15:44:31 いまや 毎日が日曜日。
職業に関係する知識とノウハウは誰にも負けん。
しかし数学は大學理科（非数学）れべるに止まっている。
ジャルゴンだけなら、数学用語もしっているが本質はしらん。
そこで数学勉強を始めようとおもう。
情報処理能力は若い奴に葉ソフトハードともにまけん。
よろしくご教示指導願いたい。
遊民的暇つぶしなどと言わないでよろしくお願いする。
（引用おわり）
672 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/03/17(土) 20:04:27.10
で、仙石６０って、コテと匿名（１３２人目の素数さん）とageとsageとを使い分ける多重人格かよ？ 全く信用できないオッサンだな
444:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/10 21:31:35.81
これ、なかなか面白い
URLﾘﾝｸ(www.nagano-c.ed.jp)
平成１８年度課題研究 長野県木曽青峰高等学校
３ 代数方程式の解を求めて 研究者 小桂 重徳 小松 洵 鈴木 弘道 林 洋樹 指導教諭 今井 隆 先生
URLﾘﾝｸ(www.nagano-c.ed.jp)
445:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/10 22:19:55.65
>>444
引用
”[1] では、5次方程式についてはルフィニによって「置換群」とよばれるものから段々と方程式そのものから離れた抽象的な数学に進んでいく。時間と知識が追いつかない我々にとって、手に負えない代物になってきた。
そんなとき、クロネッカーが1850年代に1つの証明を与えていることを知った。[2] その方法は、代数方程式を解くという我々の気持ちを延長した解決法であり、ようやく我々の目標の達成に至ることになる。
ただし、クロネッカー(Leopold Kronecker 1823/12/7～1891/12/29)の証明は方程式論全体の流れの中では孤立しているため余り知られていないようである。
定理 クロネッカーの定理
pを2と異なる素数とする。このとき有理数を係数とする p 次の既約方程式が代数的に解けるとすれば、実数解の個数は1個かｐ個のいずれかである。”
”[1] ガロア理論 /矢ヶ部巌（現代数学社）
[2] 方程式 /志賀浩二（岩波書店）”
（引用おわり）
”定理 クロネッカーの定理
pを2と異なる素数とする。このとき有理数を係数とする p 次の既約方程式が代数的に解けるとすれば、実数解の個数は1個かｐ個のいずれかである。”
この定理自身は、ガロア理論入門エミール・アルティン 著にも記されている。第三章の定理46の系として扱われている。アルティン 本以外でも見たような気がする。ただ、クロネッカーの定理とはされていない
URLﾘﾝｸ(www.chikumashobo.co.jp)
ガロア理論入門
エミール・アルティン 著 , 寺田 文行 翻訳
446:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/10 22:28:11.94
>>445
>ただし、クロネッカー(Leopold Kronecker 1823/12/7～1891/12/29)の証明は方程式論全体の流れの中では孤立しているため余り知られていないようである。
こんなところが参考になるだろう（下記）
URLﾘﾝｸ(reuler.blog108.fc2.com)
（ガウス33）クロネッカーの代数方程式論(1) 2008/04/28 22:37
アーベルの代数方程式論は「不可能の証明」と「代数的可解性を左右する要因の解明」という、ふたつの基本契機に支えられて成立しました。
前者の究明はアーベルを「代数的可解方程式の根がもつ特殊な形状」の考察へと誘い、後者の問いからはアーベル方程式の概念が誕生しました。
ドイツの数学者レオポルト・クロネッカーはこのような二通りの様相の交錯点に立脚して「アーベル方程式の根の形状の確定」に向かい、虚数乗法論という新世界の扉を開きました。
しばらく1853年の論文「代数的に解ける方程式について」の記述を追いたいと思います。
クロネッカーは1856年に同じ標題の論文をもうひとつ書いています。今から紹介する1853年の論文を「第一論文」、1856年の論文の方は「第二論文」と呼んで区別しています。
《次数が素数である［既約］方程式の可解性に関する従来の研究－特にアーベルとガロアの研究。それらはこの領域において引き続き行なわれたすべての研究の土台をなすものである
－は本質的に、結果として、ある与えられた方程式が［代数的に］解けるか否かを判定しうる二通りの基準を明らかにした。
それにもかかわらず、これらの判定基準は可解方程式それ自体の本性に関しては、実際にはごくわずかな光さえも与えなかった。》
アーベルとガロアは代数的可解性に対する二通りの判定基準を明らかにしたとクロネッカーは言っていますが、ガロアが見つけた判定基準については前回、紹介した通りです。
アーベルの方はというと、代数的に解ける方程式の根の形状を三通りの仕方で明示しただけで、代数的可解条件それ自体を記述したわけではありません。
ですが、これは少し後に紹介するつもりですが、クロネッカーはアーベルの表示式の考察の中から、代数的可解性のひとつの判定基準を取り出しました。
以下略
447:あのこうちやんは始皇帝だった
13/03/11 11:27:54.12
>>443
偽者はあいてにすんなよ
448:仙谷６２
13/03/11 11:32:29.83
うるせぇ！
449:仙石XX
13/03/11 22:38:45.41
↑
謝罪と補償をもとめる。
450:仙谷６２
13/03/11 22:39:29.84
何やとコラ
ワシは元エリート社員やぞ
451:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/12 06:33:20.97
>>447-450
ケンカすな
みんな仲良く荒らしてね
452:仙谷６２
13/03/12 09:24:11.18
↑
謝罪と補償をもとめる。
453:１３２人目の素数さん
13/03/12 09:31:11.76
,r"´⌒｀ﾞ`ヽ
／ , -‐- !､
／ {,}f -‐- ,,,__､)
／ / .r'~"''‐--､)
,r''"´⌒ヽ{ ヽ (・)ﾊ(・)}､
/ ＼ （⊂｀-'つ）i-､
`}. （__,,ノヽ_ﾉ,ﾉ ＼
l ｀-" ,ﾉ ヽ
} ､､___,j'' l
454:仙谷６２
13/03/12 17:10:57.53
うるせぇ！
455:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/12 21:23:31.85
>>452
OK！
おれが悪かった
補償をするので、仙谷６２の実名と住所をここに晒してくれ
現金書留で補償金を送るから
456:１３２人目の素数さん
13/03/12 23:51:53.94
大阪都立動物園メスパンダ宿舎 仙石６２
457:仙石６２
13/03/13 00:12:04.78
,ｘ彡 ミ{､{v､⌒ヽ､ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
xイ ㍉ｲヽ、 ヽ. |
〃 川 ヽ.ヾヾ. .|
リ ヽ.v|｝ .|
彡ｲ＿＿ rｪ'v' |
彡彡〃二二､＿＞'卞》, |
,xイ ,.ｘ≦《ｔッ= 〕f‐〔テ.} 》 |
_,,ｘ≦三ﾆ≡《＿＿》" ヽrく ＼
＿_ｘﾁ'＜, ￣￣ f⌒ ,,.. }:. , /／￣￣￣￣￣￣￣￣
ｌ´⌒>’`ゝ:;;ゝ f ゝ-'´`く:.:. i /'
{ 仆i , :. ,xｪｭ,: | 謝罪と補償をまっているぞ
. ∧ ゝﾑ ',:. r''ﾆ二え |
∨ ゝ、＿ >, ` ::: ､.|
＼ { : ､.::.:.:.:.|
}川 : :.:. . ー'',r'
l｢￣￣≧ｘ､,_ :::::::::::／
458:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/13 05:53:15.45
本名：仙石 仙人太郎
住所：〒 00-0000 日本国仙人県仙人山頂1-1
か
分かった！ すぐ仙万円送るよ！ まっててね
459:１３２人目の素数さん
13/03/14 01:31:31.14
ガロアを読むのはいいが、おまえはどういう発展に寄与したのかね？
それとも新たなガロア理論を展開したのかね
460:１３２人目の素数さん
13/03/14 23:11:14.81
こいつは何でもWiki依存の知ったか野郎だよ
461:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/14 23:36:30.06
>>459
来るところを間違えてないか？
”おまえはどういう発展に寄与したのかね？”、 ”それとも新たなガロア理論を展開したのかね”？
ここはどこ？ 大数学者のつどう学会か？ 研究所か？ 高等サロンか？
いやいや、ただの２ちゃんねるのおれの立てたスレだよ
来るところを、お間違えじゃないですか？
462:仙谷６２
13/03/14 23:38:34.46
うるせぇ！
463:仙石２０
13/03/14 23:46:47.86
ゴミの集まりだね
464:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/14 23:49:14.23
>>460
ああ、よく言われるよ
Wikiからの引用が多いからね
紙の本から引用しようとすれば、逐一文字を起こす必要がある
が、Wikiからの引用ならコピペで済む。それに、Wikiは簡潔にまとまっている
ネット検索で引っ掛かるPDFなどもよくコピペするが、数十ページを超える文書からだと２ちゃんねるの字数制限に引っ掛かる場合が多い
なので、第一がWikiからの引用、第二がネット検索で適当な文を見つけてコピペ、最後が書棚の本からタイプ起こしだ
書棚の本からタイプ起こしは、面倒だから最小限にしている
だからと言って、本を読んでいないわけじゃない。本を読んで知っていることを、Wikiやネット検索で落ちている部分から探してコピペする
それを見て勘違いするやつがおおい
何も知らないでWiki引用しているとか。そう思うのは勝手だがね・・。現実は知っているがタイプ起こしが面倒だから、検索で拾ったものをコピペする。そうでなければ、あの速さではレスできないよ
465:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/14 23:50:06.82
>>462-463
いいね
なにせ、ここは２ちゃんねる
気取っちゃいけないよ
466:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/14 23:52:51.15
>>459
マジレスすれば、以前も書いたけど、おいらは工学系で数学は使う人で、理論を作る人じゃないよ
以上
467:１３２人目の素数さん
13/03/15 00:03:24.08
いいね
なにせ、ここは２ちゃんねる
気取っちゃいけないよ
468:１３２人目の素数さん
13/03/15 02:07:13.98
工学系でも必要なら数学理論をつくるよ！
469:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/15 05:29:10.32
>>468
乙
Yes!
古くは、オイラーがそうだった
多くの（弾性論や流体力学などの）偏微分方程式や変分法を創案した
その他下記
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler, 1707年4月15日 - 1783年9月18日）は数学者・物理学者であり、天文学者（天体物理学者）である。
業績
解析学（無限小解析）においては膨大な業績があり、微分積分の創始以来もっともこの分野の技法的な完成に寄与した。
級数や連分数、母関数の方法、補間法や近似計算、特殊関数や微分方程式、多重積分や偏微分法などなど、
古典的な解析学のあらゆる部分に、基本的なものから応用にいたるまでの業績があり、自身の発見を教科書を通して広く一般に普及させた。
あまりにも膨大な量のため、彼の解析学における仕事、例えば公式ひとつひとつまでも完全に伝わっているということはなく、あらたな公式の発見などしばしばオイラーの再発見に過ぎないことも多い。
その名前は、指数関数と三角関数の間の関係を与えるオイラーの公式、オイラー＝マクローリンの和公式、オイラーの微分方程式、オイラーの定数などに残っている。
フェルマー以降進展がなかった整数論において、ラグランジュの出現まではほとんど一人で研究し続け、二次形式や原始根、フェルマーの小定理の拡張など、部分的ではあるが広大な結果を残した。
数論的関数の一つであるオイラー関数（オイラーのφ関数）に現在も彼の名前が残っている。
またゼータ関数を初めて扱って（ゼータ関数の名称自体はリーマンによるもの）、後に解析的整数論の重要な主題となるいくつかの非常に重大な結果を得ている。
彼は ζ(2)=(π^2)/6 を求めることに初めて成功
彼はゼータ関数と素数の関係を表すオイラー積の公式を発見（1737年）、素数の逆数の和が発散するという新しい結果を得た。
更に彼は超人的な数学的直感を利用して、ゼータ関数の負の数における値に意味付けを与えた（後にこれは数学的に正当化されることとなる）。
数の分割の理論においては、母関数の方法の応用が著しく、五角数定理をはじめ様々な組み合わせ的、あるいは楕円関数論的な恒等式を得た。
つづく
470:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/15 05:31:48.15
つづき
幾何学においては、位相幾何学の嚆矢となったオイラーの多面体定理（ただしオイラーは証明を与えていない）や「ケーニヒスベルクの橋の問題」が特に有名である。
特性類の一つであるオイラー類は本質的にこのオイラーの多面体定理によって特徴付けられるものである。
「ケーニヒスベルクの橋の問題」は一種の一筆書きの問題だが、これに取り組んでオイラーは一筆書きの可能になる必要十分条件を求めた。
それに因んで今日では一筆書きのできるグラフはオイラーグラフと呼ばれる。これはグラフ理論の起源となった。
物理学では、ニュートン力学の幾何学的表現を解析学的に修正して、現代的なスタイルに変更することになった。
彼は1736年に初めて力をはっきり定義し、解析的形で運動方程式を与えた。
そしてそれ以後、この定式化に基づいて振動弦の問題を論じ、また地球の章動の研究において運動方程式による3体問題の定式化を行った。
そして1755年には流体力学の基礎方程式（オイラーの連続方程式と運動方程式）を導いて体系化し、
さらに1760年には剛体の力学を論じ、剛体に固定した運動座標系を導入してオイラーの運動方程式を得、これを発展させた。
剛体の方位を規定する3つの角は「オイラーの角」と呼ばれる。
だが、彼は1760年代までニュートンの重力理論を容認できず、デカルトの充満理論、エーテル理論に固執した。その他、変分法に関する業績も多い。
ライプニッツによって定義された関数を初めてy=f(x)の形で表したのもオイラーである。
オイラーは人類史上最も多くの論文を書いた数学者であったと言われ、彼の論文は5万ページを超える全集にまとめられているが、その全集は未だに完結していない。
471:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/15 05:47:09.99
>>469-470
ガウスが数学の王とすれば、オイラーはKing of Kings。数学の皇帝と呼ばれるのが相応しいと、工学系のおいらも思う
URLﾘﾝｸ(dic.nicovideo.jp)
カール・フリードリヒ・ガウスは18世紀末から19世紀にかけてのドイツの数学、天文学、物理学者。恐らくは人類史上最強の数学者であり、誰が呼んだか「数学王」の異名をとる。
対抗できるのは多分オイラーぐらいしかいない。
概要
言葉を覚えるより前に計算を始め、5,6歳で父親を凌駕。15歳にして素数定理を予想し、18歳の時には既に当代最強になっていた。
その後はヨーロッパ数学界のドンとして君臨し、ほぼ無敵のまま生涯を終える。
主要業績は……当時の数学のほぼ全分野。他の数学者全員が得た大半の事実は、ガウス一人が独自に、しかも数年から数十年早く発見している。まさしくチート中のチート数学者である。
もっとも、生前はそれらをほとんど公にせず、手紙で知人に伝えたり、日記に発見を書き残したものが多くを占める。
何か新発見を聞く度に「それなら私が昔やった(ｷﾘｯ」としか言わなかった為、まじめなルジャンドルなどは「ガウスは天才を笠に着て全部自分の手柄みたいにいうヤツだ」と思ってたようである。
またあるときは、ゼーバーという数学者がある問題を証明しようと発表した248ページから成る論文（がんばったのだろうが途中までしか証明できず結局未完成のまま発表した）を書評で取り上げ
「頑張りは認めるけど、論文の内容は数語にまとめられる」「それらの重要な部分は30年前に私がやった（けど細かいことに興味無いから全部やらなかっただけなんだよね(ｷﾘｯ ）」
「この書評のなかで彼の説を完成させることに貢献する（俺が本気出せばこんなもんヨユー）」と知らない人が読めば、中二病患者か名人様かと思うようなことを書いた後、
たった1ページ半 40行ほどの計算をしただけできれいに証明を完成させてしてしまった。
ガウスの死語40年ほどして遺稿が整理されると……まあ出るわ出るわ。
生前からガウスは「何か隠してる」とウワサになっていたのだが、予想を遙かに凌駕する内容に数学者達は度肝を抜かれたのであった。
472:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/15 05:48:03.37
つづき
全盛期のガウス伝説
「整数論」の最初の方はフェルマー、オイラー、ルジャンドルらの数論史まとめ。ただしガウスに言わせると「ほとんどの定理は少年時代に自力で見つけた(ｷﾘｯ 」
リアル中二時代のガウスは素数で一山当てようと頑張るも成果が上がらない。面倒になったので「素数の分布を確率的に統計処理して大体の傾向をつかめばいんじゃね？」と考えて素数定理を発見。計算は一日十五分。俺そんな暇じゃないし(ｷﾘｯ
高校生ぐらいの歳に初めてオイラーを読んで、自分の発見をほとんど先取りされていたことに大ショック。しかしオイラーがやっていない定理もあったことに自信を持つ。
楕円関数では三十年後に後輩のアーベル、ヤコビに追い抜かれた。何故なら楕円関数を見つけた一月後にモジュラー関数まで進んで放ったらかしにしたから。モジュラー関数が世に出てくるのはアーベル達からさらに二十年後。
ある時、数値計算で約4.81048という極限値を得る。
これを見たガウス：「自然対数を取ると1.5708...=π/2？」と即座に予想。
非ユークリッド幾何学を提唱したヤノーシュ・ボヤイは、父がガウスの親友だった事からガウスに論文の批評を依頼。帰ってきた返事は「良くできてるけど褒めると自画自賛になっちゃうんだよね。
二十年以上前に同じ結果出てたから。周りがうるさいから発表しなかったけど(ｷﾘｯ 」。ヤノーシュはヤケになって以後人生を投げてしまう。
コンピュータ時代に発展する高速フーリエ変換アルゴリズム（FFT）を何故か知ってた。
ちなみに、ガウスはごく普通の煉瓦職人の息子であり、両親の家系を追っても学術的才能を示した人物など全くいない。
天才数学者は数おれど、ここまで極端な突然変異はガウスぐらいのものである。
473:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/15 05:50:37.88
>>471-472
補足
ニコニコ大百科(NICO NICO Pedia)とあって、だれが書いていたか知らないが、面白いね
474:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/15 05:58:25.32
>>473
訂正
だれが書いていたか知らないが
↓
だれが書いたか知らないが
475:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/15 06:00:39.78
>>469-474
で、まあ天才はいるけれど
時代が進むと、天才が考えたことを皆で消化して、普通に使うようになる。それがおいらみたいな工学系
476:本物の仙石をしるもの
13/03/15 13:07:32.19
げんきになってよかったね。
477:有能な政治家を貶め、無能な政治家を持ち上げ国力を削ぐ在日カルト
13/03/15 13:37:27.12
★マインドコントロールの手法★
・沢山の人が偏った意見を一貫して支持する
偏った意見でも、集団の中でその意見が信じられていれば、自分の考え方は間違っているのか、等と思わせる手法
・不利な質問をさせなくしたり、不利な質問には答えない
誰にも質問や反論をさせないことにより、誰もが皆、疑いなど無いんだと信じ込ませる手法
↑マスコミや、在日カルトのネット工作員がやっていること
TVなどが、偏った思想や考え方に染まった人間をよく使ったり、左翼を装った人間にキチガイなフリをさせるのは、視聴者に、自分と違う考え方をする人間が世の中には大勢いるんだなと思わせる効果がある。
..
478:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 08:49:27.65
>>476
乙
”本物の仙石をしるもの[はい] ”か
この板は、IDがでないのが不便だが、”本物の仙石”そのものではないように感じる
>げんきになってよかったね。
こういうとき、日本語の主語省略文は意味不明確になる
これがスレ主に対してなら、年末年始は忙しくてねカキコの時間がなかったんで、それが主原因なんだ
479:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 09:47:59.87
思い返せば、初代スレが下記2012/01/31(火)から始まった
それから、１年を過ぎ”その７”まで来た
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
1 名前：名無しさん[] 投稿日：2012/01/31(火) 22:32:36.78 ID:LTM9xtnu [1/10]
480:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 09:53:51.91
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
40 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/04/13(金) 22:42:31.66
URLﾘﾝｸ(www.sci.nagoya-u.ac.jp)
眠りから覚めた微分ガロア理論 梅村 浩 多元数理科学専攻教授 名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌 No.10 p14_15
彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
（１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
（２）ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。
方程式の場合、目のつけどころであるカナメの部分がガロア群である。ヒヨコのお尻と違って、方程式の対称性であるガロア群は隠れているので、発見するのが難しいのである。
ガロア理論は上に述べた歴史的難問の解決に役立っただけではない。19世紀以降の数論、代数幾何学の発展はガロア理論なくして考えられない。たとえば300年を越える眠りから覚めたフェルマの最終定理の証明もそうである。
192 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2012/04/21(土) 10:35:24.20
隠れた対称性なんて言葉は無意味。
素直にガロア群と言えばいい。
無意味な言葉に酔ってるんじゃないよ
231 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2012/04/21(土) 15:15:43.09
アランコンヌはガロアの業績の紹介の中で
ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる。
Brisure de symetrie
Le premier pas de la demarche de Galois consiste a briser
de maniere maximale la symetrie entre les racines
d'une equation en choisissant une fonction
auxiliaire largement arbitraire de n variables.
481:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 09:58:13.60
>>480 過去スレつづき
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
236 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/04/21(土) 17:55:20.77
>>231-233
乙です
いや、面白ね
で、231はPS版で、同じ内容のPDF版が下記にあるね
URLﾘﾝｸ(www.alainconnes.org)
Alain Connes -- Documents
La Pensee d'Evariste Galois et le Formalisme moderne [PDF] 259 KB URLﾘﾝｸ(www.alainconnes.org) [PS] 1.6 MB
238 返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/04/21(土) 18:15:32.63
>>236 つづき
”アランコンヌはガロアの業績の紹介の中で
ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる。”>>231は、全くの誤訳誤解でしょ
"Brisure de symetrie"は、正確には ”2. Brisure de symetrie” で、２章の表題だろ（因みに、”1. Introduction” ）
で、結論から言えば、 ”2. 対称性の分解”とすべきだろう
239 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2012/04/21(土) 18:24:27.47
>>236
なんで対称性の破壊者と呼んだかわかるかな？
ガロアは論文の始めに対称群で不変となる式でなく
恒等置換以外の全ての置換で不変とならないもの
を定義してそれを議論の中心においた。
このことを指している。
コンヌだからこそ言える台詞。
そこらの二流の数学者じゃ群といったら対称性と
脊髄反射的に月並みな台詞を吐くのが関の山。
482:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 10:01:51.25
>>481 過去スレつづき
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
241 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/04/21(土) 18:28:46.39
>>238 つづき
”2. Brisure de symetrie”の10行ほど後に、
V = Aa + B b + C c +
と出てくる
これは有名なガロア分解式（リゾルベント）>>15
ならば、Brisure de symetrie＝対称性の分解
しかも、”ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる。”というのはどの文を根拠にしている？ （”ガロアを”の部分が読めない）
おいらも、仏語はよく分からないが、いまネット翻訳もあるから（例えば下記）翻訳にかけているのでよろしく
URLﾘﾝｸ(www.excite.co.jp)
243 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/04/21(土) 18:36:38.02
>>239
じゃ聞くが
”2. Brisure de symetrie”のすぐ（10行ほど）前に下記があるよ
L'un des aspects des idees de Galois qui est passe le plus facilement dans les outils
conceptuels des scientiques de notre epoque est celui relie a la notion de symetrie.
Gr^ace a cet acquis il n'est pas irrealiste d'esperer que les textes de Galois soient
devenus accessibles au scientique non-mathematicien (physicien chimiste et peut-
^etre biologiste). Raison de plus pour en commencer la lecture !
これを訳してみな
483:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 10:12:50.51
>>482 過去スレつづき
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
245 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/04/21(土) 18:52:16.53
>>231
いやー面白いね
ネット翻訳で、仏→日は使えないが仏→英はかなり使える
URLﾘﾝｸ(www.excite.co.jp)
例えばこの文
仏
2. Brisure de symetrie
Le premier pas de la demarche de Galois consiste a briser de maniere maximale
la symetrie entre les racines d'une equation en choisissant une fonction auxiliaire
largement arbitraire de n variables. Il enonce
英
2. Break of symetrie
The first step of the d emarche of Galois consists has break mani maximal era the symetrie between the roots of an equation while choosing an auxiliary function extensively arbitrary of variable n. It expresses
だれがどう見ても、英訳ではガロア分解式についての説明だよね
仏
Gr^ace has this acquirement he is not irr ealiste of esp erer that the texts of Galois became accessible to the scienti that no-math ematicien (physicist chemist and can - ^ to be a biologist). All the more reason to begin reading of it!
英訳
One of the aspects of the idees of Galois that is the most easily e pass in the conceptual tools of the scienti ques of our time is the one e reli has the notion of symetrie.
を見る限り、意味の取れないところもあるが
”ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる”と真逆だと思うのだが
484:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 10:28:08.59
>>480-483
ここらが一番面白かった
群論＝対称性
そんなのは、おいら（工学系で数学を使う立場）からすれば、空気や水と同じで、それが理解できていない人間がいることが理解できなかったし、おどろいた
だが、間違った考えをおいらのこのスレで見過ごすわけにはいかない
アランコンヌの仏文を引用されたときは、ちょっと困惑した
が、「アランコンヌたるものが”群論＝対称性”と違うこと書くはずが無い！」という確信があったから、原典を当たれば（関連のところをしっかり読めば）誤読していることはすぐ分かるはずと思った
ネット翻訳があったのは助かったね
最初exciteの翻訳を使っていたが、google翻訳も良いね
仏→英はかなり使える（仏→日はだめ）
群論＝対称性が分からんというのは、勉強不足以外のなにものでもない（視野が狭い）
そもそも、群論＝対称性を否定する日本語の文献が見つからない時点で気づけよおい
で、アランコンヌの仏文を誤引用するに至ってはないをかいわんだ
まあ１年たつから彼もかなり成長したろうと思う
485:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 10:36:50.64
>>471
>主要業績は……当時の数学のほぼ全分野。他の数学者全員が得た大半の事実は、ガウス一人が独自に、しかも数年から数十年早く発見している。まさしくチート中のチート数学者である。
チート解説
URLﾘﾝｸ(dic.nicovideo.jp)
チート(英：cheat)とは
和製英語。コンピューターゲームなどで自分が有利になるよう「データのイカサマ改造」をすること。
ネット用語。「イカサマ並に凄い」「チート改造したように凄い」を意味する褒め言葉。（例：チートｗｗｗ）
チート（褒め言葉）
2ちゃんねるやニコニコ動画においては、「人間のなせる技ではない余りにチート改造に見える」もしくは、チート改造に見えるあまりに「それズルいぞ」「それは卑怯だ」などの意味合いでコメントされることもある。
さらに言えば、あまりにも凄すぎる人や行動に「チートｗｗｗｗｗ」「テラチートｗｗｗｗｗ」と使われることがあるが、これは「チート改造をしているかのように凄い」という褒め言葉の意味を含む。
またゲームに限らず、アニメ･漫画でもその世界観を崩しかねない圧倒的な強さを持つキャラに対しても『チートキャラ』という表現が使われることもある。
ただしこの場合強すぎるというよりは、どんな状況でもものともしない、または様々なスキルを持っていて非常に便利がいいという意味が含まれることもある。
いずれにしてもこの場合は本来の英単語の「cheat」とは離れた言葉になっている。
486:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 10:49:28.83
>>485
さらに補足
当時の数学のほぼ全分野：時代が違うので、現在とは分野の広さが違うだろう
他の数学者全員：時代が違うので、現在とは数学者の数が違うだろう （職業数学者の定義をどうするかもあるし、大学の数も違うし、数学科があったのかどうかもよく分からないが、当時は少なかったろう）
数年から数十年早く：これも時計の進み方（情報の伝達スピード）が違うと思う。電話もない時代で、紙のお手紙で情報をやりとり。プレプリント情報をe-mailやネットでやりとりする現代とは、時計の進み方が違うだろう
としても
ガウスが数学の王と呼ばれること>>471-472に異論を唱える人はいないだろう
そんなガウスだが、オイラーと比較するとガウスが小さく見える・・>>469-470
487:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 14:29:02.34
工学と理学（物理、化学、数学）との関係で、ラングミュアの記事を読んだことがある
昔のことなので、典拠を示すことはできない
が、とりあえず下記など
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アーヴィング・ラングミュア（Irving Langmuir, 1881年1月31日 - 1957年8月16日）は、アメリカ合衆国の化学者、物理学者である。1932年に界面化学の分野への貢献でノーベル化学賞を受賞した。
コロンビア大学を卒業後、ゲッティンゲン大学で、ヴァルター・ネルンストのもとで化学を学び、1909年からゼネラル・エレクトリックの研究所で研究を始め1950年まで在籍した。
また、「事実でない事柄についての科学」を病的科学として定義したことでも知られている。
業績
不活性ガス封入によるタングステン電球寿命の延長（1913年）
ラングミュアの吸着式の提出
水素プラズマの研究→プラズマの命名（1928年）、静電探針を考案
高真空水銀ポンプの発明
ラングミュアの真空計の発明
ルイス－ラングミュアの原子価理論（1919年）→オクテット則
白金の触媒作用の研究
単分子膜（ラングミュア・ブロジェット膜：LB膜）の研究（1934年）
キャサリン・ブロジェットとの共同研究
人工降雨の実験（1946年）
同じ研究所に所属していたバーナード・ヴォネガットが、ヨウ化銀が雲の核を形成に使えることを発見していた。
488:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 14:32:28.07
ラングミュアーは、電球の寿命を延ばす研究から、フィラメントの表面に入り、「表面化学」というひとつの化学分野をうち立て、ノーベル賞をもらったのだった
URLﾘﾝｸ(ch.ce.nihon-u.ac.jp)
ゼネラルエレクトロニクスに入って、ラングミュアーのまずやったことは、白熱電球の寿命を延ばすにはどうすればいいのだろうか、という誠に実用的な研究をスタートさせたわけです。
ところがその電球の寿命を延ばすというとフィラメントの寿命をのばすということです。だから、まずフィラメントがどんなふうに変わっていくのか、ということを調べることになるわけです。そうすると当時の電球は中が真空だったのです。
真空のところにフィラメント成分が蒸発して飛んでいってしまい、電球のガラスについてしまう、ということを見つけたのです。
だから、電球の中に不活性なガスーアルゴンとか窒素とかーを封入することによって、フィラメントの表面から蒸発するものを少なくすることができて、電球の寿命をのばすことに成功したのです。
ラングミュアーのよいところは、そのときに表面、物質の表面が非常に大事であるということに気づいたのです。
さっき申し上げましたように、フィラメントの表面から成分が蒸発して飛んでいっているということは、すなわち表面がどうなっているのかということを研究すれば、どうすればいいのか、ということがある程度分かるはずです。
表面が非常に大事だということを提唱して、「表面化学」というひとつの化学分野をうち立てた人なのです。
その功績によりラングミュアーはノーベル賞をもらっております。ラングミュアーは企業の研究者であって応用から研究をスタートしたのです。
489:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 14:39:13.30
電球の寿命を延ばす研究から、ノーベル化学賞を受賞というところが、一つのモデルだと
つまり、ラングミュアは本質を掘り下げて探求したんだと
490:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 14:51:35.23
>ラングミュアは本質を掘り下げて探求したんだと
"佐藤幹夫 数学を語る"(下記)で、高木類体論の「代数的整数論」で、”ぼくは証明の細かいところは読まないから、読みやすかった。・・証明というのは、定理の内容がわかってみれば、自分流に考えたほうがよく分かる”と
本質をしっかり理解するということが共通かな
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
数学の50年 数学セミナー創刊50周年記念 発刊日：2013.02
第１部 数学50年を語る
森 重文氏フィールズ賞インタビュー／画家のように数学を
加藤和也氏インタビュー／フェルマーの最終定理
松本幸夫氏インタビュー／低次元トポロジーの50年
原田耕一郎氏インタビュー／有限群論の50年
三村昌泰氏インタビュー／現象と数理の50年
佐藤幹夫 数学を語る／超函数から超局所解析まで
491:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 14:58:11.32
"佐藤幹夫 数学を語る"で、イジング模型の話が出てくる
”今度は非線型をやることにした。非線型を始めるには、物理からの方がアプローチしやすい”と
ディラックの量子論を佐藤は読んでいたと書いている
物理のイジング模型をやったころ、ソリトンとの出会いがあった
そんなことが書いてある
492:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 15:20:18.61
佐藤幹夫 イジング模型の補足は下記
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
武部尚志
2013/02/19
可積分系への代数解析の応用
今日は特別講義。"Survey on Algebraic-analysis in applications to Integrable Systems" と題して「数理解析研究所５０周年で書かされた文章を元に三つのトピックスについて 1976 年から 1994 年までのことを…」、
おお！Ising 模型と KP hierarchy と XXZ 模型だ！(^o^)「話すつもりでしたが、三つは多すぎるので二つにします。したがって 1984 年まで。」おっとっと、XXZ は脱落。(^^;; さらに途中で「あ、この調子では二つも無理ですね。」ありゃりゃ、KP も落ちた…。(;_;)
と言う訳で、Ising 模型の定義から、Onsager, Yang, Wu-McCoy-Tracy-Barouch らの結果, 「なぜこんなもの（相関関数が Painleve 方程式の解で書ける）が出てくるのかを説明するのが数学」、
転送行列、Wigner 変換による fermion の導入、Clifford 代数と Clifford 群、disorder/order variables, 波動関数とそれの満たす holonomic 系とモノドロミー保存、解が存在するための両立条件から Painleve 方程式という非線形微分方程式が出てくる、という流れ。
それにしても、この Ising の話は Sato-Miwa-Jimbo の非常に有名な仕事ですが、今の今まで三輪先生からも神保先生からもこれに関する講義を直に聞いたことはありませんでした。
こういう昔の話を後の世代にもう少し語り伝えてくれてもいいんじゃないかなぁ（本はありますけど）
以下、途中で出てきた話：
代数解析とは「関数と方程式を調べること、と言うと数学全体になってしまって粗すぎる定義だが、我々が考えるのは物理の無限自由度系から来ているもので、その対称性が方程式となって現れる。それで関数を調べるのが（我々の）代数解析」。
「嘘か本当か分からないが」と前置きした上で、McCoy 氏達が最初に Ising の相関関数が Painleve 方程式の解で書けるという結果を出した論文はある雑誌に reject された。その理由というのが「物理にこんな複雑な関数が現れるはずがない」というものだった。
493:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 15:27:23.19
もう一つ工学と理学（物理、化学、数学）との関係で書いておくと
１８世紀に鉄鋼業が発展した
鉄鋼業では鉄の温度を測ることが重要なんだが、その測定に光温度計が使われるようになった（下記）
光温度計の研究から黒体輻射の研究が進み、プランクの法則やアインシュタインの研究につながり、量子力学が生まれたと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
放射温度計（ほうしゃおんどけい）は、物体から放射される赤外線や可視光線の強度を測定して、物体の温度を測定する温度計である。
これらの赤外線や可視光線といった熱放射は黒体放射によって生じ、温度と放出エネルギーとの関係を表すシュテファン＝ボルツマンの法則およびプランクの法則によって、物体の温度を算出することができるのを活用している(色温度)。
494:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 15:33:33.53
量子力学が現代数学に大きな影響を与えた、あるいは与えていることは、知る人ぞ知る事実
いろんな話があるんだよね。面白い話が
数学の理論があってその応用がある。応用から新しい数学が生まれる。そういうことがあると思う
ソリトンなどはそんな感じじゃないだろうか
495:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 20:38:58.56
>>485
>「チート改造したように凄い」を意味する褒め言葉。（例：チートｗｗｗ）
話は飛ぶが、ガウスやオイラーの時代と違うのは、コンピュータの発達
ガウスやオイラーからみれば、「コンピュータ使うのは、”チートｗｗｗ”！」と言われるかもしれない
けど、現代人にとってはコンピュータ使うのはチート（じゃない）
予想を立てるのに、コンピュータ使ってやるのは普通。ガウスは天才的な手計算だったけど・・
群論では、散在単純群の構成にコンピュータ使ったと
最後のモンスター群は、コンピュータ使わなかったから、ほめ言葉の”チートｗｗｗ”だな
496:仙谷６２
13/03/16 20:43:02.78
うるせぇ！
497:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 20:44:03.18
>>495
訂正
けど、現代人にとってはコンピュータ使うのはチート（じゃない）
↓
けど、現代人にとってはコンピュータ使うのはチートじゃない
つづき
四色問題はコンピュータによる解決だった
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
1976年に ケネス・アッペル (Kenneth Appel) とヴォルフガング・ハーケン (Wolfgang Haken) は、「放電」と呼ばれる手続きを考案し、1405個の不可避集合に対してコンピュータを利用した演算を行った結果、四色定理を証明するに至った[1][2][3]。
当初は、あまりに複雑なプログラムのため他人による検証が困難であることや、ハードウェアおよびプログラムのバグの可能性を考慮して、この証明を疑問視する声があった。
その後、1996年にニール・ロバートソン (Neil Robertson) らによりアルゴリズムやプログラムの改良が行われ、より簡易な手法（従来の放電手続きよりシンプルな放電手続きを考案し、不可避集合の数を1405個から633個に抑えた）による再証明が行われた[4]。
更に、2004年にはジョルジュ・ゴンティエ (Georges Gonthier) が定理証明支援系言語である Coq を用いて、よりシンプルな証明を行った[5]。その結果、現在では四色問題の解決を否定する専門家はいなくなっている。
四色定理は実用的には地図作製だけでなく、携帯電話の基地局配置にも応用されている。周波数の同じ電波同士で混信してしまうFDMA・TDMA方式の携帯電話システムでは、隣接する基地局同士に同じ周波数を割り当てないように、配慮している。
498:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 20:44:55.40
>>496
ごくろう
ありがとうよ
499:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 20:52:12.79
ケプラー予想も、コンピュータ使用
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
球充填
1611年、ヨハネス・ケプラーは、これが正規配置と非正規配置全てについて最高密度の配置であると予想した。この命題はケプラー予想と呼ばれる。
1998年、Thomas Callister Hales は1953年に Laszlo Fejes Toth が示唆した手法を使って、ケプラー予想を証明したと発表した。
Hales の証明は、コンピュータを使ってあらゆる個々のケースを調べつくすという方法であった。
審査員は Hales の証明の正しさを99%としており、ケプラー予想は「ほぼ」証明された状態と言える。
24次元にはリーチ格子が知られているため特別である。これは最良接吻数であり、長い間最密な格子充填であると考えられていた。
2004年、Cohn と Kumar（参考文献参照）はこの予想の証明を発表し、リーチ格子よりも高密度な非正規充填があったとしても、それによる密度の向上はせいぜい 2×10?30 であることを示した。
500:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 20:56:23.47
>>497
> 1976年に ケネス・アッペル (Kenneth Appel) とヴォルフガング・ハーケン (Wolfgang Haken) は
ハーケンは、３次元多様体の研究のハーケン多様体で有名
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヴォルフガング（ウルフガング）・ハーケン（Wolfgang Haken、1928年6月21日 - ）はドイツ出身の数学者。専門分野はトポロジー（位相幾何学）。数学上の難問として知られる四色定理（四色問題）を証明したことで有名。
1928年、ベルリンに生まれる。キール大学 (Christian-Albrechts-Universitat zu Kiel) において哲学、物理学、そして数学を学び、1953年に博士号を取得。
その後ミュンヘンにある大企業シーメンス社に就職しマイクロ波工学の研究員となる。シーメンスでの仕事の傍ら、トポロジーの研究を続けていた。
その後、国内で発表した論文をきっかけに数学会において注目されるようになり、アメリカ合衆国のイリノイ大学アーバナ・シャンペーン校に客員教授として招かれる。1965年には常任教授となった。プリンストン高等研究所への赴任経験も持つ。
ハーケンは大学生時代に知ったポアンカレ予想を証明することを目指していたが、叶えることはできず、俗に「ポアンカレ病」と呼ばれる精神疲労状態に陥ってしまう。
そんなとき数学者のハインリヒ・ヘーシュ (Heinrich Heesch) から四色問題のことを聞かされ、研究対象をポアンカレ予想から四色問題へと変更した。
1976年に4歳年下の同僚ケネス・アッペル (Kenneth Appel) と共に四色定理を電子計算機（現在のコンピュータの原型）を用いて証明した。
1990年代後半にイリノイ大学を定年退官し、その後はシカゴにある自宅での研究を続けている。
多くの子供や孫に恵まれており、息子のリッポルド・ハーケン(Lippold Haken)はイリノイ大学の電気・コンピュータ工学教授となった。
501:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/16 22:00:32.29
新しい本が出たみたいだな
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
本質を学ぶ ガロワ理論最短コース 梶原 健 著
ISBNコード978-4-535-78701-8 発刊日：2013.03.15
ガロワ理論の本質へ、最少の予備知識で到達できるように配慮して書かれた入門書。線形代数や群論を知らなくても読み進められる。数学的な厳密さも十分であり、理系学部1～2年生向けのセミナーなどに最適。
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
502:１３２人目の素数さん
13/03/16 22:20:32.26
ディレッタントになりたいんだね
503:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/17 06:50:51.90
ディレッタント？
URLﾘﾝｸ(dictionary.goo.ne.jp)
ディレッタント【(英)・(フランス)dilettante】
芸術や学問を趣味として愛好する人。好事家(こうずか)。ジレッタント。
（引用おわり）
「なりたい」は、数学的には正しくないな
おそらくは、「なっている」かな
群論自身は、空間群とかそういうことで勉強したし、仕事でも使う
ガロア理論は、仕事ではないけど、現代数学のモデルだし、原点ですよね。これは勉強しておいて損はない
２ちゃんねるにスレ立てて書いているのは、自分の勉強のため
書くと勉強になる
504:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/17 07:01:58.02
数学自身は、もちろん使いますよ、仕事で
ただ、将来仕事で使う数学だけを、必要十分（日常的意味で）なだけ勉強するというのはできない
だから、普段からこんな数学的道具があるということは知識として知っておいて、また必要ならそのときに勉強すれば間に合う程度の基礎をつくっておいて
ある分野の数学が必要になったときに、深く勉強する
そんな感じじゃないですか
研究者の人は、必要な数学を全部勉強してから研究を始めようとするといつまでも準備が終わらないと言われる。研究しながら、必要な勉強をするのだと言われる。アキレスと亀の理論ですかね
URLﾘﾝｸ(smcb.jp)
アキレスと亀の理論について 2009年9月9日
505:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/17 10:22:54.87
>>492
イジング模型は以前に紹介したような気がするが、念のため（知っている人には常識だが）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
イジング模型（Ising model、イジングモデルとも言う）：イジング（E. Ising、ハイゼンベルクの弟子）が、1925年に提案した強磁性の模型（モデル）。
ハイゼンベルク模型をより簡単化したもので、そのハミルトニアンは、
H = - J \sum_{\left\langle i,j \right\rangle} \sigma_i \cdot \sigma_j （注：ここ文字化け）
である。σiは（結晶）格子点i上のスピン。自由度は上向き(+1)と下向き(-1)のみである。Jは最隣接スピン間の相互作用によるエネルギー（交換相互作用エネルギー）である。 \left\langle i,j \right\rangle は最隣接格子点のみ和を取ることを意味する。
ここで、隣り合う格子点上のスピン同士が、お互い上向き(+1 × +1)または下向き(-1 × -1)の場合（スピンが平行）、 \, - {J/2} 、互いに逆向き（上向きと下向き：1 × -1または-1 × 1←スピン反平行）の場合、 \, {J/2} となる。
イジングの提案の段階で、一次元（格子系）での厳密な解は求められていて、有限温度での相転移を起こさないことが示されていた。
その後、1944年ラルス・オンサーガー(L. Onsager)が二次元イジング模型の厳密解を求めた。これは相転移を起こし、この結果は、相転移現象の記述、理解のために大変重要な役割を果たしている。
二次元の磁場の無い場合のこの模型の厳密解はオンサーガーの解法以外にもいくつかの方法が示されている.また,外部磁場が印加されたモデルの厳密解は得られていない.
三次元に関しての厳密解は、2006年現在求められていない。
厳密解が求められるのは、特殊な場合で多くの場合、平均場近似、繰り込み群、級数展開（低温展開、高温展開）の手法などと、これらを用いた数値計算手段を使って近似的に解かれる。
この模型（モデル）は、合金の規則‐不規則（秩序‐無秩序）転移や、異方性の大きな磁性の問題などに適用されている。
506:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
13/03/17 10:26:11.11
>>505
オンサーガーはノーベル賞をもらった物理系では有名な人なんだけど（知っている人には常識だが）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ラルス・オンサーガー（Lars Onsager, 1903年11月27日 - 1976年10月5日）はノルウェーオスロ出身のアメリカで活動した物理学者である。
オンザーガーあるいはオンセージャーとも表記される。不可逆過程の熱力学の研究により1968年にノーベル化学賞を受賞した。
ノルウェー工科大学卒業。チューリッヒ工科大学を経て、1928年ブラウン大学の教職員となった。1933年よりイェール大学の化学科の助教授、1940年には同大学準教授、1945年から1973年までイェール大学の教授を務めた。
1931年にオンサーガーの相反定理を発見し、熱力学第二法則の発展形である「不可逆過程の熱力学」を首尾一貫した理論体系に整備する道を拓いた。また1944年に2次元イジング模型の厳密解を導き、相転移現象の研究に一大転機を与えた。
1953年には、国際理論物理学会で来日した。