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ガロア圏
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いろんなガロア理論☆ガロア圏☆ （最終更新日時:2012/3/9）投稿日：2012/1/17
ガロア拡大（正規・分離拡大）である体の拡大L⊃Kが与えられると、ガロア群と呼ばれる群
Gal(L/K)が決まるというのがガロア理論です。方程式の解の背後にある群を調べよという思想は、単純に代数方程式論や代数学といった枠を超え、幾何学など多くの分野に強い影響を与えることになります。ここではそれらについて少し考えてみましょう。
ガロア理論の位相空間版が被覆空間論です。
適当な連結性を仮定した位相空間に対し、（不分岐な）被覆p:X→Yというものがあります。
pは全射で、Yの各点xに対してある開近傍Uがあり、p^(-1)によりUをXに引き戻すと、Uと同相なXの開集合たちがバラバラと出てくるようになっている（局所同相）というのが被覆空間です。
Uのコピーのようなものが上にバラバラと互いに離れているような形で出てきます。XをL、YをKと並べることで、ちょうどガロア理論の類似になります。
このとき被覆変換群という、「被覆空間のガロア群」が定義されます。位相空間によい連結性があれば、これは基本群と同型になります。つまりここではガロア群＝基本群。
ではこれらを参考にして体上のスキームを考えてみましょう。ちょうど上の２つをミックスさせたような形になっています。
体k’をkの有限次分離拡大とすると、Spec k’→Spec kは局所同型です。（上での局所同相に当たるもの）
体の拡大k’/kを被覆空間的に見るとこういった感じになります。ここでも同じように基本群にあたるものが定義できます。
ガロアが考えた代数の理論をGrothendieckが幾何学的に見直したんですね。
（以下略）