12/03/17 13:56:10.55
（再録）
>>33
なお、この位数20群は、下記ではB'5 メタ巡回群と書かれている
この元吉文男氏の5次方程式の可解性の高速判定法は面白くて参考になった
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著 - 1993
ほぼ同じ内容が下記（こちらの方が年代が後で少し詳しい）
URLﾘﾝｸ(staff.aist.go.jp)
5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01
追伸
”5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著”は、本当に面白くて参考になった
37:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/17 13:58:27.33
（再録）
0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0
2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3
3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1
4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4
この位数20のメタ巡回群B'5 >>36
元吉文男氏は、これを利用して5次方程式の可解性の高速判定法を考えた
つまり、5次方程式のガロア群がもともと位数20のメタ巡回群B'5 になっていることが、5次方程式が可解である条件なのだ
一般のガロア群S5の位数は120。120/20＝6次の式が、”P の中に根を持つならば元の多項式のP でのガロア群はB05 の部分群である”
ここに、Pは5次方程式の係数が属する体
もう少し精密には
体P 上の５次の多項式f(x) = x5-a1x^4+a2x^3-a3x^2+a4x-a5
x1, x2, x3, x4, x5 を不定元とし、
h = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1 - x1x3 - x3x5 - x5x2 - x2x4 - x4x1 (1)
としたときに多項式
g = h^2
は、B'5 の置換で不変であり、A5 やS5 の置換では不変ではない。
g にS5 のすべての元を作用させたときに生成される多項式のうちで異なるものは６個
この６個を根に持つような６次方程式を考える
ここでは、アスキーベースなので、添字やべきがうまく書けないので、下記文献を見てほしい
URLﾘﾝｸ(staff.aist.go.jp)
38:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/17 14:02:45.71
（再録）
>>37
”１．ガロア分解式（リゾルベント）、置換群のガロア記法、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応の３点セットが、ガロア理論の原型”と書いた
>>24のアナロジーで言えば
ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*） （120次）
は、方程式のガロア群が位数20のメタ巡回群B'5 になっている場合
メタ巡回群B'5に属する20個のV、V’・・・を取り出し
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：B'5に属するものだけを取り出した20次の式
以下、B'5の共役類に分けて
F(x)＝F’(x)F’’(x)・・・F’’’’’’(x)
のように、ガロア方程式F(x)（120次）が、20次づつ6つの式に分けられることがイメージできるだろう
これがガロアが現代の体論と群論をベースとした理論の代わりに、頭に浮かべていたことではないだろうか
39:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/17 14:08:34.70
（再録）
最近気付いたが、下記Jean-Pierre Tignolも詳しい
というか、P156の定理10,7など、ガロア論文>>4のP39のラグランジュ分解式のn乗を扱っていることや補助方程式の次数が(n-2)!になることと、完全に一致している
一致という意味では小杉の方がお話風で読みやすいが
ともかく、こういうラグランジュが到達していた地点を見ると、ほとんどガロアに近い
というか、ガロアは完全にラグランジュを下敷きにしていると思う
その痕跡をかなり消しているが
ただし、方程式のガロア群とその分解を明確に意識して理論を展開したという点では、やはり天才ではあるのだが
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
代数方程式のガロアの理論（ISBN4-320-01770-6）Jean-Pierre Tignol著 新妻 弘訳 A5，360頁，3200円
第10章 ラグランジュ
10.1 方程式の理論の成熟
10.2 既知の方法に対するラグランジュの考察
10.3 群論とガロア理論の最初の成果
（引用おわり）
Jean-Pierre Tignol「代数方程式のガロアの理論」P307に
”付録：ガロアによる置換群の表現”としてガロア記法>>31の解説がなされている
これはなかなか興味深いね
P311には、
「順列群というガロアの記述において、疑いのない明確な点は部分群、特に正規部分群の概念がこれから見ていくようにかなり自然なやり方で発生することである。」と書かれている
つまり、正規部分群こそがガロアの理論の核心であり、オリジナルな点だが、それはガロア記法があったればこそと言えよう
なお、ブルーバックス「ガロアの理論」中村亨>>2は高校生向けのガロア記法の解説であり、
Jean-Pierre Tignolは、大学の講義用の専門的な解説になっているので、両方読まれることをお勧めする
40:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/17 15:11:15.22
>>18
補足
数学に直感を取り戻そう！
難しいことをやさしく
複雑なことを本質を抽出して単純化する
複雑なことを図式化し見える化する
細部に立ち入る前に全体像を把握する（ジグソーパズルと全体像）
途中で分からなくても最後まで通してみる
視点と切り口
思考の補助線
複数の本を見る
こんなところが、このスレの重要キーワードだ
41:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/17 15:21:29.78
>>40
補足
思考の補助線って本があるんだね
ある数学的対象があって、数学の理論がある
「補助線は何だ」という視点で学んでゆくことは大事だと思う
URLﾘﾝｸ(rinribenkyouhou.seesaa.net)
思考の補助線: 文系国公立大学受験・勉強法ブログ(^o^)／ 2009年08月08日
42:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/17 15:23:43.30
>>40
補足
（再録）
ある事象Aについて、見る視点によって、見え方が違うという場合がある
というか、多少複雑な事象については、視点を変えてみる必要がある場合が多い
例えば、Aが四角形の形に配列された煙突だとすると、視点によっては３本に見えたりする
上空から見れば、配列は一目瞭然としても、上空に上がれない場合にはその配列を周囲から調べるしか配列を知る方法はない
43:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/17 15:57:53.23
>>40
補足
>視点と切り口
モース理論というのがある
複雑な対象を切り口で考えるのだと思う（下記）
URLﾘﾝｸ(www.sci.osaka-cu.ac.jp)
『ADHM 構成』歴史おぼえがき 2002 年8月
(抜粋)
素粒子論は湯川秀樹の中間子論に始まる．彼の理論には二つの特徴があった．一つは新粒子を導入したこと，もう一つは場の理論の枠内にとどまったことである（『場の理論』は平坦な抑揚で読むこと）．
一方，西洋を中世から近代へと移行せしめた『オッカムの剃刀』という格率のせいなのか，ヨーロッパの物理学者たちは新粒子の導入に慎重であり，
また，若き日に量子力学の開拓者たちであった彼らは，subatomic な領域に足をふみいれるにあたり，自分たちがつくりあげた量子力学を惜しげもなく捨てるというより過激な方向にむしろ魅力を感じていた．
東洋人であって西洋近代の格率のもとにいなかったことと，時期的・地理的要因により量子力学に後から追随する位置にいたことが，湯川を独創的にした，という見方もある．（小平邦彦の複素多様体論についても同様のことが言えるかもしれない．）
３．現代数学という衝撃
話をもどそう．つづいて物理学者たちの競争は多重インスタントンへと向かう．アノマリーの Jackiw や当時まだ無名の Witten も参戦してきた．そんな中， 4 人の数学者が 4 次元ユークリッド空間上の多重インスタントンを完全に分類した論文を Physics Letters に提出した．
それが ADHM である．物理学者にとって重要かつホットな問題に対し，そのさなかに数学者のみによるインパクトある仕事が提出される，というのは過去に例のないことではなかったか．
しかもその手法が，それまで物理学者たちには全くなじみのなかった代数幾何という分野の，それも層係数コホモロジーの言語で書かれた現代的なものであった．
Polyakov は「現代数学が役に立つのをはじめて見た」と周囲に漏らしたと伝えられる．この衝撃が若き日の Witten の眼を現代数学へと向けるきっかけとなったのではないかと推察される．
（引用つづく）
44:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/17 16:00:33.98
>>43
（引用つづき）
Bott は各地の物理学者たちの前で，Atiyah と彼とのゲージ理論について講演して回ったのだが，その反応は熱いものではなかった．しかしそんな中にあって一人の男が鷹のように Bott のことばを追ってきた．Witten である．
彼は Bott の講演から，後に言う Witten のモース理論を着想する．後日，Bott は彼から一通の手紙を受けとる．そこには，「Bott 先生，わたしはついにモース理論がわかりました！」と記されていた．
それは奇しくも，かつての弟子 Smale が直伝のモース理論にさらに磨きをかけついに高次元ポアンカレ予想を解決したときに Bott に告げたのと同じことばだったという．
５．あれでもなくこれでもなく
Donaldson や Kirwan といった "Atiyah の子どもたち" は，Bott の来訪を毎回サンタを待つように楽しみにしていたという．
Donaldson の論文 "An application of gauge theory to four dimensional topology" の題が Bott の若い頃の論文の題と似ているところに，そのあたりの雰囲気が表れているように思う．
Donaldson のこの論文は，ADHM とも Atiyah-Bott とも違う道を切り開くものであった．
すぐ近くで誕生した ADHM も Atiyah-Bott も深い理論であり，また当時できたばかりだからやることはたくさんあったはずである．
事実 Donaldson はそれぞれに関連する仕事もしている．しかし彼は，それとは別に 4 次元トポロジーへの応用という思いもよらぬ方向へと一歩を踏み出した．
彼の理論は，Rochlin の定理しかなかった 4 次元トポロジーの状況を打開しただけでなく，異種 4 次元ユークリッド空間という存在をわれわれに示してくれた．
こんなものがあると知っただけでも数学を勉強した甲斐があったというものではないか．Witten はこう言っている，「Donaldson 理論は時空の幾何を理解する鍵である．」
（引用おわり）
モース理論までいかなくとも、製図の正面図は平面図がある
立体を平面に表す
もちろん、１面では無理で、３面を必要とする
同じように、複雑な対象は一つの切り口だけでなく、複数の切り口を使うべし
45:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
12/03/17 17:56:53.75
>>43
橋本氏の話は何時もとても面白いですね。『打倒Witten』の魅力は今も健在。
猫
46:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/17 19:39:13.03
>>43
”オッカムの剃刀”は下記
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
オッカムの剃刀（オッカムのかみそり、英: Occam's razor; Ockham's razor）とは、「ある事柄を説明するためには、必要以上に多くの実体[2]を仮定するべきでない」（英語: Entities should not be multiplied beyond necessity.）という指針。
思考節約（思考経済）の法則やケチの原理と呼ばれることもある。
もともとスコラ哲学にあり、14世紀の哲学者・神学者のオッカムが多用したことで有名になった。
（引用おわり）
湯川秀樹の話は下記
URLﾘﾝｸ(www.sci-museum.kita.osaka.jp)
斎藤吉彦のホームページ 大阪市立科学館・学芸員
URLﾘﾝｸ(www.sci-museum.kita.osaka.jp)
嫌われた新粒子 湯川理論誕生の背景で 月刊うちゅう 2007 Vol.24 No.2
（抜粋）
1937年に来日したボーアは湯川を「新粒子が好きなのですね。」と揶揄したそうです。
このように欧米の天才物理学者たちは新粒子に抵抗したのです。その背景に
はオッカムのカミソリという信念が根付いていたと言われます。オッカムは14
世紀の哲学者・神学者で、「物事を説明するのに、無駄なものは可能な限り削ぎ
落として、できるだけ単純なことで説明せよ、余計な仮説は使うな。」という指
針を多用したそうです。この指針をオッカムのカミソリと言います。欧米の天
才物理学者たちは、オッカムのカミソリを使って、余計な新粒子を削り落とそ
うとしたそうです。オッカムのカミソリに根拠はなく、あくまで考えを進める
上での指針にしか過ぎません。人が集団となってある事を信じ込み、そこから
抜け出せないというのは、社会現象としてよくあることです。天才集団もオッ
カムのカミソリを信じ込んで身動きできなかったのです。湯川はオッカムのカ
ミソリの影響が少ない日本にいました。そして、新粒子仮設の機会が巡ってき
たのでしょう。
47:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/17 20:18:48.65
>>45
猫さん、乙です
>橋本氏の話は何時もとても面白いですね。『打倒Witten』の魅力は今も健在。
橋本氏？ 橋本 義武 Yoshitake Hashimoto これは大阪市大か
URLﾘﾝｸ(www.sci.osaka-cu.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(math01.sci.osaka-cu.ac.jp)
クライン「正２０面体と５次方程式」を読む pdf (18.4MB) 2006/03/15
グロタンディークの双二十面体─マチウ群試論 pdf (13.1MB) 2006/03/15
いまは、東京都市大学？
URLﾘﾝｸ(www.comm.tcu.ac.jp)
東京都市大学｜知識工学部リテラシー学群｜数学部門｜教職員紹介
橋本義武
教授（自然科学科所属）
７２７号室
【テーマ】
もともと物理学の理論であるゲージ理論を数学の立場から研究しています。
他の分野との予想外の出会いもあって、トポロジストとリーマン面の研究をしたり、物理学者とブラッ クホールの研究をしたり、代数学者と有限標数のD加群の研究をしたりしてきました。
【担当科目】
数学基礎、線形代数学(1)(2)、数理統計学、関数論、幾何学(1)
URLﾘﾝｸ(www.ke.tcu.ac.jp)
微分幾何学研究室
担当教員名
教授：橋本義武
48:あのこうちやんは始皇帝だった
12/03/17 20:25:14.40
お前たちは、定職に就くのが先決だろがああああああ！！！！！！
ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああああ！！！！！！！
49:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
12/03/17 20:26:57.73
>>47
そう、彼ですよ。大阪市大からいつの間にか移動したみたいですね。とても
面白い人です。
猫
50:１３２人目の素数さん
12/03/17 20:27:22.68
４次元トポロジーてこれからは
どんな進展を遂げるのだろうね？
51:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/17 20:32:41.53
>>47
『打倒Witten』？
URLﾘﾝｸ(surgery.matrix.jp)
Topology/Geometry Lectures on the Web
古田幹雄/Mikio Furuta
Seiberg-Witten不変量
K理論と指数 (大阪市大数学教室集中講義、石邨茂久氏・記、橋本義武さんのサイトへのリンクです)
（引用おわり）
これ（上記）の中身か？それとも、下記などを見ると、Witten超え狙いみたい
URLﾘﾝｸ(www.sci.osaka-cu.ac.jp)
阪大-阪市大‐神戸大-九大合同幾何学セミナー （第６回）
第６回GEOSOCKセミナー :
数学と理論物理の若手交流のための小研究会
「幾何学と数理物理」
開催日： 平成２４年３月１４日（水）‐１５日（木）
講演予定者：
橋本 義武 先生（東京都市大学知識工学部自然科学科 教授，大阪市立大学数学研究所 客員教授）
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hokudai.ac.jp)
Division of Mathematics
Graduate School of Information Sciences
Tohoku University
１９９７年度幾何学シンポジウム
大場 清（お茶の水女子大理） 橋本 義武（阪市大理） アーベル微分の線型ポアンカレ双対
52:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/17 20:36:48.62
>>49
猫さん、乙です
橋本 義武 先生（東京都市大学知識工学部自然科学科 教授，大阪市立大学数学研究所 客員教授）>>51だから、まだ大阪市立大学数学研究所に席はあるみたい（だから市大のホームページが残っているんですね）
ところで、『打倒Witten』>>51をもう少し詳しくお願いできませんか
53:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
12/03/17 20:55:52.67
>>52
彼がまだ東大の院生だった時に、その彼の院生室の壁に『打倒ウィッテン』
と、研究の目標が書かれた紙が貼ってあったという記憶なんですけどね。
でも後日にご本人に確認したら、「いや、記憶違いでは？」という様な話
でしたけどね。でも彼ならそれ位の目標があっても全く不思議はないかと。
猫
54:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/17 20:55:53.93
こんなのがあった
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
研究集会 指数定理からゲージ理論へIV 2002年8月1日
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
講演の概要
橋本義武氏「ADHM 構成とその周辺」
直交射影と接続
多様体のはじまりが Euclid 空間の部分多様体ならば，ベクトル束のはじまりは自明束の部分束，このとき直交射影によって接続が定義されるわけだが，R2, R4 上の具体例でその曲率を計算してみようというのが第１回である．
特に R4 上曲率が Anti-Self-Dual (ASD) かつ L2 になる接続（Yang-Mills instanton）の例をあたえるが，これが Atiyah-Drinfeld-Hitchin-Manin (ADHM) 構成である．第２回以降，R4 上の Yang-Mills instanton がこれらにかぎることを見ていく．
ASD 接続と正則ベクトル束の対応
第２回は，ASD 接続が正則ベクトル束に対応することを二つのやりかたで見る．一つは twistor，もう一つは Kempf-Ness の定理の無限次元版である．正則ベクトル束の jumping line にもふれる．
Fourier-Mukai 変換（Nahm 変換）
第３回では，まず T4 上の ASD 接続の Fourier-Mukai 変換についてのべる．
そして，R4 上の ASD 接続の，あるいは対応する正則ベクトル束の Fourier-Mukai 変換が，ADHM 構成のデータにほかならないことを見る．時間がゆるせば，monopole の Fourier-Mukai 変換が Nahm 方程式の解になることにもふれたい．
話さないこと
本講演は 1980 年代前半までに得られた基本的結果の紹介にとどまる．
その後の重要な発展としては，ALE 空間上の ADHM 構成 (Nakajima，Kronheimer) に端を発する quiver variety の理論 (Nakajima)，D-brane との関連 (Witten, Douglas)，非可換空間上の ADHM 構成 (Nekrasov) などがあげられよう．
参考文献
Atiyah-Drinfeld-Hitchin-Manin, Construction of instantons, Phys. Lett. 65A(1978), 185-187
Atiyah, The Geometry of Yang-Mills Fields, Fermi Lectures, Scoula Normale Pisa, 1979
Donaldson, Instantons and geometric invariant theory, Commun. Math. Phys. 93(1984), 453-460
Donaldson-Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, chap. 3:The Fourier transform and ADHM construction, 75-125, Oxford, 1990
55:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
12/03/17 20:58:03.44
>>50
もし４次元ポアンカレ予想の微分同相版が否定的に解決されたらとても
面白いと個人的には思ってますけどね。でもどうなる事やら。
猫
56:１３２人目の素数さん
12/03/17 21:06:34.83
少し古いが、ここに文献集がある。
URLﾘﾝｸ(www.sci.osaka-cu.ac.jp)
全部読んで概略を理解するのにどれ位時間がかかるか？
一年？
57:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/17 21:15:22.16
>>53
猫さん、ども
>彼がまだ東大の院生だった時に、その彼の院生室の壁に『打倒ウィッテン』
>と、研究の目標が書かれた紙が貼ってあったという記憶なんですけどね。
へーえ
URLﾘﾝｸ(jglobal.jst.go.jp)
J-GLOBAL - 橋本 義武 【研究者】
更新日 2008年06月19日
東京大学 博士( 理学系研究科 数学) 1990
東京大学 大学( 理学部 数学) 1985
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Edward Witten (born August 26, 1951) is an American theoretical physicist with a focus on mathematical physics who is currently a professor of Mathematical Physics at the Institute for Advanced Study.
Witten is a researcher in superstring theory, a theory of quantum gravity, supersymmetric quantum field theories and other areas of mathematical physics.[1]
He has made contributions in mathematics and helped bridge gaps between fundamental physics and various areas of mathematics. In 1990 he was the world's first physicist to be awarded a Fields Medal by the International Union of Mathematics.
In 2004, Time magazine wrote that Witten was "generally considered the greatest theoretical physicist in the world."[2]
（引用おわり）
”東京大学 博士( 理学系研究科 数学) 1990” ＆ ”In 1990 he was the world's first physicist to be awarded a Fields Medal by the International Union of Mathematics. ”
なので、1990より前ですな
橋本 義武さん、がんばって！
58:１３２人目の素数さん
12/03/17 21:16:57.45
>>55
確かに。
４次元では微分構造は複素構造に近いが、
その根源的な理由が未だに理解出来ない。
59:１３２人目の素数さん
12/03/17 21:23:48.26
Wittenのモース理論て簡単にいうとどんなもの？
60:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
12/03/17 21:30:03.48
>>58
個人的な印象としては、もしそういう違いみたいなものを識別する不変量
があれば面白いと思いますがね。但し通常の特性類みたいな感じではなく
て、非常に解析学的な何かだろうと期待してしまうんですがね。
猫
61:１３２人目の素数さん
12/03/17 22:01:09.37
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
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62:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/17 23:35:58.50
>>55>>58>>60
なるほど・・
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Homeomorphism and diffeomorphism
It is easy to find a homeomorphism that is not a diffeomorphism, but it is more difficult to find a pair of homeomorphic manifolds that are not diffeomorphic.
In dimensions 1, 2, 3, any pair of homeomorphic smooth manifolds are diffeomorphic.
In dimension 4 or greater, examples of homeomorphic but not diffeomorphic pairs have been found. The first such example was constructed by John Milnor in dimension 7.
He constructed a smooth 7-dimensional manifold (called now Milnor's sphere) that is homeomorphic to the standard 7-sphere but not diffeomorphic to it.
There are in fact 28 oriented diffeomorphism classes of manifolds homeomorphic to the 7-sphere (each of them is a total space of the fiber bundle over the 4-sphere with the 3-sphere as the fiber).
Much more extreme phenomena occur for 4-manifolds: in the early 1980s, a combination of results due to Simon Donaldson and Michael Freedman led to the discovery of exotic R4s:
there are uncountably many pairwise non-diffeomorphic open subsets of R4 each of which is homeomorphic to R4,
and also there are uncountably many pairwise non-diffeomorphic differentiable manifolds homeomorphic to R4 that do not embed smoothly in R4.
63:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/17 23:42:01.76
>>62
なるほど・・
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, an exotic R4 is a differentiable manifold that is homeomorphic to the Euclidean space R4, but not diffeomorphic.
The first examples were found by Robion Kirby and Michael Freedman, by using the contrast between Freedman's theorems about topological 4-manifolds, and Simon Donaldson's theorems about smooth 4-manifolds.
There is a continuum of non-diffeomorphic differentiable structures of R4, as was shown first by Clifford Taubes.
Prior to this construction, non-diffeomorphic smooth structures on spheres ? exotic spheres ? were already known to exist, although the question of the existence of such structures for the particular case of the 4-sphere remained open.
For any positive integer n other than 4, there are no exotic smooth structures on Rn; in other words, if n ≠ 4 then any smooth manifold homeomorphic to Rn is diffeomorphic to Rn.
Small exotic R4s
An exotic R4 is called small if it can be smoothly embedded as an open subset of the standard R4.
Small exotic R4s can be constructed by starting with a non-trivial smooth 5-dimensional h-cobordism (which exists by Donaldson's proof that the h-cobordism theorem fails in this dimension)
and using Freedman's theorem that the topological h-cobordism theorem holds in this dimension.
Large exotic R4s
An exotic R4 is called large if it cannot be smoothly embedded as an open subset of the standard R4.
Examples of large exotic R4s can be constructed using the fact that compact 4 manifolds can often be split as a topological sum (by Freedman's work), but cannot be split as a smooth sum (by Donaldson's work).
Michael Hartley Freedman and Laurence R. Taylor (1986) showed that there is a unique maximal exotic R4, into which all other R4s can be smoothly embedded as open subsets.
（つづく）
64:１３２人目の素数さん
12/03/17 23:48:28.49
>>62
６０年代から７０年代はJacoとかHempel、Waldhausenらの
３次元多様体論の本がよく読まれた。Thurston以前の話だ。
また４次元に関しては単連結という仮定の下で、手術理論
が盛んに研究された。WallやBrowderらの本がよくまとまっている。
７０年には基本予想やNovikovによる有理Pontryagin類の
位相普遍性が示され、高次元多様体のホモトピー類と
位相同型の違いがPontryagin類によってほぼ分類が可能であることも
分かった。
二次特性類は葉層構造に関するBott消滅定理（積分可能性）が
示され、新たな活躍の場を得たといえる。
Bott消滅定理はたった２ページで証明されたので、当時の数学に
与えた衝撃は大きかった。
これからThurstonやConnes等による研究が大きく花開いたと
思うのだが、この辺りを詳細に纏めた数学史を誰か書かないかな？
65:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/17 23:51:35.01
>>63 つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Related exotic structures
Casson handles are homeomorphic to D2×R2 by Freedman's theorem (where D2 is the closed unit disc) but it follows from Donaldson's theorem that they are not all diffeomorphic to D2×R2. In other words, some Casson handles are exotic D2×R2s.
It is not known (as of 2009) whether or not there are any exotic 4-spheres; such an exotic 4-sphere would be a counterexample to the smooth generalized Poincare conjecture in dimension 4. Some plausible candidates are given by Gluck twists.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In differential topology, a mathematical discipline, an exotic sphere is a differentiable manifold M that is homeomorphic but not diffeomorphic to the standard Euclidean n-sphere.
That is, M is a sphere from the point of view of all its topological properties, but carrying a smooth structure that is not the familiar one (hence the name "exotic").
The first exotic spheres were constructed by John Milnor (1956) in dimension n = 7 as S3-bundles over S4. He showed that there are at least 7 differentiable structures on the 7-sphere.
In any dimension Milnor (1959) showed that the diffeomorphism classes of oriented exotic spheres form the non-trivial elements of an abelian monoid under connected sum, which is a finite abelian group if the dimension is not 4.
The classification of exotic spheres by Michel Kervaire and John Milnor (1963) showed that the oriented exotic 7-spheres are the non-trivial elements of a cyclic group of order 28 under the operation of connected sum.
66:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 00:06:28.16
>>64
乙です
>これからThurstonやConnes等による研究が大きく花開いたと
そう言えば、Connesさんも３次元ポアンカレ予想に挑戦してんだっけ
>>65 つづき ここらも面白いね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Explicit examples of exotic spheres
One of the first examples of an exotic sphere found by Milnor (1956, section 3) was the following:
Take two copies of B4×S3, each with boundary S3×S3, and glue them together by identifying (a,b) in the boundary with (a, a2ba?1), (where we identify each S3 with the group of unit quaternions).
The resulting manifold has a natural smooth structure and is homeomorphic to S7, but is not diffeomorphic to S7.
Milnor showed that it is not the boundary of any smooth 8-manifold with vanishing 4th Betti number, and has no orientation-reversing diffeomorphism to itself;
either of these properties implies that it is not a standard 7-sphere. Milnor showed that this manifold has a Morse function with just two critical points, both non-degenerate, which implies that it is topologically a sphere.
As shown by Egbert Brieskorn (1966, 1966b) (see also (Hirzebruch & Mayer 1968)) the intersection of the complex manifold of points in C5 satisfying
（式省略）
with a small sphere around the origin for k = 1, 2, ..., 28 gives all 28 possible smooth structures on the oriented 7-sphere. Similar manifolds are called Brieskorn spheres.
Twisted spheres
Given an (orientation-preserving) diffeomorphism f: Sn?1→Sn?1, gluing the boundaries of two copies of the standard disk Dn together by yields a manifold called a twisted sphere (with twist f).
（面白いが省略）
67:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 00:14:44.90
>>55
>もし４次元ポアンカレ予想の微分同相版が否定的に解決されたらとても
ああ、そうそう、これは落とせないね。直接関係するから
”The statement that they do not exist is known as the "smooth Poincare conjecture", and is discussed by Michael Freedman, Robert Gompf, and Scott Morrison et al. (2010) who say that it is believed to be false.”だと
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
4-dimensional exotic spheres and Gluck twists
In 4 dimensions it is not known whether there are any exotic smooth structures on the 4-sphere.
The statement that they do not exist is known as the "smooth Poincare conjecture", and is discussed by Michael Freedman, Robert Gompf, and Scott Morrison et al. (2010) who say that it is believed to be false.
Some candidates for exotic 4-spheres are given by Gluck twists (Gluck 1962).
These are constructed by cutting out a tubular neighborhood of a 2-sphere S in S4 and gluing it back in using a diffeomorphism of its boundary S2×S1.
The result is always homeomorphic to S4. But in most cases it is unknown whether or not the result is diffeomorphic to S4.
(If the 2-sphere is unknotted, or given by spinning a knot in the 3-sphere, then the Gluck twist is known to be diffeomorphic to S4, but there are plenty of other ways to knot a 2-sphere in S4.)
Akbulut (2009) showed that a certain family of candidates for 4-dimensional exotic spheres constructed by Cappell and Shaneson are in fact standard.
68:１３２人目の素数さん
12/03/18 00:16:03.18
やらせA 就活中
(p)URLﾘﾝｸ(livedoor.blogimg.jp)
やらせB 就職後
(p)URLﾘﾝｸ(livedoor.blogimg.jp)
世論調査もこんな感じで捏造してます
東京にある6つのキー局の内、製作から財務まで一貫して朝鮮人が行ってるテレビ局が1つ
中国共産党から毎年大量の反日工作費が流れているテレビ局が2つ
もろに北朝鮮と繋がっているテレビ局が1つ
年寄はまだまだテレビという外国人に騙され続ける
オレオレ詐欺なんて年寄がどれだけ騙されやすいかという社会実験でしかない
馬鹿はいつまでも騙される
69:１３２人目の素数さん
12/03/18 00:18:15.01
>>66
今ではもう昔の話だけど、Connesは非可換幾何を
始めた時には可換が真っ盛りで（今でもそうかもしれない）、
彼はそれを使って大きな問題に挑戦するという
事も視野に入れていた。葉層構造とC^*環との繋がりとか
今ではそれがリーマン予想にまで及んでいる。
個人的な印象としては非可換の研究は期が熟していないのでは？という印象。
勿論、分かっている人には目標が見えているのだろうけど、
まだ大きなものは出てきていない。
70:１３２人目の素数さん
12/03/18 00:19:35.91
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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71:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 08:10:04.97
>>69
乙です
訂正失礼>>66（３次元ポアンカレ予想は解決したんだから）
そう言えば、Connesさんも３次元ポアンカレ予想に挑戦してんだっけ
↓
そう言えば、Connesさんも３次元ポアンカレ予想に挑戦してたんだっけ
>今ではもう昔の話だけど、Connesは非可換幾何を
>今ではそれがリーマン予想にまで及んでいる。
なるほど下記ですな
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) 抜粋
Work
Alain Connes is one of the leading specialists on operator algebras. In his early work on von Neumann algebras in the 1970s, he succeeded in obtaining the almost complete classification of injective factors.
Following this he made contributions in operator K-theory and index theory, which culminated in the Baum-Connes conjecture.
He also introduced cyclic cohomology in the early 1980s as a first step in the study of noncommutative differential geometry.
Connes has applied his work in areas of mathematics and theoretical physics, including number theory, differential geometry and particle physics.[1]
Awards and honours
Connes was awarded the Fields Medal in 1982, the Crafoord Prize in 2001 and the gold medal of the CNRS in 2004.
See also
Cyclic homology
C*-algebra
M Theory
Groupoid
External links
1.^ Scientific Americain, The Geometry of Particle Physics, July 24, 2006
Alain Connes Official Web Site containing downloadable papers, and his book Non-commutative geometry, ISBN 0-12-185860-X. URLﾘﾝｸ(www.alainconnes.org)
nlab about Alain Connes
Alain Connes' Standard Model
72:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 08:30:19.33
>>71
英語のwikipediaの解説は充実していますね
こんなのがあった
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Connes' criticism
In "Brisure de symetrie spontanee et geometrie du point de vue spectral", Journal of Geometry and Physics 23 ('97), 206?234, Alain Connes wrote:
"The answer given by non-standard analysis, namely a nonstandard real, is equally disappointing: every non-standard real canonically determines a (Lebesgue) non-measurable subset of the interval [0, 1],
so that it is impossible (Stern, 1985) to exhibit a single [nonstandard real number]. The formalism that we propose will give a substantial and computable answer to this question."
In his '95 article "Noncommutative geometry and reality" Connes develops a calculus of infinitesimals based on operators in Hilbert space. He proceeds to "explain why the formalism of nonstandard analysis is inadequate" for his purposes.
Connes points out the following three aspects of Robinson's hyperreals:
(1) a nonstandard hyperreal "cannot be exhibited" (the reason given being its relation to non-measurable sets);
(2) "the practical use of such a notion is limited to computations in which the final result is independent of the exact value of the above infinitesimal. This is the way nonstandard analysis and ultraproducts are used [...]".
(3) the hyperreals are commutative.
In the view of M. Katz and K. Katz Connes' comments are critical of non-standard analysis, and they challenge these specific claims.[6]
With regard to (1), Connes' own infinitesimals similarly rely on non-constructive foundational material, such as the existence of a Dixmier trace.
With regard to (2), Connes presents the independence of the choice of infinitesimal as a feature of his own theory.
73:１３２人目の素数さん
12/03/18 08:53:09.61
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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74:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 09:09:51.54
>>71
>今ではそれがリーマン予想にまで及んでいる。
（再録）前スレ221
>だって数学というモノは神様が創った壮大な作品ですからね。だから人
>造物なんかとは比較になりませんよ。
確かにね
NHKの番組で、以前リーマン予想についての番組があった（こいつは見逃したのでDVDで見た）
リーマン予想に関しゼータ関数の非自明な零点分布（の間隔）が、ダイソンの研究していたランダム行列の固有値の分布（間隔）と一致するという結構有名な話題が取り上げられていたね
量子カオスとも関係していると。不思議なこともあるものだね
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
［２］リーマン予想と量子物理学との関連
これらのことにより，ゼータ関数の零点分布がランダム行列理論で得られる関数で表されることは予想されていたのですが，近年，ルドニックとサルナックはこれを部分的に証明したという・・・．
このようにゼータ関数の零点を作用素のスペクトルと関連づけて解釈しようとする数論の新しい動きを総称して「数論的量子カオス」と呼ばれます．
素数を周期軌道，零点を固有値と読み変えることによって，ゼータ関数が仮想的な量子系を表現していると考えることができるというのです．
リーマン予想の証明では，このようなゼータ関数の零点が固有値となるような演算子をつきとめるというヒルベルト・ポリヤ以来の行列の固有値方面からのアプローチがあげられるのですが，
フランスの数学者コンヌは，それとは逆に，量子物理のアイディアからリーマン予想を証明しようとその可能性を追求しています．コンヌのアプローチはそのような演算子を実際に構成するというものです．
コンヌはリーマン演算子が作用する対象として非常に変わった空間を構築しました．アデールとはすべてのｐ進数体Ｑp｛Ｑ2，Ｑ3，Ｑ5，Ｑ7，・・・｝と実数体Ｒから成るのですが，
それぞれに素数を内蔵していてすべての素数を備え，同時に２進数であり３進数でありかつ実数でもあるような仮想的な数体系となっています．
コンヌは有理数体Ｑのアデール環ＡをＱの乗法群Ｑ~で割って得られる非可換空間Ａ／Ｑ~を基にして
リーマン予想 ←→ Ａ／Ｑ~に対して跡公式が成り立つ
を示しました．
75:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 09:20:43.26
>>74
リーマン予想関連
（再録）前スレ438
アインシュタインが、当時馬鹿にされながら統一理論を追求して、カルツァー・クライン理論になった
それが、ウィッテンのM理論に
ワインバーグサラム理論は、４次元位相空間の研究に使われたそうだ
量子力学のランダム行列理論とリーマン予想との不思議な関係
ゴレイ符号（デジタル通信に用いられる誤り訂正符号。名前の由来はスイスの数学者 Marcel J. E. Golay。）→リーチ格子→散在単純群→モンスター群→ムーンシャイン→頂点作用素代数によるボーチャn－ズの証明という流れもある
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ゴレイ符号（英: Golay code）は、数学の散在型単純群の理論に基づく符号の種類である。名前の由来はスイスの数学者 Marcel J. E. Golay。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
ソリトンも落とせないかな
フェルミ・パスタ・ウラムの問題→ソリトン→可積分系
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
950年代にロスアラモス研究所で電子計算機を用いて、この問題に取り組んだ3人の物理学者エンリコ・フェルミ、ジョン・パスタ、スタニスワフ・ウラムに名に因む。
当初の予想では相互作用が非線形な系ではエルゴード性によって、長時間経過後に各モードにエネルギーが等分配された平衡状態に達するはずであったが、
計算機実験の結果はそれに反し、初期状態のモードに戻る再帰現象が観測された。後に、この再帰現象はKdV方程式の研究から可積分系におけるソリトンと関連した現象であることが明らかにされた。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In 1965 Norman Zabusky of Bell Labs and Martin Kruskal of Princeton University first demonstrated soliton behaviour in media subject to the Korteweg?de Vries equation (KdV equation) in a computational investigation using a finite difference approach.
They also showed how this behavior explained the puzzling earlier work of Fermi, Pasta and Ulam.[3]
（つづく）
76:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 09:25:12.26
>>75 補足
>ワインバーグサラム理論は、４次元位相空間の研究に使われたそうだ
ここ正確には、
ワインバーグサラム理論の基礎になっているヤン＝ミルズ理論が、４次元位相空間の研究に使われた
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヤン＝ミルズ理論（－りろん、英: Yang-Mills theory）は、1954年に楊振寧とロバート・ミルズによって提唱された非可換ゲージ場の理論のことである。
なお、その少し前にヴォルフガング・パウリ[1][2]と内山龍雄も同理論を完成していたと言われているが、様々な事情により発表が遅れ、先取権はヤン＝ミルズにあるとされる。
元々は、数学者ヘルマン・ワイルらによって研究が進められていた（可換）ゲージ理論であった。このゲージ理論を物理学の世界に応用して生まれた、強い相互作用や弱い相互作用の場についての理論が、ヤン＝ミルズ場と呼ばれるゲージ場の理論である。
目次
1 定義
2 実際の例とバリエーション
3 繰り込み群と結合定数
4 脚注
5 参考文献
6 関連項目
77:１３２人目の素数さん
12/03/18 09:28:14.67
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78:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 09:43:20.21
>>76
ヤン＝ミルズ理論補足
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Biography
Donaldson's father was an electrical engineer in the physiology department at the University of Cambridge[citation needed].
Donaldson gained a BA degree in mathematics from Pembroke College, Cambridge in 1979, and in 1980 began postgraduate work at Worcester College, Oxford, at first under Nigel Hitchin and later under Michael Atiyah's supervision.
Still a graduate student, Donaldson proved in 1982 a result that would establish his fame.
He published the result in a paper Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds which appeared in 1983.
In the words of Atiyah, the paper "stunned the mathematical world" (Atiyah 1986).
Whereas Michael Freedman classified topological four-manifolds,
Donaldson's work focused on four-manifolds admitting a differentiable structure, using instantons, a particular solution to the equations of Yang-Mills gauge theory which has its origin in quantum field theory.
One of Donaldson's first results gave severe restrictions on the intersection form of a smooth four-manifold.
As a consequence, a large class of the topological four-manifolds do not admit any smooth structure at all.
Donaldson also derived polynomial invariants from gauge theory.
These were new topological invariants sensitive to the underlying smooth structure of the four-manifold.
They made it possible to deduce the existence of "exotic" smooth structures?certain topological four-manifolds could carry an infinite family of different smooth structures.
（つづく）
79:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 09:51:59.75
>>78
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Donaldson's work（抜粋）
A thread running through Donaldson's work is the application of mathematical analysis (especially the analysis of elliptic partial differential equations) to problems in geometry.
The problems mainly concern 4-manifolds, complex differential geometry and symplectic geometry. The following theorems rank among his most striking achievements:
The diagonalizability theorem (Donaldson 1983a, 1983b): if the intersection form of a smooth, closed, simply connected 4-manifold is positive- or negative-definite then it is diagonalizable over the integers.
(The simple connectivity hypothesis has since been shown to be unnecessary using Seiberg-Witten theory.) This result is sometimes called Donaldson's theorem.
A smooth h-cobordism between 4-manifolds need not be trivial (Donaldson 1987a). This contrasts with the situation in higher dimensions.
A stable holomorphic vector bundle over a non-singular projective algebraic variety admits a Hermitian-Einstein metric (Donaldson 1987b). This was proved independently by Karen Uhlenbeck and Shing-Tung Yau (Uhlenbeck & Yau 1986).
Donaldson's recent work centers on a difficult problem in complex differential geometry concerning a conjectural relationship between algebro-geometric "stability" conditions for smooth projective varieties
and the existence of "optimal" Kahler metrics, typically those with constant scalar curvature.
Definitive results have not yet been obtained, but substantial progress has been made (see for example Donaldson 2001).
See also Donaldson theory.
External links
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Simon Donaldson", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
Simon Donaldson at the Mathematics Genealogy Project.
Home page at Imperial College
80:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 10:49:56.90
>>79
補足
下記岩木泰孝氏の修論がよく纏まっているね
URLﾘﾝｸ(www.sci.hyogo-u.ac.jp)
平成11 年度学位論文 Seiberg-Witten 理論について 兵庫教育大学 岩木泰孝
序 文（抜粋）
1956 年J.W.Milnor が７次元の球面と連続同相であるが可微分同相ではないエキゾチック球面を発見して以来 略
しかし1980 年代初頭に２つの出来事によりその状況が大きく変わることになった。
１つには1982年のM.H.Freedman による仕事で、略
もう一つが1983 年、まだ学生であったS.Donaldson によりゲージ理論を応用して単連結4 次元閉C1 多様体の正定値交叉形式が決定されたことである。
その後もDonaldsonはh-同境定理の反例やDonaldson 不変量の定式化など輝かしい業績を築いていった。
これらの業績により1986 年Donaldson はFreedman らと共にFields 賞を受賞している。
Donaldson 理論は物理学で発展したゲージ理論(Yang?Mills 理論) を数学に持ち込んだものであった。
その中核を成すのはYang?Mills 方程式と呼ばれる非線形偏微分方程式である。
Yang?Mills 方程式の非線形性やゲージ群がSU(2) で非可換であるなど理論を展開するのに多くの難点を克服する必要があり 略
しかし1993 年P.Kronheimer,T.Mrowka によりDonaldson 不変量の構造定理が発表されるとDonaldson理論の本質的な部分は物理学で言うところの「質量ギャップ」にあることが分かってきた。
Donaldson 理論の背景にあるゲージ理論は物理学ではN = 2 SuperSymmetry Yang-Mills 理論と呼ばれるものである。
物理学的に双対な理論を考えることはN = 4 の場合には一般的であったがN = 2 の場合には意味がないと言われていた。
しかしN = 2 の場合の双対な理論を考えることで「質量ギャップ」は磁気単極子(Monopole) の存在の問題に置き換えることができることを1994 年N.Seiberg とE.Witten が発見した。
そしてYang?Mills 方程式に代わりMonopole 方程式を用いた理論を数学にフィードバックしたのがSeiberg?Witten 理論である。
その成り立ちから見ても、Seiberg?Witten 理論は当初より物理学的な理由からDonaldson 理論と同値であると予想されており、実際Donaldson 理論の成果はSeiberg?Witten 理論でも示されている。
本論文ではSeiberg?Witten 理論を数学的に基礎から構築し 略
81:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 11:02:56.41
>>72
>英語のwikipediaの解説は充実していますね
英語のwikipediaに対する一つのテクニックとして、まず日本語のwikipediaの検索ページを開く
そして、左端の言語のEnglishのところをクリックする
そうすると、日本語のwikipediaの検索に対応する英語の記事に飛ぶことができる
数学では、英語のwikipediaの記事が圧倒的に情報量が多いね
>>80
これも英語のwikipediaのリンクからたどったが、ご参考まで
URLﾘﾝｸ(xstructure.inr.ac.ru)
arXiv Structure
N=2 supersymmetric; Prepotential n=2; Picard-fuchs equation; N=2 supersymmetricyang-mills
List of Review Articles:
（略）
82:１３２人目の素数さん
12/03/18 12:13:53.13
ガロア拡大体の有名な定理に正規基の定理と云うのがあるが、
Q 上ガロア拡大の場合は、正規基は常に代数的整数で取れるのだろうか？
83:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 14:11:00.99
>>82
うむ
仙石６０（前スレ671－672）かもしらんが、まあ良い
おいらは、来るものは拒まず去る者は追わずで、特にこだわらない
>ガロア拡大体の有名な定理に正規基の定理と云うのがあるが、
アルティンの第２章 14「正規底の存在」の定理33だな
URLﾘﾝｸ(www.kishimo.com)
URLﾘﾝｸ(na-inet.jp)
E.Artin(アルティン)/寺田文行・訳「ガロア理論入門」ちくま学芸文庫
>Q 上ガロア拡大の場合は、正規基は常に代数的整数で取れるのだろうか？
Qが有理数体であることを確認しておく
アルティン定理33によれば、”EをK（ここではQ）の正規拡大体とし、・・・σ1(θ)、σ2(θ)、・・・、σn(θ)がK（ここではQ）に関して線形独立であるようなものが存在する。”とある
面白いことに、アルティン先生の本では、「基底」という用語に明確な説明が与えられていない（分かっているものとして話が進む（因みに”10.アーベル群とその応用”の”基底定理”とは基底のイメージするところが異なると思う））
まあ、常識では”σ1(θ)、σ2(θ)、・・・、σn(θ)”たちを線形空間の基底と呼ぶことは当然ではあるが
正規＝正規拡大体に対すると、線形独立とを引っ掛けているんだろう
説明を簡単にするために、線形空間としてn次の直交空間として考えると、”σ1(θ)、σ2(θ)、・・・、σn(θ)”はx(x1)軸、y(x2)軸、z(x3)軸・・・、(xn)軸の上の単位ベクトルに選ぶのが普通
単位ベクトル＝長さ１
しかし、”単位ベクトル＝長さ１”を考えるのは、本質ではなく適当な大きさのベクトルを考えても線形代数の理論の本質は変わらない。ただ、式に余計な係数が増えるだけなので、最初に単位ベクトルにしておくのが普通
（ここらは、工学の電磁気学を学ぶと、単位系をどう選ぶかという話につながる）
で、「代数的整数」をどういうイメージで捉えているか不明だが、Eの中の線形独立要素として”σ1(θ)、σ2(θ)、・・・、σn(θ)”たちがあるわけで、
これが、仮に”代数的有理数”としても、例えばσ1(θ)分母の最小公倍数を求めて、その最小公倍数を掛けてやって整数にしても線形独立の性質は損なわれない
だから、答えはYesかな
84:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 14:50:46.21
>>83 補足
下記GREENBERG予想と正規整数底(群スキームの変形と整数論への応用)によれば、”整数環”では事情が違うと（当然でしょうが）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
京都大学数理解析研究所 - 講究録 Kokyuroku -
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
9. GREENBERG予想と正規整数底(群スキームの変形と整数論への応用)--112
日本大学生産工学部 福田 隆
85:１３２人目の素数さん
12/03/18 15:58:27.16
やっと気づいたAKBの宣伝に税金が使われている件。そしてその税金は民主党にも流れている。
報道規制とあらゆるランキングの操作、CD等売上の捏造、サクラ動員の証拠画像等はこちら
やっと気付いた「AKBに電通が絡んでる」ではなく「AKBの正体が電通」な件 その120
ｽﾚﾘﾝｸ(morningcoffee板)
AKBも韓流もワンピース（集英社）も同じ広告代理店の捏造人気
86:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 17:53:27.11
>>44
訂正
モース理論までいかなくとも、製図の正面図は平面図がある
↓
モース理論までいかなくとも、製図の正面図や平面図がある
>>39
だいぶ寄り道したが、本題へ
郡とはなにか？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
数学における群（ぐん、group）とは最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。
群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。
概略
群の概念は、数学的対象 X から X への自己同型の集まりの満たす性質を代数的に抽象化することによって得られる。
この集まりは X の対称性を表現していると考えられ、結合法則・恒等変換の存在・逆変換の存在などがなりたっている。
集合論にもとづき X が集合として実現されている場合には、自己同型として X からそれ自身への全単射写像を考えることになるが、空間や対象の持つ構造に応じてさらに付加条件を課すことが多い。
例えば、ベクトル空間 X に対してその自己同型写像の集まりを考えると群が得られる。
また、平面上に正三角形など何らかの対称性を持った図形が与えられているとき、平面全体の変換のうちでその図形を保つようなものだけを考えることによって、図形の対称性を表す群を取り出すことができる。
（つづく）
87:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 17:59:06.01
>>86
>だいぶ寄り道したが
寄り道が楽しいんだよね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#.E6.9C.89.E9.99.90.E7.BE.A4.E3.81.AE.E6.A7.8B.E9.80.A0.E5.AE.9A.E7.90.86
つづき
歴史
群の概念が初めてはっきりと取り出されたのは、エヴァリスト・ガロアによる根の置換群を用いた代数方程式の研究だとされている。
16世紀中頃に、ジェロラモ・カルダーノ、ルドヴィコ・フェラーリらによって四次方程式まではべき根による解の公式が得られていたが、5 次以上の方程式に解の公式が存在するのかどうかはわかっていなかった。
その後18世紀後半になってラグランジュによって代数方程式の解法が根の置換と関係していることが見出された。（「ラグランジュの定理」にその名が残っているのはこのためである。）
19世紀に入り、ルフィニやニールス・アーベルによって五次以上の方程式にはべき根による解の公式が存在しないことが示された。
ガロアは、より一般に任意の代数方程式について根が方程式の係数から加減乗除や冪根の操作によって得られるかどうかという問題を、方程式のガロア群の可解性という性質に帰着した。
ガロアの研究に端を発する群を用いた代数方程式の理論は今ではガロア理論と呼ばれている。
ガロア理論によれば五次以上の代数方程式の非可解性は交代群が単純であることによって説明される。
このような有限単純群の分類は20世紀に大きく発展し、1980年代までにいくつかの系列と26の例外からなる有限単純群の同型類のリストアップが完成した。
88:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 18:10:39.71
>>87
英語版
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematics)
In mathematics, a group is an algebraic structure consisting of a set together with an operation that combines any two of its elements to form a third element.
To qualify as a group, the set and the operation must satisfy a few conditions called group axioms, namely closure, associativity, identity and invertibility.
Many familiar mathematical structures such as number systems obey these axioms: for example, the integers endowed with the addition operation form a group.
However, the abstract formalization of the group axioms, detached as it is from the concrete nature of any particular group and its operation,
allows entities with highly diverse mathematical origins in abstract algebra and beyond to be handled in a flexible way, while retaining their essential structural aspects.
The ubiquity of groups in numerous areas within and outside mathematics makes them a central organizing principle of contemporary mathematics.[1][2]
Groups share a fundamental kinship with the notion of symmetry. A symmetry group encodes symmetry features of a geometrical object:
it consists of the set of transformations that leave the object unchanged, and the operation of combining two such transformations by performing one after the other.
Such symmetry groups, particularly the continuous Lie groups, play an important role in many academic disciplines.
Matrix groups, for example, can be used to understand fundamental physical laws underlying special relativity and symmetry phenomena in molecular chemistry.
The concept of a group arose from the study of polynomial equations, starting with Evariste Galois in the 1830s.
After contributions from other fields such as number theory and geometry, the group notion was generalized and firmly established around 1870.
Modern group theory?a very active mathematical discipline?studies groups in their own right.a[?]
（略）
89:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 18:26:24.13
>>88
つづき
なお”Main article: History of group theory URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)”がまた面白いんだ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
History
The original motivation for group theory was the quest for solutions of polynomial equations of degree higher than 4.
The 19th-century French mathematician Evariste Galois, extending prior work of Paolo Ruffini and Joseph-Louis Lagrange, gave a criterion for the solvability of a particular polynomial equation in terms of the symmetry group of its roots (solutions).
The elements of such a Galois group correspond to certain permutations of the roots.
At first, Galois' ideas were rejected by his contemporaries, and published only posthumously.
More general permutation groups were investigated in particular by Augustin Louis Cauchy.
Arthur Cayley's On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) gives the first abstract definition of a finite group.
Geometry was a second field in which groups were used systematically, especially symmetry groups as part of Felix Klein's 1872 Erlangen program.
After novel geometries such as hyperbolic and projective geometry had emerged, Klein used group theory to organize them in a more coherent way. Further advancing these ideas, Sophus Lie founded the study of Lie groups in 1884.
The third field contributing to group theory was number theory.
Certain abelian group structures had been used implicitly in Carl Friedrich Gauss' number-theoretical work Disquisitiones Arithmeticae (1798), and more explicitly by Leopold Kronecker.
In 1847, Ernst Kummer led early attempts to prove Fermat's Last Theorem to a climax by developing groups describing factorization into prime numbers.
The convergence of these various sources into a uniform theory of groups started with Camille Jordan's Traite des substitutions et des equations algebriques (1870).
90:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 18:37:00.95
>>86
訂正
郡とはなにか？
↓
群とはなにか？
さらに本題
”ガロア理論とは何か？”
検索していると、こんなサイトが・・・・！ これはお薦めです！
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
ガロア理論のサイトオープン -20090901
（抜粋）
* Ｇの夢 ～ 解けない方程式の謎を解く >> URLﾘﾝｸ(galois.motion.ne.jp)
目標は「高校生でもわかる 泥臭い群論入門」、ぜひ見て下さいね！
今日の時点ではまだ前半だけですが、後半も近々アップ予定です。
91:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 18:47:43.21
>>90 つづき
”ガロア理論とは何か？”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論（ガロア-りろん、Galois theory）は、基本的には代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する代数学の理論をさす。
1830年代におけるエヴァリスト・ガロアによる代数方程式のべき根による可解性などの研究に端を発しているためこの名前がつけられている。
数学的構造についての最も初期の研究であり、圏と関手の考え方を含むような非常に現代的なパラダイムにもとづく理論だと見なされている。
実際にガロアは、方程式の研究において未知であった群や体の考えを用いていた。
現代の代数学はこの理論から始まった。ガロア理論を、方程式だけでなくそれの元になった初期の基本的な代数まで含めてもよいだろう。
ガロア理論によれば、"ガロア拡大" と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。
92:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 19:35:06.57
>>91
”ガロア理論とは何か？”英語版
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, more specifically in abstract algebra, Galois theory, named after Evariste Galois, provides a connection between field theory and group theory.
Using Galois theory, certain problems in field theory can be reduced to group theory, which is in some sense simpler and better understood.
Originally Galois used permutation groups to describe how the various roots of a given polynomial equation are related to each other.
The modern approach to Galois theory, developed by Richard Dedekind, Leopold Kronecker and Emil Artin, among others, involves studying automorphisms of field extensions.
Further abstraction of Galois theory is achieved by the theory of Galois connections. URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Application to classical problems
Galois theory not only provides a beautiful answer to this question, it also explains in detail why it is possible to solve equations of degree four or lower in the above manner,
and why their solutions take the form that they do. Further, it gives a conceptually clear, and often practical, means of telling when some particular equation of higher degree can be solved in that manner.
93:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 19:45:09.30
>>92
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
History
See also: Abstract algebra#Early group theory URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Galois theory originated in the study of symmetric functions ? the coefficients of a monic polynomial are (up to sign) the elementary symmetric polynomials in the roots. For instance,
(x ? a)(x ? b) = x2 ? (a + b)x + ab, where 1, a + b and ab are the elementary polynomials of degree 0, 1 and 2 in two variables.
This was first formalized by the 16th century French mathematician Francois Viete, in Viete's formulas, for the case of positive real roots.
In the opinion of the 18th century British mathematician Charles Hutton,[1]
the expression of coefficients of a polynomial in terms of the roots (not only for positive roots) was first understood by the 17th century French mathematician Albert Girard; Hutton writes:
...[Girard was] the first person who understood the general doctrine of the formation of the coefficients of the powers from the sum of the roots and their products.
He was the first who discovered the rules for summing the powers of the roots of any equation.
In this vein, the discriminant is a symmetric function in the roots which reflects properties of the roots ? it is zero if and only if the polynomial has a multiple root,
and for quadratic and cubic polynomials it is positive if and only if all roots are real and distinct, and negative if and only if there is a pair of distinct complex conjugate roots.
See Discriminant: nature of the roots for details.
（以下略）
94:１３２人目の素数さん
12/03/18 20:13:01.10
_______ _＿
／／￣~`i ゝ `l |
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| | ＿__ //￣ヽヽ //￣ヽヽ （（￣）） | | //￣_>>
＼ヽ、 ｜l | | | | | | | | ``( (. .| | | | ~~
`､二===-' ` ===' ' ` ===' ' //￣ヽヽ |__ゝ ヽ二=''
ヽヽ___// 日本
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|街宣車の正体 朝鮮人工作員 .| |検索|
95:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 21:05:35.06
英語ｇｏｏｇｌｅは無視か？
英語弱そうだな、おっさん
英語ｇｏｏｇｌｅまで朝鮮だ街宣だと言われちゃ、ｇｏｏｇｌｅ本国が起こるだろうぜ
96:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 21:06:42.69
>>95
訂正
起こるだろうぜ
↓
怒るだろうぜ
イカン馬鹿が感染ってきた
97:１３２人目の素数さん
12/03/18 21:29:54.00
>>1
が、意外と (元々) 馬鹿である事がやっと分かった。
98:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 21:58:49.28
>>97
心配するな。おっさんと同じ程度だよ、仙石
”616 名前：仙石60サポータ[はい] 投稿日：2012/03/15(木) 01:29:32.39
寺田文行さんのつけた問題と解凍はすばらしい。
さすが心技ともにすぐれた先生方はすばらしい。
おかげでガロア理論の理解もかなり進んだ。”か？
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
60才からの数学への理解
1 : 仙石６０: 2011/01/13(木) 15:44:31 いまや 毎日が日曜日。
職業に関係する知識とノウハウは誰にも負けん。
しかし数学は大學理科（非数学）れべるに止まっている。
ジャルゴンだけなら、数学用語もしっているが本質はしらん。
そこで数学勉強を始めようとおもう。
情報処理能力は若い奴に葉ソフトハードともにまけん。
よろしくご教示指導願いたい。
遊民的暇つぶしなどと言わないでよろしくお願いする。
（引用おわり）
毎日が日曜日で、2011/01/13(木)から１年以上、”おかげでガロア理論の理解もかなり進んだ”？
わんこら式をやった方がいいぞ
99:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 22:00:16.14
（前スレ449より再録）
”正規部分群はどういう意味があるか”の著者がこんなことを書いているので紹介する
URLﾘﾝｸ(wankora.blog31.fc2.com)
Author:かずゆき 京都大学理学部を数学専攻で卒業
わんこら式数学の勉強法(受験生、小学生から中学生、高校生、大学生、社会人まで通用)
これを参考に効率ではなく『拘りを捨てて出来ることをやる』を常に念じて自分にあわせてやってください。
問題を見てすぐに解答、解説を読みます。
英語なら英語を読んですぐに対応する日本語を読みます。
最初に30秒ぐらいで出来た範囲をすぐに7周ぐらい繰り返す感じでやります。
1,最初の周は問題も解答も意味わからんわ～って感じで読むだけで超高速で終わらせます。
2,またその範囲を、意味や理解などすぐに拾えるものだけ拾って一周します。
3,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。
4,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。
5,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。
…こんな感じで7周ぐらいやってみてください。
これで、だんだん理解出来ていったり、処理が速くなったり、覚えられてきたら成功です。
拾えるものだけ拾うって言うのは
○こういう意味だから、こうなのか
○これとあれは似てる
○こういう計算になるから、こうなる
○語呂合わせ などです。
目安タイムは最初の1周目で 白チャートなら1例題10秒 シンプルな英単語帳の例文は1つ1秒
大学受験の数学の二次試験の過去問なら1問20～40秒 数学の専門書なら1ページで10～30秒
最初の周は意味わからないスピードにするのがポイントです(限界突破) 2周目からは、スピードを余り落とさないで意味を拾えるだけ拾っていきます。
ほんまに速すぎたり、めっちゃ難しいのは、何も拾えずに出来ないので注意して下さい。拾えるものを拾おうとしたり、計算を紙に書いて確認して結構時間かかっても大丈夫です。
繰り返すたびに整理していって、話を簡単にしていくようにします。
100:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 22:02:57.84
（前スレ611より再録）
ジグソーパズルを知っているだろう
数学の本を読んでいると、次から次に定義・定理が出てくる
ジグソーパズルの一つのピースみたいなもの
早く全体像を掴んで、その一つのピースが全体のどこにはまるのかを考えないと
ジグソーパズルの各ピースを見ていても理解は進まない
だが、各ピースを見ないと、全体像が理解できない。数学の本を読むのはなかなか大変だ（一部の天才は別として）
わんこら式>>449というのも一理ある
前の方で分からないところが出てくる。だが、最後まで読むと、後ろの方で関連したところが出てきて、「ああ、そうか」と分かる場合がある
早く最後まで読んで、また前から読むべし。全体像を掴みながら
これが良いのでは・・
101:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 22:16:58.59
>>97
仙石のおっさんな、岩波の数学辞典を知っているか？
下記に情報があるけどね
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
岩波 数学辞典 第 4版
おいらは、第3版を買ってね。お世話になった
おっさんは見たことないんだろうな
googleを馬鹿にしているが、岩波の数学辞典を利用するのとなんら変わらない
というか、英語のgoogleの情報量は圧倒的だよ。岩波＜日本語google＜英語google という感じかな
最近、アルティンって、初心者には意外にむつかしいかも知らんと思うようになった
102:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 22:21:24.49
正規底とか説明なしにポンと出てくる>>83 岩波でも手元に置いて読まないと、基礎知識がないとつらいだろう
（前スレ609より再録）
アルティン「ガロア理論入門」をあらためて眺めていたんだが
これ、群論の知識を前提として、群論部分はほとんど記述がないね・・
アルティン氏による”まえがき”に
「その初版のドイツ語訳の提案を受けたときに、私はついでに現代代数学の理論への入門をつけ加えるのが良いのではないかとも考えた。」
しかし、熟慮ののち、私は当初の方針を堅持し、前と同様の読者層を対象とすることを決意した。
今日世の中に現代代数学の基礎理論を与える教科書は十分なほどに用意されているからである。」と書かれている
前と同様の読者層＝ノートルダム大学の夏期学校で行った講義
だと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ノートルダム大学（University of Notre Dame）は、アメリカ合衆国、インディアナ州サウスベンド近郊にあるカトリック教会創設の名門私立大学。
1842年エドワード・ソリンによって創設された。現地では英語式に、「ノーターデイム」と発音する。エモリー大学などとともにヒドゥン・アイビー（Hidden Ivies）に数えられる。
（引用おわり）
ご存知米国は９月入学。とすれば、夏期学校の対象は、最低１年の大学教育は終えた者
おそらくは、数学科だろう
なお、「ガロア理論入門」のドイツ語の題は入門はついていないのだった
とすれば、群論は履修済みとして、そこは飛ばして夏期学校の短い時間で担当直入に「ガロア理論」を展開した本だと
”入門”というより、”概括”とでも言った方がいいかも知れない
骨太にガロア理論のエッセンスを、数学科で最低１年の大学教育は終えた者に教えるのだと
索引に群論関係の用語がほとんどないこともうなづける
索引はおそらく原書のままで、ページだけを調整したのだろう
P37の節の見出しになっている「群指標」さえ索引にはない。巡回群もない。本文には、群の定義は与えられていない＝知っているのが前提だと
アルティンは、そういう本なのだと思って読むことだね（＝”まえがき”にある「現代代数学の基礎理論を与える教科書」を併読すべきだと）
103:１３２人目の素数さん
12/03/18 22:26:08.21
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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104:１３２人目の素数さん
12/03/18 22:27:03.55
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| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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106:１３２人目の素数さん
12/03/18 22:30:11.08
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
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107:１３２人目の素数さん
12/03/18 22:33:12.52
>>98
チンで解凍するのか？
108:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 22:35:57.33
>>101
ああ、そう言えば、おいらがwikipediaからの引用が多いので、wikipediaだけから知識を得ているように勘違いする人が多いんだが
wikipediaからの引用するのが、スクラッチでタイプするより楽だし
wikipediaは説明用によく纏まっているし
書くべき内容は大体頭の中にはあるんだ
だが、正確に書こうと思うと、参考書も引っ張り出さないと行けない
キーワードと大体の内容は浮かんでいるから、検索で書きたいことと同じようなことを探して、コピペする。それが必然wikipediaからが多くなるだけ
109:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 22:42:12.68
>>107
回答は>>99だよ、仙石のオッサン
2011/01/13(木)から１年以上か
最近、アルティンって、初心者には意外にむつかしいかも知らんと思うようになった>>101
岩波 数学辞典>>101を手元に置いて、わんこら式>>99をやってみな
あと、分からんところをこのスレで質問してみな
110:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 22:48:26.33
>>90
引用されている下記が良いね
”* 群論は輪っかの理論
>> URLﾘﾝｸ(www18.ocn.ne.jp)
「群論がどのようなものか少し学んでみようという人には極力少ない文量で多くを述べた」
コンパクトに、要点を突いた良ドキュメント。
この方のサイトには、他にもいくつか数学関係のドキュメントがあって、どれも充実した内容です。”
（引用おわり）
輪っかの理論の図が綺麗
111:１３２人目の素数さん
12/03/18 23:12:44.72
俺は仙石では無いが、荒らしのしすぎで目を付けられている。
そろそろ書く禁になるかもな。
112:１３２人目の素数さん
12/03/18 23:29:51.85
＞現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
こいつ最近下品だなｗ 本性が出てきたかｗ
113:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 23:40:25.15
>>111-112
そうか、仙石じゃないか
>俺は仙石では無いが、荒らしのしすぎで目を付けられている。
>そろそろ書く禁になるかもな。
２ちゃんねる素人か？
>こいつ最近下品だなｗ 本性が出てきたかｗ
別に隠しちゃいない
相手に合わせているだけさ、おれはおれ
114:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/18 23:45:50.28
>>90
引用されている下記が良いね
物理のかぎしっぽは、前スレでおいらも引用したが
（引用開始）
今回のサイト作成にあたって、特に参考にしたコンテンツＢｅｓｔ３を紹介します。
* 物理のかぎしっぽ -- 代数学
>> URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
ガロア理論を順序立てて、しっかりと、しかもわかりやすく解説してある素晴らしいサイト。
よくぞこれだけ作ったものだと、本当に感心します。
“ガロア理論”をはじめとするキーワードで検索すると、ほぼ真っ先に(Wikipediaの次くらいに)このサイトが出てきます。
「初心者に易しく,楽しく,そして深く学ぶことのできる,誰もが欲しいと思っていた物理学ドキュメントをWWW上に構築しようとしています.」
うーむ、志が高い。
（引用終わり）
115:１３２人目の素数さん
12/03/19 00:12:20.96
>>101
仙石は数学をはじめて一年以上たっているんだよ
もう修士レベルは終わっているんじゃないのかな？
116:１３２人目の素数さん
12/03/19 00:29:06.68
>>113
＞相手に合わせているだけさ、おれはおれ
無意味なトートロジー。あんたが、下品だろうが、池沼だろうが成り立つなｗ
117:１３２人目の素数さん
12/03/19 00:31:21.18
＞ゴレイ符号（デジタル通信に用いられる誤り訂正符号。名前の由来はスイスの数学者 Marcel J. E. Golay。）→リーチ格子→散在単純群→モンスター群→ムーンシャイン→頂点作用素代数によるボーチャn－ズの証明という流れもある
ギョウエーテさんも学識が深いですね。
118:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 06:45:34.77
>>115
> 仙石は数学をはじめて一年以上たっているんだよ
>もう修士レベルは終わっているんじゃないのかな？
そう期待したいが
しかし、仙石の数学的アウトプットを見たことがないので、一年以上たっているけど進んでいないような気がする
自学自習の限界というか、現代数学は用語や記法がむつかしい。ガロアの時代とは違う。ガロアの時代は式の計算が中心だったから
アルティンは、用語や記法がある程度分かっている前提で書いているようだ。夏期学校という短期の講義録という制約からだろうが
線形代数の習熟と群論の基礎が前提とされていると思う
119:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 06:54:53.86
>>116
＞相手に合わせているだけさ、おれはおれ
スキンという言葉を聞いたことがあるか？（下記）
無意味なトートロジーではない
スキンを多少相手に合わせている。だが、本体は急には変わらない
URLﾘﾝｸ(it-words.jp)
スキンとはアプリケーションソフトウェアなどでユーザインタフェースの外観表示を変更できる機能をいう。（IT用語辞典 | 日立ソリューションズ）
120:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 07:10:58.95
>>117
乙です
リーチ格子→散在単純群→モンスター群は、昔から鈴木道夫氏が群論などに書いていた
ムーンシャイン→頂点作用素代数によるボーチャ－ズの証明は、ボーチャ－ズがフィールズ賞を貰ったときに話題になった
ゴレイ符号→リーチ格子は、最近読んだ本にあって、ゴレイ符号についてはネット検索で情報を得た
ギョウエーテさんね。ネット検索すると似たような名乗りがあるけど（下記ご参照）、もし特定の人を指すなら人違いだろう
ギョウエーテと名乗ったことも呼ばれたことも無かったから
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ゲーテ (Goethe) のドイツ語での発音は日本人には難しいこともあり、日本語表記は、古くは「ギョエテ」「ゲョエテ」「ギョーツ」「グーテ」「ゲエテ」など数十種類にものぼる表記が存在した。
このことを諷して斎藤緑雨は「ギョエテとは俺のことかとゲーテ言い」という川柳を詠んだ（矢崎源九郎『日本の外来語』参照）。
121:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 07:22:27.06
>>101
>というか、英語のgoogleの情報量は圧倒的だよ。岩波＜日本語google＜英語google という感じかな
補足
大体、まずwikipediaを見るようにしている。google検索のトップに来ることが多いし
次に英語のwikipedia。下記テクニックは>>81で紹介した
で、論文のPDFが落ちていたりすると拾う
岩波の数学辞典は以前の版を持っていて、昔はお世話になりました。あれ後ろに公式集みたいなのがついていて便利なんだ
”英語のwikipediaに対する一つのテクニックとして、まず日本語のwikipediaの検索ページを開く
そして、左端の言語のEnglishのところをクリックする
そうすると、日本語のwikipediaの検索に対応する英語の記事に飛ぶことができる”>>81
122:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 09:00:57.92
>>110
シローの定理というのが出てくる
四郎さん、アーベルと同じノルウエー人で高校の教師だった、1862年30歳のときに大学で講義”explained Abel's and Galois's work on algebraic equations”をしている。
そのときに、シローの定理に関する問題意識をもったようだ
1872年40歳のときにシローの定理の論文を発表したが、これが大ヒットだったんだ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Peter Ludwig Mejdell Sylow (12 December 1832 ? 7 September 1918) was a Norwegian
Sylow was a high school teacher in Halden, Norway, from 1858 to 1898,
It was then that he posed the question that led to his theorems regarding Sylow subgroups.
Sylow published the Sylow theorems in 1872, and subsequently devoted eight years of his life, with Sophus Lie, to the project of editing the mathematical works of his countryman, Niels Henrik Abel.
URLﾘﾝｸ(www-history.mcs.st-andrews.ac.uk)
In 1862 Sylow lectured at the University of Christiania, substituting for Broch. In his lectures Sylow explained Abel's and Galois's work on algebraic equations. A summary of these lectures is presented in [2].
It is worth noting that although he had not proved 'Sylow's theorems' at this time (he published them 10 years later) he did pose a question about them.
Sylow's fame rests on one 10 page paper published in 1872.
In this paper Theoremes sur les groupes de substitutions which Sylow published in Mathematische Annalen Volume 5 (pages 584 to 594) appear the three Sylow theorems.
Cauchy had already proved that a group whose order is divisible by a prime p has an element of order p.
Sylow proved what is perhaps the most profound result in the theory of finite groups.
If pn is the largest power of the prime p to divide the order of a group G then
G has subgroups of order pn,
G has 1 + kp such subgroups,
any two such subgroups are conjugate.
Almost all work on finite groups uses Sylow's theorems.