現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3at MATH
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3 - 暇つぶし2ch174:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/04/21 09:00:38.03
>>171 つづき
ガロア理論のガロア論文オリジナル>>3をスケッチしておこう

ガロアリゾルベントV>>15 V=Aa+Bb+Cc+・・・ a,b,c・・・は、(重根を持たない)で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとるように定める

根の置換で異なる値V'、V''、V'''・・・を全て集めて F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')(x-V''')・・・ を作る F(x)の係数は、元の体(それが有理数体QならQに)

F(x)が既約か可約かを確かめる
可約なら因数分解をして既約なF'(x)を求める(F(x)が既約ならF'(x)=F(x))

F'(x)の根をあらためてV、V'、V''、V'''・・・とする

V、V'、V''、V'''・・・から根の置換が定まる
(根a,b,c・・は、a=φ(V),b=φ1(V),c=φ2(V)・・・ とVの有理式で表すことができ、V→V'に置き換えたφ(V')もまた元の方程式の根になるから)

一般の方程式の場合は、この置換全体は対称群(5次方程式ならS5)
そうでない場合は、この置換が演算として群になることを証明して、対称群の部分群になると

そうして、どんな場合でも与えられた方程式からガロアリゾルベントVを使って方程式のガロア群が作れる


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