12/04/28 08:51:40.05
>>490
(つづき)
6.ガロア群を導くやり方はこうだ
(>>169)
V=Aa+Bb+Cc+・・を用いて
a,b,c・・・は、Vの有理式で表される
これをガロア論文>>3では、
a=φ(V),b=φ1(V),c=φ2(V)・・・ と表している
矢ケ部では、θを使っている
↓
ここで、V→V'などの置換で
a'=φ(V'),b'=φ1(V'),c'=φ2(V')・・・ の根の置換が生じる(a'=φ(V')がまた元の方程式の根になることは証明があるので、どちらかの本を見ること)
↓
一般の5次方程式ならこの置換はV→Vの恒等置換も含めて120個。つまり、5次対称群S5になる
(引用おわり)
7.では、方程式の群が対称群でない場合>>152はどうなるか?
(>>171)
>一般の5次方程式ならF(x)は既約で、120次元の方程式
ここが、方程式の群が対称群でない場合崩れる
つまり、根の置換で異なる値V'、V''、V'''・・・を全て集めてF(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')(x-V''')・・・を作る
F(x)の係数は、元の体(それが有理数体QならQに)
ここで、方程式の群が例えば巡回群ならF(x)は可約になって、有理数体Qの中で因数分解できることになる
そして、F(x)を因数分解して既約にした方程式F'(x)(と書く)の方程式の群は巡回群。というか、巡回群になるまで因数分解できると言った方が分かりやすいかも
つまり、最初から120次元の方程式を作らなくっても巡回群の分だけ置換で異なる値V'、V''、V'''・・・を集めれば良かったと
だが、理論構築としては、一般の方程式の場合=対称群、特別の場合=対称群の部分群 という流れを作るのが綺麗なんだ
(つづく)