12/06/18 22:37:01.16
オイラーの公式は簡単。
e^(iθ)=cosθ+isinθだよ。
これは証明は存在せず、定義。
オイラーの公式を理解できれば三角関数の計算が圧倒的に速くなる。
例えばsin60°は Im[e^(i60°)]=√3/2だ。
101:１３２人目の素数さん
12/06/18 22:40:04.46
2^(n-1)を並べてできる数列
1,2,4,8,16,32,64,128...(*)
について
1,kを任意の正の整数とする。このとき、(*)の中にはk桁の数が必ず存在し、
そのうち最小のものの最高位の数字は1であることを証明せよ。
2,(*)の最高位の数字を並べた数列1,2,4,8,1,3,6,1,2,5...
のはじめのn項のうち、1に等しい個数をF(n)とする。このとき
lim[n→∞]F(n)/nの値を求めよ。ただし、nは正の整数である。
という問題で、
1問目は正の整数ということで帰納法で証明しようとしたのですが、
うまくいきません。そもそも帰納法でいいのでしょうか？
また、1問目ができたものとして2問目も挑戦したのですが、
数列の最高位が1,2,4,8or1,3,6or1,2,5の並びの3パターンのどれかが現れる
というのがわかるだけでF(n)をnで表せるのかもわかりません。
方針だけでもよろしくお願いします。
102:１３２人目の素数さん
12/06/18 22:42:54.58
１．なら
どんなに最高位の桁の数が大きくても
２倍すりゃあ １８ にしかならんじゃん
103:１３２人目の素数さん
12/06/18 22:49:41.55
>>102
そこは言葉だけで説明できそうですが
＜(*)の中にはk桁の数が必ず存在し＞
の部分の説明をしないとちゃんと証明したことにならないのではないかと思ったのですが
それでいいのでしょうか？
104:１３２人目の素数さん
12/06/18 22:50:57.15
>>100
前スレで、
a(1)=α
a(n+1)=α^a(n)
という数列の極限値の個数がαによって変わる事が知られているが個数が変わる時のαの条件は何か？
みたいな問題があったんだよ
結局αがe^(-1/e)の時は極限値が一つである事を示しただけで解決には至っていない
オイラーの論文にあるらしいんだがどうも探しきれん
105:１３２人目の素数さん
12/06/18 22:52:41.94
>>103
それは帰納法からすぐわかるでしょ
106:１３２人目の素数さん
12/06/18 22:55:34.49
y=(ax+b)^nのn次関数の求め方を教えてください。
107:１３２人目の素数さん
12/06/18 22:56:16.27
合成関数の微分
数学的帰納法
108:１３２人目の素数さん
12/06/18 23:00:58.94
>>106
y'=na(ax+b)^(n-1)
y''=n(n-1)aa(ax+b)^(n-2)
y'''=n(n-1)(n-2)aaa(ax+b)^(n-3)
よってy(n)=n!a^n(ax+b)^(n-n)=n!a^n
109:１３２人目の素数さん
12/06/18 23:04:12.57
>101
2)
はさみうち
1,2,4,8のﾊﾟﾀｰﾝ後の考察
10のべき乗と小数部分0<a<1 (8+a)*10^(k-1)
2倍 16<2(8+a)<18
4倍 32<4(8+a)<36
110:１３２人目の素数さん
12/06/18 23:13:05.57
Sn=a[n+1]-2^(1-n)a[n]
a[1]=1
で、a[n]を求める方法を教えてください。
111:１３２人目の素数さん
12/06/18 23:14:51.94
>>106
早速解答ありがとうございました。
できればライプニッツの公式での解答も教えてもらえませんか？
112:１３２人目の素数さん
12/06/18 23:17:24.18
ライプニッツの公式って、多変数の微分のchain ruleじゃないの？
113:１３２人目の素数さん
12/06/18 23:22:06.53
>>103
その数列にk桁の数が存在しないためには、(k-1)桁の数×2=(k+1)桁の数
であるような(k-1)桁の数が必要だが
114:１３２人目の素数さん
12/06/18 23:24:43.17
>>112
それは分かっているのですが、それを使って>>106 を計算すると答えがあわなくて...
115:１３２人目の素数さん
12/06/18 23:26:12.35
>>110
お願いします
116:１３２人目の素数さん
12/06/18 23:44:00.51
>>114ですが、
問題訂正で x(ax+b)^n をライプニッツの公式を利用してn次関数の求め方を教えて下さい。
117:１３２人目の素数さん
12/06/18 23:48:32.18
>>115
a[n]=2^(n-1)と見当をつけて数学的帰納法かな。
うまいやり方が思いつかんかった。
118:１３２人目の素数さん
12/06/18 23:49:52.33
n次関数って何？
119:１３２人目の素数さん
12/06/18 23:53:54.09
>>115
n回微分することです。
120:１３２人目の素数さん
12/06/18 23:54:22.78
>>116
主語、述語はなに？
121:１３２人目の素数さん
12/06/18 23:55:10.07
>>119
すいません、>>115じゃなくて>>118でした。
122:１３２人目の素数さん
12/06/18 23:59:26.95
>>120
一応問題は
「ライプニッツの公式を利用して、y= x(ax+b)^nのn次関数を求めるなさい。」
って書いてます。
123:１３２人目の素数さん
12/06/19 00:05:46.53
もしかして導関数って言い方は古い？
124:１３２人目の素数さん
12/06/19 00:10:28.42
ここで言うライプニッツの公式とは、本当に多変数の微分公式のことなのか？
問題文が不自然過ぎるんだけど
125:１３２人目の素数さん
12/06/19 00:12:58.32
あ、関数の積の高階微分を２項係数を使って表したやつのことか
公式に当てはめるだけちゃうの？
126:120
12/06/19 00:13:26.17
ただの積の微分公式だろう
127:１３２人目の素数さん
12/06/19 00:14:01.09
1辺の長さが1の正四面体OABCがある。OBの中点をM、OCを2対1に内分する点をNとする
3点A,M,Nを通る平面上の動点Pと点Oとの距離の最小値を求めなさい
また、そのときのベクトルOPを、ベクトルOA,OB,OCを用いて表しなさい
お願いします
128:１３２人目の素数さん
12/06/19 00:15:41.16
1辺の長さが1の正四面体OABCがある。OBの中点をM、OCを2対1に内分する点をNとする
3点A,M,Nを通る平面上の動点Pと点Oとの距離の最小値を求めなさい
また、そのときのベクトルOPを、ベクトルOA,OB,OCを用いて表しなさい
お願いします
129:１３２人目の素数さん
12/06/19 00:25:17.28
解の判別の際に
解答を見ると
二次方程式が異なる二つの実数解を持つとき、D≧0である
って書かれている場合と
二次方程式が異なる二つの虚数解を持つとき
D＜0って書かれている場合があるのですが
問題文のどこを見て
「～以上（≧）」にするか
「～より大きい（＜）」にするかが分かりません
もちろん実数解を持つか
虚数解を持つかで符号の向きが変わるのはわかりますが
=がつくかつかないかを
どこで判断すればいいのか、ということです
御解答宜しくお願いします
130:１３２人目の素数さん
12/06/19 00:31:49.13
＞異なる二つの実数解を持つとき、D≧0である
実際にはより詳しくD＞0であるが、証明のためには≧0であることさえわかれば十分な場合がある
この場合、＝が付いても付かなくてもどちらでもよい
どこで判断するもなにも、この場合（≧0であることさえわかれば十分な場合）は解答者の気分次第
131:１３２人目の素数さん
12/06/19 00:31:55.60
>128
共面条件
一次結合
>129
異なる二つ
132:１３２人目の素数さん
12/06/19 00:32:32.90
大事なことなので三回目があります
↓
133:１３２人目の素数さん
12/06/19 00:43:17.97
>>130
なるほど ありがとうございます
すごく悩んでいたんで解決してスッキリしました
明日テスト頑張ってきます
134:133
12/06/19 00:45:34.75
書き忘れました
>>129さんありがとうございます
問題文から、本質を読み取る重要性が如何に大事か分かりました
135:１３２人目の素数さん
12/06/19 00:53:41.72
>>134
＞二次方程式が異なる二つの実数解を持つとき、D≧0である
例えばx^2 + 4x +4=0の判別式はD=0で、確かにD≧0なんだけど、
ほんとにこの方程式は"異なる二つの"実数解を持つかい？
136:１３２人目の素数さん
12/06/19 01:01:18.93
（質問者も含めて）誰も必要十分だとは言ってないぞい
137:133
12/06/19 01:06:09.71
>>135
まあ重解になりますよね
つまりD≧0は0を含んでしまうからその場合
二つの異なる実数解を示すと言うことに関して矛盾が生じますよね
ということはつまりテストではD＞0とか
withoutｲｺｰﾙで解答した方がいいということですか？
138:１３２人目の素数さん
12/06/19 01:09:09.72
>>137
それは証明したいことに依るんだってば
本当に>>130の意味わかってんの？
それと、必要条件と十分条件の区別はつく？
＞異なる二つの実数解を持つとき、D≧0である
この文は「D≧0ならば異なる二つの実数解を持つ」ことまでは主張していないからね
139:１３２人目の素数さん
12/06/19 03:12:31.50
>>100
140:１３２人目の素数さん
12/06/19 03:25:28.34
触れないであげてｗ
141:１３２人目の素数さん
12/06/19 03:31:25.99
>>100