12/04/14 22:16:42.29
代数的可解性の原則を検索したが、なかかな良いヒットがない
が、高山 幸秀先生（下記）が良い！
（アスキー文字化けは修正しません（うまくできません）。PDF原文を見てください）
URLﾘﾝｸ(www.ritsumei.ac.jp)
環・体論II | GALOIS 理論
（抜粋）
10.1. 方程式の可解性70
10.2. ５次以上の代数方程式の非可解性72
10.1. 方程式の可解性. ４次以下の代数方程式に「根の公式」が存在するということ
は、それらの方程式が以下に定義する意味で「代数的に解ける」ということである。
定義127 (代数的に解ける). 代数方程式
Xn + a1Xn?1 + ・ ・ ・ + an?1X + an = 0 (ai ∈ C)
が代数的に解けるとは、方程式の根が、係数a1, . . . , an と有理数を使った四則演算
とべき根( m√?, m ? 2) 演算を使って表せることを言う。
このことを代数拡大の理論から見れば、次の概念でとらえることができる。
定義128 (べき根による拡大). 有限次代数拡大L/K が、べき根による拡大である
とは、体の列 K = K0 ⊂ K1 ⊂ ・ ・ ・ ⊂ Kr = E
で各Ki (i ? 1) はKi?1( ni√ai) の形で得られるものが存在し、L ⊂ E となっている
場合をいう。特別な場合としてE = L となる場合も当然含む。ただし、ai ∈ Ki?1
で、Xni ? ai ∈ Ki?1[X] は既約であるとする。
２つの定義を見比べれば、以下のことが直ちに従う。
命題129. 代数方程式
f := Xn + a1Xn?1 + ・ ・ ・ + an?1X + an = 0 (ai ∈ C)
の根をx1, . . . , xn ∈ C とし、拡大体K := Q(a1, . . . , an) ⊂ L := K(x1, . . . , xn) を考
える。このとき、以下は同値：
(1) f = 0 が代数的に解ける。
(2) L/K はべき根による拡大。