現代数学の系譜11 ガロア理論を読む

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445:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
 12/05/26 12:47:23.37 
>>442 
>> ４．証明とは、本来定理の背景にある数学的構造や数学的性質を明らかにするものであって、証明を読めばそれが分かる・・というか証明を読んで背後の数学的構造や数学的性質を理解するのが本来の姿 
>>　「基礎体に１の冪根を添加して証明する」のはそれが本質であり、数学的構造等を反映していると理解すべき（単なるテクニックにあらず） 
>証明の背後に、Kummer_theoryという数学的構造があるのだ 
>http://en.wikipedia.org/wiki/Kummer_theory 
 
フェルマー予想が未解決のころ、Kummer_theoryもよく知られていた。だが、いま歴史かと思うので下記を引用しておく 
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86 
3 以上の自然数 n について、x^n + y^n = z^n となる 0 でない自然数 (x, y, z) の組み合わせがない[1]、という定理のことである。フェルマーの大定理とも呼ばれる。 
フェルマーが驚くべき証明を得たと書き残したと伝えられ、長らく証明も反例もなされなかったことからフェルマー予想とも称されたが、360年後にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、フェルマー・ワイルズの定理と呼ばれるに至る。 
 
クンマーの理想数 
エルンスト・クンマーがみずから打ち立てた理想数の理論（後にデデキントがイデアルの理論として発展させる）を導入する。 
これにより、多くの素数において一意的な因数分解が可能となり、 n が正則素数である（もしくは正則素数で割り切れる）全ての場合については証明がなされた。 
虚数レベルでの一意的な因数分解が不可能な非正則素数も無限に存在するが、クンマーは 100 以下の非正則素数（37, 59, 67 の 3 個しかない）についてはそれぞれ個別に研究して解決した。 
その結果、100 までの全ての素数 n について（当然 100 以下の素数を約数に持つ全ての n についても）フェルマー予想が成り立つことが証明され、それまでの個別研究からこの問題は大きく飛躍した。 
 
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB 
歴史 
クンマーはフェルマーの最終定理を証明しようと研究していた。彼は、代数的整数に関しては有理整数の場合のような素因数分解の一意性が必ずしも成り立たないという問題に直面した。 
（以下略）

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