12/08/13 05:23:37.15
>>289
一気に6個もまとめて答えられないから順番に片付けるな。
「加法+」と「加算」の各定義は等しいと仮定する。
「乗法・」と「乗算」の各定義も等しいと仮定する。
>①「a+b」は、加算ですか？和ですか？そしていつでも和(積)と言えますか?
加法+は加法群Gの2つの元a、bを取ったとき、aとbに対して定義される二項演算であり、「aとbの和」を「a+b」と書く。
ここで注意すべきことは、「bとaの和」と、aとbの順序を入れ替えたら「a+b」を「b+a」と書くことになる。
まあ、加法群といったら可換群であることが多いため、a+b=b+aであるから、重要でないとは思うがな。
一応細かいことをいっただけ。
有理整数環Zや有理数体Qなど、小中では加法+について可換性を仮定した代数系を扱っており、加法群を扱っていることになる。
加法+は、G×GからGへの写像だから、2変数x、yの関数f(x、y)のように表すと、加法+は+(a、b)=a+bと表される。
「+」と「+(a、b)」の各表記は異なり、「+(a、b)」は加法ではない。
普通、「加法+(a、b)」とはいわない。よって「+(a、b)」つまり「a+b」が和であるかが問題になる。
(1)、a、bどちらも文字であるとき。
a=bなら、例えばa+b=a+a=2aと代入して計算出来るから、
a+bは和ではあるが、最終的な和にはならない。義務教育では2aが和にあたる。
a≠bなら、計算しようがないから、a+bが和になる。
(2)、a、bどちらか一方は文字であり、もう一方は1などの具体的数を表すとき。
このときは、a、bの一方に代入出来るから、a+bは和ではあるが、最終的な和にはならない。
例えば、aを文字、b=1とすれば、義務教育ではa+1が和になる。
(3)、a、bどちらも具体的な数を表すとき。このときも(2)と同様に考える。
>いつでも和(積)と言えますか?(>>290)
一般に、加法+が定義されていない群G'に定義された二項演算としての乗法・が可換であるとき、
・の代わりに+という記号を用いて可換群G'を加法群として扱うから、
誤解が生じないなら和を積といってもいい。厳密には加法+の前に乗法・を定義する。
ただ、G'に加法+が定義出来るなら、和と積は区別して用いなければならない。
義務教育だと、和と積を区別しなかったら間違いなくアウトになる。