12/09/05 21:34:16.44
ほい
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
望月 新一（もちづき しんいち、1969年3月29日 - ）は数学者、京都大学数理解析研究所教授。専門は数論幾何学、遠アーベル幾何学。
代数曲線におけるGrothendieck予想を予想を超えた形で証明。
p進Teichmuller理論の構築、
Hodge-Arakelov理論の構築、
曲線のモジュライ空間の既約性の別証明、
数論的小平-Spencer理論、
Hurwitz Schemeのコンパクト化、
crys-stable bundleの構成、
数論的log Scheme圏論的表示の構成、
inter-universal geometryの構築。
1998年のICMでは招待講演をしている。
著作にFoundations of -adic Teichmuller Theoryがある。
1988年 - プリンストン大学を卒業（16歳入学、19歳卒業）
1992年 - プリンストン大学でPh.Dを取得（22歳）：指導教授はフィールズ賞を受賞したゲルト・ファルティングス
1992年 - 京都大学数理解析研究所助手に就任
1996年 - 京都大学数理解析研究所助教授に就任（26歳）
1997年 - 日本数学会秋季賞受賞：代数曲線におけるグロタンディーク予想の解決（中村博昭、玉川安騎男との共同受賞）
1998年 - 国際数学者会議招待講演
2002年 - 京都大学数理解析研究所教授に就任（32歳）
2005年 - 日本学術振興会日本学術振興会賞受賞：p進的手法によるグロタンディークの遠アーベル幾何予想の解決など双曲的代数曲線の数論幾何に関する研究
2005年 - 日本学士院日本学士院学術奨励賞受賞：数論幾何の研究
360:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/05 21:35:10.85
>>357-358
すさまじい人ですね
361:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/05 21:45:06.68
２０１０年の資料と思うが、これは分かりやすいね
URLﾘﾝｸ(www.math.tohoku.ac.jp)
フェルマー予想と ABC予想
www.math.tohoku.ac.jp/~ytakao/papers/abc.pdf - キャッシュ - 類似ページ
フェルマー予想と ABC予想. 山崎隆雄（東北大学）
整数と多項式には多くの共通する性質がある。和・差・積が定義される（しかし商は必ずしも定
義されない）ということを出発点として、約数・倍数・素数・素因数分解などの基本概念が平行
した方法で扱えることが顕著である。そこで、整数論の有名問題、特にフェルマー予想を取り上
げて、その多項式に対する類似を考える。講義では、この問題に対して「ABC 定理」を経由し
た証明を解説する。このABC 定理は多項式に対する定理であるが、その整数における類似を考
えると、これがabc 予想という未解決問題にたどり着く。その周辺の話題を紹介する。
この原稿は、以下で行った講義が元になっている：
・現代数学講演会（２００７年１２月１８日、於仙台第一高等学校）
・ＪＭＯ夏季セミナー（２００８年８月２６日、於山梨県清里高原「ヴィラ千ヶ滝」）
・数学概説Ｂ（２００９・２０１０年、於東北大学）
・科学者の卵養成講座（２０１０年６月１２日、於東北大学）
362:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/05 21:53:36.59
>>353
>以前（＝2009年10月15日の項目を参照）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
2009年10月15日
・現在執筆中のIUTeich理論の論文の進捗状況について報告する。前回（＝
2009年02月）の報告では、理論を3篇の論文に分けて執筆中であると書いた
が、その後3篇が次の通り4篇に増えた。
IUTeich I: Construction of Hodge Theaters
IUTeich II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation
IUTeich III: Canonical Splittings of the Log-Theta-Lattice
IUTeich IV: An Analogue of the Hasse Invariant
これは、別に数学的内容が増えたことによって起こったことではなく、む
しろ理論をきちんと定式化することによって理解がより精密になり、それ
によって理論を前と比べてある程度簡略化することができているが、理論
を詳しく解説しながら、1篇の長さを100ページ余りに抑えようとすると、
さらなる分割が必要になることが判明しただけのことである。
現在は、IUTeich II をほぼ半分書き終えたところである。つまり、この
プロジェクト全体が「4.0」だとすると、そのうちの「1.5」位まで書き
進んでいることになる。IUTeich I は、2月頃一旦書き終えたが、その後
ある部分を書き直したり、また新たな節を追加したりしたことによって
全体のペースが少し落ちてしまった。現在のところ、大体「1篇に1年
（弱？）位」掛かるというペースなので、書き終わるのは2012年の夏頃
という計算になる。（もちろん保障はできないが!）
363:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/05 22:01:03.07
>>362
補足
2009年10月15日の時点で、”書き終わるのは2012年の夏頃という計算になる。”と
まさに、グロタン流か
いや、言いたいのは、ブルバキの定理積み上げではなく
猫さんが言っていた、バックリダクションかな、ともかく全体像は頭の中にある
それを文字にするんだと
長編小説家が、構想はすでに頭の中にあって、それを紙に書く
定理の詰みあげの逆をやっている（全体像とゴールは見えていて、スタートとゴールの間に定理を埋めてゆく・・）
絵で言えば、全体のデッサンはあって、あとは細部に色をつける
証明の細部より全体像を早く理解せよというのはこれだ
364:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/05 23:11:25.23
abc予想って楽しいね
365:１３２人目の素数さん
12/09/06 01:09:28.69
これはフィールズ賞さえも
超えてるね。
366:１３２人目の素数さん
12/09/06 01:14:40.95
年齢的に
367:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/06 06:23:27.86
>>365-366
どもです
「これを IU 幾何 ( inter-universal geometry ) と呼ぶ。 」とあります（下記）
URLﾘﾝｸ(www2.math.kyushu-u.ac.jp)
数論的 log scheme の圏論的表示 （12-Jul-2003）
望月 新一 氏 ( 京大数理研 )
-------------------------------------------------------------------------------
( 今回は 「講演者が言ひたかつたことが書いてない」 典型例になりさうです。)
Noetherian scheme X に対し、その上の有限型 schemes のなす圏
Sch(X) を考へると、 Sch(X) の圏同値類は X の同型類を決定する；
Isom(X,Y) = Isom(Sch(Y), Sch(X)).
これと
Hom(A,B) = Mor(Spec(B), Spec(A))
( 左辺は可換環の準同型の集合、右辺は局所環付き空間の射の集合 )
との類似に注目したい。
これは 新しい幾何の世界への入口である。
但し、 scheme 論では上の等式により affine scheme を貼合せることが出来たが、
ここでは通常の scheme 論を安易にまねて貼合せをするのではなく、
一般の圏を、圏同値を除いて、扱ふ。
( つまり 圏 が基本的幾何的対象。)
これを IU 幾何 ( inter-universal geometry ) と呼ぶ。
圏として Sch(X) の形のものだけ考へてゐたのでは
本質的に ( 通常の scheme 以上に ) 新しい対象は出て来ない。
新しい幾何を得るためには圏 Sch(X) を少し 「狭める」 必要がある。
この様な新しい幾何的対象 ( 圏 ) として、現在
次の二つのものが考へられてゐる：
(1) Loc* 型圏 ( ここでは " F_1 上の Frobenius " が定義出来る。)
(2) 分布版 ( これにより " F_1 上の楕円曲線の族の分類射 " が定義出来る。)
（以下略）
368:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/06 06:27:03.10
>>367
上記はここから。”Yuichiro TAGUCHI ”先生のページは以前のスレでも紹介したように思いますが
URLﾘﾝｸ(www2.math.kyushu-u.ac.jp)
Yuichiro TAGUCHI
-------------------------------------------------------------------------------
Table of Contents
Coordinates of the Page Owner
Vita
List of (pre)Publications
Japanese Pages
--------------------------------------------------------------------------------
Caution: Most part of this Home Page has long been unupdated.
(Only this line is ever new.)
369:１３２人目の素数さん
12/09/06 06:32:37.61
宇宙際幾何学て、名前が渋いな。
370:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/06 06:38:27.47
>>368
つづき
inter-universal geometry関連情報
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
望月 新一 の出張講演
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp) （これは>>368のPDF版）
[9] 数論的 log scheme の圏論的表示 （九州大学 2003年7月）. 田口さんのノート
[11] 数論的Teichmuller理論入門（京都大学理学部数学教室2008年5月）. 月 火 水 木 金 概要 レポート問題 談話会 アブストラクト （各リンクあり。面倒なので省略。以下同様）
[9] Anabelian Geometry from an Inter-universal Point of View (京都大学数理解析研究所 2004年9月).
[13] Inter-universal Hodge-Arakelov Theory (京都大学数理解析研究所2005年12月). PDF
[15] Inter-universal Teichmuller Theory: a Progress Report (京都大学数理解析研究所2010年10月).
Abstract PDF
371:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/06 06:44:23.01
>>369
うん、”Universal algebraic geometry”（下記）がすでにあって、それを意識して、inter-universal geometryという英語名にして、それを漢字表現にしたと思います
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Universal algebraic geometry
In universal algebraic geometry, algebraic geometry is generalized from the geometry of rings to geometry of arbitrary varieties of algebras,
so that every variety of algebra has its own algebraic geometry. Note that the two terms algebraic variety and variety of algebra should not be confused.
[edit]
See alsoAlgebraic geometry
Universal algebra
372:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/06 21:06:04.16
>>365-366
>年齢的に
ノーベル賞の３倍の賞金、$3 millionのがある>>295
373:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/07 05:03:13.03
>>371
関連記事
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
What is inter-universal geometry asked Oct 17 2009 at 10:22
I wonder what Mochizuki's inter-universal geometry
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(Tokyo%202004-01).pdf
and his generalisation of anabelian geometry
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(RIMS%20Kyoto%202004-09).pdf
is, e.g. why the ABC-conjecture involves nested inclusions of sets as hinted in the slides, or why such inclusion structures should be simpler if they are between categories ,
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(Okayama%202005-05).pdf
how that relates to F_1.
It seems to me that his basic idea is that algebraic geometry has in general a kind of semantic feedback-loop, what sounds very beautifull,
if it were true. His view of Grothendieck/Deligne's idea of using the section conjecture for indirect proving finiteness statements seems to me as if he would say
"The first part of that is just the first jump into the feedback-loop".
Edit: A nice link was jut given in: URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
つづく
374:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/07 05:10:27.19
つづき
1 Answer answered Dec 31 2009 at 17:22
In a research statement, he says:
"The essence of arithmetic geometry lies not in the various specific schemes that occur in a specific arithmetic-geometric setting, but rather in the abstract combinatorial patterns,
along with the combinatorial algorithms that describe these patterns, that govern the dynamics of such specific schemes."
Regarding this, he then talks about how his main motivations are monoids, Galois categories, and dual graphs of degenerate stable curves,
which leads him to talking about his geometry of categories stuff, and then to "absolute anabelian geometry."
He then links to a bunch of papers that I would assume elaborate a bit on it. He then goes on to talk about extending Teichmuller Theory.
Generally, his research statement is fairly readable (and consider that I'm very much a nonspecialist in arithmetic anything) and seems to link to things with more details.
I only browsed his articles and his remarks about a structure of selfrefferentiality are unclear to me.
The research statement you link to indicates that he regards such a thing as a pretty fundamental issue. ? Thomas Riepe
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
Jan 1 2010 at 10:41
375:１３２人目の素数さん
12/09/07 17:36:18.91
もっちーはCの経験はあるの？
376:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/07 20:52:01.99
>>375
もっちーは、AとBまでは経験で、Cの予想だったと思う？
だから、証明にチャレンジしたんだろう
それで、ABCとそろう
377:１３２人目の素数さん
12/09/07 23:52:45.96
猫は？
378:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/08 05:48:48.83
>>377
猫さんは、C*-algebraの経験だろう
うわさでは、量子力学関係の数理に関係していたという
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
379:１３２人目の素数さん
12/09/08 06:13:22.55
>>378
しかしABCはそれこそ、百年に一度の快挙ではなかろうか？
望月先生のアイデアは「数の微分」らしい。
離散的な整数を微分するとはどういうことか？
実際、関数上のABC,もしくはフェルマーの証明は
微分を使えばあっという間に出てくる。
380:１３２人目の素数さん
12/09/08 06:21:57.89
探査機はやぶさ、ヒッグス場の検証、
ABC予想の解決、ダーク・マター。
世界を覆う不況とは関係なく、
自然科学は発展を遂げていく。。。
381:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/08 07:31:00.24
>>379
乙です
>しかしABCはそれこそ、百年に一度の快挙ではなかろうか？
同意
>離散的な整数を微分するとはどういうことか？
なるほど
”整数を微分する”を実行できる土俵を作ったということですね
382:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/08 07:31:46.25
>>380
>世界を覆う不況とは関係なく、
>自然科学は発展を遂げていく。。。
ほんとですね
383:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/08 08:23:27.38
>>353
関連するかどうか不明ですが
URLﾘﾝｸ(pantodon.shinshu-u.ac.jp)
Teichuller 空間 （抜粋）
Riemann 面 に 関 係 したことを 考 えるときには Teichuller 空 間 は 必 ず 必 要 に なる 。
?Riemann 面 の moduli space は Teichmuller space の mapping class group による 商 空 間
?Teichmuller 空 間 は Euclid 空 間 と 同 相 であり , よ っ て 可 縮
このことから , global qutient である moduli space を orbifold とみなして 考 えるのは 自 然 である 。 Harer と Zagier [ HZ86 ] はその orbifold としての Euler characteristic を 計 算 している 。
その Deligne-Mumford compacti?cation については Bini と Harer が [ BH ] で 求 めている 。
また Riemann 面 の moduli space は mapping class group の 分 類 空 間 にかなり 近 い ものであることも 分 かる 。
実 際 , Harer は [ Har86 ] で , 「 割 る 前 」 の Teichmuller 空 間 を mapping class group の 作 用 を 込 めて 考 え , mapping class group の virtual cohomological dimension の 評 価 を 得 ている 。
Harer は , Teichmuller 空 間 をうまく 単 体 分 割 し , その 中 に mapping class group の 作 用 を 持 つ subcomplex を 構 成 した 。
Teichmuller 空 間 がその subcomplex に equivariant に deformation retract することを 示 し , moduli 空 間 の コホ モロジ ー がその subcomplex の 次 元 より 上 では 0 であることを 示 したので ある 。
?Harer の 構 成 した subcomplex
この Harer complex については , 日 本 語 の 解 説 [ 河 97 ] もある 。
Teichmuller 空 間 は 曲 面 上 の complex structure の 同 値 類 の 成 す 空 間 であるが , Thurston は , 有名 な Princeton の lecture note の 中 で , 曲 面 上 の measured lamination の 空 間 を 定 義 している 。
Teichmuller 空 間 の 量 子 化 は , Bonahon と Liu [ BL ] や Guo と Liu [ GL ] によると Kashaev [ Kas98 ] と Chekhov と Fock [ CF99 ] により 独 立 に 発 見 されたらしい 。
Quantum Teichmuller space については , Teschner という 人 がまとめたもの [ Tes ] もあ る 。 Guo による survey [ Guo ] もある 。
384:１３２人目の素数さん
12/09/08 08:56:02.56
竹島問題 ホワイトハウス署名のお願い
ｽﾚﾘﾝｸ(ms板:650番)
このままでは日韓両国は100年、200年、1000年と憎しみあうだけです。
必要なものはメールアドレスと名前だけです。
385:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/08 09:01:47.32
>>353
>[1] Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters. PDF
これ眺めてみたが、冒頭Intorduction が２回出てくる。そして、後のIntorductionに従って進んでゆく
”Introduction
§0. Notations and Conventions
§1. Complements on Coverings of Punctured Elliptic Curves
・・・”
こちらの方は別のところに書くつもりだったのだろうか？
386:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/08 09:22:43.62
>>353
>[4] Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations. PDF
はいはい、ABC
この[4]のP3に
”Theorem A. (Diophantine Inequalities)”があって、その直後に
”Thus, Theorem A asserts an inequality concerning the canonical height [i.e.,“htωX(D)”],
the logarithmic different [i.e., “log-diffX”], and the logarithmic conductor
[i.e., “log-condD”] of points of the curve UX valued in number fields whose
extension degree over Q is ? d . In particular, the so-called Vojta Conjecture for
hyperbolic curves, the ABC Conjecture, and the Szpiro Conjecture for elliptic
curves all follow as special cases of Theorem A. We refer to [Vjt] for a detailed
exposition of these conjectures. ”
望月先生、ご苦労さまです
387:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/08 10:00:41.59
>>386
PDFでキーワード"galois"で検索をかけると、結構ヒットする
とすると、ガロアスレの話題として、それほどおかしくもないのでしょうか？
ともかく、望月先生、話題提供ご苦労さまです
388:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/08 16:48:12.23
>>387
下記は、おすすめ
望月先生がなにをしようとしているのか？ 多くのキーワードがここで概念的に解説されている
和文雑誌の論文
[6] 多項式の解の近似がとりもつ数論と幾何の関係 (1), (2), (3), (4). PDF
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
389:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/08 16:55:02.21
>>388
>[6] 多項式の解の近似がとりもつ数論と幾何の関係 (1), (2), (3), (4). PDF
この出典は、下記だな
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
京都大学数理解析研究所 - 数学入門公開講座 バックナンバー
1999年8月2日-8月6日（第21回）
多項式の解の近似がとりもつ数論と幾何の関係 望月 新一
多項式の有理数解の研究は、歴史が長いだけに、樣々なアプロ－チを産み出しているが、二十世紀の後半に開発され、現在では数々の輝かしい成果を挙げているアプロ－チとして、現代数論幾何がある。
本講義の目標は、その現代数論幾何の世界を紹介することにある。
現代数論幾何の基本は、標語的にいえば、多項式の解の近似にあるといってもよい。
つまり、有理数というものは、整数論の対象としては構造が複雑すぎるため、数論的にはより単純な構造をした実数や複素数のような数で近似することによって多項式の有理数解を調べるのである。
このような近似解のなす集合は、有理数解のなす集合と違い、「滑らかな物質」で出来た幾何的な対象をなしていて、その対象の幾何的性質が、有理数解の性質に大きく影響することが知られている。
390:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/08 17:10:59.66
望月先生のこれもおすすめだな
講演のアブストラクト・レクチャーノート
[4] Anabelioidの幾何学とTeichmuller理論. PDF 2002.8
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(Muroran%202002-08).pdf
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
391:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/08 17:13:44.11
>>390
この冒頭に”inter-universal”と呼ぶ由来が記されている
392:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/08 17:16:08.05
>>390
これは、 Grothendieck予想について書かれたものだが、それが今につながっている
393:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/08 17:21:16.16
>>388>>390
ここらを読むと、望月先生がちまちました定理の積み上げでなく、もっと大きく概念的な数論の世界を構築していることが分かるだろう
再録>>363
”いや、言いたいのは、ブルバキの定理積み上げではなく
猫さんが言っていた、バックリダクションかな、ともかく全体像は頭の中にある
それを文字にするんだと
長編小説家が、構想はすでに頭の中にあって、それを紙に書く
定理の詰みあげの逆をやっている（全体像とゴールは見えていて、スタートとゴールの間に定理を埋めてゆく・・）
絵で言えば、全体のデッサンはあって、あとは細部に色をつける”
もちろん、スタートとゴールの間に定理を埋めてゆくのが数学者としての実力だ
が、その前にもっと大きく概念的な数論の世界を構築している
佐藤幹夫先生は、証明は弟子が書いた
望月先生は、証明を自分で書いた
394:１３２人目の素数さん
12/09/08 17:48:31.39
望月先生は英語でもユニークな
造語も作っているのかな？
Frobenoidとか。
395:あのこうちやんは始皇帝だった
12/09/08 19:24:14.05
お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！
ニート・無職の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキどもがああああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
396:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/08 19:45:56.51
>>394
乙です
同意です
望月ワールドだろう
397:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/08 20:28:27.16
>>379
>望月先生のアイデアは「数の微分」らしい。
>離散的な整数を微分するとはどういうことか？
>実際、関数上のABC,もしくはフェルマーの証明は
>微分を使えばあっという間に出てくる。
下記のP8-9に微分の話が出てきますね
これとか”多項式の解の近似がとりもつ数論と幾何の関係”>>388を読むと
関数体とのアナロジーを常に意識しているように見える
和文雑誌の論文
[3] 代数曲線に関するGrothendieck予想 --- p進幾何の視点から. PDF 1998-10
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(Tsudajuku%20genkou%201998-10).pdf
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
398:１３２人目の素数さん
12/09/09 00:42:53.21
>>397
こうなると、21世紀には離散空間上の
解析学とか、場の量子論の数学的な
意味づけの話なんかも射程に入るだろうね。
新しい数学の場を創造するのは、
岡潔に通ずるものがある
399:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 05:20:51.87
>>398
乙です
同意です
400:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 05:52:12.23
ちょっと古いが、下記がコンパクトにまとまっている
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
月新一さんの数学 玉川安騎男
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
「数学通信」第10巻（２００５年度）
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
「数学通信」バックナンバー
401:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 05:55:00.77
>>400
抜粋
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
［p 進タイヒミュラー理論］
複素数体上の双曲的代数曲線とそのモジュライ空間の一意化理論としては, （ケーべ
の一意化定理, ベアス理論などを含む）タイヒミュラー理論が古典的に確立されていま
す. 一方, p 進体上の（偏極）アーベル多様体とそのモジュライ空間の一意化理論として
は, セール・テイト理論が１９６０年代に確立されています. しかしながら, p 進体上の
双曲的代数曲線とそのモジュライ空間の一意化理論は, 望月さんの研究以前には満足の
いくものがほとんどありませんでした. （マンフォード一意化理論はありましたが, こ
れは, タイヒミュラー理論ではなくショットキー一意化理論の類似です.）
タイヒミュラー理論は, 通常の定式化では純に複素解析的なものであり, p 進的類似
を求めることは不可能に思われます. そこで, 望月さんは, タイヒミュラー理論の固有束
による定式化に着目し, これを足がかりにしてp 進タイヒミュラー理論を構築していき
ました. その際, 技術的な核となったのは, 正標数代数多様体の上のクリスタルの理論や
p 進代数多様体のp 進ホッジ理論などです. その結果, 代数曲線とそのモジュライ空間
の望ましいp 進一意化理論が完成し, 曲線のモジュライ空間上の標準フロベニウス持ち
上げと標準座標, 曲線の標準持ち上げ, 曲線の数論的基本群のPGL2 への標準表現, な
ど斬新かつ基本的な対象たちが続続と発見されました. これらの結果は, 約２００ペー
ジの大論文[1] と５００ページ超の大著[2] にまとめられました.
p 進タイヒミュラー理論の応用としては, 望月さん自身によって, 曲線のモジュライ
空間の既約性の別証明や, 遠アーベル幾何（絶対p 進グロタンディーク予想）への応用
などが得られています.
402:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 05:56:49.38
>>401
つづき
抜粋
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
［遠アーベル幾何］
遠アーベル幾何（anabelian geometry）とは, １９８０年代初頭にA. Grothendieck
が提唱した数論幾何の新しい方向で, 狭義には, 有理数体上有限生成な体上の「遠アー
ベル」な多様体の幾何がその基本群の上の（外）ガロア表現によって完全に復元される
という, いわゆるグロタンディーク予想を意味します. 双曲的代数曲線に対するグロタ
ンディーク予想は, 中村博昭さん（現岡山大）と筆者によって部分的に解決されていま
したが, 望月さんはこれを完全に解決し, 更に, p 進体上でも同様の結果が成り立つこと
を示しました. この際, p 進体上の代数多様体に対するp 進ホッジ理論が中心的な役割
を果たしました. 望月さんのこの結果は, 現在に至るまで遠アーベル幾何の最高峰をな
し, 広く数論幾何学者全体に影響を与えていると思います. 特に, Grothendieck 自身が,
遠アーベル幾何は素体上有限生成な体に固有なものと考えていこともあり, また, アー
ベル多様体のテイト予想の類似からも, p 進体上でグロタンディーク予想が成立するこ
とは意外であり, 望月さんの結果のインパクトは大きかったと思います.
望月さんの遠アーベル幾何における成果は, Inventiones mathematicae 掲載の１００
ページ超の大論文[3] などにまとめられました. なお, 望月さんは, 「代数曲線の基本群
に関するグロタンディーク予想の解決」の題目で, １９９７年度日本数学会賞秋季賞を
（中村氏, 筆者と共同で）受賞しています. また, 望月さんは, p 進タイヒミュラー理論と
遠アーベル幾何に対し, 内在的ホッジ理論の枠組みで統一的な視点を与え, これについ
ての総合的な報告を, １９９８年（２９歳で！）国際数学者会議の招待講演にて行いま
した.
403:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 05:59:09.90
>>402
つづき
抜粋
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
［ホッジ・アラケロフ理論］
エフェクティブモーデル予想, abc 予想などのディオファントス幾何の重要未解決問
題は, スピロ予想を通じて, 楕円曲線のモジュライ空間の代数体の整数環上のセクション
の研究と解釈でき, すなわち, 代数体の整数環上の（一般化された）楕円曲線の研究と
解釈できます. この解釈により, このような大域的対象に対する望ましいホッジ理論が
あれば, ディオファントス幾何へのアプローチができることが期待できるため, 望月さ
んは, そのような理論の構築を目指し, 代数体上の楕円曲線の内在的ホッジ理論である,
ホッジ・アラケロフ理論を完成させました. より具体的に言うと, 楕円曲線のp 進ホッ
ジ理論では, 楕円曲線のp 進テイト加群が中心的対象でしたが, これを有限個の等分点
だけ考えることにより離散化し, 等分点集合（位相幾何的ないしエタール的な対象）に,
楕円曲線の普遍拡大上の関数（ドラーム的な対象）を制限することにより, ある種の大
域的な比較同型をダイナミックに構成・証明しました. また, これに伴い, 数論的小平・
スペンサー写像という斬新な対象も発見されました. ディオファントス幾何への応用を
見据えた望月さんのこの大理論の完成は, 内外にインパクトを与え, また, 純粋に楕円曲
線のホッジ・アラケロフ理論自体も, G. Kings ら岩澤理論の研究者などから注目されて
います.
これらの結果に関する膨大な（複数の）論文は, RIMS プレプリントより入手可能で
あり, また, 望月さん本人によるコンパクトな概説[4] も出版されています.
404:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 06:03:16.80
>>403
つづき
抜粋
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
［その他］
最近の望月さんは, 自身のホッジ・アラケロフ理論の研究を大きく展開（転回？）さ
せて, 圏論を基礎とする全く新しい幾何学の壮大な理論の構築とその数論的応用を精力
的に研究されています. 望月さんのこれまでの研究も, ディオファントス幾何への応用
を強く意識しながら大理論を構築する, というスタイルが特徴的でしたが, 現在の研究
は, ディオファントス幾何をより直接的な研究対象としており, abc 予想などの重要未解
決問題の解決が近いことを, 望月さん本人も確信しておられるようです. そのため, 望月
さんの現在の研究は, 内外の研究者から熱い注目を集めており, 筆者も, 松本眞さん（広
島大）, 藤原一宏さん（名大）らとともに, 望月さん自身を講師として不定期に勉強会
を開いています.
また, 望月さんのこのようなディオファントス幾何への新しいアプローチから, p 進
体上の遠アーベル幾何の絶対版（基礎体のガロア群も固定しないで考えたもの）が数論
的に重要であることが示唆されています. この方向では, 望月さんは, 例えば, p 進タイ
ヒミュラー理論における標準曲線においてこの絶対p 進グロタンディーク予想が成立す
ることを証明しました. より一般の双曲的曲線については, 望月さんと筆者の間で議論
が現在進行中です.
望月さんが（筆者の２か月後に）数理解析研究所助手として就任されて以来, 遠アー
ベル幾何を中心にして, 二人でたくさんの議論をしてきました. （というと聞こえがい
いですが, 主に望月さんのアイディアを聞かせていただいてきたという感があります.）
望月さんの数学は常に斬新で刺激的で, 筆者のこれまでの研究も, そこから大きな影響
を受けています. 現在も, 望月さんから「ちょっとした観察があるので聞いてほしいので
すが」というような控えめなメールをもらうことがよくあり, しばしばその観察はちょっ
としたものではなく, 大きなブレークスルーとなりうるようなものなので, いつもわく
わく（少しドキドキ）させてもらっています.
405:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 06:04:41.61
>>404
つづき
抜粋
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
［その他］
普通の研究者（例えば私）であれば, ディオファントス幾何に関する結果をなるべく
早く形にして２００６年のフィールズ賞に間に合うようにと考えるでしょうが, 望月さ
んは, 賞に対しては全く無欲（というか, むしろやや否定的）で, 十分時間をかけて基礎
理論を満足のいくような形で完成させることに力を注いでいます. また, （A. Wiles が
フェルマ予想に挑んでいた時などと違い）大予想の証明に向かう途中の理論についても,
全てプレプリントなどで公開しています. それを見て誰かが先に証明してしまうのでは
ないかという周囲の心配もどこ吹く風, 「自分の理論を理解して先に証明してくれるの
であればむしろありがたい」とおっしゃっています.
現在３６歳の望月さんが, これからどれだけの研究成果を人類に遺してくれるのか,
非常に楽しみにしています. （同時に, これからどれだけこのような文章を書かせてい
ただくことになるのか, 少し不安に感じています....）
引用おわり
406:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 06:08:22.58
>>405
>普通の研究者（例えば私）であれば, ディオファントス幾何に関する結果をなるべく
>早く形にして２００６年のフィールズ賞に間に合うようにと考えるでしょうが,
>大予想の証明に向かう途中の理論についても,
>全てプレプリントなどで公開しています. それを見て誰かが先に証明してしまうのでは
>ないかという周囲の心配もどこ吹く風, 「自分の理論を理解して先に証明してくれるの
>であればむしろありがたい」とおっしゃっています.
なるほどね
グロタン氏に似ているかも
407:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 06:13:16.96
>>402
>双曲的代数曲線に対するグロタンディーク予想は, 中村博昭さん（現岡山大）と筆者によって部分的に解決されていま
>したが, 望月さんはこれを完全に解決し, 更に, p 進体上でも同様の結果が成り立つことを示しました.
>特に, Grothendieck 自身が,遠アーベル幾何は素体上有限生成な体に固有なものと考えていこともあり, また, アー
>ベル多様体のテイト予想の類似からも, p 進体上でグロタンディーク予想が成立するこ
>とは意外であり, 望月さんの結果のインパクトは大きかったと思います.
ここが、「代数曲線におけるGrothendieck予想を予想を超えた形で証明。」>>359に関連する記述ですね
408:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 07:43:32.90
>>406
新しい数学を壮大なスケールで作ったということでは
日本のグロタンと言っていいかも・・
409:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 12:43:39.74
>>361
>山崎隆雄（東北大学）
下記pdf2が分かり易い
p-進世界の非専門家にとっては
まずここから
URLﾘﾝｸ(www.math.tohoku.ac.jp)
５．p-進世界へようこそ. pdf1 / pdf2 / ps / dvi
２００５年、筑波大学における高校生対象の体験学習の予稿.
URLﾘﾝｸ(www.math.tohoku.ac.jp)
非専門家向けの文章
410:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 13:11:18.73
>>409
（内容抜粋紹介）
ここで2-進数の世界の遠近感を述べます：
2; 4; 8; 16; ・ ・ ・ ; 2n; ・ ・ ・ という数の列は0 に近づいてゆく
これはなんとも奇妙なことで、全く理不尽だと感じられるかもしれません。どうしてこんなことになるのだと聞きたくもなろうと思います。
残念ながら、この「どうして」という質問には有効な答えを用意できません。数学的に誠実に答えるなら「そう決めたから」という答えにならない答えしかできないのです。
p-進数の世界では事情が変わってきます。
例えば√(-2) は3-進数の世界に入っているのです。
反対に√2 は3-進数の世界には入っていません。
√2 が有理数でないことを知るには3-進人間の方が有利な立場にあります。それは、3-進人間にとっては
次のように推論できるからです。
・√2 は3-進数でない（3-進人間にとっては簡単）
・「3-進数でなければ有理数でもない」という関係より√2 は有理数でもない
他方、実数人間にとっては
√(-2) が有理数でないということは、ごく簡単に分かることでした。その推論を復習すると、上でみた3-進人間の推論と全く同様です。
・√(-2) は実数でない（実数人間にとっては簡単）
・「実数でなければ有理数でもない」という関係より
√(-2) は有理数でない
√(-2) は3-進世界には存在するから3-進人間にはこの推論が使えません。
前節の表をみると、実数人間と3-進人間では難しいことと易しいことが正反対になっていることが分かります。
ということは、実数人間がある問題（例えば「√2は有理数か？」）を難しいと感じたとき、3-進人間に聞いたら簡単に教えてくれることがありうるわけです。
もちろんその逆もあり得ます。ここで、他にも2-進世界や17-進世界など、たくさんの数の世界があることを思い出しましょう。
これらの世界の人がみんなで力を合わせれば、もっとずっと難しい問題でも、簡単に解けてしまうのではないでしょうか。
411:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 13:14:14.05
>>410
”実数人間がある問題（例えば「√2は有理数か？」）を難しいと感じたとき、3-進人間に聞いたら簡単に教えてくれることがありうるわけです。
もちろんその逆もあり得ます。ここで、他にも2-進世界や17-進世界など、たくさんの数の世界があることを思い出しましょう。
これらの世界の人がみんなで力を合わせれば、もっとずっと難しい問題でも、簡単に解けてしまうのではないでしょうか。”
これがp-進数体を考える意味みたいです
2-進世界や17-進世界など、たくさんの数の世界があって、その力をみんな合わせる＝望月ワールド
そんな感じみたいです
412:１３２人目の素数さん
12/09/09 14:12:33.24
>>376
もう片方の望月氏はどうでしょう？
二人ともCは経験なしかな？
彼らにとってはABC予想を解くよりも、
実際にABCを経験するほうが難しいのかもしれません円
413:１３２人目の素数さん
12/09/09 14:26:40.36
粋がっても
所詮はアホアホ掲示板
414:１３２人目の素数さん
12/09/09 15:16:31.03
無粋な質問かとは思うけれど、リーマン予想や同じディオファントス幾何学
のBSD予想などと比べて今回はどれだけの偉業なのでしょう？
多面的なので一概にどれが上とか言えないとは思いますが。
415:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 16:31:31.34
>>412
もう片方と言われても、どちらも面識はないし・・・
>二人ともCは経験なしかな？
独身ってことですか？
>実際にABCを経験するほうが難しいのかもしれません
それはもったいない。数論のABCを解いた以上、次の目標はリアルABC体験でしょう
416:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 16:40:27.06
413のAHO予想(おそらく正しい)を華麗にクリアーして
つぎ
>>415
>無粋な質問かとは思うけれど、リーマン予想や同じディオファントス幾何学
>のBSD予想などと比べて今回はどれだけの偉業なのでしょう？
別分野という理解をしています
つまり、オリンピックの100メートルと200メートルの金メダルがどちらが上かと言われても、金メダルの重さを精密に測って（おそらく精密に測れば差があるはず）優劣をつけたところで、普通は上下を認めないでしょう
なお素人ですが、知る限りリーマン予想とは直接繋がらないように思います
BSD予想は全くわかりません
417:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 16:45:50.43
>>416 BSDは、下記各1-6にリンクあり
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Current status
The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture has been proved only in special cases:
1.Coates & Wiles (1977) proved that if E is a curve over a number field F with complex multiplication by an imaginary quadratic field K of class number 1, F = K or Q,
and L(E, 1) is not 0 then E(F) is a finite group. This was extended to the case where F is any finite abelian extension of K by Arthaud (1978).
2.Gross & Zagier (1986) showed that if a modular elliptic curve has a first-order zero at s = 1 then it has a rational point of infinite order; see Gross?Zagier theorem.
3.Kolyvagin (1989) showed that a modular elliptic curve E for which L(E,1) is not zero has rank 0, and a modular elliptic curve E for which L(E,1) has a first-order zero at s = 1 has rank 1.
4.Rubin (1991) showed that for elliptic curves defined over an imaginary quadratic field K with complex multiplication by K, if the L-series of the elliptic curve was not zero at s=1,
then the p-part of the Tate?Shafarevich group had the order predicted by the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, for all primes p > 7.
5.Breuil et al. (2001), extending work of Wiles, proved that all elliptic curves defined over the rational numbers are modular, which extends results 2 and 3 to all elliptic curves over the rationals,
and shows that the L-functions of all elliptic curves over Q are defined at s = 1.
6.Bhargava & Shankar (2010) proved that the average rank of the Mordell?Weil group of an elliptic curve over Q is bounded above by 7/6. Combining this with the p-parity theorem by Dokchitser & Dokchitser (2010)
and the announced proof of the main conjecture of Iwasawa theory for GL2 by Skinner & Urban (2010),
they conclude that a positive proportion of elliptic curves over Q have analytic rank zero, and hence, by Kolyvagin (1989), satisfy the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture.
418:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 18:14:07.63
>>417
>6.Bhargava & Shankar (2010) proved that the average rank of the Mordell?Weil group of an elliptic curve over Q is bounded above by 7/6. Combining this with the p-parity theorem by Dokchitser & Dokchitser (2010)
>and the announced proof of the main conjecture of Iwasawa theory for GL2 by Skinner & Urban (2010),
>they conclude that a positive proportion of elliptic curves over Q have analytic rank zero, and hence, by Kolyvagin (1989), satisfy the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture.
ここのリンクはでたらめですね。
むしろReferencesの方がまとも
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
References
Bhargava, Manjul; Shankar, Arul (2010). "Ternary cubic forms having bounded invariants, and the existence of a positive proportion of elliptic curves having rank 0". Preprint. arXiv:1007.0052.
Dokchitser, Tim; Dokchitser, Vladimir (2010). "On the Birch-Swinnerton-Dyer quotients modulo squares". Annals of Mathematics 172 (1): 567?596. doi:10.4007/annals.2010.172.567. MR 2680426.
Skinner, Christopher; Urban, Eric (2010). "The Iwasawa main conjectures for GL2". In preparation.
なお、下記情報がある
Wiles, Andrew (2006). "The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture". In Carlson, James; Jaffe, Arthur; Wiles, Andrew. The Millennium prize problems. American Mathematical Society. pp. 31?44. ISBN 978-0-8218-3679-8.
External links
The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture[dead link]: An Interview with Professor Henri Darmon by Agnes F. Beaudry
419:あのこうちやんは始皇帝だった
12/09/09 19:56:09.26
お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
ニート・無職の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキどもがあああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！
420:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 20:09:33.11
>>416
>413のAHO予想(おそらく正しい)を華麗にクリアーして
AHO予想(おそらく正しい)：
１．この板の住人（自分も含めて）を、数学科院以上に想定するのは滑稽だろう。数学科院以上に限れば、そもそもこんなところに来ないし、仮に居たとしても絶対数は寡少だろう
２．では、下のレベルはといえば、数オリ出場のスーパー高校生クラスでないと、このスレは苦しいだろう
３．スーパー高校生クラスから数学科学部生の間
４．天才クラスはこんなところに御用がないとすれば、それ以外
スレ主が想定しているスレの住人はこんなところさ
だが、情報の（質ｘ量）はこのスレが一番だと思うよ
421:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 20:18:03.35
>>420
AHO予想が正しいとすれば、>413も同類となる
ところで、ソクラテスの昔から”無知の知”ということがある
論語では、「知るを知るとなし、知らざるを知らずとなす、これ知るなり」
日本では、「バカとはさみは使いよう。２ちゃんねる数学板も使いよう。人生みなわが師。」と昔から言われる
”無知の知”を知り、日本人は「どんなものからでも学べる」、これもまた真だろう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
無知の知
他人の無知を指摘することは簡単であるが言うまでもなく人間は世界の全てを知る事は出来ない。
ギリシアの哲学者ソクラテスは当時、知恵者と評判の人物との対話を通して、自分の知識が完全ではない事に気がついている、言い換えれば無知である事を知っている点において、知恵者と自認する相手より僅かに優れていると考えた。
また知らない事を知っていると考えるよりも、知らない事は知らないと考える方が優れている、とも考えた。
なお、論語にも「知るを知るとなし、知らざるを知らずとなす、これ知るなり」という類似した言及がある。
422:１３２人目の素数さん
12/09/09 20:31:42.89
まずabc予想がどうしてクレイミレニアム問題に選ばれなかったか考えてみた？
自ずとリーマン予想やBSDとの違いが見えてくるはずだが。。。
423:１３２人目の素数さん
12/09/09 20:44:59.39
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
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424:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 22:15:33.32
>>422
その考えには乗らないよ
そもそも、世の中に予想は沢山ある
19世紀末、ヒルベルトは20世紀に解決すべき問題を選んだ
では、なぜ21世紀に同じことができなかったか？ たしかやろうという人はいたと思った。だが、結局実現しなかった
次、なんのためにクレイミレニアム問題を出したのか？
いまサッカー場や野球場の名前にお金を払うことがある。名前の知名度を上げるため。クレイも同じだ
クレイのことは知っているだろ？ なぜ７つ？ ８つではなぜいけない？ あるいはヒルベルトにならって23は？ 費用対効果がその理由の一つであることは間違いない（23ならABCも当選したかも）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アメリカのクレイ数学研究所によって2000年に発表された100万ドルの懸賞金がかけられている7つの数学上の未解決問題のこと。ミレニアム賞問題、ミレニアム問題とも呼ばれる。
名前の知名度を上げるため。これを考えると、多くの大衆が知っている問題（例えばポアンカレ、リーマン）の方が良い。あるいは、知られていなくても少し説明すれば、容易に納得してもらえる問題が良い（例えばナビエ-ストークス）
425:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 22:19:46.58
>>424
つづき
クレイの公式見解は下記だ
後は選んだ人の趣味だろう
URLﾘﾝｸ(www.claymath.org)
The Millennium Prize Problems
In order to celebrate mathematics in the new millennium, The Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts (CMI) established seven Prize Problems.
The Prizes were conceived to record some of the most difficult problems with which mathematicians were grappling at the turn of the second millennium; to elevate in the consciousness of the general public the fact that in mathematics,
the frontier is still open and abounds in important unsolved problems; to emphasize the importance of working towards a solution of the deepest, most difficult problems; and to recognize achievement in mathematics of historical magnitude.
The prizes were announced at a meeting in Paris, held on May 24, 2000 at the College de France. Three lectures were presented: Timothy Gowers spoke on The Importance of Mathematics; Michael Atiyah and John Tate spoke on the problems themselves.
The seven Millennium Prize Problems were chosen by the founding Scientific Advisory Board of CMI, which conferred with leading experts worldwide. The focus of the board was on important classic questions that have resisted solution for many years.
426:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 22:26:41.42
世の中星の数ほどある予想
それを７つに絞って賞金を出す
それになにか客観的基準があると思うなら、それは錯覚だろう
427:１３２人目の素数さん
12/09/09 23:06:03.20
難易度だけで言ったら双子素数予想なんて
何世紀に解かれるかもわからないからね
428:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/09 23:47:28.00
>>427
乙です
これですね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
素数が無限に存在することが古代ギリシャ時代から知られていたのに対し、双子素数は無限に存在するかという問題、いわゆる「双子素数の予想」や「双子素数の問題」と呼ばれる問題は、多くの数論学者が無限に存在するだろうと予想するが、
2012年の時点で、いまだに数学上の未解決問題である。
上からの評価式など部分的な結果があるが、その中でも漸近公式の予想は注目に値する。双子素数の組の数の漸近公式はハーディ・リトルウッド予想の一部であり、これは素数定理と似通った次のような双子素数の漸近的な分布公式を予想している。
この問題は、特に二素数の場合のゴールドバッハの予想に密接に関係しており、篩法などの研究者によって双方の研究が同時に進められてきた。
2004年5月に、「双子素数が無数に存在することの証明」と題された論文が Richard Arenstorf によって提出され[1]、上記のハーディ・リトルウッドの予想は正しいと主張したが、内容に重大な誤りがあるとして著者自身によって撤回された。
429:１３２人目の素数さん
12/09/10 00:44:06.30
今回の望月氏の快挙をグロタンはどう思うだろうか？
まだ生きてどこかに居るらしいから、彼の感想を
聞きたい。
430:１３２人目の素数さん
12/09/10 18:27:21.66
おまいら、ここで雑談もいいけど原論文ちゃんと読めよ
431:あのこうちやんは始皇帝だった
12/09/10 19:30:19.98
また、お前か！ ２０代の、ニートの、女性恐怖症の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキ！
死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
432:１３２人目の素数さん
12/09/11 01:17:54.32
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
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433:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/11 04:46:50.92
>>429
グロタン氏、さあ？
>>430
英語のwikipediaにShinichi Mochizuki が出たね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In August 2012, Shinichi Mochizuki released a paper with a ねserious claim to a proof of the ABC conjecture.
Mochizuki calls the theory on which this proof is based inter-universal Teichmuller theory,
and it has other applications including a proof of Szpiro's conjecture.[1][2]
434:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/11 05:12:07.45
>>430
望月先生のホームページに論文理解のためのヒントが沢山あるように思う
ここらを併読した方がいいだろう
なにしろ５００ページの大論文だから、ヒントをもらいながら読むほうが
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
435:１３２人目の素数さん
12/09/11 15:47:15.22
しかし、現時点じゃプロでも理解するのはなかなか難しいのでしょうね
背景になる理論も膨大だし
436:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/11 21:29:32.02
>>435
乙です
同意です
素人ですが、望月ホームページの論文のページを見ると
望月先生がグロタン予想解決からずっとやってきた延長線上に今回の大論文がある
そんな風に読めました
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
（望月ホームページの論文のページより論文の分野）
内在的Hodge理論
p進Teichmuller理論
遠アーベル幾何、圏の幾何
楕円曲線のHodge-Arakelov理論
[3] 代数曲線に関するGrothendieck予想 --- p進幾何の視点から. PDF
437:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/11 23:36:07.09
>>436
つづき
ですから、Hodge理論、p進Teichmuller理論、遠アーベル幾何、圏の幾何、楕円曲線のHodge-Arakelov理論・・・
ここらが全部集大成されて解決に繋がった
背景には膨大な理論がある
だが、望月論文が正しいとして、その適用を考える理解の仕方もあるだろう
438:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/11 23:38:53.81
>>437
プロにはプロの読み方がある
つまり、「いま自分が追いかけている課題に使えないか？ 使える部分はないか？」だ
そういう視点は、課題のない素人とは、読み込みの深さとスピードが違うように思う
いま望月論文の読み込み競争が始まっていると思う
439:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 06:17:36.61
p進の世界は不思議な世界ですね
URLﾘﾝｸ(webcache.googleusercontent.com)
From kuroki@math.tohoku.ac.jp Wed Mar 23 17:52:38 1994
黒木＠東北大学と申します。
誰もp進数の説明をしてないようなので、少し真面目に解説しましょう。
440:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 06:30:57.98
>>439
黒木先生ね
URLﾘﾝｸ(www.math.tohoku.ac.jp)
東北大学大学院理学研究科数学専攻
黒木玄のウェブサイト
数学の学び方に関する常識
441:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 06:37:44.87
黒木先生、ちょっと変わった先生ですね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
黒木 玄（くろき げん）は、数学者。東北大学理学部数学科助教。インターネット上の掲示板の叢生期に「黒木ルール」を発案し、「黒木の何でも掲示板」によって実践した。
秋田県出身。秋田県立本荘高等学校を経て、東北大学理学部数学科卒業。東北大学大学院理学研究科数学専攻修了。数理物理学への表現論の応用、共形場理論と量子可積分系などを研究している。
関連項目
ソーカル事件
田崎晴明
山形浩生
442:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 06:44:37.99
>>441
関連寄り道
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
抜粋
1994年、ニューヨーク大学物理学教授だったアラン・ソーカルは、当時最も人気のあったカルチュラル・スタディーズ系の評論雑誌の一つ『ソーシャル・テキスト』誌に、
『境界を侵犯すること：量子重力の変換解釈学に向けて』(Transgressing the Boundaries: Towards a Transformative Hermeneutics of Quantum Gravity)と題した疑似論文を投稿した。
この疑似論文は、ポストモダンの哲学者や社会学者達の言葉を引用してその内容を賞賛しつつ、それらと数学や理論物理学を関係付けたものを装っていたが、実際は意図的にでたらめを並べただけの意味の無いものであった。
ソーカルの投稿の意図は、この疑似論文がポストモダン派の研究者によってでたらめであることを見抜かれるかどうかを試すことにあった。
疑似論文は1995年に受諾され、1996年にソーシャル・テキスト誌にそのまま、しかもポストモダン哲学批判への反論という形で掲載された[2]。
当時同誌は査読制度を採っておらずこうした失態を招き、編集者は後にこの件によりイグノーベル賞を受賞している。また後に査読制度を取り入れた。
「疑似論文」に用いた数学らしき記号の羅列は、数学者でなくとも自然科学の高等教育を受けた者ならいいかげんであることがすぐに見抜けるお粗末なものだったが、それらは著名な思想家たちが著作として発表しているものをそっくりそのまま引用したものだった。
なお、ソーカルの疑似論文が載ったのは、科学論における社会構築主義に対する批判への再反論を掲載するため、「サイエンス・ウォーズ特集号」との副題のついた『ソーシャル・テキスト』の特集号[3]であった。
したがって、『ソーシャル・テキスト』の編集者に取っては、『考えられるかぎり最悪の自滅行為』[3]であったといえ、以後、サイエンス・ウォーズとの言葉はソーカルに対する賛否両論の立場から用いられるようになった。
日本における影響
日本では山形浩生らがソーカルらの批判に応じて、浅田彰の著書「構造と力」の一部の記述を同様の仕方で批判した[25]。
略
この点について疑似科学批判の活動で著名な数学者の黒木玄は「大したことじゃない」としつつも、論点に関しては、山形を支持している。[27]
443:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 06:48:54.99
>>442
さらに寄り道
知る人ぞ知る山形浩生
かなり有名人です
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
山形 浩生（やまがた ひろお、1964年3月13日 - ）は、評論家、翻訳家。野村総合研究所研究員。
略歴
東京都出身。小学校1年生の秋から約1年半、父親の海外勤務でアメリカに居住。麻布中学校・高等学校卒業後、東京大学理科Ⅰ類入学。東京大学大学院工学系研究科都市工学専攻を経て、野村総合研究所研究員となる。
1993年からマサチューセッツ工科大学に留学し、マサチューセッツ工科大学不動産センター修士課程を修了。1998年、プロジェクト杉田玄白を創設。
野村総合研究所で開発コンサルタントとして勤務する傍ら評論活動を行っている。また先鋭的なSFや、前衛文学、経済書や環境問題に関する本の翻訳を多数手がけている。
444:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 06:54:44.86
>>440
さて本題
URLﾘﾝｸ(www.math.tohoku.ac.jp)
数学の学び方に関する常識
黒木玄著、「数学の学び方に関するヒント―数学科の学生の皆さんへ―」 (1996年度前期)
URLﾘﾝｸ(www.math.tohoku.ac.jp)
抜粋
まず、これは何度も強調していることだが、正攻法は、数学の良い本を一冊選び、それを熟読することある。そのために適した本は、論理的な説明が詳しく書いてあって、しかも重要な例に関する説明がしっかり書いてあるものである。
一つ以上の分野を完全に修得するためには、このような勉強の仕方が不可欠である。講義や演習の単位を取るためだけに、あまり面白くもない純粋に教科書的な本の一部をつまみぐいするという類の勉強の仕方も、ときには必要ではあるが、
そのような勉強の仕方のみでは決して深い理解を得ることはできない。最近、そのような勉強の仕方をしている学生が大勢になっているように感じられるので、数学を楽しんでいる私は大変残念に思っている。
論理的に厳密に理解すること。これは数学における基本であるが、論理的に厳密に理解するとはどういうことかを修得するという作業が最も苦しい段階であると思う。
しかし、これを避けていては、どのような数学をも真に理解することはできない。論理的に厳密に考えることが、息をするのと同様にできるようになるよう努力しなければいけない。
(もちろんのことだが、論理をフォローしただけで理解したような気になってはいけない！)
数学書を読んでいてわからなくなった場合は、先に進むことと後に戻ることの両方を考えなければいけない。
数学書の多くは定義・例・定理・証明・系 (または例) のような順番に書かれていることが多い。
定義や定理の内容を理解せずに先に読み進むことは、必ずしも不真面目な態度ではない。理解してない部分を明僚に認識し、理解してないことを忘れなければ良いのである。
例えば、抽象的な定義を直観無しでは記憶に止めることさえ困難な場合がある。そのような場合は定義の文章を何度も読むだけではなく、先に進んでどのような例がその定義に適合するのか調べてみた方が良い。
また、定理の文章を読んでも、一体何を述べているか分からない場合も多い。そのような場合は証明の文章をざっと眺めてみたり、
445:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 06:59:24.18
>>444
つづき
黒木玄著、「数学の学び方に関するヒント―数学科の学生の皆さんへ―」 (1996年度前期)
URLﾘﾝｸ(www.math.tohoku.ac.jp)
抜粋
どんなに速く読んだとしても、論理的かつ直観的な理解が伴わないのでは、数学の勉強の仕方として無意味である。厳密に論理をフォローするだけでも大変なのに、さらに直観的な理解をも身に付けようとすれば、膨大な時間が取られるのが普通である。
最後に強調しておきたいことは、数学の研究も自然科学と同様に帰納の学問であり、演繹の学問ではないということである。この点は多くの人が誤解している点である。
数学科の卒業生でも誤解しているかもしれない。 (この点において、数学科の教官は大いに反省する必要があると思われる！)
実際の数学の研究の場では、特殊な多くの例の集積から、その様子がかなり明らかになったところで、多くの予想が立てられるのである。予想を立てるという作業は演繹的ではなく帰納的な作業である。
予想の多くはすぐに証明もしくは反証されるが、予想の幾つかは証明も反証もされないまま、その特別な場合に関する結果のみがさらに集積して行くのである。その特別な結果の集積は自然科学における実験・観察の部分に相当している。
つまり、論理的 (演繹的) に証明された結果や特殊な場合における計算結果は、理論建設という帰納的な試みの材料とされるのである。このようなことは、数学を真面目に勉強していれば自然に気が付くことである。
（引用おわり）
446:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 07:07:28.68
>>444-445
僭越ながらコメント
１．(もちろんのことだが、論理をフォローしただけで理解したような気になってはいけない！)、”論理的に厳密に考えることが、息をするのと同様にできるようになるよう努力しなければいけない。”というところが気に入った
２．”数学書を読んでいてわからなくなった場合は、先に進むことと後に戻ることの両方を考えなければいけない。”、”定義や定理の内容を理解せずに先に読み進むことは、必ずしも不真面目な態度ではない”が気に入った
３．”最後に強調しておきたいことは、数学の研究も自然科学と同様に帰納の学問であり、演繹の学問ではないということである。”が気に入った
”厳密に論理をフォローするだけでも大変なのに、さらに直観的な理解をも身に付けようとすれば、膨大な時間が取られるのが普通である。”というところも大事だ
あせりは禁物。最初は時間がかかっても、だんだん早くなる。それを楽しむように。経験値がたまるとレベルが上がる。レベルが上がると早くなるんだ
でも、以前書いた全体像の理解を早期にも強調しておきたい。”定義や定理の内容を理解せずに先に読み進むことは、必ずしも不真面目な態度ではない”につながる
447:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 07:20:56.25
>>440
本題のつづき
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
% 大学院新入生のための数学学習の手引
% 著者: 宇澤 達
% 協力: 黒木 玄
\def\VERSION{1996年9月11日}
これ[TeX] LaTeX Original
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~nakajima/minimum共有
ファイルタイプ: TeX/LaTeX - HTMLバージョン
（検索結果）
だそうです。ふつうに開くと文字化けする（ URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp) は読める）
文献などはちょっと古いけど、ざっと読んだ方がいいでしょう
448:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 07:33:17.46
>>440
本題のつづき
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
数学は体力だ!
木村 達雄(数学系教授)
4．勉強と研究の違い（研究の波動）
大学3年の時に，佐藤幹夫先生（佐藤超関数や概均質ベクトル空間の理論の創始者）の集中講義に出た事がありました。自分の考えた理論を生き生きと説明していく講義にすっかり魅了されてしまいました。
内容は難しくて良く分からないのに，何かワクワクするものを感じるのです。このとき，数学は分からなくても感動することがあるのだ，と知りました。
のちに大学院の修士1年になったとき私は武術に夢中になり，真剣を使って戦いの集中力や持続力の稽古に没頭してしまいましたが，修士論文を1年後に提出しなければならなくなった頃，京都大学に佐藤幹夫先生を訪ねました。
ニコニコしながらコーヒーを入れて下さった先生は「どんな研究をしていますか？」と尋ねたので「実は武術しかしていませんが数学これから頑張ります」と答えた。
先生の顔色が変わり，ものすごく怒られて「君の状態では新しい結果を出すのに一年半はかかる」と言われ，とにかく30分だけ，一対一で研究指導をして下さいました。
その時，私は初めて勉強とは全く異なる研究の雰囲気，波動のようなものを感じ，研究はこうするのか，と思いました。
5．数学研究の心構え
佐籐先生は「すぐ追い返したい所だが研究室を一つ使って良いから一週間したら帰りなさい」と言われ，更にオロオロする私に研究の心構えを教えて下さいました。
「朝起きた時に，きょうも一日数学をやるぞと思ってるようでは，とてもものにならない。数学を考えながら，いつのまにか眠り，朝，目が覚めたときは既に数学の世界に入っていなければならない。
どの位，数学に浸っているかが，勝負の分かれ目だ。数学は自分の命を削ってやるようなものなのだ」と言われ，追いつめられた私は，まさにこれを実行しました。
すると一週間で未解決問題の一つが解けてしまいました。佐藤先生に見せに行くと「君に出来る訳がない。
どうしても正しいと言うなら，これが成り立つ筈だから確かめてみなさい」と言われ三日かけて再び持っていくと，それからは佐藤先生は毎日6時間以上に及ぶ個人指導を始めて下ざり，私をグイグイ引き上げて下さいました。
つづく
449:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 07:36:30.90
>>448
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
数学は体力だ!
木村 達雄(数学系教授)
6. 才能と素質
このおかげで，二ケ月後には未解決部分をすべて解決して，既約概均質ベクトル空間の分類を完成する事が出来ました。
実は私は学部4年の時に自分の考えた事をレポートにして指導教官だった伊原康隆先生（関数体の非アーベル類体論の研究で有名）に提出した所，
研究室に呼ばれ「君は数学の才能が無いから別の道を探しなさい」と言われて，ショックを受け，それ以来，才能とか素質という言葉が大嫌いになりました。
分類が完成してから伊原先生を訪ね「才能が無くても研究が出来ましたよ」と言うと「いや，才能がなくては出来ない。ただ私が君の才能を見抜けなかったのだ。スモウでいえば，君は異能力士だ」と言われ，
それはそれで悪い気はしませんでしたが，この経験から，私は院生を指導する時に，決して才能が無いとか，素質がないという見方はとらないようにしています。人間の能力は決して決めつけられる種類のものではないし可能性は無限にあると思います。
今までも出来なかった学生が努力を続けて良い修士論文を書き，その結果がアメリカ数学会誌に載ったことも何回かありました。
また筑波大付属盲学校の先生だった尾関育三氏は，40才から現代数学を勉強し始め，
当時学生だった私は，現代数学の本を読んであげるアルバイトをしました。そして年令や目が見えないハンディをのりこえて，数年前に，優れた研究により京都大学から理学博士を授与されたことが朝日新聞にのりました。
人間の可能性には，素晴らしいものがあるとつくづく感じたものです。
（きむらたつお 数論・代数幾何学専攻）
引用終わり
450:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 07:39:02.90
>>448-449
コメント
これ、”河東泰之著、「佐藤幹夫の言葉” URLﾘﾝｸ(www.math.tohoku.ac.jp) >>440
と記されているが、河東泰之との繋がりが見えないんだよね
451:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 07:53:46.68
>>448
>佐籐先生は「すぐ追い返したい所だが研究室を一つ使って良いから一週間したら帰りなさい」と言われ，更にオロオロする私に研究の心構えを教えて下さいました。
>「朝起きた時に，きょうも一日数学をやるぞと思ってるようでは，とてもものにならない。数学を考えながら，いつのまにか眠り，朝，目が覚めたときは既に数学の世界に入っていなければならない。
>どの位，数学に浸っているかが，勝負の分かれ目だ。数学は自分の命を削ってやるようなものなのだ」と言われ，追いつめられた私は，まさにこれを実行しました。
>すると一週間で未解決問題の一つが解けてしまいました。佐藤先生に見せに行くと「君に出来る訳がない。
僭越ながらコメント
１．以前に数学＝言語のようなことを書いた。
２．ネイティブでない人間が語学を習得するには、その言語環境にどっぷり浸かるという方法がある
３．佐藤先生はそれを言い、木村 達雄先生はそれを実行した
４．すると、木村 達雄先生はその言語の物語を一つ考えることができたんだ
５．それは、佐藤先生も未完成の物語で、こんな話が書けたら良いなだったんだけど、木村 達雄先生は極限状態でひらめいたんだ
６．一週間という期限を切られた極限状態で、火事場のばか力というキン肉マン状態になったんだろうね木村 達雄先生
７．運もあると思うんだよね。でも、運を引き寄せ掴むのも実力だ。幸運の女神は強者を好むという。あるいは運命の女神は前髪しかないという。その瞬間に掴まないと幸運を得ることはできない。木村 達雄先生はその才能がありその実力を一週間で身につけた
そう思うんだよね
だれでもできることではない
だが、しかし自分は強運だと信じて努力するしかない。自分は運がないと思っていては、運命の女神は来ないし、来ても気づかずやり過ごしてしまうだろう
452:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 08:02:11.57
>>451
寄り道
火事場のクソ力？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
火事場のクソ力（かじばのクソぢから）とは、ゆでたまごの漫画『キン肉マン』およびその続編『キン肉マンII世』に登場する架空の能力。
作中の登場人物、特に主人公のキン肉マンやその一族に顕著に見られる潜在能力で、窮地に陥ったときに普段を遥かに超えるパワーを発揮する。
その他
ゆでたまご公認の謎本『キン肉マン 77の謎』[8]では、超人強度100万パワー以下の正義超人が、それより遥かに超人強度の高い相手と互角に戦えるのは、火事場のクソ力を発揮しているためであると解釈している。
また、同書では人間にも備わっている能力であると、現実世界の「火事場の馬鹿力」との関連性を示唆した記述もある。
453:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 08:15:47.23
>>450
>河東泰之との繋がりが見えないんだよね
よくわからないままに
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
河東泰之(かわひがしやすゆき) (Google Scholar Page) 東京大学大学院数理科学研究科・教授
大学院入学志望者向けの説明 (4/13/2006)
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
(1)がちゃんとわかっていない人は無理です．(2), (3)がよくわかっていない人もかなり苦しいでしょう．将来博士課程に進学して作用素環論の研究者になりたいと思う人は，(4)あるいはそれ以上まで理解しておくと先の選択肢が広がります．
また，作用素環論はほかのいろいろな分野との関連が活発になって来ているので，表現論，確率論，トポロジー，微分幾何学，ホモロジー代数，数理物理学なども勉強しておくと有利でしょう．
ただし多くのことを知っているということは研究するための必要条件でも十分条件でもありません．知識が少なくても，やる気と能力があればあとからなんとかすることも十分可能でしょう．それから英語も自由に使いこなせることが大切です．
私のところで研究する内容は広い意味で作用素環論と関係があればよく，私の研究内容と近いものをやる必要はまったくありません．
自分が面白いと思うことをやるのが一番です．また積極的に外国に出かけていくことを推奨しています．最近大学のポストへの就職はたいへん厳しくなっていますが，英語で授業ができれば世界でのチャンスが大きく広がります．
数学を愛している人に来てほしいと思います．
(もう少し詳しい案内はこちらです．)
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
454:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 08:24:39.87
>>453
つづき
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
私のところで大学院入学を志望する方へ
抜粋
まず一般的な勉強の仕方についてです．セミナーの準備の仕方については別のページに書きました．いろいろとそちらに書いてありますが，一番重要なことを一言で言えば 安易にわかった気になってはいけない ということです．
ここで「わかる」というのは別に，数学全体の将来の発展を踏まえたある理論の位置づけというようなことを言っているのではなくて，
単に本に書いてあることについて，定義は何で，定理の仮定と結論は何で，どういう方法でどのように証明してあるか，といったことを理解する，という意味です．
そんなことは本に書いてあるんだから簡単だ，と言う人は，とても優秀か，何もわかっていないかのどちらかでしょう．数学の本はそんなに簡単にわかるものではありません．
わかってないのにわかったような気になっていては，本を何冊読んでもザルで水をすくっているようなものです．
大学教養程度を超えるようなレベルの数学の本を，こういう意味でちゃんと理解したという経験がなければ大学院で研究の準備に入ることは難しいでしょう．
ただ誤解されないようにはっきり言っておきたいのですが，多くのことを知っていることは研究するための必要条件でも十分条件でもありません．
研究者の仕事は人が読んでくれるような本や論文を書くことであって，人が書いた本や論文を読むことではありません．
（しかしどれほどの天才でも自分で一からすべてをやることは無理なので，勉強することが必要になるでしょう．また，確立した用語や記号の定義を知らなければ人に話が通じません．）
ただ，普通の研究者（の卵）が常識的に知っているようなことを知らなければやっぱり不利になることが多いでしょう．その不利を克服するには何か特別な努力や才覚が必要になります．
しかし逆に言えばそういう何か特別なものがあれば，知識が足りなくても自力で何とかしていくことは可能だと思います．
当研究科の大学院生は数学者志望の人が圧倒的に多いのですが，大学のポストの数は少なく，ポストにつける人は修士課程入学者の1/4～1/5程度であることは覚悟しておいてください．
455:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 08:38:11.71
>>454
つづき
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
セミナーの準備のしかたについて 河東泰之
抜粋
セミナーの準備のしかたは個人ごとに自分にあったやり方でやればいいので，別に特定のやり方を押し付けるつもりはありませんが，一つの例としてやり方を説明します．
まず，当然書いてあることを理解することが第一歩です．書いてあるのはすべて，なぜなのか徹底的に考えなくてはいけません．
「本に書いてあるから」とか「先生がそう言うから」などの理由で，なんとなく分かったような気になるのは絶対にアウトです．
そして「全部完全にわかった」という状態になるまで，考えたり，調べたり，人に聞いたりするのをやめてはいけません．
まだ準備は終わりではなく，始まったばかりです．
本を閉じてノートに，定義，定理，証明などを書き出してみます．すらすら書ければO.K.ですが，ふつうなかなかそうはいきません．
それでも断片的に何をしていたのかくらいは，おぼえているでしょう．そうしたら残りの部分については，思い出そうとするのではなく，自分で新たに考えてみるのです．
そうして，筋道が通るように自分で再構成する事を試みるんです．
これもなかなかすぐにはできないでしょう．そこで十分考えたあとで，本を開いてみます．するといろいろな定義，操作，論法の意味が見えて来ます．
これを何度も，自然にすらすらと書き出せるようになるまで繰り返します．普通，2回や3回の繰り返しではできるようにならないでしょう．
さらにそれができるようになったとしましょう．今度は，紙に書き出すかわりに頭の中だけで考えてみます．
全体の流れや方針，ポイントは頭の中だけで再現できるものです．
このようにして，何も見ないでセミナーで発表できるようになるんです．
数学の論理は有機的につながっていて，全体の構造を理解していれば，正しく再現できるようになります．
以上のような準備をきちんとするには当然，膨大な時間がかかります．1回の発表のために50時間くらいかかるのは，何も不思議ではないし，100時間かかっても驚きはしません．
実験系統の院生は，朝から晩まで(あるいは晩から朝まで)実験しているんですから，数学だってたっぷり時間をかけないと身につかないのは当然です．
456:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 08:49:55.98
>>455
こんなことを書くと、河東泰之先生からおこられるかもしらんが
>>334のわんこら式数学の勉強法に似ている面がある
”数学の論理は有機的につながっていて，全体の構造を理解していれば，正しく再現できるようになります．”
”紙に書き出すかわりに頭の中だけで考えてみます．全体の流れや方針，ポイントは頭の中だけで再現できるものです．”
”断片的に何をしていたのかくらいは，おぼえているでしょう．そうしたら残りの部分については，思い出そうとするのではなく，自分で新たに考えてみるのです．
そうして，筋道が通るように自分で再構成する事を試みるんです．”
「数学書を読んでいてわからなくなった場合は、先に進むことと後に戻ることの両方を考えなければいけない。」>>444
「定義や定理の内容を理解せずに先に読み進むことは、必ずしも不真面目な態度ではない。理解してない部分を明僚に認識し、理解してないことを忘れなければ良いのである。」
すぐには全部わからんのよ
とすれば、わんこら式で先まで全部読んで
何回も読んで
断片的に何が書いてあったかを思い出して、残りの部分については，思い出そうとするのではなく，自分で新たに考えてみる
自分で構成できないところを、また読む
そんな勉強法もありだろう
457:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 10:18:11.86
>>445
URLﾘﾝｸ(www.math.tohoku.ac.jp)
>1日に数学の本を1ページづつ読んで行けば、たまに休んだとしても1年で300ページの本を1冊読むことができる。 1日に1ページとは何と遅い読み方だと思われる人がいるかもしれないが、それなら実際にそれができるかどうか実践してみて欲しい。
>どんなに速く読んだとしても、論理的かつ直観的な理解が伴わないのでは、数学の勉強の仕方として無意味である。厳密に論理をフォローするだけでも大変なのに、さらに直観的な理解をも身に付けようとすれば、膨大な時間が取られるのが普通である。
「1日に数学の本を1ページづつ読んで行けば、たまに休んだとしても1年で300ページの本を1冊読むことができる。」という言い方はよくされるが
黒木先生には悪いが、あまり良い読み方ではない
こんな読み方があっていて、実行できる人は良い
だが、多くの人は10ページくらいでギブアップだろう
こんな読み方は読んでいて面白くない
まず、わんこらで最後まで読む
分からなくても読む
読めばなにか残る。残らなければもう一度読む。少ししか残らなければ、もう一度読む
なにが書いてあるかぼんやりとでも分かったら、それから精読すればいい
思い出せない残りは、思い出そうとするのではなく，自分で新たに考えてみる>>455というのもありだろう
そういうことを行きつ戻りつ、全体像を把握し理解しながら、読み進むべし
458:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 12:35:58.49
>>457
>論理的かつ直観的な理解が伴わないのでは、数学の勉強の仕方として無意味である。
”直観的な理解が伴わないのでは、数学の勉強の仕方として無意味である”が大事だ
数学は論理の積み上げだと、定義、定理、証明を追って、数学を勉強した気になる人がいる
だが、それを自由自在に使えるようになるには、直観的な理解が不可欠だ
使って、直観的な理解に至るのが理想かもしれない
459:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 12:41:40.27
>>356
新スレたった（下記）。２ゲットしてきた。ただし、情報はこれからだな
ABC予想が解かれたかもしれんぞ！
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
460:１３２人目の素数さん
12/09/17 13:06:35.21
1日1ページ読むというのは、そのペースで完全に理解していくのがいいという意味ではないでしょうね。
仮に1日に1ページ読めば、1年で300ページになるから、一見ゆっくりに思えても、
そんなに馬鹿にしたものでもないという意味と、数学の本を理解するのは、そのくらいの時間がかかるという意味でしょうね。
461:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/17 14:08:18.38
>>460
うむ、同感です
実際周りを見回しても、1日1ページでなにか数学本を読み通したという人は聞かない
1日1ページで10ページ程度で挫折したという話はよく聞く
なぜ挫折か？ 個人的見解だが
１）人は無意味な情報はすぐ忘れる
２）1日1ページで理解が進まず読んで行っても、10日経てば最初読んだことは忘れてしまって、ザルで水を救うがごとし
３）富士の樹海に迷い込んだ旅人状態から早く脱した方がいい。本を１ページづつ読んでは、木を見て森を見ず状態。早く、その本の全体像をつかんで、いま自分がどこを読んでいてどこに向かっているのかを把握しておく方が理解が速い
４）なので、1日1ページ読むなら、まず一日目はざっと流し読み。二日目以降、その本の全体像を把握するために繰り返し読む。回数はその人と本のレベルによる
全体像をつかんだのち、精読に入る。そのとき、部分部分の理解の隙間は、思い出そうとするのではなく，自分で新たに考えてみる>>455というのもありだろう。というか、隙間は自分で埋めるつもりで読む方が面白く読めるだろう
462:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/18 23:16:45.79
ほい
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
数学の難問「ＡＢＣ予想」、京大教授が解明か
2012/9/18 22:02
現代の数学に未解明のまま残された問題のうち、「最も重要」ともいわれる整数の理論「ＡＢＣ予想」を証明する論文を、望月新一京都大教授（43）が18日までにインターネット上で公開した。
整数論の代表的難問であり、解決に約350年かかった「フェルマーの最終定理」も、この予想を使えば一気に証明できてしまう。欧米のメディアも「驚異的な偉業になるだろう」と伝えている。
ＡＢＣ予想は1985年に欧州の数学者らによって提唱。
ＡとＢの２つの整数とこれらを足してできる新たな整数Ｃを考え、それぞれの素因数について成り立つ関係を分析した理論で、整数の方程式の解析では「最も重要な未解決の問題」ともいわれる。
英科学誌ネイチャーによると、望月教授はまだほとんどの数学者が理解できていないような新たな数学的手法を開発し、それを駆使して証明を展開している。
そのため「論文の正しさを判定する査読に時間がかかるだろう」という。一方で望月教授は過去に優れた実績を残しており、「証明は間違いないのでは」とする数学者のコメントも引用した。
望月教授が開発した手法は将来、この予想以外の整数論の問題を解く強力な道具になるとも期待されている。論文は合わせて４編で500ページあり、望月教授は自身のホームページで公開した。
望月教授は米プリンストン大数学科を19歳で卒業、京大助手などを経て現職。2005年３月に日本学士院の学術奨励賞を受賞した。
463:１３２人目の素数さん
12/09/19 01:10:08.90
Ａあの娘の
Ｂビラビラ
Ｃチョースゲー
旧帝電電院卒だけど、ABC理論は大したことないな
464:１３２人目の素数さん
12/09/19 05:07:21.72
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
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465:１３２人目の素数さん
12/09/19 08:02:59.32
平方数ではない3つの数字A、B、Cを用意する。
15や17は平方数ではないが、9や16は平方数。
A、B、Cの関係はA + B = Cであり、A < Bとなる。
それぞれの数字を素因数分解し、そこで取りだした素因数を乗算する。
例えばA = 3、B = 125とした場合C = 3 + 125 =128になり、それぞれを素因数分解すると
A = 3
B = 125 = 5^3、素因数のみを取り出すと5
C = 128 = 2^7、素因数のみを取り出すと2
それぞれを乗算すると3 * 5 * 2 = 30
求めた解をr乗する。rは1より大きい整数（r > 1）
rを2にすると
30^2 = 900
求めた解とCの比率はほぼ全てが1より大きく、常に0よりも大きい。
900 / 128 = 7.03125
カリフォルニア大学のBrian Conradは”これは素数AとB、A + Bに深い繋がりがある事を解き明かしている”と述べている。
ABC予想は1985年にJoseph OesterleとDavid Masserによって提案されました。
ニューヨーク、コロンビア大学の数学教授Dorian Goldfeldは”ABC予想が真実だと証明されればフェルマーの最終定理にも関係してくる様々な数学的問題が一気に解決されるだろう。
もし望月教授の証明が正しければ、21世紀で最も驚異的な成果になるだろう”と述べています。
466:１３２人目の素数さん
12/09/19 08:03:39.29
ABC予想
自然数の三つ組 (a, b, c) で, a + b = c, a < b,で a と b は互いに素(coprime)を満たすものを abc-triple と呼ぶ。
事実: r(abc) < c を満たす abc-triple は無限個ある。 (a, b, c) = (1, 32n - 1, 32n) はこれを満たす。
予想: abc-triple (a, b, c) の全てが c < r(abc)2 を満たす。
URLﾘﾝｸ(blog-imgs-44.fc2.com)
467:１３２人目の素数さん
12/09/19 08:08:57.03
>>465
>>466
これは・・・・・・公開暗号鍵が基本から吹っ飛ぶぞ
468:１３２人目の素数さん
12/09/19 18:01:04.29
B. Mazur "Questions about Number"
URLﾘﾝｸ(www.math.harvard.edu)
p.02 Part I
p.02 §1. Perfect powers.
p.08 §2. The "odds" of hitting on a solution.
p.15 §3. ABC.
p.20 §4. Digression on ABC and Mordell's Conjecture.
p.23 §5. The passage from ABC to cubic curves.
p.29 §6. The Mordell Equations.
p.32 Part II
p.32 §7. The passage from ABC to "cuspidal modular forms".
p.51 §8. Passage from ABC-solutions to algebraic points on a Fermat curve.
p.54 Part III (Appendices)
p.54 Appendix A: A hint about how ("ABC" implies "Mordell").
p.56 Appendix B: Consecutive perfect powers
p.58 Bibliography
469:１３２人目の素数さん
12/09/19 22:55:56.37
>>362
かっこよすぎだなｗｗｗ
自分の寿命が分かったら
どの問題まで証明できるか
予想できるんじゃないか
470:１３２人目の素数さん
12/09/20 12:55:56.93
なんで普遍じゃなくて宇宙なんだろ?
471:１３２人目の素数さん
12/09/20 17:16:20.59
グロタンディーク・ユニヴァースとかいうときの
ユニヴァースだからじゃないの
472:１３２人目の素数さん
12/09/22 02:42:34.30
だな
473:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/22 08:13:22.35
下記よくまとまっているので、コピーします
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:377番)
ABC予想が解かれたかもしれんぞ！
377 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2012/09/20(木) 20:19:19.90
これが本当なら、望月＞・・・＞ペレルマン＞ワイルズ＞タオ じゃないかな。
宇宙際タイヒミューラー理論により自動的に証明される予想や定理．
もし証明が正しければ未解決の予想が１０個くらい一気に解決することになる．
宇宙際タイヒミューラー理論 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
├─Vojta 予想 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
├─Szpiro予想URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
├─abc予想 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
│
├─Thue-Siegel-Roth定理 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
├─フェルマーの最終定理 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
├─モーデル予想 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
├─エルデス-ウッズ予想 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
├─ 非Wieferich素数が無限個存在する URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
├─ Marshall Hall's 予想 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
├─フェルマー - カタラン予想URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
├─ Tijdeman予想の一般化 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
├─Granville Langevin予想 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
├─修正Szpiro予想URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
474:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/22 08:40:31.16
こんなのがありました
URLﾘﾝｸ(quasimoto.exblog.jp)
Kazumoto Iguchi's blog 2012年 09月 21日 「abc予想」とはこんなもの？：望月新一博士はグロタンディークの後継者のようだ！？
今回は、この望月博士の数学分野についてちょっとメモしておきたい。しかしながら私は理論物理学者であり、数学的に厳密なお話はできない。そういう立場からの解説は、数学者によるものを参考にしてもらおう。以下のものである。
望月新一さんの数学 玉川安騎男（ 京大数理研）
これを読めば、望月博士が非常に控えめであり、純粋に数学研究に打ち込んでいる様子が見てとれる。すばらしい人物のようである。ご本人による日本語解説はこれ。
数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」 望月新一 （京都大学数理解析研究所）
さて、まず「abc予想」とは何か？
Serge Lang "Algebra"
というアメリカの現代代数学の有名な教科書に書かれている。私もこの教科書は拙論文
Universal Algebraic Varieties and Ideals: Field Theory on Algebraic Varieties
を作る時に四苦八苦し、理解できないところは想像力をかき立てながら読んだものである。もう１５年も前のことである。
この本の中にこんなことが書かれている。(一般の人に解り易くするために、私が数式を使わず言葉で表現した）
メーソンの定理(Mason's theorem)
互いに素の（つまり、お互いに割り切れない）係数が整数の数式が３つあり、それらをa,b, cと呼ぶ時、もしa + b = cが成り立つ場合には必ず次のことが成り立つ：
それぞれの最大次数をM, N, Lとすれば、これらの中で最大の次数は必ずこれら３つの数式をかけ算したabcとしてできる新しい数式の異なる解の個数?１以下になる。
このa + b = cのa, b, cを素の数式ではなく、素数に焼き直したものが「abc予想」と呼ばれる予想である。ただし素数の場合、多項式の根（解）はないので、「新しい素数abcを割ることのできる素数の積以下となる」と変える。
メーソンの定理は数式の場合だからだいたい１ページの証明で終わる。しかし、これが素数になると、素数の性質はリーマン予想のようにいまだによくわかっていないために、証明が極めて難しくなるのである。
つづく
475:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/09/22 08:43:00.29
>>474
（なお、抜粋です）
URLﾘﾝｸ(quasimoto.exblog.jp)
Kazumoto Iguchi's blog 2012年 09月 21日 「abc予想」とはこんなもの？：望月新一博士はグロタンディークの後継者のようだ！？
つづき
私はかねてからこのグロタンディーク博士の仕事を理解したいという夢を持って来た。いまもそうである。なぜなら、アインシュタインの相対性理論はまさしく１９世紀の大数学者リーマンが作り出したリーマン幾何学に基づいてできたからである。
もしリーマンの発想を超えることができるとすれば、言い換えれば、アインシュタインの一般相対性理論を超えることができるとすれば、グロタンディークの幾何学を基礎にするほかないはずだからである。
事実、アレキサンダー・グロタンディーク博士は自伝
数学者の孤独な冒険―数学と自己の発見への旅 (収穫と蒔いた種と)
において
「私はアインシュタイン革命に匹敵する革命を数学の中で起した」
という謎めいた一文を書いているからである。この意味は、グロタンディーク博士がアインシュタインやリーマンの考える幾何学とはまったく異なる考え方で幾何学を再構成できることを発見したという意味である。（スキームというやり方である。）
ならば、だれだってそれを理解したいと思うはずなのである。
そこでもちろん私は数百ページあるグロタンディークの本をコピーし必死で読もうとしたが、残念ながらフランス語のために全く読めずに今日に至ったというわけである。すでに１０数年も経ってしまったのである。
そこへ、今回なんともっともグロタンディーク的な数学者が京都大学にいるということを知ったわけである。そして、しかもいくつか日本語で解説している。早速私は飛びついていくつか読んだのである。
ワンダフル！
の一言である。私はグロタンディークが発明した「モチーフ」という数学概念は、上の自伝を読んで知っていたが、どうしても細かいところがよく理解できなかった。
それが、望月博士のモチーフの解説、それもたったの３ページの解説ですべて分かったのである。以下のものである。
モチーフ --- 代数多様体の数論的骨格
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
つづく