12/08/19 07:29:29.82
>>263
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
点群
同じ図形に関するふたつの対称操作aとbとの積a×bを、考えている図形に対しaに続いてbを施してえられる対称操作と定義する。そうすると、ある図形の並進操作以外の対称操作の集合は次のように群の公理を満たしている。
1.結合法則:任意の操作a, b, cについて(a×b)×c = a×(b×c)が成立。
2.単位元:任意の操作aが恒等操作eについてa×e = e×a = aとなるようなeが存在する。
3.逆元:任意の操作aに対し、a×a-1 = a-1×a = eとなるa-1が必ず存在する。
この群のことを与えられた図形の点群という。
例えば底面が正三角形の三角錐（正四面体ではない）では、頂点から底面に下ろした垂線は3回軸である。また、この垂線と三角錐の稜線を含む面（3つある）は鏡映面である。
したがって、この図形では、対称操作として、恒等操作、120度時計回りの回転操作、120度反時計回りの回転操作、3つの鏡映操作が可能である。
この6つの対称操作が群をつくることは、どの2つの連続操作も1つの操作で表現されることからわかる。
点群を記述するのにはシェーンフリース記号かヘルマン・モーガン記号（国際記法）のいずれかが用いられる。例えば底面が正三角形の三角錐の点群はシェーンフリース記号では C3v、ヘルマン・モーガン記号では 3m と表記される。