12/09/19 05:09:11.84
宇宙際タイヒミューラー幾何の「心」は、簡単に言うと、次のようなものです：
「数論幾何において本質的なのは、環やスキームのような‘具体的’な対象たちではなく、むしろそれら
の具体的なスキーム論的な対象たちを統制している、様々な（‘組み合わせ論的アルゴリズム’に近い）
抽象的なパターンである。」
このような現象の典型的な例として次のようなものが挙げられます：
(1) log schemeの幾何：
簡単にまとめると、 「多項式環等、Noether環の構造のある側面の本質は、
モノイドという組み合わせ論的な対象に集約される」という内容の理論です。
(2) 遠アーベル幾何：
簡単にまとめると、「数論的な体」の上で定義された双曲的曲線の構造は、
その有限次エタール被覆の自己同型群の群論的構造だけで決まるという理論です。
(3) 圏の幾何：
簡単にまとめると、スキーム（または、log schemeやarchimedeanな構造付きの
log scheme）や双曲的リーマン面の構造は、そのような対象たちが定義する圏
（＝‘category'）の圏論的構造だけで決まるという話です。
因みに、ABC予想関係の話では、p進Teichmuller理論に登場する「標準的なFrobenius持ち上げの微分を
とる」という操作の「抽象的パターン的類似物」が主役です。