現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3at MATH
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3 - 暇つぶし2ch18:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/13 21:29:44.09
(再録)
ガロアの時代
今日のように、群をある演算(積)で閉じた集合として捉えられていない
体の漠然とした概念はあったろうが、同じようにある演算(積と和)で閉じた集合として捉えられていない

そこでガロアが今日の体の代わりに考えたのが、”ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応”だと思う

>>16
さて、ガロアは
V、V'、V''、・・・・、V''*
注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの(アスキーでは添え字が表現できないので)
を使って、次のガロア方程式を作る
F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''*)

1.この方程式は、例えば一般の5次方程式なら根の置換は120個あり
2.V、V'、V''、・・・・、V''*も、120個あり(5次の置換で異なる値をとるから)
3.F(x)は120次の方程式
4.そんなものを考えてどうなる?
5.どっこい、F(x)の120次の方程式をガロアは体の理論の代用に使ったのだ

例えば、重根を持たない場合、差積から判別式を作り、判別式の平方根を
ガロア方程式F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''*)に添加すると
ガロア方程式は、二つに分けられるだろう

V、V'、V''、・・・・、V''*の内から、>>29の置換との対応で、偶置換に属するものだけを取り出し(それらは60個)、並べ替えて
V、V'、V''、・・・・、V''**として
F'(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''**)を作ることができる

残りの積は、奇置換に属するものの積
こう考えることにより
ガロア方程式F(x)に補助方程式の根を添加することで、ガロア方程式F(x)を分解し、次数を下げることができる
これによって、ガロア方程式F(x)を体論の代わりに使って、ガロア理論を展開することができるのだ


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