12/04/14 08:03:53.66
>>48-49
地図（ランドスケープ）を持つ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
伊能忠敬
シーボルトが国外に持ち出した伊能図の写本は、日本に開国を迫った際にマシュー・ペリーも持参している。
ペリーはそれを単なる見取図だと思っていたが、日本の海岸線を測量してみた結果、きちんと測量した地図だと知り、驚愕したと言われる。
（引用おわり）
ペリーも黒船で日本に来るときに伊能図を準備している
（前スレ294より再録）
>うん、そうそう。私もソレは全く同じ印象ですね。だからグロタンがや
>った事は『数学が正しく行われる場所を与えた』という事で、正に新約
>聖書の役割を果たしていると思いますね。
猫さん、乙です
グロタンディークの頭の中には、ランドスケープがすでにあって、それを文字にしていった
そういう風に考えます
そうでなければ、あの仕事量は理解できない
佐藤幹夫も同様で、ランドスケープが先にあった
佐藤の場合は、自分で書かずに弟子が書いたんだけれど
佐藤幹夫は偉大です
グロタンディークと同様に、彼の前と後とでは世界が変わった
52:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 08:06:33.10
（前スレ265より再録）
>斎藤毅
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
Takeshi Saito's Home Page: 和文のページ
（余談：和文の方が情緒が出ているね）
>完全な証明をつけるのですから, 図などを使って読者の直観に訴えるのは反則なのです.
これと反対のことを言おう
ナスカの地上絵、遠目の富士
ナスカの地上絵
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
あまりにも巨大な絵が多く、空からでないとほとんどの地上絵の全体像の把握が難しい。
遠目の富士
URLﾘﾝｸ(www.marino.ne.jp)
「遠目の富士だ。遠くに見る富士は颯爽として美しい。近くに行けば瓦礫の山さ。石ころばかりだ 」。
（引用おわり）
遠目の富士は引用文と趣旨がだいぶ違うが、ナスカの地上絵も言いたいことは、近くでは単なる石ころだが離れて見ないと意味わからん場合もあるよと
53:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 08:19:47.71
>>52
補足
数学は語学と似ているところがある
毎日やって慣れることが良いと思う
英語の辞書を覚えても、それだけでは英語をマスターしたとは言えない
文は単語から出来ているからと、文を単語に分解しただけでは意味はとれない
ユークリッド原論
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
論証的学問としての数学の地位を確立した古代ギリシア数学を代表する名著。
『原論』ではいくつかの定義からはじまり、5つの公準（要請）と、5つ（又は9つ）の公理（共通概念）が提示されている。
議論の前提となる点や線、直線、面、角、円、中心などの概念が定義され、次のような5つの公準を真であるとして受け入れることにより、作図の問題の基礎を明確にしている。
（引用おわり）
定義からはじまり、公理、定理とつづく
その一つ一つは、単語だ
全体を一つの文章として理解しようとする努力がなければ、いつまで経っても理解できない
というか、まず全体像（ランドスケープ）を持つことが可能ならば、理解は容易になるだろう・・
遠慮はいらない、いまからエベレストに登る人は、利用できるもの何であれどんどん使えば良い
54:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 08:55:35.09
（前スレ81より再録）
英語のwikipediaに対する一つのテクニックとして、まず日本語のwikipediaの検索ページを開く
そして、左端の言語のEnglishのところをクリックする
そうすると、日本語のwikipediaの検索に対応する英語の記事に飛ぶことができる
数学では、英語のwikipediaの記事が圧倒的に情報量が多いね
55:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 08:58:06.77
>>54
で本題は類体論
日本語ではこれだけ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
で、左端の言語のEnglishのところをクリックすると・・、おおこんなに情報が・・
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
56:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 09:07:58.87
>>55 つづき
で
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
References
Conrad, Keith, History of class field theory. pdf
URLﾘﾝｸ(www.math.uconn.edu)
がある
これがなかなか面白
57:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 09:47:01.27
>>56
で、Conrad, Keithさんのページ
URLﾘﾝｸ(www.math.uconn.edu)
Expository papers
These were written up for various reasons: course handouts, notes to accompany a talk for a (mathematically) general audience, or for some other purpose that I have since forgotten.
If you find typographical or other errors in these files, or have comments, please let me know. Files that are revised will be reposted without any indication that they have been changed (sorry).
（以下多数の文献）
（引用おわり）
History of class field theory は、上記のAlgebraic number theory の中の一つということがわかる
58:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 09:58:11.62
>>57
で、さらに遡るとこんなところも
URLﾘﾝｸ(www.math.uconn.edu)
Keith Conrad （写真あり）
抜粋
Summer program courses
（リンクあり）
What is a Reciprocity Law? (Yaroslavl, Summer 2011): Lecture 1, 2, 3, 4
Number Theory in Quadratic Fields (Lisbon, Summer 2011)
Diophantine Equations (Ross program, Summer 2008)
Elliptic Curves and Arithmetic Progressions of Squares (Ross program, Summer 2007)
Sums of squares (USA/Canada Mathcamp, Summer 2005)
Quaternion algebras (Ross program, Summer 2004)
Analogies between integers and polynomials (Ross program, Summer 2003)
Zeta and L-functions (PROMYS program, Summer 2000)
59:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 11:27:38.33
>>44 つづき
高瀬正仁氏のブログ これは一読の価値あり
（URLが通らないので、右記のキーワード＋下記で検索乞う： 日々のつれづれ オイラー研究所の所長 ）
2011-01-15 リーマンを語る 101. ガウスがアーベルを無視した理由（その6）
（抜粋）
アーベルに取って代数方程式の代数的可解性の問題はきわめて重く、この問題に決着をつけることができたなら、まちがいなく数学史に刻まれるべき歴史的偉業です。
ガウスにとってはどの程度の問題だったのでしょうか。
次数が５以上の代数方程式に対して解の公式が存在しないことは、すでに学位論文の時点で自覚していました。
それにもかかわらず、次数がどれほど高くとも代数的に解ける方程式が存在することも承知したうえで、代数的可解性を左右するのは「根の間の相互関係」であることを認識し、円周等分方程式によって具体的に例示しました。
しかもその円周等分方程式をどのように解いたのかといえば、今日のいわゆる「ガロア理論」に沿う解法手順がそのままなぞられています。
代数的可解性は「根の間の相互関係」で定まるという認識はアーベルに継承されてアーベル方程式の概念を生みました。
円周等分方程式を代数的に解く解き方ををモデルにして「ガロア理論」もまた生まれました。そんなガウスにとって「不可能の証明」などは当然のことで、わざわざ証明するまでもないことだったのではないでしょうか。
しかもガウスの円周等分方程式論の真意は代数方程式論にあるのではなく、ガウス平方剰余相互法則の証明という、数論の法則の証明の原理をそこに見いだそうとして努力を重ねていたのでした。
ガウスは「不可能の証明」程度のレベルをはるかに超越した地点に立脚して、なお遠くを見ようとしていたのですから、今さら「不可能の証明」などを書き綴られてもじゃまなばかりで、ただうるさかったのではないでしょうか。
ガウスの心情の世界では、ルジャンドルにおける「補助的素数の使用」「相互法則という用語」「ルジャンドルの記号」「フェルマの小定理を始点とする相互法則の定式化」と、アーベルにおける「不可能の証明」はぴったり対応するように思われてなりません。
ガウスはリーマンも複素関数論もほめませんでしたし、ガウスにほめられた人はごくわずかなのですが、例外中の例外はアイゼンシュタインです。
60:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 11:40:57.70
>>59
> ガウスはリーマンも複素関数論もほめませんでしたし
ここは少し違うかも
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
1851年にガウスのもとで論文「1複素変数関数の一般理論の基礎づけ」を提出して博士号を取得、1854年には「幾何学の基礎にある仮説について」で大学教授資格を取得した。
（ガウスは若い数学者をほとんど評価しなかったが、リーマン幾何学に関する講演を高く賞賛した。）
えーと英語版には出てこないから、上記は高木の近世数学史談によるのだろう
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
”Gauss”の出てくる箇所は下記４箇所のみ
However, once there, he began studying mathematics under Carl Friedrich Gauss (specifically his lectures on the method of least squares).
Gauss recommended that Riemann give up his theological work and enter the mathematical field; after getting his parents' approval, Riemann transferred to the University of Berlin in 1847.[1]
Euclidean geometry versus Riemannian geometry
In 1853 Gauss asked his student Riemann to prepare a Habilitationsschrift on the foundations of geometry.
The subject founded by this work is Riemannian geometry. Riemann found the correct way to extend into n dimensions the differential geometry of surfaces, which Gauss himself proved in his theorema egregium.
61:あんでぃ
12/04/14 13:27:36.54
[T⇄X]
[G⇄M]
[O⇄H]
[W⇄J]
[RC⇄PF]
残り7組
62:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 13:28:57.77
こんなページが
URLﾘﾝｸ(www.nn.iij4u.or.jp)
五次方程式の代数的解法
Wolfram の site の中に Quintic Equationという page があって, ここに良い解説 (英語だが) が出ているのでご覧ください。
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
五次方程式の冪根による解法が不可能であることを完全な厳密さを持って証明するのはそれほど難しいことではないであろう。
Carl Friedlich Gauss
学位論文
あらゆる一変数整有理的代数函数は一次若しくは二次の実素因子に分解されるという定理の新しい証明,
1797, 第 9 条
四次を超える方程式の一般的解法, 言い換えると, 混合方程式の純粋方程式への還元を見出そうとする卓越した幾何学者たちのあらゆる努力は, これまでの所常に不首尾に終わっていた。
そうしてこの問題は, 今日の解析学の力を超えているというよりは, むしろある不可能な事柄を提示しているのである。
Carl Friedlich Gauss
整数論, 1801,
第 7 章 円周等分方程式論
63:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 15:30:26.86
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む１の ｽﾚﾘﾝｸ(math板:439番)でも紹介したが
URLﾘﾝｸ(www15.ocn.ne.jp) 翻訳リスト （ここに沢山の興味深い論文の翻訳がある）
数学三大予想の証明
フェルマの最終定理
Wilesモジュラー楕円曲線とフェルマの最終定理 PDF
Wiles&Taylor 或るＨｅｃｋｅ代数の環論的性質 PDF
Faltings TylorとWilesのFLTの証明 PDF
志村-谷山-Weil予想
Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, and Richard Taylor Q 上の楕円関数のモジュラリティーについて--- 野性的3 進表現の場合?? PDF
Henri Darmon 完全志村-谷山-Weil 予想の証明が宣言された! PDF
ポアンカレ予想
Grisha Perelman Ricci フローのエントロピー公式とその幾何学的応用 PDF
Grisha Perelman 3 次元多様体上の手術付きRicci フロー PDF
Grisha Perelman 或る３次元多様体上のRicci フローの解に対する有限消滅時間 PDF
Takasi Shioya and Takao Yamaguchi 下界曲率をもつ崩壊３次元多様体の体積 PDF
Michael T. Anderson Ricci フローからみた３次元多様体の幾何化 PDF
関連文献
Ribet ガロア表現とモジュラー形式 PDF
R.Taylor Galois Representations PDF
Shimura Goro ON ELLIPTIC CURVES WITH COMPLEX MULTIPLICATION AS FACTORS OF THE JACOBIANS OF MODULAR FUNCTION FIELDS PDF
John Coates Kenkichi Iwasawa(1917-1998) PDF
Michael T. Anderson REMARKS ON PERELMANN'S PAPERS PDF
S.K. Donaldson SCALAR CURVATURE AND STABILITY OF TORIC VARIETIES PDF
物理関連
S.W.Hawking Information Loss in Black Holes, 15 Sep 2005 PDF
Edward Witten Comments On String Theory, 19 Dec 2002 PDF
ClaudeLeBrun Polarized 4-Manifolds, Extremal Kahler Metrics, and Seiberg-Witten Theory PDF
64:１３２人目の素数さん
12/04/14 17:28:19.26
_______ _＿
／／￣~`i ゝ `l |
/ / ,______ ,_____ ________ | | ____ TM
| | ＿__ //￣ヽヽ //￣ヽヽ （（￣）） | | //￣_>>
＼ヽ、 ｜l | | | | | | | | ``( (. .| | | | ~~
`､二===-' ` ===' ' ` ===' ' //￣ヽヽ |__ゝ ヽ二=''
ヽヽ___// 日本
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿
|街宣車両の正体 朝鮮人工作員 .| |検索|←をｸﾘｯｸ！！
65:あんでぃ
12/04/14 18:02:11.07
[T⇄X]
[G⇄M]
[O⇄H]
[W⇄J]
[RC⇄PF]
残り7組
66:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 22:09:34.77
>>64 age乙！
>>65 あんでぃさん乙、ageで書いてくれると助かるなー
67:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 22:16:42.29
代数的可解性の原則を検索したが、なかかな良いヒットがない
が、高山 幸秀先生（下記）が良い！
（アスキー文字化けは修正しません（うまくできません）。PDF原文を見てください）
URLﾘﾝｸ(www.ritsumei.ac.jp)
環・体論II | GALOIS 理論
（抜粋）
10.1. 方程式の可解性70
10.2. ５次以上の代数方程式の非可解性72
10.1. 方程式の可解性. ４次以下の代数方程式に「根の公式」が存在するということ
は、それらの方程式が以下に定義する意味で「代数的に解ける」ということである。
定義127 (代数的に解ける). 代数方程式
Xn + a1Xn?1 + ・ ・ ・ + an?1X + an = 0 (ai ∈ C)
が代数的に解けるとは、方程式の根が、係数a1, . . . , an と有理数を使った四則演算
とべき根( m√?, m ? 2) 演算を使って表せることを言う。
このことを代数拡大の理論から見れば、次の概念でとらえることができる。
定義128 (べき根による拡大). 有限次代数拡大L/K が、べき根による拡大である
とは、体の列 K = K0 ⊂ K1 ⊂ ・ ・ ・ ⊂ Kr = E
で各Ki (i ? 1) はKi?1( ni√ai) の形で得られるものが存在し、L ⊂ E となっている
場合をいう。特別な場合としてE = L となる場合も当然含む。ただし、ai ∈ Ki?1
で、Xni ? ai ∈ Ki?1[X] は既約であるとする。
２つの定義を見比べれば、以下のことが直ちに従う。
命題129. 代数方程式
f := Xn + a1Xn?1 + ・ ・ ・ + an?1X + an = 0 (ai ∈ C)
の根をx1, . . . , xn ∈ C とし、拡大体K := Q(a1, . . . , an) ⊂ L := K(x1, . . . , xn) を考
える。このとき、以下は同値：
(1) f = 0 が代数的に解ける。
(2) L/K はべき根による拡大。
68:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 22:23:14.33
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む1の372、376より再録
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:372-376番)
372 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/02/26(日) 16:11:33.11
>>371
つづき
１．V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）は、”a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる”ように定めた>>28
だから、Vを変えない置換は恒等置換eのみ
２．ここで代数的可解性の原則を認めて、元の方程式が解けるためには、根a,b,c・・・の有理式から補助方程式を作って、補助方程式の根を添加することで、方程式を解くことを考えてみよう
３．ラグランジュの定理を補助線として、Vを見ると、Vを変えない置換は恒等置換eのみだから、Vはどんな根の有理式を持ってきても、それは必ずVの有理式で表されるという構造になっているんだ（ここポイント）
４．で、>>343
・ある根の有理式を持ってくる
・その有理式で根a,b,c・・・の置換を行なって、値の異なるものを集める
・そうして、最小定義多項式（＝補助方程式）を作る（補助方程式は根と係数の関係から、元の体の数になる）
・最小定義多項式には、有理式の置換で異なる値（補助方程式の共役な根）が含まれる
・補助方程式を全部添加して、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）の因数分解（可約性）を見ると、因数分解できるときは補助方程式のガロア群をHとしてHがもとの方程式のガロア群Gの正規部分群になってしまうんだと
ここは、上記の>>345-348だ
376 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/02/26(日) 17:31:21.27
>>372
代数的可解性の原則は、下記のP26などをご参照。倉田>>4なら、P154など
URLﾘﾝｸ(homepage2.nifty.com) >>321
方程式論の歴史（平成１４年）
69:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 22:37:55.09
>>68
代数的可解性の原則：元の方程式が解けるためには、根a,b,c・・・の有理式から補助方程式を作って、補助方程式の根を添加することで、方程式を解く
もう一つの切り口が、べき根拡大>>67
代数的可解性とは、べき根拡大→べき根で方程式の根a,b,c・・・を表すことができる→逆に見ると補助方程式のべき根は根a,b,c・・・の有理式、というのは至極当然に見えるだろう
方程式論の歴史（平成１４年）は、代数的可解性の叙述がいまいちはっきりしない
その点、倉田>>4ははっきりしている。（方程式論の歴史（平成１４年）は倉田を参考にしているように見える）
足立 ガロア理論講義 URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp) は、高山>>67と同じくべき根拡大を前面に出しているね
70:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 22:55:34.16
>>67
高山 幸秀先生、これも良いね。読みやすい。目次がないと思ったら、最後にあったorz
URLﾘﾝｸ(www.ritsumei.ac.jp)
代数学序論I,II
71:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 23:07:53.83
高山先生！ 面白すぎるよ！
URLﾘﾝｸ(www.ritsumei.ac.jp)
私の研究物語 (抜粋)
1993年以前 数学を勉強していた時代
京都大学理学部で主に可換環論と(Grothandiek以前の)代数幾何学を勉強する。
微積分を含めた解析学を「高校数学の延長」と馬鹿にしてほとんど勉強しな かった事と、それをカバーできる程代数学が抜群に出来た訳でもない事から、院入試に落第ししばらくグレる。
(ほんとうは「しばらく」なんて程度ではなく、１０年ぐらいグレていた。)
1983年 ～ 1985年 駆け出しの計算機技術者時代
ふつうの計算機科学者の中にも、真に尊敬すべき人物はいる事を知り、計算機科学はそれなりに立派な学問なんだと思うに至る。
そうこうしているうちに、なぜか理学博士号が取れてしまう。工学博士よりも、理学博士の方が断然カッコ良くてエライのだと思っているので、大いに喜ぶ。
1992年 ～ 1996年 リストラを恐れて大学へ
博士号が取れたおかげで、大学教員として立命館大学情報工学科(のち情報学科) に移れた。転職先として申し分無く、理論計算機科学をやっていて良かったとしみじみ思う。
京大数学科では、私の立命館大学への 転職を聞いて驚いた某教授が「数学科の大学院入試に落ちた奴が、学位取って大学教員にまでなれるなんて、計算機科学ってのはやっぱりいい加減な学問だ」と言ったとか言わなかったとかの噂を耳にする。
真偽のほどはさておき、隠れ純粋数学至上主義者である私としては、大いに納得する。
2000年～2010年頃 「私は数学者です」
数学に転向してから 自分は生まれた時から一貫して純粋数学至上主義者であったし、これからもそうであることに気づく。
自分にも数学のゴミ論文が書けることがわかり勇気百倍。これからは、自分の事を「『自称数学者』を自称する者です」とも「『数学者』を自称する者です」とも言わず「私は数学者です」と言うことにした。
2010年頃～ 「私は数学者ではありません」
その後、数学研究者としてどうにかこうにかやってきたのだが、学生時代からずっと数学だけやってきた数学者と、しばらく外の世界をほっつき歩いていた私との メンタリティーのえも言われぬ違いの大きさに気づく。
そこで2010年頃から、「私は数学者でも何でもありません、その辺のおっさんです」と言うようになった。
72:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 23:12:18.71
高山先生、これも紹介しておく
URLﾘﾝｸ(www.ritsumei.ac.jp)
研究分野
１９９６年頃までは理論計算機科学者として長年プログラム理論を研究していた。
それ以降は、可換環論に転じ、特にStanley-Reisner環、単項式イデアル、極小自由分解、局所コホモロジーなどを調べている。
最近は密着閉包理論や特異点理論などにも興味を持っている。
73:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 23:17:43.32
>>71
下記、おそらく間違いで訂正しておく
1993年以前 数学を勉強していた時代
↓
1983年以前 数学を勉強していた時代
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.ritsumei.ac.jp)
経歴
１９５８年 三重県津市生まれ。
津市立修成小学校、私立高田中学、三重県立津西高等学校(第１期卒業生)、学校法人河合塾を経て(！！)京都大学理学部入学(１９７８年)
１９８３年 京都大学理学部卒業(数学専攻)
同年 沖電気工業株式会社入社
総合システム研究所にて逐次型推論マシンSIMのネットワークサブシステムの開発に従事
１９８５～１９８９年 財団法人新世代コンピュータ技術開発機構に出向
定理自動証明システム、知的CAIシステム、構成的論理に基づくソフトウエア検証合成システムの研究開発に従事
１９８９～１９９２年 沖電気工業株式会社復帰、
総合システム研究所、電子システム研究所、関西研究所にて 構成的プログラミングシステムSHUTENの開発を行う。
１９９１年 京都大学にて博士(理学)を取得
１９９２年 立命館大学理工学部情報工学科助教授
１９９４年～ 立命館大学理工学部情報学科助教授
１９９６～１９９７年 京都大学数理解析研究所長期研究員
２０００年～立命館大学理工学部数理科学科教授
２０００～２００１年 エッセン大学招聘研究員
２００４年 エッセン大学招聘研究員
74:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/14 23:23:54.78
>>71-73
高山先生いいね
あと、理論計算機科学者として長年プログラム理論を研究していたという経歴を生かして、数式処理とか群論計算プログラミング（あるいはHaskellなど）を学生に教えてあげると良いと思うな
（前スレ416より再録）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
Haskell は高階関数や静的多相型付け、定義可能な演算子、例外処理といった多くの言語で採用されている現代的な機能に加え、パターンマッチングやカリー化、リスト内包表記、ガードといった多くの特徴的な機能を持っている。
また、遅延評価や再帰的な関数や代数的データ型もサポートしているほか、独自の概念として圏論のアイデアを利用し参照透過性を壊すことなく副作用のある操作（例えば 代入、入出力、配列など）を実現するモナドを含む。
75:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 07:04:04.17
>>74
>あと、理論計算機科学者として長年プログラム理論を研究していたという経歴を生かして、数式処理とか群論計算プログラミング（あるいはHaskellなど）を学生に教えてあげると良いと思うな
高山先生：学生時代からずっと数学だけやってきた数学者と、しばらく外の世界をほっつき歩いていた私との メンタリティーのえも言われぬ違いの大きさに気づく。
そこで2010年頃から、「私は数学者でも何でもありません、その辺のおっさんです」と言うようになった。
すっかり高山先生のファンになりました
ところで、本題
失礼ながら、立命館と京都大学を比較すれば、大学入学時点で差があることは、教員学生自他ともに認めるところでしょう
そこで、かれらが将来戦う大きな武器になるのが、数式処理とか群論計算プログラミング（あるいはHaskellなど）ではないかと （ガウス、オイラーなみの計算力つく）
（エベレスト登頂の近代的装備だと）
（個人的には）
１．エクセルマクロ（無限級数など）
２．エクセル行列計算、特殊関数計算（ベッセル関数くらいは組み込み済み）
３．数式処理：一押しはMathematicaかな（"ウルフラム・リサーチは webMathematica というプログラムも作成している。" URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ）
４．群論計算ソフト
５．Haskellに限定しないが（Lisp、Cなども）、何か一つ数学に役立つであろう適当なプログラミング言語を
東大京大レベルだと、教えなくとも自分たちで勉強すると思いますが
76:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 07:15:50.08
>>75
>失礼ながら、立命館と京都大学を比較すれば、大学入学時点で差があることは、教員学生自他ともに認めるところでしょう
>そこで、かれらが将来戦う大きな武器になるのが、数式処理とか群論計算プログラミング（あるいはHaskellなど）ではないかと （ガウス、オイラーなみの計算力つく）
>（エベレスト登頂の近代的装備だと）
昨年だったか一昨年だったかに下記を見つけた
家電量販店の書籍部門で。オライリー・ジャパンなので、プログラミングのところに紛れて置かれていたんだ
これがなかかな面白い。もし図書館にあれば、一度手にとって見てください
URLﾘﾝｸ(www.oreilly.co.jp)
数学を生み出す魔法のるつぼ―実験数学への招待 オライリー・ジャパン
Jonathan Borwein、Keith Devlin 著、伊知地 宏 訳 2009年12月 164ページ 定価1,890円
原書: The Computer As Crucible
『数学で犯罪を解決する』『数学する遺伝子』に代表される数学読み物のベストセラー作家、キース・デブリンと、実験数学の気鋭の研究者ジョナサン・ボールウェインが実験数学とは何かをやさしく解説します。
数学者が頭をフル回転させて定理を証明する古典的な数学とは違い、実験数学ではコンピュータを道具として使って計算を行い、膨大なデータをもとに数式処理システムなどを利用して予想を立て、検証していく、
つまり文字通り「実験」しながら、数学的発見を行うものです。この書籍では実験数学の魅力と可能性を紹介します。
77:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 07:28:25.53
>>76
補足
いまの数式処理は、ある特殊な数値を入れると、その数値を構成する特殊関数の組み合わせを返すそうですね
それが、ガウスなみに賢くて、並みの数学者以上だと
下記は検索でヒットしたのでご参考まで
(URLが通らないので、検索願います。)
数学を生み出す魔法のるつぼ 2009/12/29(火)
1章 実験数学とは何？
2章 πの10進表現で1000兆桁目の数字は何？
3章 この数は何？
4章 数学で最も重要な関数
5章 次の積分を解け
6章 思わぬ発見をする才能
7章 πの計算
8章 コンピュータは人より数学を知っている
9章 極限を取りなさい
10章 危険！コンピュータを使うときにはいつも警戒を
11章 書き残したこと
おもしろかったのは10章ですかね。コンピューターを使って計算する際の注意点。ある級数を数式処理システムで評価すると、答えは1になるんだけど、実はそれが不正解。
収束はするけれど、その値は小数点以下268桁まで1と一致するような値なのだとか。
どんだけ差が小さくても、この答えを“1”と言ってしまうのは間違いなわけで。よくもまあこんなおもしろい問題を見つけるものですね。
78:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 07:30:41.13
>>77
補足
>いまの数式処理は、ある特殊な数値を入れると、その数値を構成する特殊関数の組み合わせを返すそうですね
>それが、ガウスなみに賢くて、並みの数学者以上だと
> 6章 思わぬ発見をする才能
> 8章 コンピュータは人より数学を知っている
この6章と8章が面白かった
79:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 10:03:50.51
ガウス補足
>>59
>ガウスにとってはどの程度の問題だったのでしょうか。
>
>次数が５以上の代数方程式に対して解の公式が存在しないことは、すでに学位論文の時点で自覚していました。
>それにもかかわらず、次数がどれほど高くとも代数的に解ける方程式が存在することも承知したうえで、代数的可解性を左右するのは「根の間の相互関係」であることを認識し、円周等分方程式によって具体的に例示しました。
>しかもその円周等分方程式をどのように解いたのかといえば、今日のいわゆる「ガロア理論」に沿う解法手順がそのままなぞられています。
>
> 代数的可解性は「根の間の相互関係」で定まるという認識はアーベルに継承されてアーベル方程式の概念を生みました。
>円周等分方程式を代数的に解く解き方ををモデルにして「ガロア理論」もまた生まれました。そんなガウスにとって「不可能の証明」などは当然のことで、わざわざ証明するまでもないことだったのではないでしょうか。
> ガウスは「不可能の証明」程度のレベルをはるかに超越した地点に立脚して、なお遠くを見ようとしていたのですから、今さら「不可能の証明」などを書き綴られてもじゃまなばかりで、ただうるさかったのではないでしょうか。
>62
>五次方程式の冪根による解法が不可能であることを完全な厳密さを持って証明するのはそれほど難しいことではないであろう。
>Carl Friedlich Gauss 学位論文 あらゆる一変数整有理的代数函数は一次若しくは二次の実素因子に分解されるという定理の新しい証明,1797, 第 9 条
>
>四次を超える方程式の一般的解法, 言い換えると, 混合方程式の純粋方程式への還元を見出そうとする卓越した幾何学者たちのあらゆる努力は, これまでの所常に不首尾に終わっていた。
>そうしてこの問題は, 今日の解析学の力を超えているというよりは, むしろある不可能な事柄を提示しているのである。
>Carl Friedlich Gauss 整数論, 1801, 第 7 章 円周等分方程式論
円周等分方程式で、ガウスはべき根と巡回群の関係およびべき根による体の拡大の限界は熟知していたのだろう
早くから、「五次方程式の冪根による解法が不可能であることを完全な厳密さを持って証明するのはそれほど難しいことではないであろう。」と言った
80:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 10:09:14.78
>>79
つづき
ガウスがその時代を超越していて、書いたが公表しなかったこと、分かっていたが書かなかったことは、「五次方程式の冪根による解法が不可能であること」だけではない
有名なところでは、複素関数論、楕円関数論、非ユークリッド幾何など
ガウス以外なら、「本当？」と疑うところだが、ガウスの言には説得力がある
ともかく、べき根による数体の拡大には限界があり5次方程式はべき根では解けないということくらいは、ガウスにはほぼ自明だったのかも
81:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 10:16:56.02
>>80
つづき
人は、２次３次４次と可能なら、５次もと考える
それが自然だ
しかし、数学でもある低次では成立することが、それ以上の高次のでは事情が異なるということは、方程式論以外でもある
ポアンカレ予想などは逆だった（高次元の方が簡単で４次元が解かれ、３次元が最後まで残った）が、次数が違うと事情が異なるということはありうる
（余談だが、数学的帰納法は逆に次数の低いときの事情がそのまま通用しますという場合に有効）
人は、２次３次４次と可能なら、５次もと考える。それが自然だけれども
低次では成立することが、それ以上の高次のでは事情が異なるということは、方程式論以外でもあって方程式論もその範疇の話だったのだと
そういう切り口の理解も一つ加えておくと良い
82:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 10:19:10.57
前スレ126より再録
あと、アナロジーという考えがある
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
類推（るいすい）は類比（るいひ）、アナロジー（Analogy）ともいい、特定の事物に基づく情報を、他の特定の事物へ、それらの間の何らかの類似に基づいて適用する認知過程である。
ドイツ語のAnalogieはギリシャ語の?ναλογ?αからの外来語だが、そのギリシャ語での意味は「反ロゴス」である。
類推は、問題解決、意思決定、記憶、説明（メタファーなどの修辞技法）、科学理論の形成、芸術家の創意創造作業などにおいて非常に重要な過程であるが、論理的誤謬を含む場合が高く、論証力としては弱い論理である。
(科学的な新概念の形成過程は、チャールズ・パースによるアブダクション理論として区別される場合が多い)
異なる事象に対し類推することで、共通性を見出す言語的作業が比喩である。 言語学では、言語自体に対する類推が言語の変化の大きな要因とされる。
（引用おわり）
”べき根拡大→巡回群→ぐるぐる回る関係しか表現できない→表現能力に限界がある”>>124ということを
平面多角形の周囲と内部の対角線の複雑さに例えると
対角線は、下記のサイトの図のようになる
URLﾘﾝｸ(yosshy.sansu.org)
方程式の次数に対応するように、１次方程式には１点のみの図形、２次方程式には２点からなる図形（線分）を、多角形に含める（３次は当然３点からなる三角形）
そうすると、１次、２次、３次までは対角線がない。だから、（対角線に関係しない）巡回群のみで話が済む
４次方程式は、四角形が対応するが、対角線はただ２本だけ。なので、これはまだ巡回群の範囲で扱える*)
だが、５次方程式は、五角形が対応するが、上記のサイトの対角線の図で、この対角線に従う根の置換までを表現する必要が出てくる
で、巡回群は上記のサイトの図で、対角線での置換を除く、周囲の根の配置はそのままで、ぐるぐる回る関係を表現するもの
とすると、五角形になると複雑になって対角線に従う根の置換は、巡回置換（＝巡回群）の範囲で収まらない→だからべき根の範囲に収まらない→べき根では解けない と
*)鏡像変換（＝３次元空間に持ち上げて180℃反転する）で扱える。鏡像変換は、C2（２次の巡回群）と同型だと
83:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 10:20:48.98
前スレ129より再録
ガロアの第一論文の最後の定理>>4
（前スレ440より再録）
話がそれたが、今日の本題は、正十二面体の中で、５次の線形群（位数 5・4=20）を考えてみようと
>正十二面体の面は正五角形をしていますので，星型に五本の対角線が引けます．
>この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内接させることができます．次図のように，これには五種類あります．
>正十二面体はちょうど，正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せたような形になっているわけですね．
>まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に，120度もしくは240度回す変換があります．対角線は4本ありますので，この種類の変換が計8個あります．
>次に，正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換があります(この軸は，切妻屋根の稜線の中心を通ります)．これが計3本あります．
>P(12)～5xA4=A5
P(12)～5xA4=A5の中で、5は５次の巡回群＝”上記の内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”で位数５
だから、位数 5・4=20のためには、A4の部分群で位数４のものを探すと・・・、”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”計3本＋恒等置換で計４！ これかなと
まとめると、
５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と、”内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”の巡回置換群（位数５）の組み合わせからから成る群だと
これ（>>435-436）で、A5（５次交代群）と正十二面体や正二十面体群との関係、部分群として５次の線形群（位数 5・4=20）の正十二面体の中での位置づけが見えたと思う
で繰り返しになるが、５次の線形群（位数 5・4=20）までの特殊な５次方程式ならべき根拡大で解ける>>415-416
そのときは、”V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実はV=Aa+Bb と二つの根で十分だ”>>415という特別な場合だ
しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とるが、A5は図形的には正十二面体や正二十面体群で、これはべき根（＝巡回群）による正規拡大（＝巡回群による群の拡大列）では到達できない群になる
これが、ガロア理論のお話し的な説明なのだ
84:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 11:25:28.35
>>82-83
補足
べき根拡大は、巡回群による拡大であり
平面多角形で言えば、図形をぐるぐると回転させる操作を考えていることになる
一方一般の方程式は、例えば５次なら５つの根が５角形の頂点に配置されているとして、回転だけでなく対角線にそって入れ替える置換も考える必要がある（群S5になる）のだと
３次の場合は三角形なので、対角線は無い
４次の場合は四角形で、対角線は２本のみ。これは単純な入れ替え（例えば鏡像変換）で処理できる
なので、４次までは巡回群の延長で処理できる
５次では対角線が増えて、回転操作と鏡像変換の組み合わせでは処理できなくなった・・
これが平面多角形のアナロジーによる、次数が高い場合の方程式解法の切り口（直感的理解）
（そういう自分なりの直感的な理解を増やしてゆくことが大事だ。勿論、重要な理論については細部のところを暗記する必要もある。車の両輪だろう）
85:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 11:52:39.12
>>84
>勿論、重要な理論については細部のところを暗記する必要もある。車の両輪だろう）
余談だが、試験対策として定義や専門用語はしっかり暗記する必要がある
東大京大のトップクラスで頭が良すぎて、定義を試験の場で考えて専門用語を試験の場で作る人がいる
それを理解してくれる採点官なら良いが
普通は「定義さえしっかり書けないのか。勉強不足だ」との推定が働く
なので基本的な定義と用語は正確に覚えるのが良いだろう
あと、理解してから使うのではなく使って理解し覚えるべし
（余談）
ほぼ書きたいことは書いたので、あとは流してゆきます
86:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 14:21:36.87
これは不思議な本ですね
因みに、ボーア氏は弟の方だとか
URLﾘﾝｸ(www.saiensu.co.jp)
臨時別冊・数理科学2011年11月
「リーマン予想の数理物理」
～ ゼータ関数と分配関数 ～
黒川信重(東京工業大学教授)
小山信也(東洋大学教授) 著
第3章 分配関数の零点
3.1 リー・ヤンの定理とは
3.2 実例の計算
3.3 リー・ヤンの定理の証明
第4章 ゼータ関数と分配関数の一致
4.1 本章の目的
4.2 数列空間上の作用素C^*_環
4.3 Q-格子の同値関係の亜群C^*_環
4.4 ヘッケ環から作るC^*_環
4.5 数論的多元環とアイゼンシュタイン級数類似
4.6 類体論
4.7 虚2次体への一般化
第5章 ウィッテン・ゼータ関数
5.1 ウィッテン・ゼータ関数
5.2 ボーア・コンパクト化
5.3 ボーア・コンパクト化とウィッテン・ゼータ関数
87:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 14:27:58.74
>>86
物理の分配関数とゼータ関数の一致？
それに都市計画？
URLﾘﾝｸ(www.aokilab.arch.titech.ac.jp)
[PDF] 都市とリーマン予想 1 1 1
(抜粋)
１. はじめに
都市とリーマン予想というと、大方の人は、まったく異なる世界を強引に結び付けようとしていると訝るに違いない。筆者もつい半年ほど前までは、都市とリーマン予想に関係など何もないと考えていた。
しかし、筆者が10 年ほど時間を使って研究してきた都市変容の確率過程を記述する基本モデル２）の中で重要な役割を持つ関数が、なんとリーマン予想の主役とでもいうべきゼータ関数と対応しているのであった。
といっても筆者の研究で、明確になったわけではない。筆者の知らない深遠な世界で、物理学者と数学者との共同研究が切開いた結果見えてきたことなのである。
それにしても、以外なところで、現実の都市を解析する世界と数学のもっとも意味深い世界がつながっていることに感動を覚える。
この感動を伝えてみたく、充分理解できない世界のことではあるが、素人なりに述べてみたい。
４．都市とリーマン予想
4.1 統計物理学
都市とリーマン予想を結ぶ仲介者は統計物理学３,４）である。
前述の都市モデルの定式化の結果は、統計物理学に表れる表式と極めて類似している。その全体像のすべてをここで記述することはできないが、本質的な両者の類似を示すため、イジング・モデルを紹介しておこう。
88:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 14:34:57.43
>>87
筆者は下記か
ゼータ関数とは結びつきが薄いが、
黒川信重氏がおなじ東京工業ということか
URLﾘﾝｸ(spysee.jp)
青木義次 プロフィール - あのひと検索スパイシー
青木 義次 アオキ ヨシツグ 職名 教授 所属（本務） 大学院理工学研究科／建築学専攻 所属（協力）
生年月 1946年 04月 連絡先番号 ホームページのＵＲＬ E-mailアドレス
研究テーマ
都市形態形成の確率論的モデル スキーマグラマーを用いた伝統的空間構成の分析 都市の地理的イメージ形成における概念図式
学歴
東京工業大学理工学研究科理工学研究科社会工学修士課程修了(1972)
東京工業大学工学部社会工学卒業(1970)
職歴
東京工業大学工学部教授 (1991-)
東京工業大学工学部助教授 (1983-1991)
Carnegie-Mellon Univ.Visiting Prof. (1981-1982)
建設省建築研究所研究員 (1972-1983) 委員歴、役員歴 取得学位・学位論文 学位論文 共同研究 著書・発表論文 全件表示 芸術系の活動・フィールドワーク等 全件表示
受賞学術賞
日本都市計画学会論文賞 (2007)
日本建築学会賞 (1991)
所属学会
計算工学会 、地理情報システム学会 、日本火災学会 、日本建築学会 、日本行動計量学会 、日本都市計画学会 図書館へのリンク 所蔵著書一覧 蔵書検索ページ 担当講義へのリンク Tokyo Tech Open Course Ware
89:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 17:14:46.97
>>48
>わんこら式>>449というのも一理ある
>前の方で分からないところが出てくる。だが、最後まで読むと、後ろの方で関連したところが出てきて、「ああ、そうか」と分かる場合がある
>
>早く最後まで読んで、また前から読むべし。全体像を掴みながら
>これが良いのでは・・
数学セミナー2012.4月号P11に、長岡亮介氏が書いている
「最近の学生は、筆者の学生時代に比べると、はるかに講義への出席率は良いにもかかわらず、昔以上に躓く人が多い。
それは、思うに、高校までの数学の勉強の経験が、大学数学を理解する上での障害になっているということである。
「解き方」をしっかり暗記するという受動的、表面的な勉強こそが数学だという命題が、堅固な信仰箇条のようになっていて、納得できるまで自分の頭で考え抜こうとする努力と、それを完遂したときの歓喜の経験から全く遠ざけられてきたのではないだろうか。」
と
思うに、しっかり考え抜くということと、全体像を早く把握することとは両立すると思う
車の両輪だ
90:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 19:26:10.73
>>89
>思うに、しっかり考え抜くということと、全体像を早く把握することとは両立すると思う
>車の両輪だ
理解して記憶する、これがベスト
それから、絶対覚えなければならないが覚えにくいことはゴロ合せや映像記憶法や理屈付記憶法をとること
自分も経験があるが、理解できない理由
１．先にすすめば分かること：全体像が分かっていないから部分しか見えていないため理解できていない→対策は先に進むこと
２．具体例が浮かばない：あまりにもいままでの経験にないから→対策は理解できる具体例を探す
３．本質的に難しいところ：その理論のキモ（簡単ならだれでも思いついているはず）→対策は繰り返す（読書百返）と多様な切り口（全体との関連や具体例でどうなるとか）を考えてみること
91:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 19:27:56.18
>>90
> ３．本質的に難しいところ：その理論のキモ（簡単ならだれでも思いついているはず）→対策は繰り返す（読書百返）と多様な切り口（全体との関連や具体例でどうなるとか）を考えてみること
補足
本が悪いという場合も
書いている人が分かっていない、誤植があるなど
だから、本は複数見た方が良い
92:１３２人目の素数さん
12/04/15 20:30:10.44
いい加減、目覚めなさい
日本という国は、そういう特権階級の人たちが、楽しく、幸せに暮らせるように、
あなたたち凡人が、安い給料で働き、高い税金を払うことで、成り立っているんです。
そういう特権階級の人たちが、あなたたちに何を望んでいるか知ってる？
今のままずーっと愚かでいてくれればいいの。
世の中のしくみや、不公平なんかに気づかず、
テレビや漫画でもぼーっと見て何も考えず、会社に入ったら、上司の言うことを大人しく聞いて、
戦争が始まったら、真っ先に危険な所に行って戦ってくれればいいの。
93:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 21:03:08.26
どうせマルチポストなんだろうが、ここが日本でよかったね
北朝鮮か中国なら・・、すぐ秘密警察に逮捕されるだろうよ、あなた
日本は言論の自由があるから、国家への批判も自由で許される国だ
まずは、日本に生まれたことを感謝したらどうだ？
94:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 21:35:27.96
>>41
>”（１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。”
>この視点が気に入った
補足
例えば、５次方程式f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e の５つ根α、β、γ、δ、ε
根と係数の関係から、係数は根の基本対称式になる
ここに隠れた対称性といわれる所以がある
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Symmetric polynomial
Galois theory
One context in which symmetric polynomial functions occur is in the study of monic univariate polynomials of degree n having n roots in a given field.
These n roots determine the polynomial, and when they are considered as independent variables, the coefficients of the polynomial are symmetric polynomial functions of the roots.
Moreover the fundamental theorem of symmetric polynomials implies
that a polynomial function f of the n roots can be expressed as (another) polynomial function of the coefficients of the polynomial determined by the roots if and only if f is given by a symmetric polynomial.
This yields the approach to solving polynomial equations in terms of inverting this map, "breaking" the symmetry ? given the coefficients of the polynomial (the elementary symmetric polynomials in the roots), how can one recover the roots?
This leads to studying solutions of polynomials in terms of the permutation group of the roots, originally in the form of Lagrange resolvents, later developed in Galois theory.
95:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 23:14:38.60
>>94
>例えば、５次方程式f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e の５つ根α、β、γ、δ、ε
>根と係数の関係から、係数は根の基本対称式になる
>ここに隠れた対称性といわれる所以がある
補足の補足
アルティンによれば、一般５次方程式の５つの根α、β、γ、δ、εをすべて添加した拡大体は５！＝120次元のベクトル空間になると。これがアルティン流の隠れた対称性の捉え方
（これは、アルティン本の定理13の応用例の２に記されている）
URLﾘﾝｸ(www.kishimo.com)
URLﾘﾝｸ(na-inet.jp)
E.Artin(アルティン)/寺田文行・訳「ガロア理論入門」ちくま学芸文庫
96:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/15 23:32:10.03
>>95
補足の補足の補足
>アルティンによれば、一般５次方程式の５つの根α、β、γ、δ、εをすべて添加した拡大体は５！＝120次元のベクトル空間になると。これがアルティン流の隠れた対称性の捉え方
一見５次に見えるけど
隠れた対称性：”５！＝120次元のベクトル空間”
５！＝120は、対称群S5の位数
ここを強く意識しないと、ガロア理論は分からないよ
97:１３２人目の素数さん
12/04/16 05:05:05.31
<=( ´∀｀)
（ ） 朝鮮人は宇宙一ニダ
｜ ｜ |
〈＿フ__フ
Λ＿Λ
< ；｀Д´> あ…
（ ）ﾎﾟﾛ
｜ ｜ | ヽヽ
（_＿ﾌ＿フ =( ´∀｀)
朝鮮人だらけの東京のテレビ局が日夜流す、デマや歪曲に騙されないようにしましょう。
98:１３２人目の素数さん
12/04/16 12:38:54.30
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
99:１３２人目の素数さん
12/04/17 05:32:10.33
ガロア圏
URLﾘﾝｸ(note.chiebukuro.yahoo.co.jp)
いろんなガロア理論☆ガロア圏☆ （最終更新日時:2012/3/9）投稿日：2012/1/17
ガロア拡大（正規・分離拡大）である体の拡大L⊃Kが与えられると、ガロア群と呼ばれる群
Gal(L/K)が決まるというのがガロア理論です。方程式の解の背後にある群を調べよという思想は、単純に代数方程式論や代数学といった枠を超え、幾何学など多くの分野に強い影響を与えることになります。ここではそれらについて少し考えてみましょう。
ガロア理論の位相空間版が被覆空間論です。
適当な連結性を仮定した位相空間に対し、（不分岐な）被覆p:X→Yというものがあります。
pは全射で、Yの各点xに対してある開近傍Uがあり、p^(-1)によりUをXに引き戻すと、Uと同相なXの開集合たちがバラバラと出てくるようになっている（局所同相）というのが被覆空間です。
Uのコピーのようなものが上にバラバラと互いに離れているような形で出てきます。XをL、YをKと並べることで、ちょうどガロア理論の類似になります。
このとき被覆変換群という、「被覆空間のガロア群」が定義されます。位相空間によい連結性があれば、これは基本群と同型になります。つまりここではガロア群＝基本群。
ではこれらを参考にして体上のスキームを考えてみましょう。ちょうど上の２つをミックスさせたような形になっています。
体k’をkの有限次分離拡大とすると、Spec k’→Spec kは局所同型です。（上での局所同相に当たるもの）
体の拡大k’/kを被覆空間的に見るとこういった感じになります。ここでも同じように基本群にあたるものが定義できます。
ガロアが考えた代数の理論をGrothendieckが幾何学的に見直したんですね。
（以下略）
100:１３２人目の素数さん
12/04/17 05:44:00.05
>>99
補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア圏(Galois category)とは古典ガロア理論が展開される、いくつかの公理を満たす圏である。
元来古典ガロア理論および位相幾何学における基本群の理論の類似点が指摘されていたが、アレクサンドル・グロタンディークがガロア理論の成り立つ公理系を明言し、一般的なガロア圏の理論を構成した。
古典ガロア理論および基本群の理論はこの理論の基本的な例になる。
この理論はしばしばグロタンディークのガロア理論と呼ばれる。
定義 [編集]Cを圏、FをCから有限集合の圏(Sets)への共変関手とし、次の公理を満たしているときCをガロア圏とよぶ。
Cは終対象を持ち、C内である対象上の2つの対象のファイバー積が存在する。
Cは有限和が存在する。とりわけ始対象を持つ。
任意の射u:X→Yはs:X→Zおよびt:Z→Yと一意に分解でき、sは全射、tは単射とできる。
Fは左完全である。
Fは有限和と可換である。Fは全射を全射に移す。および群による商と可換F(X/G)=F(X)/G。
C内の射u:X→Yに対しF(u)が同型ならばuも同型である。
このときガロア圏の上で有限群の射影極限である位相群πが構成され、圏Cとπが連続に作用する有限集合の圏C(π)との同値が証明される。
その他の話題 [編集]知られているすべてのガロア理論がガロア圏の言葉で表現できるわけではない。微分体のガロア理論であるピカール・ヴェシオ理論はガロア圏上では展開できない。それらのためにグロタンディークによる淡中圏の理論が構成されている。
参考文献 [編集]Alexandre Grothendieck, SGA1
101:１３２人目の素数さん
12/04/17 14:05:41.49
99, 100
Grothendieck のGalois理論については既にKummerが
彼のスレで展開すると予告している。しかもこのスレ主がそれに言及する前に。
102:１３２人目の素数さん
12/04/17 17:33:18.33
41
そこで使っている対称性の意味をきちんと説明しないと
隠れた対称性という言葉に酔ってるように見える。
はっきり言ってイミフ
103:１３２人目の素数さん
12/04/17 17:38:43.97
ここのスレ主は数学ミーハーだな
数学の内容より数学者のエピソードに関心あるようだ
かっこよさげな言葉に酔ってわかった気になってるし
104:１３２人目の素数さん
12/04/17 20:52:27.03
「複素数の広がり」のPDFがなかなか面白いよ
URLﾘﾝｸ(nogpc4.ms.u-tokyo.ac.jp)
野口潤次郎の電網掲示板
(3) 平成21年（2009）10月数理科学研究科公開講座「解析学の広がり」での講演、 「複素数の広がり」
URLﾘﾝｸ(nogpc4.ms.u-tokyo.ac.jp)
105:１３２人目の素数さん
12/04/17 21:05:18.44
>>101-103
乙です。この板はIDが出ないのではっきりしないが、同一人物と見た
>>101
>Grothendieck のGalois理論については既にKummerが
>彼のスレで展開すると予告している。しかもこのスレ主がそれに言及する前に。
Kummer氏は馬力あるからね
だが、おいらはスタイルが違う
というか、ここでは基本的にアスキー文字ベースなので、数学の添え字も使えないし、本格的数学理論を展開するのは難しいと思うんだ
なので、どこかに落ちている文献や関連サイトを紹介するスタイルにしているんだ
>>102
確かにご指摘は当っていると思うよ
但し、”隠れた対称性という言葉”という言葉は、各人各様にイメージしてもらえば良いと思うんだ
梅村 浩がどういう説明されているか>>40に書かれていること以上は分からない
が、なんにせよ何かの本なりでガロア理論を勉強してもらって、各人なりの理解をすれば良いこと。その手がかり程度に考えている
>>103
おいらは、ミーハーですよ、数学抜きので結構ですよ
数学は使う方で作る方じゃない
あくまで外野の人間です
数学はエンタです。>>1のベストアンサーを超えて、ガロア原論文を読んでやろうじゃないのと。それがこのスレ１からの主題で。それもあくまでエンタです
106:１３２人目の素数さん
12/04/17 21:10:49.02
>>105
訂正（二階述語論理みたいになってしまった・・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ）
但し、”隠れた対称性という言葉”という言葉は、各人各様にイメージしてもらえば良いと思うんだ
↓
但し、”隠れた対称性という言葉”は、各人各様にイメージしてもらえば良いと思うんだ
107:１３２人目の素数さん
12/04/17 21:23:42.12
>>105
>数学はエンタです。>>1のベストアンサーを超えて、ガロア原論文を読んでやろうじゃないのと。それがこのスレ１からの主題で。それもあくまでエンタです
補足
主題は、個人的には終わっているんだ、>>85に書いたように
じゃ、いま何しているというと、スレのメンテです
何か”age”で書いていないとスレが沈んで行くので、それではスレ主としては面白くないし
書くことが自分の勉強になるし
このスレが自分の情報の集約にもなる
面白いサイトを見つけて紹介すると、記録に残るし
そんなことをぼちぼち気の向くままに続けますよ
108:１３２人目の素数さん
12/04/17 21:48:05.24
105
イメージするにも言ってる意味が分からない
隠れた対称性って何なの？
109:１３２人目の素数さん
12/04/17 22:00:22.79
>>108
乙
まずは>>40の梅村 浩先生のリンクを辿って、そのページを直接覗いてきな
で、そこに書いてあることを３回ほど読んでみな
その後、ガロア本を一冊読みな
それでも分からなければ、再度質問しな。但し、質問のときにどのガロア本を読んで、どの部分が分からないかを聞け
110:１３２人目の素数さん
12/04/17 22:14:27.84
>>104 関連
URLﾘﾝｸ(nogpc4.ms.u-tokyo.ac.jp)
層とコホモロジー 野口潤次郎 July 14, 2010
次の定理はよく“岡の連接定理” と呼ばれるが，本書ではこれを岡の第一連接定理と呼ぶ．この
定理の意味あるいは意義を一言二言で述べることは不可能であろう．ドイツ複素解析学の代表格
であるH. グラウエルトの朋友R. レンメルトは，1994 年著作の数学百科辞典[Springer] の中で次のように述べている：
It is no exaggeration to claim that Oka's theorem became a landmark in the development of function theory of several complex variables.
定理1.2.4. （岡の第一連接定理，１９４８）OΩ は，連接層である．
1.2.2 連接層について． 岡の一連の成果について，タイヒミューラーモジュライ理論で有名
なL. ベアース(Bers) は，ニューヨーク大学クーラン数理科学研究所（米国ニューヨーク市）での
多変数関数論講義録“Introduction to Several Complex Variables” (1964) の序を次の文で閉じている．
Every account of the theory of several complex variables is largely a report on the ideas of Oka. This one is no exception.
L. ベアースは，多変数関数論・多変数複素解析学を専門とする数学者というわけではないので，その意味でここには第三者的な客観的な評価が在ると言うことができるであろう．
その岡の仕事の中で，大きな到達点を与えるのが論文VII で，そこで岡の第一連接定理1.2.4が初めて証明された．
岡の第一連接定理1.2.4 の証明は，それを読むたびにその見事さに感嘆する．既に引用したR.レンメルトの記述を繰り返すことにはなるが，1950 年以降の多変数関数論あるいは多変数複素解
析学の発展は，ひとえに岡の第一連接定理1.2.4 にかかっていたと言って過言ではないであろう．
この定理により第一論文Oka I 以来用いてきた「岡の上空移行の原理」，そしてそれによるクザン問題の解決等々の問題が自然に解消してしまったのである．内容的には，本書でこれから五章ま
でに述べる結果である．視野的にはレビ問題（ハルトークスの逆問題）もその中に含まれていた．
それほどに，この「岡の第一連接定理」の含む処は深かったのである．
111:１３２人目の素数さん
12/04/17 22:40:04.54
<=( ´∀｀)
（ ） 朝鮮人は宇宙一ニダ
｜ ｜ |
〈＿フ__フ
Λ＿Λ
< ；｀Д´> あ…
（ ）ﾎﾟﾛ
｜ ｜ | ヽヽ
（_＿ﾌ＿フ =( ´∀｀)
朝鮮人だらけの東京のテレビ局が日夜流す、デマや歪曲に騙されないようにしましょう。
112:１３２人目の素数さん
12/04/17 22:51:02.38
109
あんたがここでその言葉をしつこく何度も書いてるんだから
自分の言葉で説明しなさい。他人の言葉に頼りなさんな。
113:１３２人目の素数さん
12/04/18 00:19:40.66
>>112
わけのわらかんことを
誰に向かって何を説明するんだ？
あんたにかい？
もともとの起源は>>40だと最初からことわっている
それは、>>40にもあるとおり前スレからだ
そして、>>41にあるように
”この視点が気に入った
「隠れた対称性」というキーワードが気に入った！”
と
つまりは、「隠れた対称性」というキーワードの意味は>>40の通り
それが、”気に入った”は自分の感性の話で、説明不要だろうさ
114:１３２人目の素数さん
12/04/18 00:35:05.74
ガロア本も読んだことのない人間から
”イメージするにも言ってる意味が分からない
隠れた対称性って何なの？”>>108といわれても、説明する気にはならなんぜ
「いや、自分は数学の専門家でおまえの理解を試したい」というなら、別の話をしなよ
「隠れた対称性」なんて梅村 浩先生の言葉を借りずにさ
因みに、>>40で最初から要点を引用しているように
”彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
（１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
（２）ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。
方程式の場合、目のつけどころであるカナメの部分がガロア群である。ヒヨコのお尻と違って、方程式の対称性であるガロア群は隠れているので、発見するのが難しいのである。”
と明確に梅村 浩先生は書いている
ガロア本の１冊でも読めば、梅村 浩先生の書いていることは理解できるだろうし、ガロア本も読んだことのない人間には理解できなくて当然だろう
補足：”彼らはガロア理論を発見した”と主語が複数形になっているのは、直前にある定理が”定理［ガロア、アーベル］”とされているからで、ガロア、アーベルを指すのだろう。
レスの次数制限があるから、全文は引用できないので抜粋引用したのだ
115:１３２人目の素数さん
12/04/18 00:48:41.41
>>105
補足
猫さんやKummer氏は数学科出身みたいだから、おいらより理解は深いだろう
Grothendieckの到達した神の領域までの理解はとてもできない。猫さんほどの高みには到達できない
だが、富士登山でも5合目まではバスがあるという
そのうち、Grothendieck山に一般人でも登ることのできるルートも見つかるかも知れないな
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
富士山は日本最高峰であるため、「日本最高峰」という表面的な観念・言葉に惹かれて、
（そもそも登山経験もなく、標高が高い山に登山することがどのようなリスクを伴うことなのか知らぬまま）安易に登ろうと試みる人も多い（それが遭難の多さにつながっている。後述）。
また遠くから見た富士山の姿に惹かれて、富士山の山中に入っても美しいだろう、などと空想して引き寄せられる人もいる。
だが、登山者が登山の途中に登山道から見る富士山は、遠方から見る美しいフォルムの富士山とは全然異なっている。
そこは火山灰と溶岩の荒れ果てた殺伐とした世界である。「富士山は遠くから眺めるための山であり、登るための山ではない」といったことも言われることがある。
自動車等でたどりつける主要な登山口の標高が（5合目あたりと）すでにかなりの高度にあり、そこから歩きはじめる場合、残りの標高差は富士山自体の標高の約半分程度に減っている。
富士山登山では毎年多数の人々が遭難しており、毎年のように幾人もの死者がでている。
例えば、2011年は7月1日の開山から8月18日までの約1ヵ月半の間に34件（34人）の遭難があった[1]。ここ数年増加傾向にあり、2005年の17人から3倍以上になった[1]。
116:１３２人目の素数さん
12/04/18 06:01:21.29
>>113-114
補足
>「隠れた対称性」というキーワードが気に入った！”
数学的には、>>40梅村 浩先生の書いている「この対称性はガロア群*3で記述される」で尽きている
だが人間の理解というものは、それだけで終わりじゃないと思うんだ
”隠れた”という数学的には定義されていない自然言語を用いた感性の説明
それは数学を超えたもの（メタ数学とは少し違う）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
広義には、超数学（メタ数学）などと呼ばれる枠組みにしたがって公理と推論規則が定められた体系一般を指す。
現代的な数学においては、公理的に定義される抽象的な構造を、数理論理学を共通の枠組みとして用いて探究する。
URLﾘﾝｸ(okwave.jp)
メタ数学・超数学ってなんですか？2004-12-21
最近、海外のＳＦ小説をよく読むのですが、その中に「メタ数学」「超数学」などと言う言葉をよく見ます。
ANo.3
物事の定義の決め方には注意が必要です。こういう定義の仕方について決める学問がメタ物理（本当はそんな言葉ないですが）です。
数学でも似たような状況があります。
a+b=b+a
を証明しろって言われても、「何を前提として証明したらいいか」わからないでしょう。「そもそも足し算とは何か」をまず定義しなくちゃいけません。
「その足し算とは何か」を定義する際に、「足し算とは、ある一定の規則を持つ演算規則であり・・・」などと定義していくときに、「交換則」を前提として作ってしまえば、「a+b=b+aは定義だから証明の必要なし」ということになります。
しかし「足し算とは何か」を定義する際に「交換則を定義の中に組み込んでしまう」べきか、はたまた「足し算について別の定義をしておいて、交換則を証明する」ようにすればいいのか。
これまた議論が必要です。
こういった議論をするのがメタ数学です。
持っている本にこんな例えが載っていました。
野球で「両チームともバッターが下手くそだから、３アウトチェンジをやめて、６アウトチェンジにしよう、という議論になったとする。これがメタ野球である」
面白い例えだと思うのですが、いかがでしょう。
117:１３２人目の素数さん
12/04/18 06:17:38.35
>>116
つづき
>”隠れた”という数学的には定義されていない自然言語を用いた感性の説明
それは、ランドスケープ>>51であり、ナスカの地上絵、遠目の富士>>52だ
「隠れた対称性」というのが、梅村 浩先生のガロア理論に対する心象風景だろうと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
心象風景
心の中に思い描いたり、浮かんだり、刻み込まれている風景。現実にはありえない風景であることもある。
（引用おわり）
登山者が登山の途中に登山道から見る富士山は、火山灰と溶岩の荒れ果てた殺伐とした世界>>115
だが、それを遠方から見る美しいフォルムの富士山という心象風景にまで消化できてはじめてガロア理論を理解したといえるのではないか
梅村 浩先生の心象風景を、「隠れた対称性」という言葉で表現された。それが気に入った>>41
その意味を説明しろといわれても、最初に書いたとおりだよと
118:１３２人目の素数さん
12/04/18 07:03:00.78
だから対称性ってなによ？
あんた意味分かってるの？
梅村も説明してないじゃん
119:１３２人目の素数さん
12/04/18 07:08:45.60
他人に満足に説明出来ないことをさも高尚なことのように
得々として書く。いかがわしいカルト宗教の教義みたいだなw
120:１３２人目の素数さん
12/04/18 07:15:09.35
113
113
誰に説明ってここを読んでるまたはこれから読む人にだよ。
対称性ってなによ？
意味不明じゃん
梅村も対象性の意味を書いてないだろ
121:１３２人目の素数さん
12/04/18 21:31:50.67
>>118-120
面白いやつだな
自分が理解できないからって、自分のレベルで計るなよ
>誰に説明ってここを読んでるまたはこれから読む人にだよ。
まあ、言いたかったのは、
１）相手のレベルに合わせた説明が必要だ
２）相手がどこまで理解していて何が分からないのかに合わせた説明が必要だ
と
だから、誰に対してだと聞いた
だが、答えないところを見ると、自分は分かっているつもりなんだろうね
しかし、小学生中学生に微分積分を説明するのも難しいので、相手のレベルを設定しよう
そうだな、大学入試に数学を入れて合格できるレベル。大学の難易度では、平均より上。数学オリンピック出場レベルのスーパー高校生は含める
さらに、このスレで分からないことは、書店かネット購買かあるいは図書館などで自学できるものとする
122:１３２人目の素数さん
12/04/18 21:39:57.23
>>120
>対称性ってなによ？
ここからはじめよう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
対称性（たいしょうせい）、又はシンメトリー (英語: symmetry) は、ある変換に関して不変である性質である。
目次
1 空間の対称性
1.1 並進対称性
1.2 回転対称性
1.3 鏡像対称性
1.4 結晶
2 式の対称性
式の文字を入れ替えても元の式と変わらない式を対称式という。 例えば x^2+xy+y^2 は x と y の入れ替えについて不変な対称式である。
(引用おわり)
123:１３２人目の素数さん
12/04/18 21:50:55.71
>>122 つづき
人類の対称性への認識は図形からだろう
上記では、空間の対称性から始まっているが、本当は平面図形の対称性＝（線対称と点対称）から始まったのだろう
そうして、千年以上後に、高次方程式の解法から対称式が研究されるようになった
ニュートン多項式を基本対称式で表せというような問題は、高校数学でよく扱われる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
2.2 基本対称式
2.3 ニュートン多項式
3 対称式の基本定理
3.1 ウェアリングによる方法
3.2 コーシーによる方法
3.3 斉重対称式
3.4 基本対称式の代数的独立性
（引用おわり）
下記は、英語版の記事の目次だが、ずいぶん構成が違う
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
2 Applications
2.1 Galois theory
3 Relation with the roots of a monic univariate polynomial
4 Special kinds of symmetric polynomials
4.1 Elementary symmetric polynomials
4.2 Monomial symmetric polynomials
4.3 Power-sum symmetric polynomials
4.4 Complete homogeneous symmetric polynomials
4.5 Schur polynomials
5 Symmetric polynomials in algebra
6 Alternating polynomials
（引用おわり）
124:１３２人目の素数さん
12/04/18 21:55:56.07
>>123 つづき
ふむふむ、英語版では”対称式の基本定理”などは別にリンクを張ってあるね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
4 The fundamental theorem of symmetric polynomials
4.1 Proof sketch
4.2 An alternative proof
4.3 A Self-Contained Algorithmic Proof
125:１３２人目の素数さん
12/04/18 22:00:38.85
>>124
図形の対称性から進んで、人類は式の対称性を考えるようになった
例えば x^2+xy+y^2 >>122は、x と y の入れ替えについて対称だが、視覚的にも左右対称に近い
そうして人類は、対称式の基本定理に到達したのだった>>123
126:１３２人目の素数さん
12/04/18 22:14:35.06
このスレには運営は現れないな
127:１３２人目の素数さん
12/04/18 22:35:49.79
何でレスが名無し？
おまえ、おかしい
128:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/18 22:42:59.81
>>127
おお、ご指摘ありがとう
コテが消えていた
失礼しました
129:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/18 22:49:07.63
>>125 つづき
式の対称性とは、例えばx と y の入れ替えについてってこと
入れ替えは置換ってことで、置換群に繋がって行く
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
置換
詳細は「対称群」を参照
有限集合 X の要素全てを落とさず重複無く用いて得られる順列は、特に置換と呼ばれる。
つまり、置換は X 上の（X 自身への）全単射であり、写像の合成に関して置換群 (permutation group) と呼ばれる群を与える代数学的な対象となる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
移動： 案内, 検索
数学における対称群（たいしょうぐん、symmetric group）とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。
この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換（ちかん、permutation）という。
数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。
置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）[1]と呼ばれる。
対称群 SX が空間 X の変換群として与えられているとき、X の元 x の置換は Stab(x) = {σ ∈ SX | σx = x} で与えられる SX の部分群のぶんだけ潰れているが、
これは X のなかに x と「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、X の中でこれらを区別することができれば X の元の置換から対称群 SX が回復される。
130:１３２人目の素数さん
12/04/18 22:51:39.10
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
131:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/19 05:35:25.30
>>129 つづき
もう一つ重要なことがある。根と係数の関係だ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
根と係数の関係は、多項式の根と係数との間に成立する関係式を表した不変式論の定理である。
えーと、英語版だと
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
HistoryAs reflected in the name, these formulas were discovered by the 16th century French mathematician Francois Viete, for the case of positive roots.
In the opinion of the 18th century British mathematician Charles Hutton, as quoted in (Funkhouser), the general principle (not only for positive real roots) was first understood by the 17th century French mathematician Albert Girard; Hutton writes:
...[Girard was] the first person who understood the general doctrine of the formation of the coefficients of the powers from the sum of the roots and their products.
He was the first who discovered the rules for summing the powers of the roots of any equation.
（引用おわり）
方程式の係数は、根の基本対称式で表されるという
根と係数の関係は、高校数学で学習するはず
132:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/19 05:59:26.41
>>131 つづき
根と係数の関係は、>>123で引用した対称式にこんな記述があったね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アルベール・ジラールは、1629年に「代数学の新しい発明」(Invention Nouvelle en l'Algebre) おいて、n 次の代数方程式の根と係数の関係を発見した。
代数方程式の係数は n 個の根の基本対称式と呼ばれる対称式により書かれるというこの関係は、一般の次数の代数方程式の構造を調べるための重要な足掛かりの一つとなった。
さらに、ジラールは、これらの関係を用いて虚数の有用性を説いた。
18世紀の後半になると、任意の対称式は基本対称式によって書くことができる事が、ウェアリングやヴァンデルモンドらによって示され、ラグランジュによる、代数方程式の根の置換の研究へとつながっていった。
（引用おわり）
前置きが長くなって、話が見えにくくなっているから、少し本題へ戻ろう
「梅村も対象性の意味を書いてないだろ」>>120という
が、梅村 浩先生は、>>40で
「（１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。」と書かれている
いままでの引用と説明で、感のいい人は下記のつながりが見えてきたろう
対称性
↓
対称性と は、ある変換に関して不変である性質である>>122
↓
方程式の根と係数の関係
代数方程式の係数は n 個の根の基本対称式と呼ばれる対称式により書かれる（上記）
↓
対称式の基本定理
任意の対称式は、基本対称式によって表される
↓
根の対称式：根の置換という操作（変換）で不変である性質
↓
置換群（対称群）>>129
↓
代数方程式のガロア群
133:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/19 06:12:33.47
>>132 つづき
最後のガロア群は、>>121以降では出てきていないので、下記を引用する
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論（ガロア-りろん、Galois theory）は、基本的には代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する代数学の理論をさす。
1830年代におけるエヴァリスト・ガロアによる代数方程式のべき根による可解性などの研究に端を発しているためこの名前がつけられている。
実際にガロアは、方程式の研究において未知であった群や体の考えを用いていた。現代の代数学はこの理論から始まった。
ガロア理論によれば、"ガロア拡大" と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。
p を形式的に根の一次式の積として表す（実際、これは K を含む代数閉体上で可能になる）ことで p の係数は根の基本対称式であること（根と係数の関係）が分かる。
したがって拡大体 L の自己同型 σ が根の入れ替えを引き起こしているときには σ の下で p の係数たちや、より一般に K の元は変化しないことがわかる。
一方、K の元を不変にするような L の自己同型は p の根を入れ替えている。
このような変換すべての集まり Gal(L/K) は変換の合成という二項演算について群の構造を持っており、L の K 上のガロア群または p のガロア群とよばれる。
（引用おわり）
一気に説明が難しくなったが、仕方がない
これから、ぼちぼち解説して行こう
134:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/20 05:36:59.03
>>133 つづき
ガロア群について、133を読んでも分からないだろう
普通ガロア本では、ガロア群の定義あるいは説明に至るまで１００ページほどを要する
それを圧縮して書かれているので、分かりにくい
そこで、このスレのスローガンでもあるまずは先に進むという方式を取る>>90
『Backward deduction』類似のトップダウンアプローチに近いのではないかと
（参考）
前スレ303より、”例えばグロタンが凄いのは『Backward deduction』ですよね。” by 猫さん
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:303番)
『Backward deduction』の意味が不明確だが、自分なりに解釈すると、トップダウンアプローチだと
（ URLﾘﾝｸ(dictionary.goo.ne.jp)
goo辞書より「推論」「演繹」という意味）
つまり、普通は定義、公理から定理を積み上げて、最後の定理の証明に至る
しかし、グロタン師はヴェイユ予想から逆に必要な数学を逆算してエタール圏（下記）などを作り上げたと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
グロタンディーク位相
代数幾何学のヴュイユ予想を解決するためにアレクサンドル・グロタンディークがエタール・コホモロジーを定義する際に導入された。
135:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/20 05:51:21.87
>>134 つづき
数学は、定義、公理から定理を積み上げて、最後の定理の証明に至る
それが普通だ。だから、数学本を最初から読んで行く。途中が分からないと、先へ行ってさらに分からなくなると思いがちだ
だが、定義、公理から定理を積み上げるというのは、ジグソーパズルの各ピースを組み上げてゆくことに例えられるだろう>>35
ジグソーパズルの完成図が分かっていて、各ピースを組み上げてゆくなら理解は早い>>48
トップダウンアプローチは、ソフトウエアー開発でよく使われる言葉で、全体像をはっきりさせて（というか全体像から逆に詳細設計に落として）ソフトウエアー開発を行う
しかし、最近ではボトムアップ設計を組み合わせて設計する手法が一般的になっていると言われる
数学でも、ボトムアップ型とトップダウンアプローチの組み合わせが良いのではないかと
数学で、途中が分からないと、先へ行ってさらに分からなくなると思い込んでいる人がいるので付言した
URLﾘﾝｸ(www.comp.tmu.ac.jp)
トップダウンとボトムアップ Tetsuya Shintani 2011-04-05
（抜粋）
トップダウンアプローチは，プロジェクトの全体的な計画を把握して，目的をはっきりさせ，全ての方向性が決まってからプログラムの詳細を書き始める設計手法と言っていいと思います．
ボトムアップ型は実行できるモジュール（機能）を組み合わせてプログラムを構築していきます．
しかし，プロジェクト全体の流れ（トップダウン的なアプローチ）を把握しないと，そのモジュールが必要とされる機能やモジュール同士の連携がうまく設計できない場合もありえます．
そのため，最近ではトップダウン設計とボトムアップ設計を組み合わせて設計する手法が一般的になっていると言われています．
136:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/20 06:00:13.42
>>134 つづき
ガロア群とは何か？
一般の５次方程式に限って言えば、
５次方程式f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e の５つ根α、β、γ、δ、ε>>94
（α、β、γ、δ、ε）の置換からなる５次の対称群
おっと・・・、いま検索で引っ掛かった下記ページが面白いね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
五次方程式
目次
1 概要
2 解の公式
2.1 エルミートによる解法
2.2 ブリング-ジェラードの標準形
2.3 レベル5のモジュラー方程式
2.4 解の構成
2.5 限定的な代数的解法
2.6 具体例
外部リンク [編集]Quintic Equation Calculator（英語、xの係数を入力すると解を算出してくれる）
URLﾘﾝｸ(www.freewebs.com)
137:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/20 06:04:58.98
>>136 つづき
英語版ではどうだろうか？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Contents
1 Finding roots of a quintic equation
1.1 Solvable quintics
1.2 Examples of solvable quintics
2 Beyond radicals
3 See also
4 References
5 External links
英語版のExternal linksがなかなか面白いんだ
External linksQuintic Equation Solver
Mathworld - Quintic Equation ? more details on methods for solving Quintics.
Solving the Quintic with Mathematica ? poster on Quintic solutions
[1] ? Klein's book is available online
Solving Solvable Quintics ? a method for solving solvable quintics due to David S. Dummit.
Polynomial Transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard - a recent update of Tschirnhaus' paper by Victor S. Adamchik & David J. Jeffrey
A method for removing all intermediate terms from a given equation - a recent English translation of Tschirnhaus' 1683 paper.
138:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/20 06:12:36.88
>>136 つづき
脱線したが、
一般の５次方程式に限って言えば、ガロア群が５つ根（α、β、γ、δ、ε）の置換からなる５次の対称群S5になるという全体像をまず知識として頭に入れろと
ここで、ガロア群→対称群S5から対称性へと繋がるのだ（>>132の矢印と逆方向）
なぜ５次の対称群S5？
それは、これからぼちぼち解説して行こう
普通ガロア本では、ガロア群の定義あるいは説明に至るまで１００ページほどを要するところだから
139:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/20 06:45:01.59
>>134 訂正
goo辞書より「推論」「演繹」という意味）
↓
deduction：goo辞書より「推論」「演繹」という意味）
140:１３２人目の素数さん
12/04/20 06:58:33.49
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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141:１３２人目の素数さん
12/04/20 07:02:01.67
一般方程式のガロア群は対称群だが普通の方程式の場合は
対称群とは限らないだろ。
142:１３２人目の素数さん
12/04/20 07:13:08.77
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143:１３２人目の素数さん
12/04/20 07:13:54.32
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144:１３２人目の素数さん
12/04/20 07:15:05.75
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