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151:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/06 06:38:25.66
>>70
>数学に直感を取り戻そう！
最近下記を読んだが、ルネ トムのアンチブルバキズムが面白かった
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
現代幾何学の流れ [単行本] 砂田 利一 (編集) 日本評論社 (2007/10)
「論理的に基礎から書いてあれば誰でも分かる、というのは間違いである。分かるというのはそういうことではない」
「厳密な証明より、証明が間違っていても内容や方向性の方が大事である」と
”また、初等幾何を中学校の教育から外し、集合論を小学校の教育に導入するという、いわゆる「数学教育の現代化」に対し反対のキャンペーンを繰り広げた。剛毅な人であった”と
（小平先生も”いわゆる「数学教育の現代化」”と初等幾何について同じようなことを言っていた）
152:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/06 06:57:01.79
>>151
つづき
下記は、グロタンディークの副作用
URLﾘﾝｸ(slashdot.jp)
taro-nishinoの日記： 虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その2
日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時30分
(抜粋)
1988年のテキストUndergraduate Algebraic Geometryの終わりにある歴史的注意の中で、Miles Reidは"グロタンディーク個人信仰は深刻な副作用があった。
ヴェイユのファンデーションをマスターすることに人生の大部分を費やした多くの人は拒絶され恥をかいた。
...全世代の学生(主にフランス人)は、高性能抽象形式に盛装出来ない問題は研究に値しないという阿呆な信念へと洗脳された"と書いた。
グロタンディーク自身は抽象化のための抽象化を決して追求しなかったけれども、そんな"洗脳"はおそらく時代の流行の不可避な副産物だった。
"ペースを守り、生き残る"ことが出来た少数のグロタンディークの学生を別にして、彼のアイデアから最も恩恵を受けた人達は 離れて影響を受けた人達、特にアメリカ人、日本人、ロシア人だった、ともReidは注記した。
（引用おわり）
言いたいことは、”分かる”ということは、個々の定理と証明を追うことだけではないと。それはジグソーパズル>>70の各ピースでしかない
ジグソーパズルが組み上がった全体像を理解することがより重要だと
そして、抽象から具体、具体から抽象への行ったり来たりが出来る。これも重要（上記グロタンディークの副作用＝グロタンディーク自身は抽象化のための抽象化を決して追求しなかったけれども）
153:１３２人目の素数さん
12/05/06 07:21:18.70
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154:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/06 07:21:40.18
>>152
補足
taro-nishinoの日記
URLﾘﾝｸ(slashdot.jp)
taro-nishinoの日記： 書評 グロタンディークとセールの文通書簡 日記 by taro-nishino2012年03月25日 23時37分
taro-nishinoの日記： ブルバキと代数トポロジー 日記 by taro-nishino2012年02月26日 23時38分
taro-nishinoの日記： ニコラ・ブルバキ、数学者集団―クロード・シュヴァレーのインタビュー日記 by taro-nishino2012年01月08日 15時49分
taro-nishinoの日記： 虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その2 日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時30分
taro-nishinoの日記： 虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その1 日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時24分
taro-nishinoの日記： ブルバキの沈黙は続く―Pierre Cartierへのインタビュー 日記 by taro-nishino2011年09月09日 6時04分
taro-nishinoの日記： 志村五郎博士"The Map of My Life"の書評 日記 by taro-nishino2011年08月26日 3時00分
taro-nishinoの日記： 岩澤健吉博士 日記 by taro-nishino2011年08月04日 9時47分
taro-nishinoの日記： 谷山豊と彼の生涯 個人的回想 日記 by taro-nishino2011年07月28日 14時22分
taro-nishinoの日記： 数学教育について 日記 by taro-nishino2011年04月05日 19時23分
URLﾘﾝｸ(slashdot.jp) （つづき）
155:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/06 08:20:45.94
>>154
>taro-nishinoの日記： 数学教育について 日記 by taro-nishino2011年04月05日 19時23分
ここ面白い
URLﾘﾝｸ(slashdot.jp)
taro-nishinoの日記： 数学教育について 日記 by taro-nishino2011年04月05日 19時23分
（抜粋）
前置きが非常に長くなりました。V.I. Arnold博士の文章の私訳を以下に載せておきます。
数学教育について
1997年3月7日 V.I. Arnold
（抜粋）
20世紀の半ば、物理学と数学の分割が行われた。その結果は破滅的であると分かった。全ての世代の数学者が彼等の分野の片割れを、当然他の自然科学を少しも知らないで育った。
彼等は最初に醜悪な学校似非数学を学生に、そして生徒に教え始めた(ハーディーの警告、醜悪な数学は太陽の元で根付かない、を忘れて)。
物理学から切離された学校数学は、教えるのにも、他の自然科学の応用にも適していないので、可哀想な生徒(ところで、彼等の何人かは大臣になった)とユーザの一部において、全世界的な憎しみが数学者に集まった。
劣等感で疲れ果て、物理学を理解出来ない未教育な数学者による醜悪な構築物は、奇数の厳格な公理的理論を思い出させる。
確かに、そのような理論を造り、その完璧性と最終の構造(例えば、その中で奇数の項目の和と、任意の因子の積が定義されている)の一貫性を生徒に感心させることは可能であろう。
このセクト主義的観点から、偶数は異端と宣告されるか、又は時間の経過とともに、いくつかの"理想的"オブジェクトで補完された理論の中に導入される(物理学と現実世界の必要性に応じるために)かの、どちらかだろう。
不幸にも、数十年間に数学教育で支配したのは、上記のような数学の醜悪且つ歪んだ構築物だった。フランスに始まり、この変態性は、最初に大学生、そしてすべての段階の学校生徒の数学基礎教育に広まる(最初はフランス、そしてロシアを含む他国で)。
"2 + 3は何ですか"の問題に対して、或るフランス小学校生徒は"足し算は可換だから、3 + 2"と答えた。彼は合計が何なのか知らなかったし、質問されたことすら分かっていないに違いない!
別のフランス生徒(私見では非常に分別がある)は、数学を次のように定義した。"一つの正方形があるが、まだ証明されていない"。
156:１３２人目の素数さん
12/05/06 08:41:30.66
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157:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/06 08:45:21.05
>>154
>taro-nishinoの日記： 書評 グロタンディークとセールの文通書簡 日記 by taro-nishino2012年03月25日 23時37分
補足
グロタンディークとセールみたく、教え教えられる友人を見つけることができれば、ベスト
それを探すこと
数学の本だから、最初から一歩一歩読んでいけば分かるという幻想を持たないこと
「数学の本だから、最初から一歩一歩読んでいけば分かる」は原理的には正しい
しかし、グロタン氏はそれをしなかった。セールから教えてもらった
もちろん、グロタン氏も山ほど本や論文を読んだろう。彼なりのやり方で。おそらく、「読んで分からないのは書き手が悪い。結論とアイデアは正しいみたいだから、全部グロタン流にやり直す」と
グロタン氏ほどの大天才は別として、一般人は人に教えてもらうか、別の本を読むか、友と議論するかすべきだろう
また、法律の条文でよく言われる。最初の方に総則が出てくる。総則を理解するためには、後の条文の特別則との関係が分からないと深い理解に至らない。条文全体を読んで、再度各条文を読むべし
数学の最初に書いてある定義が理解できない。定義が理解できないと先へ進めないと思い込む人がいる。だが、全体像が理解できるとなぜその定義かがよく理解できる場合が多い
（つづく）
158:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/06 08:47:51.40
>>157
つづき
URLﾘﾝｸ(slashdot.jp) 数学教育について 1997年3月7日 V.I. Arnold >>155 より
群とは何か? 代数学者はおそらく、簡単に忘れられやすい多くの公理を満足する2つの演算を持つ集合だと教えるだろう。
この定義は当然な抗議を引き起す。つまり、賢明な人が何故そのような演算の対を必要とするのか? "
まあ、これは数学だ"と学生(彼は将来、文部科学大臣になるやも知れぬ)は結論を下す。
群から出発しないで、歴史的にそうであったように変換(ある集合からそれ自身の上への一対一写像)から出発すれば、全く異なる状況となる。
集合の変換の集まりは、2つの変換が連続して適用出来て、すべての変換について逆変換出来るならば、群と言う。
これがすべてなのだ。いわゆる"公理"は実のところ(明らかに)変換の集団の概念に過ぎない。
公理論学者が"抽象群"と呼ぶものは、同型写像(演算を保持する一対一写像)を考慮した、いろいろな集合の変換に過ぎない。
ケイリーが証明したように、"もっと抽象的"な群は世に存在しない。それなのに、何故代数学者は抽象的定義で学生を苦しめ続けるのか?
（引用おわり）
159:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/06 08:59:29.05
>>158
訂正
この定義は当然な抗議を引き起す。つまり、賢明な人が何故そのような演算の対を必要とするのか? "
まあ、これは数学だ"と学生(彼は将来、文部科学大臣になるやも知れぬ)は結論を下す。
↓
この定義は当然な抗議を引き起す。つまり、賢明な人が何故そのような演算の対を必要とするのか?
"まあ、これは数学だ"と学生(彼は将来、文部科学大臣になるやも知れぬ)は結論を下す。
（引用符の位置）
（つづき）
前スレ122で対称性の数学的定義を紹介した。下記だ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
対称性（たいしょうせい）、又はシンメトリー (英語: symmetry) は、ある変換に関して不変である性質である。
目次
1 空間の対称性
1.1 並進対称性
1.2 回転対称性
1.3 鏡像対称性
1.4 結晶
2 式の対称性
式の文字を入れ替えても元の式と変わらない式を対称式という。 例えば x^2+xy+y^2 は x と y の入れ替えについて不変な対称式である。
(引用おわり)
V.I. Arnold氏の言葉>>158
”群から出発しないで、歴史的にそうであったように変換(ある集合からそれ自身の上への一対一写像)から出発すれば、全く異なる状況となる。
集合の変換の集まりは、2つの変換が連続して適用出来て、すべての変換について逆変換出来るならば、群と言う。”
と
上記対称性＝ある変換に関して不変である性質
ここで、群と対称性が結びつくだろう
群は19世紀の数学の概念だが、対称性はおそらく古代ギリシャかそれ以前に遡る人が直感的に理解できる概念（例えば左右対称）。その二つの概念が結び付くことが勉強の要点と思う
160:１３２人目の素数さん
12/05/06 10:33:59.53
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161:１３２人目の素数さん
12/05/06 11:54:50.23
>>158
その答は抽象的な定義が必要だから。
一つの群をある変換群と見なす方法は一つとは限らない。
だからある変換群だけをその群の本質と見なすことは必ずしも
正しくない。そこで抽象群のお出ましですよ。
162:１３２人目の素数さん
12/05/06 12:27:55.86
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163:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/06 13:54:09.99
>>145
梅村先生補足
P74で、「理論誕生の雰囲気を味わうためには、すべて19世紀風にする。・・・しかしこの方法には欠陥もある。・・・結局は、その後の発展をとり入れて理解する方が、正確で分かりやすいのである」
P85”静かな刺客は恐ろし”で、デデキントの「ガロア理論からの方程式の追放」を肯定し
P89”２つのステップに分解する・・（1）代数方程式は体の拡大で与える。（2）体のガロア拡大はガロア群を決める。・・ガロア群は体の拡大L/Kがあれば決まると主張している・・”
ここらの説明が分かりにくい
ガロア理論が代数方程式から、代数体の拡大で終わりならこれで良い
だが、梅村先生の本の主題は、ご自身の（非線形）微分方程式のガロア理論
ならば、
代数方程式→代数拡大体→ガロア理論
↓
微分方程式→微分拡大体→微分ガロア理論
という繋がりがあるべき
それを、”方程式は消して、代数拡大体から始めるのが現代ガロア理論の進歩でございます”では
微分方程式を出発点にしたときに、全然繋がり見えない
そこをもっと意識して、代数方程式のガロア理論の説明時点で、後の微分ガロア理論の展開につながるように伏線を引いて書いて行けば話が綺麗だったと思う
164:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/06 13:56:00.15
>>161
乙
>だからある変換群だけをその群の本質と見なすことは必ずしも
>正しくない。そこで抽象群のお出ましですよ。
そうですね
全面同意です
165:１３２人目の素数さん
12/05/06 13:56:22.57
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166:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/06 14:21:02.68
>>164
補足
群を根の置換（置換群）から、抽象化して体の自己同型＝変換操作＝演算と見ることで、演算で閉じられた変換操作の集合としての抽象群と捉える
だから、そこで”ある変換に関して不変である性質”＝対称性という繋がりが、抽象化を通じて見えてくるという意味もある
だから、抽象化は重要だけれど、抽象→具象、具象→抽象の行ったり来たりができない。それで、本当に分かっているのか？
「或るフランス小学校生徒は"足し算は可換だから、3 + 2"と答えた」>>155は、おそらくジョークだと思うけど（そんな小学生が実在するとは思えない）、にしても本当に居たら誰もその小学生が足し算や可換の意味が分かっているとは判断しないだろう
ある大学生に具体的な方程式のガロア群（それは数式処理ソフトを使ってでも良いとして）ができずに、S5だとかデタラメ（実はS5にならない例を出したとして）答えたら
或るフランス小学校生徒と同じ話になるわけで・・
抽象→具象、具象→抽象が自由自在に出来て初めて、「よくわかっていますね」だろう
両方いる
167:１３２人目の素数さん
12/05/06 14:32:06.15
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168:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/06 14:36:57.59
>>166
>ある大学生に具体的な方程式のガロア群（それは数式処理ソフトを使ってでも良いとして）ができずに
補足
Cox>>142のP506に
「MapleのGaloisコマンドを使うと、Q[x]の9次以下の既約多項式のQ上のガロア群が計算できる」
「計算代数プログラムGAPとMagmaではそれぞれ15次以下、22次以下の既約多項式のQ上のガロア群が計算できる」
と具体的計算例と共に記されている（こういうところも、Cox良いなと思う点ですが）
いい時代になりましたね
小学生に電卓を与えるのとは異なり、9次とか15次とか22次とかになると、とても人力でやる話じゃないですから、数式処理どんどん使うべしです
169:１３２人目の素数さん
12/05/06 14:47:54.85
>>166
数式処理ソフト使ったらその学生が理解してるかどうか
わからんだろ。
それから具体的計算と理論はまた別。
具体的計算が出来ても理論を良く理解してるとは
必ずしも言えない。
170:１３２人目の素数さん
12/05/06 15:11:55.01
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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171:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/06 18:03:03.58
>>168
>数式処理ソフト使ったらその学生が理解してるかどうか
>わからんだろ。
乙す！
まあそうだけど
しかし、理解というのは人それぞれで
結局外部的に何らかの試験でもして点数つけて・・・
でも、点数高いのが分かっているのかどうか？ まあ、大抵の場合そうなんだろうが
で、
１．数式処理を使えるだけ、それが出来ないやつより分かっている
２．9次方程式>>168のガロア群を計算できることを理解の判定基準にしてどうなる？
３．で、9次から落とすとして例えば4次？3次？ それに確たる（理解出来ているという）根拠はない。人為的基準として決めるしかない（「講義で教えたらから覚えておくよう」と）
>それから具体的計算と理論はまた別。
>具体的計算が出来ても理論を良く理解してるとは必ずしも言えない。
一応、抽象と具象の双方向>>166と書いたけど
172:１３２人目の素数さん
12/05/06 18:14:18.27
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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173:１３２人目の素数さん
12/05/06 18:15:02.02
>>171
具体的計算が不可能に近い理論というのもざらにあるんだけど。
例えば代数幾何とかに。
ガロアだって5次の方程式を具体的に与えられたときに
そのガロア群を計算出来たかというと、恐らく否。
174:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/06 18:26:30.23
>>55
>だが、Galois Resolvent （＝V>>15）にもそれなりに根拠のあることだということは知っておいた方がいいだろう
Edwards (著) Galois Theory （下記）が届いたので、Galois Resolventに書いておく
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
Galois Theory (Graduate Texts in Mathematics) [ハードカバー] Harold M. Edwards (著) 出版社: Springer; 1st ed. 1984. Corr. 3rd printing.版 (1984/03)
内容説明
This is an introduction to Galois Theory along the lines of Galois’s Memoir on the Conditions for Solvability of Equations by Radicals.
It puts Galois’s ideas into historical perspective by tracing their antecedents in the works of Gauss, Lagrange, Newton, and even the ancient Babylonians.
It also explains the modern formulation of the theory. It includes many exercises, with their answers, and an English translation of Galois’s memoir.
Book Description
This book is an introduction to Galois theory along the lines of Galois' "Memoir on the Conditions for Solvability of Equations by Radicals".
Some antecedents of Galois theory in the works of Gauss, Lagrange, Vandemonde, Newton, and even the ancient Babylonians, are explained in order to put Galois' main ideas in their historical setting.
The modern formulation of the theory is also explained.
The book contains many exercises - with answers - and an English translation of Galois' memoir.
（引用おわり）
”Galois Resolvents”として、§28から33までが当てられている。それは>>15の通り（一次式）だが、EdwardsはVの代わりにtを使っている
これは、§16の”Lagrange resolvents”（一次式）と対応している
Cox>>142は、P437 12.2 Bで「ガロア分解式」として、上記V>>15の積（Coxの表記でs(y)）をそれに当てている
Coxは、この後で分解式と称して、具体例を何例も数式処理を使って、具体的に計算している
だから、後の展開を考えて、Coxはこのようにしたのだろう（倉田は、Coxの本を知らなかったと思われる）
175:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/06 18:30:29.52
>>174
>（倉田は、Coxの本を知らなかったと思われる）
補足
少なくとも倉田>>4の出版時点では、Cox>>142の原書は発行されていない
Edwards>>174は、倉田>>4では何度も引用されている
なので、特に理由がなければ、”Lagrange resolvents”（一次式）との整合性から、”Galois Resolvents”も（一次式）が分かりやすいと思う
176:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/06 18:38:40.43
>>173
>具体的計算が不可能に近い理論というのもざらにあるんだけど。
>例えば代数幾何とかに。
確かに
だが、論点として
１．現代ではコンピュータの数式処理なり群論計算ソフトが使えるんだけ、使って良いんじゃないかと。使って理解が深まる場合も。例えばCox>>142
２．手計算できるあるいは図示できる簡単な具体例で理解を深める。特に、グロタン師並みの天才は別として一般人は。簡単な具体例から各人の類推と想像力を働かせる。それが理解の助けになるのでは？
>ガロアだって5次の方程式を具体的に与えられたときに
>そのガロア群を計算出来たかというと、恐らく否。
同意だが、S5と線形群は手でやったことは明らか（当時コンピュータなかったから）
で、具体的計算をしないで理論を作ったんだ
でも、今から勉強する一般人は、Cox>>142みたく計算ソフト使うのもありだろうと思う
177:１３２人目の素数さん
12/05/06 18:44:08.22
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178:１３２人目の素数さん
12/05/06 19:16:46.01
>>174
あんた勘違いしてる。
俺が言ってるのはレゾルベントはレゾルブ、
つまり方程式を解くことから来てるってこと。
その一次式は問題の方程式の根を有理的に表すから
レゾルベントであると解釈して問題ない。
179:１３２人目の素数さん
12/05/06 19:20:59.73
>>176
別に具体的計算したけりゃしていいし、
それが時間の無駄とも言ってない。
ガロアが手計算でS5とか線型群を計算したのか？
180:１３２人目の素数さん
12/05/06 19:28:05.20
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181:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/06 21:41:49.09
>>178
>あんた勘違いしてる。
>俺が言ってるのはレゾルベントはレゾルブ、
>つまり方程式を解くことから来てるってこと。
勘違いもなにも、独自に理屈つけるのは、あなたの自由ですよ
>>179
>ガロアが手計算でS5とか線型群を計算したのか？
S5について、ガロア原論文>>3のP30第I節の定理の後に
「（一般）代数方程式の場合には、この群はm個の文字についての １・２・３・・・・・・m個の可能な限りの順列にほかならない。それゆえ、この場合は対称式だけが有理的に定まるものである」と書かれている
つまり、ガロアは自分で計算したかどうか不明だが、少なくとも知っていた
（なお、置換論としてルフィにやコーシーも５次方程式に関する長さ５の置換の計算は行なっている。ガロアはコーシーの置換論は知っていたようだ（アーベルもガロアもコーシーを引用している））
線形群について、ガロア原論文>>3のP39第VII節の最後に
「群は xk, xak+bのような置換だけを含むであろう」（線形群）
P41定理VIIの例
n=5の場合の位数20の線形群をガロア記法で書き下している（>>28参照）
182:１３２人目の素数さん
12/05/06 21:53:05.90
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183:１３２人目の素数さん
12/05/06 22:09:07.31
>>181
そうじゃなくて俺がガロアの例の一次式を
ガロアレゾルベントと呼ぶことに対して反対してると
思ってるだろ、あんたは。
俺は反対とは一言も言ってない。
だからあんたの誤解じゃん。
184:１３２人目の素数さん
12/05/06 22:15:47.93
>>181
一般方程式のガロア群が対称群となることを
示すのを計算とは言わないだろ。
それは定理の証明じゃん。
185:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/06 23:19:47.51
>>183
それはすまんかったね
>>184
>一般方程式のガロア群が対称群となることを
>示すのを計算とは言わないだろ。
>それは定理の証明じゃん。
まあ、そういうな
ガロアが方程式の群を定義し、後世の誰かがそれをガロア群と呼ぶようにして今日に至る
ガロア群が一般の場合にm！（階乗）になることはガロアは分かっていた
では、問題はある特定の方程式の係数が与えられたときに、具体的にガロア群を決定するためにはどうすれば良いか
それは、Cox>>142の第13章だ
冒頭、Coxはガロアの論文の序文でガロア群を計算することは非現実的というガロアの言葉を引用している
だが、現在ではコンピュータの助けがある
Coxはこれを使って、いろいろ具体的計算を示している
186:１３２人目の素数さん
12/05/07 00:18:56.00
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187:１３２人目の素数さん
12/05/07 06:01:57.15
>>185
>まあ、そういうな
>>176でガロアはS5と線型群を手でやったと書いてるじゃん。
188:１３２人目の素数さん
12/05/07 08:49:51.14
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190:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/07 21:25:50.04
>>187
>>>176でガロアはS5と線型群を手でやったと書いてるじゃん。
ああ、その通りさ
当時はコンピュータが無かったからね
だから、手＝人力ってことで良いだろ
左手だって右手だって良い。要は、自分の頭でってこと
足で字が書けるから、足でも可
一般の非可解の場合、n=5なら、5!=120の位数のS5だと
一般の可解の場合は、n=5なら、5x4=20の位数の線形群だと
それはガロアの頭脳から出てきた。コンピュータを使わずに
そこまでは、>>176の通りだ
が、具体的方程式の係数を与えられて、「これの群はなんだ」とやられても、すぐには計算できなかったろう
（時間があれば不可能ではないし、整数係数なら、エクセル使って計算式を組めば良い。関数はCox>>142の第13章に書いてあるし）
191:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/07 21:51:43.04
>>163
梅村 ガロア偉大なる曖昧さの理論>>138補足
P57で、「ガロアの残した３つの伝説」として
「伝説３ ガロアの発見は当時の数学の水準をはるかに越えていたために理解されなかった。一言で言えば天才の悲劇」
梅村はこれを否定する。
１．時代の流れ、好機到来。つまり歴史的に既に準備が整っており、才能ある幸運な人がその場に居合わせて、それに気づくと一気に新しい世界が開ける場合が多い
２．ガロアの死後、数十年に進行したガロアの業績の評価はむしろ順調であり、それほど不運なものではなかった
（ガロアよりもっと理解されなかった数学者、もっと時代の先を行き過ぎた例もある）
と
これには、かなり同意。決闘で悲劇の死をとげたから、文学の題材になり美化されている部分もある。（宮本武蔵＝最強不敗伝説（実際より誇張された）みたいなものかも）
192:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/07 21:58:25.74
>>191
>これには、かなり同意。決闘で悲劇の死をとげたから、文学の題材になり美化されている部分もある。（宮本武蔵＝最強不敗伝説（実際より誇張された）みたいなものかも）
日本のスーパー高校生（数学オリンピック上位）なら
１．ラグランジュ
２．ガウス
３．アーベル
４．コーシー
の方程式論と置換論の部分を読み理解して（先人の肩の上に乗り）、置換群に気付けば、ガロア理論に到達することは不可能ではないように思う
（全員が全員とは言わないが、中には・・・）
193:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/07 22:14:20.38
>>192
>方程式論と置換論の部分を読み理解して（先人の肩の上に乗り）、置換群に気付けば、ガロア理論に到達することは不可能ではないように思う
補足
全くの個人的推測だが
ガロアは、ラグランジュの分解式（それは、１のべき根を係数とする）を一般化＆拡張して、もっと一般的な根の一次式から方程式の解法の手がかりを掴もうとしたのではないか
そうして、ガロア分解式（一次式）を考察し、自然に（５次の場合）ガロア分解式を根に持つ１２０次の方程式（それは根の置換で異なる値の全て）にたどり着く
１２０次の方程式は、S5の化身でありS5そのものと見ることもできる
べき根の添加で１２０次の方程式が因数分解されるとすれば、それ即ち群の分解に繋がる
群の分解は、正規部分群に気付くことが必要だとしても、もうゴールは近い
194:１３２人目の素数さん
12/05/07 22:18:26.63
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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195:１３２人目の素数さん
12/05/07 22:20:17.91
そういう議論はまったく意味がない。 あとからなんとでもいえる。
第一そんなものが面白いかね？
バ化みたいだ
196:１３２人目の素数さん
12/05/07 22:21:17.13
>>190
手でやると言ったら計算のことだろ。
一般方程式のガロア群を計算とは言わない。
そんなもん計算するまでもなく明らか。
197:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/07 22:26:33.49
>>191
> １．時代の流れ、好機到来。つまり歴史的に既に準備が整っており、才能ある幸運な人がその場に居合わせて、それに気づくと一気に新しい世界が開ける場合が多い
「時代の流れ、好機到来」がP164でも出てくる
「・・ヨーロッパ、主としてフランスで私の仕事に興味を持つ人が増えてきている。この時、私は好機到来と判断し、すべての他の仕事を放棄して、一般微分ガロア理論の研究に全力を投じることにした・・」
梅村先生は、幸運にも”歴史的に既に準備が整っており、才能ある幸運な人がその場に居合わせて、それに気づくと一気に新しい世界が開ける”立場に立たれたのだった・・
ここは、なかなか良い伏線です
198:１３２人目の素数さん
12/05/07 22:39:44.42
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199:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/07 22:47:42.56
>>196
なにが言いたいのか知らないが
ガロアがどこまで考えて
どこまで計算していた、あるいは計算できたのかを知りたければ、一つは和訳だがガロア原論文>>3を
そして、追加でガロア全集でも嫁め
（下記がガロア全集みたいだね）
URLﾘﾝｸ(www.gabay-editeur.com)
GALOIS : Ecrits et Memoires mathematiques, 2e ed., 1976 (Bourgne - Azra)
200:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/07 22:50:07.20
>>199
補足
おいらが、ガロアの魂が乗り移った霊能者に見えるのかもしらんが
別に霊能者でもなんでもない
単に>>3を見ているだけ
それは、あんたにも見える。だったら自分で見ろよ、ガロアがなにを計算し、どんな計算が出来たかを
201:１３２人目の素数さん
12/05/08 00:05:04.53
>>199
論点をそらすなよ。
具体的な方程式のガロア群の計算の話をしている。
一般方程式の話なんてしてない。
202:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/08 06:40:08.44
>>201
論点１
ガロアが具体的な方程式のガロア群の計算について、どこまで知っていたか？
回答
ガロアの原論文（ガロア全集）を読め！
補足
ガロアは、彼のべき根による一般方程式の可解性の論文で、
１）一般ｍ次の場合に対称群Smであること
２）（x^n-1 -1)/(x-1)=0 （１のｎ乗根）の場合に位数n-1の巡回群になること
３）素数ｎ次の既約方程式の場合、位数n!/(n・(n-1))の線形群になること
４）ガロアは別の論文で、楕円曲線の等分問題について、具体的方程式のガロア群を計算する能力を示している（下記参照）
高木近世数学史談にはもう少し具体的に書いてある
URLﾘﾝｸ(reuler.blog108.fc2.com)
2008-04-26-Sat （ガウス32）アーベル方程式とガロアの第一論文
（抜粋）
ガロアが言及しているもうひとつの応用例は、楕円関数論におけるアーベルの予想の証明である。
アーベルは論文「楕円関数研究」において、モジュラー方程式は一般に代数的には解けないであろうと予想しましたが、ガロアはこれを受けて次のように述べています。
《代数方程式論のさまざまな応用のうち、一部分は楕円関数の理論のモジュラー方程式に関係がある。モジュラー方程式を冪根を用いて解くのは不可能であることが証明されるであろう。》
楕円関数論と代数方程式論の関係は密接かつ不可分であり、しかもアーベルの予想の証明こそ、ガロアの理論の眼目なのでした。
ガロアの言葉にはガウス、ルジャンドル、アーベル、ヤコビなどの手になる浩瀚な楕円関数論の全史が凝縮されていて、印象は深遠です。
さながら数学の神秘の淵をのぞき見るような感慨があります。
論点２
ガロアを離れて一般理論として、ガロア群を具体的に計算するには
回答
Cox>>142読め！>>185
203:１３２人目の素数さん
12/05/08 07:36:12.77
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204:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/08 23:16:37.23
>>202
訂正
３）素数ｎ次の既約方程式の場合、位数n!/(n・(n-1))の線形群になること
↓
３）素数ｎ次の既約方程式の場合、可解なら位数n!/(n・(n-1))の線形群になること
205:１３２人目の素数さん
12/05/08 23:17:41.94
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206:１３２人目の素数さん
12/05/08 23:18:07.75
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207:１３２人目の素数さん
12/05/09 02:34:03.80
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208:１３２人目の素数さん
12/05/09 12:17:08.58
>>202
そういうのはガロア理論の応用であって
具体例の計算とは普通言わない。
具体例の計算というのは例えば X^5 + 3X + 3 のガロア群を
計算するというようなもの。
209:１３２人目の素数さん
12/05/09 12:22:15.41
>>204
それは一般には成り立たない。
210:１３２人目の素数さん
12/05/09 12:28:22.67
素数次の方程式のどこが具体例なんだよ。
一般次数の方程式と同じくらい一般的じゃん。
211:１３２人目の素数さん
12/05/09 20:12:35.35
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212:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/09 21:48:02.76
>>208-210
頭の悪い絡み方をしてくるね
梅村の”隠れた対称性”のときと同じだな
ぐだぐだ訳の分からんことを、書き散らかして
一体何が言いたいのかさっぱり要領を得ない
>>179の下記辺りから絡んできてんだよね。 ぐだぐだわけの分からんことを
”名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2012/05/06(日) 19:20:59.73
別に具体的計算したけりゃしていいし、
それが時間の無駄とも言ってない。
ガロアが手計算でS5とか線型群を計算したのか？”と
論点を二つに整理してやったろ？>>202
論点毎に話できないみたいだな・・。それに、ガロアの原論文（ガロア全集）とCox>>142読めと言ったろ？読んだのか？
前スレ>>121で、梅村の”隠れた対称性”の説明を開始するにあたって
「しかし、小学生中学生に微分積分を説明するのも難しいので、相手のレベルを設定しよう
そうだな、大学入試に数学を入れて合格できるレベル。大学の難易度では、平均より上。数学オリンピック出場レベルのスーパー高校生は含める
さらに、このスレで分からないことは、書店かネット購買かあるいは図書館などで自学できるものとする」
と書いたのを、覚えているか
理解力のないやつと、本を買えない貧乏人で図書館などで自学する気の無いやつは除外だよ
しばらく放置プレイだな
213:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/09 22:16:34.39
>>174
>Edwards (著) Galois Theory
序文で
"・・ I saw that the modern treatment of the Galois theory lacked much of simplicity and clearity of the original. "
とEdwardsは書いている。
梅村先生>>163で
”P74で、「理論誕生の雰囲気を味わうためには、すべて19世紀風にする。・・・しかしこの方法には欠陥もある。・・・結局は、その後の発展をとり入れて理解する方が、正確で分かりやすいのである」”
とされているが、Edwardsの意見は逆
おいらもその一人だが、Edwardsの意見に賛同する人はかなりいるだろう
214:１３２人目の素数さん
12/05/09 22:23:21.69
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／ ヾ / ~`ヽ
／ ヽ;: ／"""ヾ ヽ
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| | ＿,,___ . _,,,,__,_ヽ |
/ ;/ ／ ﾞ^＼ヽ.. , /ﾞ ¨＼,.-
/ ;:;:ヽ「 ● | 》 l| ● ﾞ》 ヽ
i /i,. .,ﾉ .l| 《 .|ヽ ヽ
| | ＼___,,,,,_／ .'″ ^=u,,,,_ v／ | |
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| ;:| ::::::: | :|
| ヽ. ( ● ● ） | |
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| ﾞi;;;::| ,;ri;;:,,,;;;;;;;:;:;:;:;;;/;;ﾞ ,.-､;;;; :;:;:;.!
.!:,:,: ;;;;:;,.. i;;;::| .,/ ヾ:(⌒`-‐'" _,.-'",,._ ヽ,ヽ:ﾞ|
l;';';';:;;;;;;:;:.. |;;:l,. ,. ,. ,:;/ _,,,..--‐''"´ _,..,へ ヾ-〉;!:.!
ﾞ!;;;;::;;;;;;;;;:;:;::;;:;:l;;;:!;;:;:;:;:;/ / ,,;____,,...-''i" l_,.-‐! ||;;,'
ﾞ､;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;:l;;:!;;;:::;/ / ,,;/｀i l ﾞ!,..-'ﾞ'iYﾞi, ﾞ!;;/
ﾞ､;;;,. ﾞ'';;;;;;;;,. ﾞ､;;ﾞ!;: l ,' ;ﾉ､_ﾉｰ‐'^`''" ,..ｨ' l`'l .!;/
ヽ:,:,:,:;;;;;;;;;,. l;;;ﾞi |i_/∠iﾞi'"ﾞi‐┬‐┬'''i"_,ﾉ"／ .//
ヽ;;;;;;;;;;;;;;;;;,,`'";ヽ｀ヽ, ｀ヽlヽ～-^ｰ'^,.-'" .／/
215:１３２人目の素数さん
12/05/09 22:44:04.50
>>212
あんたが勘違いしてるから指摘してるだけ。
特に>>204ははっきり間違い。
間違いを指摘されたら謙虚に受け止めろよ。
逆切れするとはもってのほか。
216:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/10 06:30:24.98
>>215
ご指摘ありがとうよ
>>202
訂正
３）素数ｎ次の既約方程式の場合、位数n!/(n・(n-1))の線形群になること
↓
３）素数ｎ次の既約方程式の場合、可解なら位数n・(n-1)の線形群又はその部分群になること
これで良いかな
では
217:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/10 06:36:49.62
面白いのを見つけた
Liouvilleは、Galois's paperについて、he never published his commentary だと
そして、Liouville also lectured on Galois's work and Serret, possibly together with Bertrand and Hermite, attended the course. だと
そうだったんだ
URLﾘﾝｸ(www-history.mcs.st-and.ac.uk)
Liouville (print-only)
抜粋
In 1842 Liouville began to read Galois's unpublished papers.
In September of 1843 he announced to the Paris Academy that he had found deep results in Galois's work and promised to publish Galois's papers together with his own commentary.
Liouville was therefore a major influence in bringing Galois's work to general notice when he published this work in 1846 in his Journal.
However he had waited three years before publishing the papers and, rather strangely, he never published his commentary although he certainly wrote a commentary which filled in the gaps in Galois's proofs.
Liouville also lectured on Galois's work and Serret, possibly together with Bertrand and Hermite, attended the course.
In number theory Liouville wrote around 200 papers, working on quadratic reciprocity and many other topics. He wrote over 400 papers in total.
Article by: J J O'Connor and E F Robertson
October 1997
-----------------------------------------------------------------------------
MacTutor History of Mathematics
[URLﾘﾝｸ(www-history.mcs.st-andrews.ac.uk)
218:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/10 06:46:51.67
>>217
関連
これは、1898年のAMSの論文のPDFだが、なかなか興味深い
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
EARLY HISTORY OF GALOIS' THEORY OF EQUATIONS.
219:１３２人目の素数さん
12/05/10 07:39:28.99
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220:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/10 21:25:46.40
>>218
>EARLY HISTORY OF GALOIS' THEORY OF EQUATIONS.
こんな記述が・・、Lagrangeの影響が決定的だと
1. Galois1 relations to Lagrange.
It is well known that Galois, like Abel and Ruffini, received
inspiration from the writings of Lagrange regarding
the algebraic solution of equations, in particular his memoire
' * Sur la resolution algebrique des equations' ' and his
" Traite de la resolution des equations, etc.," but no one,
I believe, has remarked how well Lagrange had prepared
the way for Galois.
Let us capitulate rapidly the principal facts of Lagrange's
theory referring for more detail to my paperf on l 'Lagrange's
place in the theory of substitutions."
221:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/10 21:37:48.99
>>220
つづき
Liouvilleは、コメントを出版しなかったと
Liouville's
purpose was to publish all Galois' works and to add
a commentary in which he intended to complete certain
passages and elucidate various delicate points. Unfortunately
this plan was never executed, only two new papers
were published, the memoire written at Poisson's invitation
already mentioned and a fragment of a second memoire entitled,
" Des equations primitives qui sont solubles par radicaux.
' ' A note at the end of the preface informs us that the
press of matter for publication as well as the extent of
Galois' manuscript makes it necessary to give only a part
in the current number, the rest following in the next volume.
As we just said, this promise was not fulfilled.
222:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/10 21:54:53.13
>>221
そして、以下のようになったと、1898年のAMSの記事はいう
According to Weber,* Kronecker
probably first became acquainted with it during his visit to
Paris in 1853 where he was associated intimately with Hermite,
Bertrand, and other leading French mathematicians.
The first mention Kronecker makes of Galois' name is in a
letter to Dirichlet in March, 1856. Dedekind also became
very early acquainted with Galois' theory since it is known
that he lectured in the winter of 1857-58 on higher algebra
and in particular on Galois' theory. According to Weber
this was probably the first extensive account of Galois'
theory given at a German university. The first account of
it given in a text-book on algebra is in the third edition of
Serret's algebra (1866). This, together with Jordan's classic
treatise which appeared in 1870, made a knowledge of
Galois' theory possible to all the world.
Perfectly just was Galois' estimate of his own discoveries
when he said shortly before his death : ' ' J' ai fait des recherches
qui arreteront bien des savants dans les leurs."
YALE UNIVERSITY,
February, 1898.
223:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/10 22:10:08.36
>>220
>Lagrangeの影響が決定的だと
Edwards (著) Galois Theory>>174
の§2 Influence of Lagrangeで
同じようなことが書かれている
224:１３２人目の素数さん
12/05/11 00:13:04.92
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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225:１３２人目の素数さん
12/05/11 02:01:31.74
>>216
よかったな。教えてもらえてｗ
226:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/11 05:03:37.31
>>225
うん、ありがとうよ
追伸
１．手で打つのが面倒だったので、あるところからコピペしたんだが、その部分をミスっていたんだ
２．ことほど左様に、日本人は結構そういうミスに敏感でね。気付けば指摘してくれる人が多いので、心配はしていない
３．たまに読み直して、気付いたら訂正を入れるようにしている。今後も、ミスのないよう気をつけます
227:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/11 07:05:31.71
>>223
Edwards (著) Galois Theory>>174は、付録にガロア論文の英訳を載せている
ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) >>3の前書きの部分は省かれているが
それから、Edwards英訳では、定理VIIの例が縦一列に書かれているが、>>3マトリックスのような表になっている。原論文は確認できていないが、おそらく表だろう
表の方が、線形群（ガロア論文では、X(k),X(ak+b)と表現されている）の例であることが見やすいと思う
228:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/11 07:08:09.79
>>142
Coxの12.2 ガロワで、ガロワ原論文を詳しく解説している
一読の価値あり
229:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/11 07:53:48.30
下記"On jugera"について
the crucial lemmaは、>>3では、第III節の定理で
"On jugera"：「証明は思いつくであろう」と守屋は訳している
”My opinion is in paragraph 37" (freely translated)”は、Edwards (著) Galois Theory>>174の序文 ページixの通りなので、この文はここから採ったのだろう
URLﾘﾝｸ(www2.ee.ufpe.br)
A BIT OF HISTORY: GALOIS' LIFE.
ON THE STATEMENT "On jugera".
This famous passage is the one where Galois proves the crucial lemma stating that any rational function of the roots can be expressed as a rational function of the Galois resolvent.
Poisson (What about him?) had called Galois' prove insufficient. Galois, rather than elucidate his proof, laconically replied, "That remains to be seen.
My opinion is in paragraph 37" (freely translated).
It is easy to understand Poisson's position. Galois' proof can be regarded as as, at best, a sketch, and therefore is certainly "insufficient" if one is in any doubt as to the correctness of his theory and the accuracy of his reasoning.
In his report to the Academy, Poisson said of Galois' memoir as a whole that
<< We have made every effort to understand Mr. Galois' proof. His argument are not clear enough, nor developed enough, for us to be able to judge their correctness... >>.
He hoped that Galois would improve and amplify his exposition of his work,
but concluded "In the state in which it is now submitted to the Academy, we cannot recommend that you (Mr. Lacroix) give it your approval".
At the time, confronted with an incomprehensible manuscript and a 19-year-old author who could well be asked to improve on it (and who was in trouble with the police to boot),
one might well decide to recommend to one's colleagues that they not endorse it.
H.M. EDWARDS,"Galois Theory",NY: Springer-Verlag,1984.
230:１３２人目の素数さん
12/05/11 08:03:14.47
>>228
ガロアの原論文ってどれを？
よくある方程式論ならくさるほどあるだろｗ
決闘前夜の手紙は？
231:１３２人目の素数さん
12/05/11 08:20:28.33
>>228
CoxはGalois resolventをどう定義してる？
232:１３２人目の素数さん
12/05/11 21:04:21.61
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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233:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/05/11 22:56:49.68
>>230
腐るほどあるが、良い
アルチン読むよりこちらだろう
決闘前夜の手紙？ しらんな
下巻しか買ってないから
>>231
それは過去ログにある
234:１３２人目の素数さん
12/05/11 22:59:19.37
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