12/05/27 15:15:34.33
>>39
深谷県のご参考
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
植田一石大阪大学大学院理学研究科
Conference Proceedings / Reports
3. Coamoeba and equivariant mirror symmetry (joint work with Masahito Yamazaki, in Japanese),
MSJ meeting, September 2007,
pdf file. URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
コアメーバとトーラス同変なホモロジー的ミラー対称性
1.弦理論私見
弦理論はもともと双対共鳴模型と呼ばれ、ハドロン（すなわち陽子や中性子、
中間子などの強い相互作用をする素粒子）を記述するための現象論として誕生
したが、Yang Mills理論が強い相互作用の正しい理論としての地位を確立すると
ともに、Kelvin 卿の渦原子模型のように科学史の脚注として忘れ去られる運命に
あるかと思われた．
しかし、弦理論は滅びなかった．失敗した現象論として始まったこの理論は、
自然科学（すなわち、実験によって検証できる科学）としてはいまだかつて一度
も成功したことがないにもかかわらず、その美しい数理的構造によって多くの理
論家を引き付けてきた．弦理論の（場の量子論と比較した）特徴は整合性を壊さ
ずに理論を弄ることの難しさにあり、また、理論の致命的な矛盾が見つかっては
奇想天外な解決策によって不死鳥のように蘇るという紆余曲折に富んだ歴史を持
つ．例えば、ボゾン的弦理論の共形アノマリーと呼ばれる深刻な困難は時空の次
元を26次元 にすることで回避できる．この26という数字はLeech 格子の次元
24 に2を足したものであり、この事実はBorcherdsによるmoonshine 予想の解決
にとって本質的である．
弦理論における最大の謎は果たしてこの理論が本当に存在するか（つまり、内
部に矛盾を持たないか）である．無矛盾性のために必要な条件は非常に強いので、
それらが全て満たされるためには「奇跡」が沢山起こる必要がある．しかし、知
られている限りで必要な奇跡は全て実際に起こり、弦理論の存在に対する強力な
証拠の一つになっている．（以下略）
46:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/27 15:18:35.79
>>45
追加
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
植田一石大阪大学大学院理学研究科
Conference Proceedings / Reports
Mirror Symmetry and McKay Correspondence (in Japanese),
Geometry Symposium, August 2005,
pdf file. URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
ミラー対称性とMcKay 対応
三角圏を使った定式化が本質的であるもう１つの例として，Kontsevich
[8] が1994 年の国際数学者会議で提出した次の予想がある：
予想(ホモロジー的ミラー予想). 任意の3 次元Calabi-Yau 多様体M に対し，あ
る3 次元Calabi-Yau 多様体W が存在して，M の連接層の導来圏とW の深谷圏
の導来圏が三角圏として同値になる：
47:１３２人目の素数さん
12/05/27 15:57:11.44
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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12/05/27 16:00:14.26
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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49:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/28 21:24:30.24
深谷拳って、強そう
URLﾘﾝｸ(pantodon.shinshu-u.ac.jp)
Fukaya category
Symplectic 多 様 体 M から Lagrangian submanifold を object とする A ∞ -category が 作 られる 。 それが M の Fukaya category と 呼 ばれるもの [ Fuk93 , Fuk97 ] であ る 。
正 確 な 定 義 のためには 様 々 な 道 具 が 必 要 になり 、 理 解 するためにはその 背 景 も 知 る 必 要 があるため 、 どこから 手 をつけていいか 難 しい 。
幸 い Paul Seidel が “Fukaya categories and Picard-Lefschetz theory” という 題 名 の 本 を 書 いているので 、 A ∞ -category の 基 礎 か ら 書 いた Fukaya category に 関 する 解 説 として 期 待 できる 。
まだ 出 版 されていないが 、 Seidel の ホ ー ムペ ー ジ から proofreading 前 の 原稿 の PDF ファイル が 入 手 でき る 。
Riemann 面 の Fukaya category の Grothendieck group を 計 算 しているのは 、 Abouzaid [ Abo ] である 。
References
[Abo] Mohammed Abouzaid. On the Fukaya Categories of Higher Genus Surfaces, arXiv:math.SG/0606598 .
[Fuk93] Kenji Fukaya. Morse homotopy, A ∞ -category, and Floer homologies. In Proceedings of GARC Workshop on Geometry and Topology ’93 (Seoul, 1993) , volume 18 of Lecture Notes Ser. , pages 1?102, Seoul, 1993. Seoul Nat. Univ.
[Fuk97] Kenji Fukaya. Morse homotopy and its quantization. In Geometric topology (Athens, GA, 1993) , volume 2 of AMS/IP Stud. Adv. Math. , pages 409?440. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.
Updated on: Wed Sep 01 11:56:04 +0900 2010
50:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/28 21:33:57.61
>>49
補足
URLﾘﾝｸ(pantodon.shinshu-u.ac.jp)
Mirror Symmetry
Kontsevich は , ICM 94 で Fukaya の アイデア [ Fuk97 ] に 基 づいて , mirror symmetry を 多 様 体 上 の derived category の 間 の duality と 解 釈 するという アイデア を 発 表 した , らしい 。
Homological mirror symmetry conjecture と 呼 ばれている 。 解 説 としては , Ballard の [ Bal ] がある 。
Fukaya category
Calabi-Yau 多 様 体 に 対 する Homological Mirror Symmetry Conjecture
Kontsevich の アイデア に 忠 実 に 従 っ ているのが Polishchuk という 人 で , elliptic curve の 場 合 に Kontsevich の 予 想 を 証 明 したようである 。
その アイデア を superstring theory で 押 しすすめ , D-brane の 理論 が “categorical” にな っ てきている 。 例 えば , Lazaroiu の preprint [ Laz03 ] にある 解 説 を 読 むと よい 。
Kontsevich や 深 谷 の アイデア を 理 解 するためには , まず 以下 のことが 必 要 で ある 。
Complex projective variety 上 の coherent sheaf の derived category
具 体 的 な 空 間 の Fukaya category が 分 かれば , 理 解 の 助 けになることは 当 然 である が , あまり 詳 しいことは 分 っ ていないようである 。
Abouzaid が [ Abob ] で Riemann 面 の Fukaya category の K -theory を 調 べている 。
Abouzaid の [ Aboa ] の Introduction は Kontsevich の Homological Mirror Symmetry Conjecture の 現 況 を 知 るのによい 。
それによると , Kontsevich は Fano 多 様 体 への 予 想 の 拡 張 も 立 てているらしい 。 その Abouzaid の 論 文 は , toric variety の 場 合 に tropical (algebraic) geometry を 用 いて 調 べているという 点 で 興 味 深 い 。
51:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/28 21:37:36.51
>>50
補足
URLﾘﾝｸ(pantodon.shinshu-u.ac.jp)
A∞-category
A ∞ -category は Fukaya により 導入 された [ Fuk93 , Fuk97 ] 概 念 である 。 k -linear category あるいは dg category の A ∞ 版 あるいは A ∞ -algebra の many objecti?cation である 。
解 説 としては , Paul Seidel の 本 [ Sei08 ] がよいだろう 。
Keller の 学 生 だ っ た Lefevre-Hasegawa の thesis [ LH ] もあるが , フランス 語 である 。
Bespalov と Lyubashenko と Manzyuk が 最 近 “Pretriangulated A ∞ -categories” という 600 ペ ー ジ もある 本 を ウクライナ で 出 したようである 。
Lyubashenko の ホ ー ムペ ー ジ から download できる 。
A ∞ -category
Fukaya category
Kontsevich と Soibelman は [ KS01 ] で A ∞ -pre-category という 概 念 を 定 義 した 。
特 定 の 組 に 対 してのみ “morphism の 成 す module” が 定 義 されるもので , Fukaya category の 定 義 される 状 況 をより 正 確 に 表 わしたものである 。
Effimov の [ E? ] によると , そのよ うな 部分 的 に morphism が 定 義 されたものは , A ∞ -category と 取 り 替 えることができる ようである 。
A ∞ -pre-category
ホモロジ ー 代 数 的 には , A ∞ -category は DG category の 一 般 化 と 考 えることがで きる 。 つまり DG category から canonical な 方法 で A ∞ -category が 定 義 で きる
52:１３２人目の素数さん
12/05/28 21:55:27.61
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53:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/28 21:59:13.83
>>49
深谷拳の写真がある
【Budget Allocation】 81,600 Thousand Yen は、なかなか凄いね
URLﾘﾝｸ(www.jsps.go.jp)
【Grant-in-Aid for Scientific Research(S)】
Science and Engineering (Mathematical and physical sciences)
Title of Project：Proof of Homological Mirror symmetry
Kenji Fukaya
( Kyoto University, Graduate School of Science, Professor )
【Term of Project】 FY2011-2015
【Budget Allocation】 81,600 Thousand Yen
【Homepage Address and Other Contact
Information】
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
54:１３２人目の素数さん
12/05/28 22:15:02.74
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55:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/28 22:15:21.94
MathOverflowって、英語版数学板をもっと高度にした感じかな
Welcome to MathOverflow
A place for mathematicians to ask and answer questions.
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
Noncommutative Fukaya category?
（抜粋）
The definition of the Fukaya category on a symplectic manifold uses techniques that only seem to be available in the geometric context,
so is there a plausible definition of the `Fukaya category' of a noncommutative space in order to make the noncommutative homological mirror symmetry conjecture hold?
1 Answer
Since no one else has tried to answer, I'll take a shot.
It seems to me that there are threads of ideas in this story that in the very distant future might be woven together to give a possible answer.
To begin, we should note that there seems to be a general idea, discussed in this mathoverflow question,
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
56:１３２人目の素数さん
12/05/28 22:23:41.95
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58:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/29 22:17:52.25
>>21
梅村”代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される”が分からんだと？ 勉強不足だろう
URLﾘﾝｸ(www.sci.kobe-u.ac.jp)
見える対称性と隠れた対称性
神戸大学理学部数学科
齋藤政彦
神戸大学理学部サイエンスセミナー
2006 年7月29 日・神戸大学神大会館
対称性とは何か？
? 対称 = Symmetry =Sym ・metry
ギリシャ語 で｢同じ尺度 ｣の意 ，転じて調和 ;
均整 (美), 調和 (美).
ガロア理論
??ガロアは各方程式に対するガロア群を定義し, そのガロア群の言葉で方程式の解の様子が制御される理論を構成した..
??これを用いて, ガロアは、一般の5次方程式に対する解の公式が存在しないことを示した．
??これは, 現代代数学の始まりとも言われる画期的な理論である．
59:１３２人目の素数さん
12/05/29 23:23:14.07
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