12/08/04 09:22:41.58
>>180
乙す
>圏論のジェネラル・ナンセンスぶりに引かれる人もいるのだろうが、
>もともと、圏もホモロジーもトポロジーで考えられたのだから、
>トポロジーでどう使われてるか知らなきゃ、有難味がわからない。
そういう見方も否定はしないが、こう考えたらどうだろうか
・圏論は言語だと。例えば英語だ。英語で書かれた論文がある。論文の内容に価値があるのか、英語に勝ちあるのかと言えば内容だろう
・英語は英国で考えられた。だから英語が英国でどう使われているかを知らなければならないと。だが、英語を使う地域は英国を超えて広がった。だから、発祥の地英国にこだわらなくても良いという考えも
183:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/04 09:23:37.95
>>182
訂正
英語に勝ちあるのかと言えば内容だろう
↓
英語に価値あるのかと言えば内容だろう
184:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/04 09:38:43.09
>>177
写真がある
by John Ewing In Memory of Kiiti Morita August 4, 1998 抜粋
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
We are here today to honor a respected and eminent mathematician, Kiiti Morita, who passed away exactly three years ago, on August 4, 1995.
I'd like to welcome our guests today, Professor Morita's widow, Tomiko; his son, Yasuhiro; his wife, Hiroko; and their son, Shiego.
It is a strange feeling for me to be here today, saying these words. Before coming to the AMS, my field as a mathematician was Algebraic Topology.
Professor Morita was a world class mathematician, who combined profound work in topology with brilliant insights into algebra. I grew up as a mathematician learning the phrase "Morita equivalence", a term that is everywhere in algebraic topology;
I learned the concept long before I ever associated it to a person, the man who invented the idea in 1958. I learned of his other work in topology in a series of lectures while I was still a graduate student,
but I never knew anything about the man behind those ideas. And having read more about the man, I wish I had known him, and not just his ideas.
It is particularly fitting that the American Mathematical Society recognize Professor Morita and his accomplishments.
Our recent Chairman of the Board, Hy Bass, was the one who made Morita equivalence and the related ideas famous in the 1960's.
He circulated notes from a series of lectures he gave afterwards, circulating in the United States, in Europe, and eventually in Japan as well.
I know that if Hy were able to be here today, he would very much enjoy the opportunity to meet the Morita family, and thank them on behalf of the entire mathematics community.
In his memory, the family of Professor Morita has made a gift to the American Mathematical Society. The Board of Trustees has passed the following resolution in recognition of that gift・・
185:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/04 10:46:37.53
>>179
[Mor58]
Kiiti Morita. Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition. Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku Sect. A , 6:83?142, 1958.
いわゆる大学紀要というやつだが、こういう記念碑的論文はパブリックドメインとして筑波が公開しアクセス可能にすべきだろう
186:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/04 10:58:59.71
>>154
そういう物理学者風の勉強方ではなかったかと思う
↓
そういう物理学者風の勉強法ではなかったかと思う
187:１３２人目の素数さん
12/08/04 17:35:04.12
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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188:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/04 19:33:25.43
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
ホモロジー (数学)
脚注 [編集]
4^ Bourbaki and Algebraic Topology by John McCleary (PDF) に時代考証がある（フランス語の原版から英語への翻訳）。
URLﾘﾝｸ(math.vassar.edu) （おそらくリンク切れ）
このリンクが切れているようで、Bourbaki and Algebraic Topology John McCleary で検索し直した結果下記がヒット
URLﾘﾝｸ(edu.mmcs.rsu.ru)
[PDF]
Bourbaki and Algebraic Topology by John McCleary It ... - EDU-MMCS
edu.mmcs.rsu.ru/.../Bourbaki/McCleary2004.pdf - このページを訳す
ファイルタイプ: PDF/Adobe Acrobat - クイック ビュー
J McCleary 著 - 関連記事
Bourbaki and Algebraic Topology by John McCleary. The principal aim of the Bourbaki group (L'Association des Collaborateurs de Nicolas. Bourbaki) is to provide a solid foundation for the whole body of modern mathematics. The method of ...
189:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/04 19:48:21.76
>>188
和訳がある
URLﾘﾝｸ(slashdot.jp)
taro-nishinoの日記 | スラッシュドット・ジャパン
taro-nishinoの日記： ブルバキと代数トポロジー
日記 by taro-nishino2012年02月26日 23時38分
さて、随分本題とは関係のない話を書きましたが、ブルバキで私が取上げてほしかったトピックの一つに代数トポロジーがあります。
ブルバキには多くの重要なトピックが抜けていますが、代数トポロジーについてはメンバー全員が精通していると言っても過言じゃなかったのに何故書かれなかったのか長年不思議に思っていました。
その疑問の答えを最近見つけました。それがJohn McCleary氏の"Bourbaki and Algebraic Topology"(PDF)です。
以下に、その私訳を載せておきますが、文中に一般ストークスの定理を述べるところがあるのですが、積分記号を入力出来ませんので(積分記号)∂X ω = (積分記号)X dωで代用しました。分かる人は分かると思います。
ブルバキと代数トポロジー
2004年12月10日 John McCleary マディソンウィスコンシン大学での講演
ここマディソンで、特にこの特別な日に講演する機会に感謝する。パリのサン・ミッシェル63通りにある喫茶店A. Capouladeで"解析教程草稿委員会"の創始者達が会合したのは、まさしく70年前の今日だった。
この会合には、(最近百歳になった)アンリ・カルタン(1904? )、クロード・シュヴァレー(1909?1984)、ジャン・デルサルト(1903?1968)、ジャン・デュドネ(1906?1992)、ルネ・ド・ポッセル(1905?1974)、アンドレ・ヴェイユ(1906?1998)がいた。
このプロジェクトの定めは、ブルバキ又はたぶんElements de mathematique(現代数学の基礎概念の影響力のある解説書のシリーズ)の著者である登場人物ニコラ・ブルバキの物語だろう。
（略）
190:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/04 19:52:09.03
>>189
>積分記号を入力出来ませんので(積分記号)∂X ω = (積分記号)X dωで代用しました。
積分記号は、他スレでこんなの（下記）を書いている人がいた
感心した
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:650番)
分からない問題はここに書いてね373
650 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/08/04(土) 18:31:08.10
∫0~π/4（∫0~a secθ f(r,θ)dr)dθ
この積分順序を交換するという問題なのですが、図を書くやり方だとできませんよね？
いまいちわかりません
よろしくお願いします
191:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/04 19:59:03.07
>>189
taro-nishinoの日記は、スレその４で紹介している（下記）
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
154 ： 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む： 2012/05/06(日) 07:21:40.18 >>152
補足
taro-nishinoの日記
URLﾘﾝｸ(slashdot.jp)
taro-nishinoの日記： 書評 グロタンディークとセールの文通書簡 日記 by taro-nishino2012年03月25日 23時37分
155 ： 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む： 2012/05/06(日) 08:20:45.94 >>154
>taro-nishinoの日記： 数学教育について 日記 by taro-nishino2011年04月05日 19時23分
ここ面白い
URLﾘﾝｸ(slashdot.jp)
taro-nishinoの日記： 数学教育について 日記 by taro-nishino2011年04月05日 19時23分
192:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/04 20:52:32.42
>>191
ひょっとして以前紹介したかも知れないが下記
私が見てきた小平邦彦をいまじっくり読んで感慨を深くした・・
URLﾘﾝｸ(slashdot.jp)
taro-nishinoの日記： 私が見てきた小平邦彦
日記 by taro-nishino2011年01月14日 22時16分
抜粋
私の親族の高校生(母親が私の従姉妹)が数学に多少の興味を持っていて、他の記事も読みたいと聞きました。
勿論、彼は小平博士のことは一切合切知りませんし、増して彌永博士と小平博士が義理の兄弟であることも知りません。
既にそういう時代になっているのです。戦時下での研究が如何に困難であるかも聞いていないだろうし、何よりも研究の前に食糧難があったはずですが、何でも食べられる飽食の時代に育った人が多勢を占める時代なのです。
ですから、こういう時こそ伝記的回想録も必要だと考え、意欲ある高校生のためにも、私訳を以下に載せて置きます。
私が見てきた小平邦彦
彌永 昌吉
小平邦彦(1915-1997)の人生と業績に興味がある人にとって、彼が自伝[1]を、全集[2]と共に残していることは幸いである。
全集は、1950年代初期小平のプリンストン大学での学生の一人である、シカゴ大学のW. L. Baily, Jr教授による素晴らしい序文と共に、その内容の完全で注意深い説明がある。
更に小平は、いろいろな数学分野の教科書と数学と関係のないテーマの随筆を含む、多くの日本語の刊行物を残している。数学と関係のないテーマの随筆は、彼の本[3]に集められている。だから、私達は彼について直接の資料を事欠かない。
私が以下に述べるとことに沿って数えると、1935年に知り合って、60年間より以上生活を共にし、身近に彼に接して来た。
上記の資料に大いに依存するけれども、彼について個人的な回顧を含んでいる、この記事が読者に興味を持たせるならば、私は幸いである。
（略）
193:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/04 20:59:58.85
彌永 昌吉先生、下記
長男の彌永健一先生の方が早くなくなった
老衰のため満100歳にて死去ですか
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
彌永 昌吉（いやなが しょうきち、1906年4月2日 - 2006年6月1日）は、日本の数学者。俗字で「弥永」と表記される場合もある。
後進の育成では、主な弟子に、義弟でもあるフィールズ賞受賞者の小平邦彦、岩澤理論の岩澤健吉、佐藤の超関数で知られる佐藤幹夫などがいる。幾何や解析など、自分の専門外の分野でも優れた弟子を数多く育てた。
11ヶ国語前後の言語をマスターしていた。
2006年6月1日、老衰のため満100歳にて死去。最晩年に至るまで、著書や論文を著した。
他に代表的な業績として、小平らとともに東京書籍発行の算数・数学教科書の作成に関わったことも挙げられる（彌永が担当したのは1970年代後半まで）。
長男はセールの「数論講義」等を翻訳した彌永健一。
194:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/05 10:22:57.72
余談ですが、Flash Player Runtime error R6025 で最新版がインストールできなかった（半年以上）
今日、ネット検索で 「Flash Player 11.3.300.257 (IE) 64-bit」（下記）というのがあるのを知って、windows7 64bit版を使っているので、デフォルトの32bit版と合わないのではと
で、 「Flash Player 11.3.300.257 (IE) 64-bit」で解決しました。windows7 64bit版の方へ
URLﾘﾝｸ(www.filehippo.com)
195:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/05 11:13:29.60
>>192
>taro-nishinoの日記
taro-nishinoさん、どういう人かと検索してみると、情報はほとんどないけど
下記ヒット
URLﾘﾝｸ(slashdot.jp)
taro-nishinoの日記： 「構造化プログラミングに関する覚え書き」へと導いたもの
日記 by taro-nishino2010年01月01日 9時05分
（抜粋）
明けましておめでとうございます。
さて、私の周辺では、先日に書いた"Gotoは有用である"について、折角のMatt S. Trout氏の本文よりも、何故か不幸にも私の書いた訳注の方が話題になっています。
Linus氏はgoto有用論の他にも、C++をボロクソに貶したり、本当に愉快な人だと私は思います。ただ、C++を貶された時の反応として、海外は置いとくとして、日本の一部の人が余りにも井の中の蛙的な反応をしたように記憶しています。
代表的な例は「Linusはオブジェクト指向が分からないからだ」というのがあります。私は思わず笑いました。Linus氏ほどの頭脳で分からないことが、極東の日本の貴方がたは分かっていると言わんばかりじゃないですか。
一部にせよ、だから日本は駄目だと思いました。つまり、自己を客観視せず、実質的実力は無いのに一流家気取りなんですね。もっとはっきり言えば何様のつもりなんだと。どうしたらこんな自惚れ屋になれるのかと思いました。
では、何故Linus氏はgoto有用論を打上げたり、オブジェクト指向を貶すのは何故か？
後で根拠を示しますが、Linus氏はプラットフォームに依存しないアセンブリ言語を求めているのであって、それが現状ではC言語なんです。Linuxカーネルのような究極の領域に、goto有害論やOO指向等甘ちゃん一般プログラマの常識なんて邪魔以外の何物でもないのです。
究極のパフォーマンスを追い求めて日夜苦労している時に、何ら解決にもならないOO指向やC++なんて話を持込まれたら、Linus氏でなくとも怒りたくなるのは当り前だと思います。
196:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/05 11:36:29.16
あと
>>189
URLﾘﾝｸ(slashdot.jp)
taro-nishinoの日記 | スラッシュドット・ジャパン
taro-nishinoの日記： ブルバキと代数トポロジー
日記 by taro-nishino2012年02月26日 23時38分
では何故、私のみならず多くの人が原書を重視するかと言いますと、翻訳はどうしてもミスプリントやマイナーエラーが混入される可能性があるからです。
エッセイや読み物なら別にどうってことはないでしょうが、数学専門書ですから出来る限りエラーの無いものを選ぶべきなんです。勿論原書にもエラーがあるかも知れませんが、それはもう仕方がないことです。
私は原書しか読まないのですが、翻訳のいい加減さを実感した実例があります。
私は学生時代、函数論を故小平邦彦博士の名著"複素解析"を読んで勉強しました(この場合、原書が日本語ですから問題ありません)。
ずっと後に、今から約5年ほど前、この本が英訳版"Complex Analysis"としてケンブリッジ大学出版から刊行されましたが、当時ケンブリッジにいた知人がこの本を購入して読んだのですが、
どうも変だと感じ、私が日本語原書で勉強したことを知っている知人はわざわざ立派なハードカバーの英訳本を私に送り、原書と比べてくれないかと言って来ました。そして英訳本を読んで私はショックを受けました。
数学論文や専門書に書かれる文章は何語であろうが言い回しが殆ど決まっていますから、英文自体に特に問題は無くて、説明文や証明の中にある数式や記号に非常に間違いが多かったのです。
例えば、極限を取る際の0と∞の混同、τとtの混同、不等号における等号成立の混同、不等号の向きの混同、2とzの混同、曲線の記号と複素数体の記号の混同、その他もろもろ多数。
一見して単純ミスと分かる場合はいいですが、そのまま意味が通じる時もあります。これでは海外の初心者は安心して読めないし、
（引用おわり）
この書きぶりからすると、東京の大学の数学科で勉強して、職業はプログラマーあるいはプログラム系の仕事と思います
197:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/05 12:04:35.21
>>195
常識だと思うが、プログラム系の用語が分からない人のために
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
C++（シープラスプラス、日本では略してシープラプラ、シープラ、あるいはシータスタスなどとも）は、汎用プログラミング言語の一つである。高度な機能を使用してもプログラムの実行性能が低下しすぎないように、言語仕様・ライブラリに様々な工夫が施されている。
1990年代以降、C++は、最もよく利用される商用のプログラミング言語の1つとなっている。
C++という名称
この名称はRick Mascittiの功績で、最初に使用されたのは1983年の12月である。初期の研究期間では、開発中の言語は「C with Classes」と呼ばれていた。最終名は、変数の値を1つ加算する、C言語の「++」演算子からの派生である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
C言語（Cげんご）は、1972年にAT&Tベル研究所のデニス・リッチー (Dennis M. Ritchie) が主体となって作ったプログラミング言語である。英語圏では単に C と呼称されており、日本でも文書や文脈によっては同様に C と呼称される。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
C言語、C++、Java、JavaScriptなどでは、インクリメント演算子「++」が用意されている。
198:１３２人目の素数さん
12/08/05 12:31:31.32
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| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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199:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/05 12:53:11.38
>>197
つづき
OO指向
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
オブジェクト指向プログラミング (OOP、英: object-oriented programming) とは相互にメッセージ (message) を送りあうオブジェクト (object) の集まりとしてプログラムを構成する技法である。
この技法をサポートするプログラミング言語はオブジェクト指向プログラミング言語 (object-oriented programming language, OOPL) と呼ばれる。
プログラムを構成するコードとデータのうちコードについては手続きや関数といった仕組みを基礎に整理され、
その構成単位をブラックボックス とすることで再利用性を向上し、部品化を推進する仕組みが提唱され
構造化プログラミング (structured programming) として1967年にエドガー・ダイクストラ (Edsger Wybe Dijkstra) らによってまとめあげられた（プログラミング言語の例としてはPascal 1971年）。
C++の提示した現実解と、Smalltalk的理想論を融合するものとして、文法面ではシンプル化しながらも強くC++の影響を受けつつ、一方で用語や思想面でSmalltalk色を濃くしたJava（1991年）が作られた。
バランス感覚に長けたJavaの登場によってオブジェクト指向開発に必要な要素が全てそろい、1990年代後半からオブジェクト指向は広く普及するようになった。
200:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/05 12:57:42.89
>>199
つづき
goto有害論
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
構造化プログラミング(こうぞうかプログラミング)とは、命令的プログラムの文脈において、階層的に抽象化されたプログラムの組み合わせとしてプログラムを記述する手法である。1967年、エドガー・ダイクストラらによって提唱された。
歴史
コンピュータが実用化され、その有用性が認められるようになるにつれ、その上で動作するプログラムは次第に大規模なものとなっていった。大規模なプログラムを矛盾なく正当に動作するように記述することは一般にとても困難である。
1960年代ではプログラムはフローチャートによる設計が広く採用されており、goto文も広く使われていた[2]。その一方でgoto文の多用はプログラムの質を下げるという性質や、多くのプログラムはgotoを使わずに記述できるという性質が経験則として知られていた。
例えば1959年にはハインツ・ツェマネクはgoto文に関する疑問を抱いており、後のダイクストラの考えに影響を与えた[3]。
また1960年からD. V. Schorreはgoto文を使わず、フローチャートではなくインデントで構造を表したアウトラインテキストでプログラムを記述していた[2]。
そして1966年コラド・ベームとジュゼッペ・ヤコピーニによって、任意のフローチャートは基本フローチャートの組み合わせによる等価なフローチャートに変換できるという定理が示された[4]。この定理は後に構造化定理と呼ばれるようになった[誰によって?]。
ヤコピーニは3種の基本構造(順次・反復・分岐)に分解する手法と2種(順次・反復)に分解する手法を示したが、今日単に構造化定理と言った場合前者を指す。
そのような背景の元、1968年にダイクストラは“Go To Statement Considered Harmful”[3]という記事を発表し、大きな反響を呼んだ[5]。この記事が構造化プログラミングの提唱であるとする場合も多い[誰によって?]。
「構造化プログラミング(Structured Programming)」という語は1969年に開催されたカンファレンス“Software Engineering Techniques”においてダイクストラが提唱した[1][注釈 2]。
201:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/05 13:04:04.89
>>200
つづき
goto有用論
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
goto論争
goto派
一方、goto文を使わずに3つの基本構造による代替を行うと、理論上は同値であっても実際にはプログラムの実行速度や記憶容量の点で性能が劣化する場合がある[2]。また、特殊な場合にはgotoを使った方がプログラムを見通しやすくなると考える人もいる。
例えばドナルド・クヌースも、著書「文芸的プログラミング」の中でそのような例をいくつかあげている。
こうした理由から、goto文を撲滅するのではなく上手に使い分けるべきだと考える人もいる[誰?]。
goto文論争が不毛なのは、「構造化プログラミングの観点からgoto文を使うのは望ましくない」という結論は真だが、「goto文を使わなければ構造化プログラミングになる」というわけではない点である。
構造化プログラミングの本質は、状態遷移の適切な表現方法とタイミングを見極めることであり[要出典]、これはプログラムの良し悪しを決める永遠の命題であるといっていい[要出典]。
現在C言語を除く主流派の言語では、そのままのgoto文はほとんど見られなくなった。替わりにbreak文、continue文、もしくは例外処理のような特殊脱出(去勢されたgotoとも呼ばれる[要出典])をサポートし、単純な構造化制御だけでは弱いと考えられる部分を補っている。
また、Scheme等でサポートされている継続は「引数付きgoto」と呼ばれることもある[誰によって?]。
またクロージャやコードブロック、継続のような強力な制御機構を持つ言語ではそもそも抽象度の低いgoto文を使う必要性は低い。例えばHaskellにおいてはモナドを利用して例外や非決定性計算などの様々な制御構造を表現できる[要出典]。
またSmalltalkやIoにおいても制御構造はブロックを扱うメソッドとして表現している[要出典]。
一方で、例えば1999年から設計されたD言語はgoto文を含んでいる[8]。また、PHPも2009年にリリースされた5.3において制限された形ではあるがgoto文が追加された[9]。これはgoto文を支持する者[誰?]が少なからず存在する事実を示す例である。
202:１３２人目の素数さん
12/08/05 17:26:44.64
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203:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/05 23:01:54.79
こんなのが
URLﾘﾝｸ(sookibizviz.blog81.fc2.com)
現代数学の難しさ－その３ | サラリーマンのすらすらＩＴ日記 2011/10/02
抜粋
今回は代数トポロジーの難しさについて書いてみます。
トポロジーを専攻していただけあって、さすがに大学時代に代数トポロジーの難しさは克服したのですが、初めは非常に難しかった。
難しい理由の一つは、トポロジーの議論が進むにつれて、あまりにも整備された理論での議論になってきて、なぜそういう議論になるのかがわからない点です。
ポアンカレが19世紀から20世紀にかけて導入したホモロジー群の考えは、
多様体（図形）を「単体」という図形の基本となる三角形に分割して、面とその境界である辺、さらに辺の境界である点に分けて（さらに高次元の単体も含む）それらの関係を考察したもので、今の代数トポロジーの基盤になりました。
ところが今の代数トポロジーの本を読むと、初めは単体分割の議論から始まりますが、突然チェイン複体の議論になり、そこから完全系列が導き出されて、その完全系列を使ってホモロジー群を計算するという議論に移ってしまいます。
チェイン複体以降の議論は幾何学的な様相はほとんどなく、もっぱら代数的な議論に変わってしまいます（そういった代数的な議論は、後にホモロジー代数という分野として発展していきます）。
この、いつのまにか幾何学から代数学に移ってしまう議論に、初めは戸惑ってしまいますし、また、ポアンカレが探求してきた根源的（プリミティブ）な議論はどこへやらという感じです。
ポアンカレ以降の数学者が整備して、今のホモロジー論になったわけですが、大学の講義では整備された議論だけを扱います。
まあプリミティブな部分は自習してくださいということでしょうか。
さらに問題なのは、大学3年次の初めに習うこのホモロジー群を使った議論が、同じ3年次に代数学の講義で習う群論と同時進行かあるいはそれより先にあることです。
これは聞いた話ですが、ある大学院ではコホモロジーに関する講義を行う時間が取れないため、コホモロジー論は自習してもらって、既知のこととしてその先の講義があるとのこと。これはまずいのではないでしょうか。
204:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/10 20:47:07.37
突然ですが、２次方程式がなぜQuadraticか？
１次方程式 Linear equation （線）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
２次方程式 Quadratic equation：The term "quadratic" comes from quadratus, which is the Latin word for "square". （四角）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
３次方程式 Cubic function （立方）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
４次方程式 Quartic function （類語 quartet カルテット 4重唱［奏］団）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
５次方程式 Quintic function （類語 quintetto クインテット (イタリア)）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
205:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/10 20:57:31.59
>>204
クアッドコアは、四つのコアだから。２だとデュアルコア
URLﾘﾝｸ(dic.yahoo.co.jp)
クアッドコア‐プロセッサー【quad-core processor】大辞泉
四つのコア（演算回路の中核部分）を集積したマイクロプロセッサー。
異なる処理を独立して同時に実行できるため、総合的な実行効率が上がる。クアッドコアCPU。→デュアルコアプロセッサー →マルチコアプロセッサー
（引用おわり）
しかし、歴史的に、２次式が四角形の面積を求める式で、歴史的命名で"quadratic"："square". （四角）ということのようです。
ちょっと調べてみました
206:１３２人目の素数さん
12/08/10 21:02:21.76
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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207:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/10 21:03:31.43
そういえば、英語の序数（first, second・・・ ）や、数字の11、12・・・など不規則でしたね
仏語はもっとややこしいと聞いたことがあり
その類かな
208:１３２人目の素数さん
12/08/10 21:04:59.02
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209:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/10 21:27:17.42
調べの途中で面白ものが落ちていました
URLﾘﾝｸ(www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
位相的弦理論の分配関数と数え上げ 菅野浩明 名古屋大 2006 SSS2006LecC
2006 年度原子核三者若手夏の学校素粒子論パート講義C 講義録
講義録作成：東大本郷（木村圭助, 栗山実, 齋藤遼, 柴正太郎, 白井智, 初田泰之, 林博貴, 八木太, 山崎雅人, 横山修一）
0 Why topological string?
（司会）講義の方に移りたいと思います. 講師は名古屋大学の菅野さんで, 「位相的弦理論の分配関数と数え
上げ」というタイトルでお話し頂きます. ではよろしくお願いします.
どうもありがとうございます. 名古屋大学の菅野です. 今日と明日, 午前の時間を使って, 位相的弦理論につ
いての入門的講義をします.
最初にこの講義を引き受けたときは, もうちょっと最近の話題をと思ったんですけれども, 夏の学校と言う
わけで, 特にM1, M2 の方が多いでしょうから, ある程度入門的なところからやろうかと思います. 最終的に
どの辺までいけるのか, ちょっと時間の関係で分かりませんけれども, いけるところまでということでやって
いきます.
それから, string theory といってますが, 多分string がほとんど出てこないんじゃないかと恐れています.
だからstring theory を知らない人には, これのどこがstring theory なんだと言われるかもしれませんが, 場
の理論的な計算なども多く出て来るので, string theory を全く知らない人でも, 多少分かっていただけるので
はないかと思います.
最初に, どうして位相的弦理論を考えたいのか, どこが面白いのか, どういうふうに使われているのかという
ことからお伝えしていくことにしたいと思います.
2 Toy model
それで, どうして位相的弦理論かって言うことで, まず一つめは, 最近というか, 1990 年代以降に, 様々な
string のduality とか, 或いはゲージ理論においても強結合のdynamics などに興味がもたれている訳ですけ
れども, それらに関する一つのtoy model としての役割があります.
例えばstring duality として知られているものとしてどういうものがあるかというと, 一番有名なのは例
えばミラー対称性. 或いはT-duality. それから, electro-magnetic duality（S-duality）. 或いは, 最近特に
注目を
210:１３２人目の素数さん
12/08/10 21:34:30.53
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211:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/11 08:39:21.52
>>209
つづき
Quintic関連検索で
場の理論と弦理論 基礎物理学研究所2009 年度前期研究会 京都大学 YITPworkshophoukoku
URLﾘﾝｸ(www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
[PDF]
場の理論と弦理論
www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~qft/2009/YITPworkshophoukoku.pdf
ファイルタイプ: PDF/Adobe Acrobat - クイック ビュー
方程式の非斉次項を、Quintic（CP4 の中の 5 次超曲面）の場合に求めることで、弦の tree レベル. の instanton 効果（disk 不変量の母関数）の計算に成功した。
その後 [2] では、離散的 open moduli. は”仮想的”な連続の open moduli の臨界点として実現され ...
212:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/11 08:41:16.25
>>211
つづき
同じく
類数が 5 で割り切れる二次体について 東北大・理佐藤篤 仙台数論及び組合せ論小研究集会2006 sato
URLﾘﾝｸ(www.math.is.tohoku.ac.jp)
[PDF]
類数が 5 で割り切れる二次体について?
www.math.is.tohoku.ac.jp/~taya/sendaiNC/2006/report/sato.pdf
ファイルタイプ: PDF/Adobe Acrobat - クイック ビュー
[2] K. Hashimoto, Generic families of quintic polynomials with dihedral Galois group of degree. 5, 第 45 回代数学シンポジウム報告集, 2000, pp. 15?23. [3] T. Honda, Isogenies, rational points and section points of group varieties, Japan J. Math.
213:１３２人目の素数さん
12/08/11 08:48:37.39
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214:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/11 08:55:30.41
>>212
つづき
5次 Quintic 方程式の話題 （その1）群論入門とＪ言語 中野嘉弘（札幌市南区・８５才）2008
URLﾘﾝｸ(homepage3.nifty.com)
[PDF]
5次 Quintic 方程式の話題 （その1）
homepage3.nifty.com/asagaya_avenue/apl/.../nakano_jan2008.pdf
ファイルタイプ: PDF/Adobe Acrobat - クイック ビュー
2007年12月8日 ? 5次方程式(Quintic Equation) の突っ込んだ話は、名だたる検索エンジンでも、. これと云う説明は、案外少ないようだ。 J言語で対応した私の最近の知見を書き残し. たい。
久保広司氏の「徒然数学： アーベル多項式」を材料とする。 0． は し が ...
215:１３２人目の素数さん
12/08/11 08:56:20.57
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216:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/11 09:29:23.68
>>214
補足 ＡＰＬ／Ｊ
「微分方程式」をＡＰＬ／Ｊ思考から理解する －「微分方程式」は４次元を３次元に映す鏡である－ 西川利男 Ｊ研究会資料 2006
URLﾘﾝｸ(homepage3.nifty.com)
「微分方程式」なる数学手法があるが、およそ役立たずの代表である数学にあって、私に言
わせれば、例外的に現代人にとって最も有用な技術であり、考え方であると思う。 と
ころが一般の人にはこれほどアカデミックな難物として敬遠されているものもない。「微分」
「積分」まで修めた者にのみ許される究極の秘術（？）として、「微分方程式」は世に崇め奉
られている。しかし、そんなことは決してない。
「微分方程式」を解析的に解いたり、その理論うんぬんは数学の専門家にまかせたらよい。
しかし、「微分方程式」で考えたり、その結果をグラフなどで眺めることは、誰にでもできる
し、現代人に必要な素養である。世の中の現実のデータは数学の関数ではない。銀行の勘定
項目やら、機器の測定値などさまざまなところから数値の羅列として、さらに具体的には
EXCELのファイルデータとして与えられることが日常である。
現代のコンピュータ時代に合った「微分方程式」の理解のしかたがあるはずである。そし
てこれはAPL、Jの考え方によって最もよく理解されると私は考える。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B0%E8%A8%80%E8%AA%9E)
Jはプログラミング言語の一種で、正式名称はアルファベット1文字の「J」だがC言語と同様、「J言語」と一般には呼ばれている。
概要
Jは1989年、APLの提案者でもあるケネス・アイバーソンによりAPLの後継として提案された。
APLは数式の表記、特に配列の処理に優れており、多くの計算式を極めて単純に表記できる利点を持っていたが、・・・
JはAPLの反省をふまえて、APLと同様の計算を通常のASCIIコードのみで使用できるようにした、またこの言語独自の機能である「演算子の合成」という機能が追加された。
これらの機能によりAPLのような表記の問題は解消されたが可読性はAPLよりもさらに下回ったという批判もある。
217:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/11 09:49:26.21
>>214
つづき
非アーベル的相互法則 1 はじめに 2 高次相互法則 斎藤正顕 平松豊一 法政大学
URLﾘﾝｸ(www.media.hosei.ac.jp)
情報メディア教育研究センター／論文リスト2006
URLﾘﾝｸ(www.media.hosei.ac.jp)
218:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/11 10:03:51.58
>>217
つづき
高次合成則入門 谷口隆 神戸大 2011
URLﾘﾝｸ(www.math.kobe-u.ac.jp)
(In Japanese) [pdf] Introduction to higher composition laws (survey article), RIMS Kokyuroku Bessatsu B25(2011), 211-254.
URLﾘﾝｸ(www.math.kobe-u.ac.jp)
219:１３２人目の素数さん
12/08/11 10:18:47.54
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220:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/11 10:33:58.45
>>218
つづき
「超弦理論における非BPS状態」(pdf-file) 修士論文 高柳匡 2000
第10章
この最後の章では今まで見てきたことを総括し、分かるようになったことや問題点について述べ
ながら今後の課題について自分の考えを述べる。
本論文では、超弦理論における安定な非 状態に関する最近の研究の進展を様々な角度から
見てきた。大きく分けて次のような２通りの流れがあることが分かった。すなわち、による
記述を用いる方法と、
による幾何学的記述を用いる方法である。
URLﾘﾝｸ(home.catv.ne.jp)
Tadashi Takayanagi's Home Page 京都大学基礎物理学研究所 教授
URLﾘﾝｸ(www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
221:１３２人目の素数さん
12/08/11 12:49:44.94
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222:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/11 22:13:45.98
Symplecticの由来
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Symplectic geometry is a branch of differential geometry and differential topology which studies symplectic manifolds;
that is, differentiable manifolds equipped with a closed, nondegenerate 2-form.
Symplectic geometry has its origins in the Hamiltonian formulation of classical mechanics where the phase space of certain classical systems takes on the structure of a symplectic manifold.
Symplectic geometry has a number of similarities and differences with Riemannian geometry,
which is the study of differentiable manifolds equipped with nondegenerate, symmetric 2-tensors (called metric tensors).
Unlike in the Riemannian case, symplectic manifolds have no local invariants such as curvature.
This is a consequence of Darboux's theorem which states that a neighborhood of any point of a 2n-dimensional symplectic manifold is isomorphic to the standard symplectic structure on an open set of R2n.
Another difference with Riemannian geometry is that not every differentiable manifold need admit a symplectic form; there are certain topological restrictions. For example, every symplectic manifold is even-dimensional and orientable.
つづく
223:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/11 22:18:20.57
>>222
つづき
Name
The name "complex group" formerly advocated by me in allusion to line complexes, as these are defined by the vanishing of antisymmetric bilinear forms,
has become more and more embarrassing through collision with the word "complex" in the connotation of complex number.
I therefore propose to replace it by the corresponding Greek adjective "symplectic." Dickson calls the group the "Abelian linear group" in homage to Abel who first studied it.
Weyl (1939, p. 165)
Symplectic geometry is also called symplectic topology although the latter is really a subfield concerned with important global questions in symplectic geometry.
The term "symplectic" is a calque of "complex", introduced by Weyl (1939, footnote, p.165); previously, the "symplectic group" had been called the "line complex group".
Complex comes from the Latin com-plexus, meaning "braided together" (co- + plexus),
while symplectic comes from the corresponding Greek sym-plektikos (συμπλεκτικ??); in both cases the suffix comes from the Indo-European root *plek-.[1]
This naming reflects the deep connections between complex and symplectic structures.
Weyl, Hermann (1939), The Classical Groups. Their Invariants and Representations, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05756-9, MR 0000255, URLﾘﾝｸ(books.google.com)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
224:１３２人目の素数さん
12/08/11 22:45:33.21
PLトポロジーについては最近は何も進展無いの？
225:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/11 23:07:15.99
>>223
つづき
英単語 yahoo! eプログレッシブ英和中辞典より
URLﾘﾝｸ(dic.yahoo.co.jp)
formerly：[副]昔は，もとは，以前は
advocat:提唱する
in allusion to ...：暗に…をさして.
embarrass：困惑［当惑］させる，まごつかせる
connotation：含意
adjective：形容詞
homage：敬意 in homage to Abel：アーベルへの敬意で
calque：[名]言語学翻訳借用（語句）(loan translation)
plexus：解剖（神経・血管の）叢(そう)、網状になった部分
braid：より合わせる、〈なわなどを〉編む
reflect：…を反映する
226:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/11 23:50:04.01
>>224
PLトポロジーね
そういえば、最近聞かない
もっとも、あまり詳しくないのだが・・
227:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/12 00:00:35.30
>>223>>225
補足
Weyl (1939, p. 165)で、Weyl先生は
１．以前は"complex group" を提唱していた
２． line complexesを意味するように
３．しかし、complex numberと混乱するようになった
４．そこで、ギリシャ語の"symplectic"を提案した
５．"symplectic"は、 "complex"の翻訳借用だ
６．complex と symplectic structures とは深い関係がある （URLﾘﾝｸ(en.wikipedia)）
とこんな趣旨でしょう
228:１３２人目の素数さん
12/08/12 06:02:40.86
あげ
229:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/12 07:16:57.51
あげ、ありがとう
230:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/12 07:54:09.83
>>225
>plexus：解剖（神経・血管の）叢(そう)、網状になった部分
URLﾘﾝｸ(dictionary.goo.ne.jp)
そう【叢】［漢字項目］の意味 - 国語辞書 - goo辞書
そう【×叢】 ［人名用漢字］ ［音］ソウ（漢） ［訓］くさむら むら むらがる
１ 草が群がり生える。くさむら。「叢生／淵叢(えんそう)」
２ 群がり集まる。多くのものの集まり。「叢雲・叢書／論叢」
231:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/12 08:14:31.91
>>223
補足
line complexes、"line complex group"について
lineは、おそらく力学における軌道を意味すると思う（個人的見解で出典なし）
軌道とトポロジーの関係は下記アトラクターをご参照
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（抜粋）
アトラクターに含まれる軌道は、そのアトラクターの内部にとどまり続けること以外に制限はなく、周期的であったり、カオス的であったりする。
そのような典型的な振る舞いに対応している力学系からなる位相空間の一部分はattracting section または attractee と呼ばれる。
アトラクターは力学系の位相空間の部分集合である。1960年代頃の教科書によると、それまではアトラクターは位相空間の「幾何学的な」部分集合（点、直線、曲面、体積領域）であると考えられていた。
232:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/12 08:24:32.61
>>230-231
補足
line＝軌道が、plexus：神経・血管の叢(そう、網状になった部分）にたとえて、その位相空間をline complexes または "line complex group"と初期に呼んだ
現代の用語では、アトラクターのイメージだろう
だが、complexはcomplex number（複素数）との混乱が目立ってきた
それで、Weyl (1939, p. 165)で、ギリシャ語から同じ意味の言葉を借りて、"symplectic"を提唱した
以上あまり出典の裏付けなしの私見ですがご参考まで
233:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/12 09:16:52.69
>>232
トポロジーを実質的に創始したポアンカレ
それは、三（多）体問題が解析的に解けないというポアンカレ自身の証明にその動機があるといわれている
三（多）体問題が解析的に解けないが、そのまま放置するわけにはいかない
地球を含む太陽系の天体運動は多体問題だし、二体問題しか解けないのは大問題だと、ポアンカレはおそらく思ったのだろう
で、解析解を離れていろいろ考えてトポロジーへ（下記）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
微分位相幾何学もしくは微分トポロジー（英語：differential topology）は、多様体の微分可能構造に注目する幾何学の一分野。
歴史
微分幾何学はカール・フリードリヒ・ガウスやベルンハルト・リーマン等による曲率の研究に、位相幾何学（トポロジー）はゴットフリート・ライプニッツやレオンハルト・オイラー等による位置の解析に端を発するが、
微分幾何学と位相幾何学の初期の学際はアンリ・ポアンカレによる三（多）体問題の解析がある。
三（多）体問題とは天体力学から派出したもので静かな空間に3つ（もしくはそれ以上）の物体が浮かんでいるときその物体はどのような運動をするかという力学系（従って解析学）の問題である。
ポアンカレはこの力学系を定める微分方程式のベクトル場がある多様体を作ることに注目して、その多様体にトポロジー的知見から迫ることでニュートンの時代からある難問を解いた。
ポアンカレはカオス的な振る舞いをする力学系を初めて発見した解析学者であり、トポロジーを1つの学問として定式化したトポロジストでもある。
純粋な多様体の問題に関する初期の例には前述のポアンカレやドイツの数学者フェリックス・クラインとその弟子パウル・ケーベ等による2次元多様体（曲面）の幾何構造による分類がある。
幾何構造は曲率から生まれた概念でしたがって微分幾何学に関係する。彼等は全ての2次元多様体にそれと同相で（位相的に等しく）自然な幾何構造をもつものがあることを証明した。
後にジョン・ナッシュはこれを発展させたナッシュのリーマン多様体埋め込み定理を証明した。これらは2次元の微分幾何学における最も大きな成果である。
（下記）
234:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/12 09:19:18.68
>>233
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
1950年代にはアーエイチ・ビングとエドウィン・モイーズによってそれぞれ独立に全ての3次元多様体が三角形分割できることが証明される。
多様体が三角形分割できるということは微分可能な多様体に同相変換可能だということ、つまり3次元トポロジーの研究に微分幾何学を応用できるということを示す。
この発見を皮切りに3次元の位相幾何学と微分幾何学の関係の研究が急速に発展することになった。
同じ頃1956年、ジョン・ミルナーがフランスのトポロジストでカタストロフィー理論の創始者としても有名なルネ・トムの功績に基づき7次元球面には本質的に異なる28種の微分可能構造が存在することを示した。
このトム、ミルナーに始まった高次元多様体の研究こそ現在、微分位相幾何学といわれているものの始まりである。
1960年にはスティーブン・スメールがトムの創始したコボルディズム理論を用いてトポロジーの基本問題であるポアンカレ予想を5次元以上について証明し、
1981年にはマイケル・フリードマンによって4次元について、
そして最後に残っていた3次元についてはリチャード・ハミルトンが導入した微分方程式リッチフローを使ってグリゴリー・ペレルマンにより2003年証明された。
ポアンカレ予想というトポロジーの非常に基本的な問題が微分位相幾何学や微分幾何学を用いて解かれたという事実は多くのトポロジストを驚かせた。
（引用おわり）
235:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/12 09:50:42.10
>>223
Weyl補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヘルマン・クラウス・フーゴー・ワイル（1885年11月9日 - 1955年12月8日）は、ドイツの数学者。ドイツ語の発音に従ってヴァイルとも表記される。
数論を含む純粋数学と理論物理学の双方の分野で顕著な業績を残した。20世紀において最も影響力のある数学者であるとともに、初期のプリンストン高等研究所の重要なメンバーであった。
彼は一般相対性理論と電磁気学を結び付けようとした最初の人物の一人であり、アンリ・ポアンカレやヒルベルトの唱えた'普遍主義'について、同時代の誰よりも深く理解していた。
特にマイケル・アティヤは、数学上の問題に取り組む際、常にワイルが先行する研究を行っていたと述懐している[1]。
1918年に、彼はゲージの概念を導入し、現在ゲージ理論として知られている最初の例を与えた。
後の研究に大きな影響を与えた彼の著書『古典群』(The Classical Groups) では、不変式論について再考し、対称群、一般線型群、直交群、斜交群と、その不変式、群表現について考察した。
（『古典群 不変式と表現』 蟹江幸博訳、シュプリンガー・フェアラーク東京〈シュプリンガー数学クラシックス 第15巻〉、2004年12月。ISBN 4-431-71125-2。）
語録
ワイルの以下のコメントは、幾分冗談を交えたものであるが、彼の人柄をよく表している。
私の仕事は、常に真実を美と統一しようとするものであった。しかし、どちらか一方を選ばざるを得ない時には、美を選んだ。
数学の究極の基礎、究極の意味についての問題は、未だに解決されていない。どの方向に進めば最終的な答えが見つかるのか、あるいは最終的な解が存在するかどうかすら分かっていない。
「数学化」は、言語や音楽と同様に、人間の高度に独創的な創造的活動の一つに過ぎず、その歴史的決定を完全に客観的に合理化するのは不可能なのかもしれない。?Gesammelte Abhandlungen より
数学の問題は、それ自身で孤立して存在するものではない……
（非述語的定義の）循環論法は、通常の集合や関数の概念の曖昧な性質に基づいた解析学に浸透し、容易に修正できない誤りとなっている。
最近では、トポロジーの天使と抽象代数学の悪魔との葛藤が、すべての数学の研究で起きている。
236:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/12 10:19:00.48
>>235
語録補足（Weyl's comment, although half a joke, sums up his personality）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Quotes
Weyl's comment, although half a joke, sums up his personality:
My work always tried to unite the truth with the beautiful, but when I had to choose one or the other,
I usually chose the beautiful.
The question for the ultimate foundations and the ultimate meaning of mathematics remains open; we do not know in which direction it will find its final solution nor even whether a final objective answer can be expected at all.
"Mathematizing" may well be a creative activity of man, like language or music, of primary originality, whose historical decisions defy complete objective rationalization.
?Gesammelte Abhandlungen
The problems of mathematics are not problems in a vacuum....
[Impredicative definition's] vicious circle, which has crept into analysis through the foggy nature of the usual set and function concepts, is not a minor, easily avoided form of error in analysis.
In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of each individual mathematical domain. Weyl (1939b, p.500)
237:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/12 10:22:13.65
This is a list of things named after Hermann Weyl, the influential German mathematician.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) （各用語にリンクあり）
Majorana?Weyl spinor
Weyl algebra
Weyl basis of the gamma matrices
Weyl chamber
Weyl character formula
Weyl's criterion
Weyl curvature: see Weyl tensor
Weyl curvature hypothesis
Weyl dimension formula, a specialization of the character formula
Weyl equation, a relativistic wave equation
Weyl gravity
Weyl group
Weyl gauge
Weyl's inequality
Weyl integral
Weyl's law
Weyl's lemma on hypoellipticity
Weyl's lemma on the "very weak" form of the Laplace equation
Weyl notation
Weyl ordering (Weyl transform)
Weyl's paradox, properly the Grelling?Nelson paradox
Weyl's postulate
Weyl quantization
Weyl scalar
Weyl spinor
Weyl sum, a type of exponential sum
Weyl symmetry: see Weyl transformation
Weyl tensor
Weyl's theorem、 Weyl transform、 Weyl's unitary trick、 Weyl vector of a compact Lie group、 Peter?Weyl theorem、 Weyl?Schouten theorem、 Weyl transformation
238:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/12 13:50:53.75
>>235-236
数学の問題は、それ自身で孤立して存在するものではない……
The problems of mathematics are not problems in a vacuum....
これはかなり意訳だな
239:１３２人目の素数さん
12/08/12 19:37:40.46
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240:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/13 21:28:27.20
横レスですが
数学の本 第47巻
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:978番)
978 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/08/13(月) 12:03:53.60
ハミルトン数って例題みたいな扱いが普通ですか？
複素解析みたいにハミルトン数解析みたいな
独立した理論じゃないですよね？
（引用おわり）
ハミルトン四元数はゲーム作りで３次元の回転の計算に重宝しているという話があったね
えーと、下記
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
各種の代数理論やベクトル解析は四元数の刺激を受けて発展したものであり、その意味で歴史的な意義は非常に大きかったが、四元数それ自体の応用が為されるまでは一世紀ほどの長時間を要した。
さしたる実用性も見出せず、ハミルトンを崇拝する四元数カルト的な一党があったこともあり、一時四元数そのものがタブー視されていたという側面もある。
有名なところではマクスウェルが電磁方程式の四元数を用いた定式化を行っているが、一般に用いられるのはベクトル表記によるものである。
コンピュータへの応用がいつごろからおこなわれたものかはわからないが、四元数による飛翔体の姿勢表現がHAKMEM（en:HAKMEM）のアイテム107に収録されており、人工衛星などの姿勢制御などにかかわるエンジニアなどの間では知られていた。
その後発展した、コンピューターグラフィックスによる立体画像のモデルのための理論として、広く知られるようになった。
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
E9%96%80%E2%80%95%E3%80%8C%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E3%80%8D%E3%80%8C%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%80%8D%E3%80%8C%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E3%80%8D%E3%80%8C%E3%82%B9%
E3%83%94%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%80%8D%E3%81%A8%E3%81%AE%E9%96%A2%E4%BF%82%E3%81%8C%E5%88%86%E3%81%8B%E3%82%8B-I%E3%83%BBO-BOOKS-%E9%87%91%E8%B0%B7-%E4%B8%80%E6%9C%97/dp/4777510166
3D‐CGプログラマーのためのクォータニオン入門―「ベクトル」「行列」「テンソル」「スピノール」との関係が分かる! (I・O BOOKS) [単行本] 金谷 一朗
241:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/13 22:14:02.60
>>240
補足
URLﾘﾝｸ(ufcpp.net)
四元数の数学的意味
目次
?概要
?その前に・・・ 複素数についておさらい
?四元数
?実部と虚部
?共役と逆元
?四元数を使った回転
キーワード
?四元数
概要
「四元数と3次元空間中の回転」 の付録。
四元数の数学的な側面について説明します。
はっきり言って、画像処理の分野では不要な知識。 画像処理（主に 3D CG）の分野では、とりあえず、 「四元数とは、回転の軸と角度を表わすために使うデータの形式」 とだけ覚えておけば OK。
ここで話す内容は要するに、 「なんでそれを四元数と呼ぶんだろう」という疑問に答えるものです。
ちなみに、 「ハミルトンの四元数体」 の内容の焼き直しだったりします。 より深く理解するためには、 群、 環、 体などについて調べることをお勧めします。
（以下略）
242:１３２人目の素数さん
12/08/14 01:31:42.17
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
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| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
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243:１３２人目の素数さん
12/08/14 01:35:26.18
>>241
四元数についてはいろいろな言われ方をするけれど、
志村五郎氏の最近の本を読むと、二次形式や
ヒルベルト保型形式などの研究で大活躍だと知った。
ハミルトンの晩年の悲惨さを強調する傾向が強い。
244:１３２人目の素数さん
12/08/14 02:16:37.38
age
245:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/14 06:02:48.61
>>243
乙です。志村五郎下記ですね
URLﾘﾝｸ(ser-lys.blogspot.jp)
A Puzzler on the Trail: 2011/01 志村 五郎『数学をいかに使うか』
四元数環Hはそれだけで非常に重要なもので、実数体R、複素数体Cの次に自然に出てくるものであり数学教育のかなり早い段階で教えられて良いと私は思う。
(本書 p.61)
四元数のように、一見何のために複素数よりさらに複雑な概念を導入するんだろうと見えても、導入したほうが簡潔に表現できるだなあと納得。
（引用おわり）
「四元数」のところにリンクがあって、下記へ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(www.chikumashobo.co.jp)
筑摩書房 数学をいかに使うか / 志村 五郎 著
246:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/14 06:10:44.23
>>245
下記賛成だな
URLﾘﾝｸ(www.chikumashobo.co.jp)
使えることが大事
「{「}何でも厳密に{」}などとは考えてはいけない」―。世界的数学者が教える「使える」数学とは。文庫版オリジナル書き下ろし。
歴史的な発展を念頭に置きつつ、“どう使うか”という立場から書かれた入門書。在来の教科書が教えてくれない有用な定理や考え方を多数紹介。書き下ろし文庫オリジナル。
URLﾘﾝｸ(ser-lys.blogspot.jp)
A Puzzler on the Trail: 2011/01 志村 五郎『数学をいかに使うか』
志村 五郎(著)『数学をいかに使うか』は、証明の楽しさを強調する数学者の方が多い中にあって、「使える」ことを重視するというやや異色の立場で書かれた本です。
もちろん証明を軽視しているわけではなく、本書の中でも必要に応じて証明が示されていたり、読者に向けた問題が出されていたりします。
要するに数学は学ぶにせよ教えるにせよ、決められた伝統的な段階をふんできっちりとやらなければならないものではない。特に「何でも厳密に」などと考えてはいけいない。これは教育上で言っているのであって、厳密でなければならない場所はもちろんある。
(本書 p.4)
数学に割ける時間は限られている以上、その有限な時間を最大限有効に使うためには、何が重要で何を教えるべきか、考え直したほうがよいのではないかというのが、著者の主張であり、本書から読み取って欲しいと著者が願っていることでもあると思います。
厳密にやらなければいけいないことも後になって出てくるでしょうが、全体が見通せた上で取り組んだほうが取り組みは容易になるのではないでしょうか。普通の人には全てにおいて専門家になるなんで無理ですから。
247:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/14 06:21:32.75
>>241
補足の補足
URLﾘﾝｸ(ufcpp.net)
サイト作成の動機
「ディジタル信号処理」 とか 「数学解析」 のあたりは、 「工学数学と純粋数学の間を埋めたい」とかそういう理由。
工学側の「何でこうなるかは分からないけど、使えればいいや」ってのも、 純粋理論寄りの「何に使えるのか分からない」ってのもあまり好きではないんで。 「何でこうなるのか」も「何に使えるのか」も疎かにしない文章が書けたらいいなぁと。
その他、趣味と自分用メモのつもりで書いているものも多々あります。
個人的な信念ではあるんですが、 「何事も他人に教えられるようになって初めて一人前」と思っているんで、 「自分が勉強するために他人に教える」というスタンスでやってます。
実際、他人に教えることを意識して勉強したり、 他人の目に触れることを意識して文章を書くことで、 ただ闇雲に読み書きするよりも深い理解が得られていると思っています。
248:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/14 06:24:47.10
>>247
補足の補足の補足
URLﾘﾝｸ(ufcpp.net)
数学
高校の数学
線形代数
数学解析
集合論
群、環、体
ベクトル解析
∞
超関数
楕円関数
多様体
数学雑記
物理
力学
電磁理論
信号処理
ディジタル信号処理
ディジタルフィルタ
画像処理
249:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/14 06:30:37.38
>>248
下記”環・体”の中に”?ハミルトンの四元数体”が含まれているが、説明が分かり易いし充実している
URLﾘﾝｸ(ufcpp.net)
環・体
250:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/14 06:45:36.91
>>247
補足
”その他、趣味と自分用メモのつもりで書いているものも多々あります。
個人的な信念ではあるんですが、 「何事も他人に教えられるようになって初めて一人前」と思っているんで、 「自分が勉強するために他人に教える」というスタンスでやってます。
実際、他人に教えることを意識して勉強したり、 他人の目に触れることを意識して文章を書くことで、 ただ闇雲に読み書きするよりも深い理解が得られていると思っています。”
ほとんど同じ動機。>>153のスタンス（「お分かりかね？ だれの相手が必要なんだ？ 相手は不要だよ」）が理解できたかな
251:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/14 06:57:05.52
>>244
”age” ありがとう。おかげで、”勢い”8.5で７位！ オリンピックなら入賞だ！＼(＾<>＾)／
252:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/14 07:01:40.00
突然ですが、Noetherさん
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アマーリエ・エミー・ネーター（Amalie Emmy Noether, 1882年3月23日 - 1935年4月14日）は、20世紀初めに活躍したドイツ出身の女性数学者。
レオン・レーダーマンによれば「歴史上最も偉大な数学者の一人」[1]であり、アルバート・アインシュタインによれば「（物理学に）最も価値ある貢献をした数学者」[2]である。
環論において重要な概念であるネーター環を提唱した。対称性があるところには それに対応する保存則が存在するというネーターの定理は物理学の分野の基本定理である。
ネーターはこの間ゲッティンゲン大学において「ネーターの定理」の完成、「環論」の構築など優れた業績を挙げた。
ネーターの定理は「作用が、ある連続変換に対して不変ならば（対称性があるならば）、これに付随した保存量が存在する」という内容で、後の場の量子論で重要な定理となる。
1928年にモスクワ大学客員教授、1930年にフランクフルト大学客員教授に就任。しかし、1933年にナチ党が政権を掌握するとユダヤ系のネーターは大学教授の職を解雇された。
その後、アメリカペンシルベニア州のプリンマー大学（英語版）に招かれ客員教授になった。
1935年、卵巣癌によりブリンマー（英語版）にて死去。満53歳没。遺灰はブリンマー大学の図書館を囲む通路の下に埋葬された。
253:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/14 07:14:47.33
>>252
英文の情報量は圧倒的です
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Ascending and descending chain conditions
In this epoch, Noether became famous for her deft use of ascending (Teilerkettensatz) or descending (Vielfachenkettensatz) chain conditions.
A sequence of non-empty subsets A1, A2, A3, etc. of a set S is usually said to be ascending, if each is a subset of the next
A1⊂A2⊂A3⊂・・・
Conversely, a sequence of subsets of S is called descending if each contains the next subset:
A1⊃A2⊃A3⊃・・・
A chain becomes constant after a finite number of steps if there is an n such that for all m ? n.
A collection of subsets of a given set satisfies the ascending chain condition if any ascending sequence becomes constant after a finite number of steps.
It satisfies the descending chain condition if any descending sequence becomes constant after a finite number of steps.
Ascending and descending chain conditions are general, meaning that they can be applied to many types of mathematical objects?and, on the surface, they might not seem very powerful.
Noether showed how to exploit such conditions, however, to maximum advantage: for example, how to use them to show that every set of sub-objects has a maximal/minimal element or that a complex object can be generated by a smaller number of elements.
These conclusions often are crucial steps in a proof.
（つづく）
254:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/14 07:17:20.69
>>253
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
つづき
Many types of objects in abstract algebra can satisfy chain conditions, and usually if they satisfy an ascending chain condition, they are called Noetherian in her honor.
By definition, a Noetherian ring satisfies an ascending chain condition on its left and right ideals, whereas a Noetherian group is defined as a group in which every strictly ascending chain of subgroups is finite.
A Noetherian module is a module in which every strictly ascending chain of submodules breaks off after a finite number.
A Noetherian space is a topological space in which every strictly increasing chain of open subspaces breaks off after a finite number of terms; this definition is made so that the spectrum of a Noetherian ring is a Noetherian topological space.
The chain condition often is "inherited" by sub-objects. For example, all subspaces of a Noetherian space, are Noetherian themselves;
all subgroups and quotient groups of a Noetherian group are likewise, Noetherian; and, mutatis mutandis, the same holds for submodules and quotient modules of a Noetherian module.
All quotient rings of a Noetherian ring are Noetherian, but that does not necessarily hold for its subrings.
The chain condition also may be inherited by combinations or extensions of a Noetherian object.
For example, finite direct sums of Noetherian rings are Noetherian, as is the ring of formal power series over a Noetherian ring.
つづく
255:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/14 07:18:53.24
>>254
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
つづき
Another application of such chain conditions is in Noetherian induction?also known as well-founded induction?which is a generalization of mathematical induction.
It frequently is used to reduce general statements about collections of objects to statements about specific objects in that collection. Suppose that S is a partially ordered set.
One way of proving a statement about the objects of S is to assume the existence of a counterexample and deduce a contradiction, thereby proving the contrapositive of the original statement.
The basic premise of Noetherian induction is that the every non-empty subset of S contains a minimal element. In particular, the set of all counterexamples contains a minimal element, the minimal counterexample.
In order to prove the original statement, therefore, it suffices to prove something seemingly much weaker: For any counterexample, there is a smaller counterexample.
(引用おわり)
256:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/14 07:27:35.19
>>253
>Ascending and descending chain conditions
下記関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
歴史
ホモロジー群の概念は エミー・ネーター[1][2]により見出された。また、これと独立に、レオポルト・ヴィートリスとヴァルター・マイヤーも1925年から28年にかけてホモロジー理論を発展させている[3]。
これより前の時代には、組合せ位相幾何学においてホモロジー類にあたるものはアーベル群をなすとは考えられていなかった。
ホモロジー群の急速な普及により、用語が変更され、「組合せ位相幾何学」の立場から「代数的位相幾何学」への移行が起こった[4]。
英語版（Henri Poincare 1895が入っている）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematics)
History
Homology classes were first defined rigorously by Henri Poincare in his seminal paper "Analysis situs", J. Ecole polytech. (2) 1. 1?121 (1895).
The homology group was further developed by Emmy Noether[1][2] and, independently, by Leopold Vietoris and Walther Mayer, in the period 1925?28.[3]
Prior to this, topological classes in combinatorial topology were not formally considered as abelian groups.
The spread of homology groups marked the change of terminology and viewpoint from "combinatorial topology" to "algebraic topology".[4]
257:１３２人目の素数さん
12/08/14 10:25:01.31
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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258:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/18 12:11:58.21
前スレで紹介したのですが
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:109-110番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む5
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
再帰の反復<[数学]ガロア理論と方程式 2012-05-27
方程式からガロア理論
方程式の解法の話からガロア理論にたどり着くまでの要点のようなもの。
（目次）
１．対称性
２．方程式の対称性: 2次方程式の場合
３．3次、4次方程式の場合
４．5次以上の方程式の非可解性(ルフィニ、アーベル)
５．円周等分方程式(ガウス)
６．間奏: アーベルの方程式論について
７．解の置換(ガロア群)
８．原始元の最小多項式と基本定理の証明
９．方程式の可解性
（引用おわり）
これよくかけている
一読の価値ありです
259:１３２人目の素数さん
12/08/18 15:29:43.45
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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260:１３２人目の素数さん
12/08/19 00:43:56.85
>>251
バカｗｗｗ コピペだけのクズが何自慢してんだかｗ
261:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/19 06:39:22.47
>>260
激励ありがとう。ageで書いてくれると、さらにうれしい
262:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/19 07:21:48.62
>>258
つづき
この群と対称性の記述（下記）がいいね。分かり易い
群とは対称性を数学的に取り扱えるようにした、数学の道具と考えられなくもない
群→対称性、対称性→群と考えるのが正しい態度だろう
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
再帰の反復<[数学]ガロア理論と方程式 2012-05-27
方程式からガロア理論
1. 対称性
対称性とは
ある要素aに対して操作fを行ったときに変化が起こらない場合、つまりf(a)=aとなる場合、「aはfについて対称である」とか「fについて対称性を持っている」と言う。また操作と対称性を同一視して「対称性fを持っている」とも言う。
(正確には「操作は可逆なものに限る」という但し書きがいる)
例えば、正三角形は「頂点を通る垂線による折り返し」や「120度の回転」等の操作で変化しないので、正三角形はこれらの操作について対称である。
対称性と群の関係
操作fと操作gの両方について対称とすると、「fとgを続けておこなう」という操作についても対称である(→積演算について閉じている)。
操作fで対称なら、それを元に戻す操作f -1についても対称である(→逆元の存在)。
「fとf -1を続けておこなう」ことは操作の一つでありそれは「何もしない」のと同じことなので、「何もしない」ことも操作に含まれる。そして「何もしない」という操作eについては必ず対称になる(→単位元の存在)。
これらのことから、ある要素の持っている対称性全体は群をなすことが判る。
263:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/08/19 07:27:17.57
>>262
対称性と群の関係
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における点群（てんぐん、英: point group）とはある図形の形を保ったまま行う移動操作のうち、少なくとも1つの不動点を持つものを元とする群のこと。
このような群によって物理学や化学における分子や結晶の対称性を数学的に記述することができる。そのような応用との関係からふつう3次元ユークリッド空間における変換の範疇で考えることが多い。
対称操作
正四面体を、ある面の重心を通る垂線の回りに120度回転させてももとの正四面体と区別はつかない。このようにある図形に対して、もとの図形と区別がつかないように移動を行う操作を対称操作という。
このような、3次元ユークリッド空間における対称操作には以下の7つの種類がある。
1.恒等操作 - 何の移動もしない。
2.回転操作 - 図形上のすべての点をある軸(対称軸)に対して回転させる。
3.鏡映操作 - 図形上のすべての点をある面(対称面)について面対称に移動させる。
4.反転操作 - 図形上のすべての点をある点(対称中心)について点対称に移動させる。
5.回映操作 - 図形上のすべての点をある軸(回映軸)に対して回転させた後、その軸に垂直な面について面対称に移動させる。
6.回反操作 - 図形上のすべての点をある軸(回反軸)に対して回転させた後、その軸上の一点について点対称に移動させる。
7.並進操作 - 図形上のすべての点を平行移動させる
この中で並進操作以外では少なくとも1つの点が不動点となる。
恒等操作では図形上のすべての点が、回転操作では回転軸上の点が、鏡映操作では鏡映面上の点が、反転操作では対称中心が、回映操作では回映軸上の1点が、回反操作では回反軸上の1点が不動点となっている。
それぞれの操作を特徴付けている対称軸、対称面、対称中心、回映軸、回反軸は対称要素とよばれる。