12/03/19 09:00:57.92
>>110
シローの定理というのが出てくる
四郎さん、アーベルと同じノルウエー人で高校の教師だった、1862年30歳のときに大学で講義”explained Abel's and Galois's work on algebraic equations”をしている。
そのときに、シローの定理に関する問題意識をもったようだ
1872年40歳のときにシローの定理の論文を発表したが、これが大ヒットだったんだ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Peter Ludwig Mejdell Sylow (12 December 1832 ? 7 September 1918) was a Norwegian
Sylow was a high school teacher in Halden, Norway, from 1858 to 1898,
It was then that he posed the question that led to his theorems regarding Sylow subgroups.
Sylow published the Sylow theorems in 1872, and subsequently devoted eight years of his life, with Sophus Lie, to the project of editing the mathematical works of his countryman, Niels Henrik Abel.
URLﾘﾝｸ(www-history.mcs.st-andrews.ac.uk)
In 1862 Sylow lectured at the University of Christiania, substituting for Broch. In his lectures Sylow explained Abel's and Galois's work on algebraic equations. A summary of these lectures is presented in [2].
It is worth noting that although he had not proved 'Sylow's theorems' at this time (he published them 10 years later) he did pose a question about them.
Sylow's fame rests on one 10 page paper published in 1872.
In this paper Theoremes sur les groupes de substitutions which Sylow published in Mathematische Annalen Volume 5 (pages 584 to 594) appear the three Sylow theorems.
Cauchy had already proved that a group whose order is divisible by a prime p has an element of order p.
Sylow proved what is perhaps the most profound result in the theory of finite groups.
If pn is the largest power of the prime p to divide the order of a group G then
G has subgroups of order pn,
G has 1 + kp such subgroups,
any two such subgroups are conjugate.
Almost all work on finite groups uses Sylow's theorems.
123:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 09:05:55.01
>>90
更に引用する
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
（抜粋）
「なぜ、五次方程式は代数的に解くことができないのか？」
この問題意識から、ガロア理論は生まれました。
簡単に言います。
「５次方程式には５つの解がある。
その５つの解を違いに入れ替える方法は 5! = 120通り。
この１２０通りの入れ替え方法を、形として表現すると正２０面体となる。
より正確には、１２０通りを半分にした６０通りの入れ替え方法が、
“正２０面体を回転して自身に重ね合わせる方法”に対応付けられる。
（正１２面体に対応付けることもできる。）
ところで、実際に正２０面体を動かしてみればわかるのだが、
正２０面体の回転操作を分解して、より簡単な図形に還元することができない。
これは、方程式で言うと、５次方程式をより簡単な式に分解して還元できないことを意味する。
なので、五次方程式は解けない。」
なんのこっちゃ？ 何故に、正２０面体？
そう思った人は、ぜひ上のサイトへ。 → URLﾘﾝｸ(galois.motion.ne.jp)
124:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 10:08:19.62
>>123
>「なぜ、五次方程式は代数的に解くことができないのか？」
>この問題意識から、ガロア理論は生まれました。
ラグランジュが根の置換と有理式で表される性質との関係を証明した（ラグランジュの定理）
（前スレ317より）
URLﾘﾝｸ(homepage2.nifty.com)
方程式論の歴史（平成１４年）
これの定理3-3だな
（引用おわり）
そしてラグランジュは、ラグランジュの分解式でべき根による解法を研究した（ラグランジュの分解式は、上記方程式論の歴史（平成１４年）のP8参照）
簡単化していうと、べき根による解法というのは結局巡回群に帰着される
巡回群というのは、ぐるぐる回るってことで、この話は>>110の”群論は輪っかの理論”を見てください
べき根拡大→巡回群→ぐるぐる回る関係しか表現できない→表現能力に限界がある と
125:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 10:22:20.86
>>124
もう少し、「なぜ、五次方程式は代数的に解くことができないのか？」について、分かりやすい例えばなしを
そこで、”複雑な対象は一つの切り口だけでなく、複数の切り口を使うべし>>44”と
一つの切り口が、
”正２０面体の回転操作を分解して、より簡単な図形に還元することができない。
これは、方程式で言うと、５次方程式をより簡単な式に分解して還元できないことを意味する。
なので、五次方程式は解けない。”>>123だと
これはトップダウンアプローチ
（因みに、トップダウンアプローチ、ボトムアップアプローチはよく言われるが、意識して自由自在に使い分けることをお薦めする。一般には両方をミックスして使う場合が多いので（下記は一例））
URLﾘﾝｸ(www.atmarkit.co.jp)
トップダウンかボトムアップか 瀬谷 茂 2006/10/20
（引用おわり）
”べき根拡大→巡回群→ぐるぐる回る関係しか表現できない→表現能力に限界がある”>>124
は、ボトムアップアプローチ
126:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 11:00:23.74
>>125 つづき
あと、アナロジーという考えがある
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
類推（るいすい）は類比（るいひ）、アナロジー（Analogy）ともいい、特定の事物に基づく情報を、他の特定の事物へ、それらの間の何らかの類似に基づいて適用する認知過程である。
ドイツ語のAnalogieはギリシャ語の?ναλογ?αからの外来語だが、そのギリシャ語での意味は「反ロゴス」である。
類推は、問題解決、意思決定、記憶、説明（メタファーなどの修辞技法）、科学理論の形成、芸術家の創意創造作業などにおいて非常に重要な過程であるが、論理的誤謬を含む場合が高く、論証力としては弱い論理である。
(科学的な新概念の形成過程は、チャールズ・パースによるアブダクション理論として区別される場合が多い)
異なる事象に対し類推することで、共通性を見出す言語的作業が比喩である。 言語学では、言語自体に対する類推が言語の変化の大きな要因とされる。
（引用おわり）
”べき根拡大→巡回群→ぐるぐる回る関係しか表現できない→表現能力に限界がある”>>124ということを
平面多角形の周囲と内部の対角線の複雑さに例えると
対角線は、下記のサイトの図のようになる
URLﾘﾝｸ(yosshy.sansu.org)
方程式の次数に対応するように、１次方程式には１点のみの図形、２次方程式には２点からなる図形（線分）を、多角形に含める（３次は当然３点からなる三角形）
そうすると、１次、２次、３次までは対角線がない。だから、（対角線に関係しない）巡回群のみで話が済む
４次方程式は、四角形が対応するが、対角線はただ２本だけ。なので、これはまだ巡回群の範囲で扱える*)
だが、５次方程式は、五角形が対応するが、上記のサイトの対角線の図で、この対角線に従う根の置換までを表現する必要が出てくる
で、巡回群は上記のサイトの図で、対角線での置換を除く、周囲の根の配置はそのままで、ぐるぐる回る関係を表現するもの
とすると、五角形になると複雑になって対角線に従う根の置換は、巡回置換（＝巡回群）の範囲で収まらない→だからべき根の範囲に収まらない→べき根では解けない と
*)鏡像変換（＝３次元空間に持ち上げて180℃反転する）で扱える。鏡像変換は、C2（２次の巡回群）と同型だと
127:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 11:43:26.55
>>126 つづき
（先に言っておくが、今日は仕事が休みでね）
鏡映変換は下記ご参照
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
で、別の切り口
組成列と単純群、可解群という見方がある
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
ガロア理論の基本定理
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
ガロア群と可解群
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
可解群について補足
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
ガロア理論の基本定理を認めてしまうと
方程式がべき根で解ける→方程式のガロア群が可解→５次方程式のガロア群は５次対称群で正規部分群は５次交代群のみ→５次交代群は単純群（位数は60）で非可解。（巡回群では表現できないからべき根では解けないと）
128:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 11:53:05.20
>>127
>方程式がべき根で解ける→方程式のガロア群が可解→５次方程式のガロア群は５次対称群で正規部分群は５次交代群のみ→５次交代群は単純群（位数は60）で非可解。（巡回群では表現できないからべき根では解けないと）
これは、トップダウンアプローチで、５次交代群S5から降りてくると、５次交代群A5までしか降りられないと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ボトムアップアプローチは、単位群から出発して、べき根で解ける群はどんなものかを考えるアプローチ
これが、ガロアの第一論文の最後の定理になっている
（前スレ575より再録）
因みに、守屋>>3のガロア論文の本文第VII節P39で
「この[群（G）の直前の]群について、前の群についてと同様に論ぜられるであろう。
その結果、[群の]分解の順序で第一の群、すなわち方程式の実際の群は
xk, xak+b
という形の置換だけを含むことができることになる。」
と、書かれているが、ここはちょっとおかしいだろう
つまり、ガロアは>>554アルティン「補題 qを素数とし、Hをq個の文字の置換群とし、Hの正規部分群Nが線形であるとする。するとH自身も線形である」を明確に意識し、
”線形群の正規拡大はまた線形になる”ので、結局べき根で解ける素数n次の既約方程式のガロア群は線形群だと主張していると思う
とすれば、
「この（正規部分群列（方程式のガロア群=G0>G1>G2>・・・>Gs-1>Gs=1 by アルティン>>511 ））について、前の群（Gs-1 by アルティン＝群（G）の直前の群 by ガロア）についてと同様に論ぜられるであろう。
その結果、[群の]分解の順序で第一の群、すなわち方程式の実際の群は
xk, xak+b
という形の置換だけを含むことができることになる。」とされるべきだったろう。ガロアの原文が悪いのか、訳がどうなのか不明だが
129:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 12:33:15.10
>>128
つづき
ガロアの第一論文の最後の定理>>4
（前スレ440より再録）
話がそれたが、今日の本題は、正十二面体の中で、５次の線形群（位数 5・4=20）を考えてみようと
>正十二面体の面は正五角形をしていますので，星型に五本の対角線が引けます．
>この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内接させることができます．次図のように，これには五種類あります．
>正十二面体はちょうど，正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せたような形になっているわけですね．
>まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に，120度もしくは240度回す変換があります．対角線は4本ありますので，この種類の変換が計8個あります．
>次に，正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換があります(この軸は，切妻屋根の稜線の中心を通ります)．これが計3本あります．
>P(12)～5xA4=A5
P(12)～5xA4=A5の中で、5は５次の巡回群＝”上記の内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”で位数５
だから、位数 5・4=20のためには、A4の部分群で位数４のものを探すと・・・、”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”計3本＋恒等置換で計４！ これかなと
まとめると、
５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と、”内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”の巡回置換群（位数５）の組み合わせからから成る群だと
これ（>>435-436）で、A5（５次交代群）と正十二面体や正二十面体群との関係、部分群として５次の線形群（位数 5・4=20）の正十二面体の中での位置づけが見えたと思う
で繰り返しになるが、５次の線形群（位数 5・4=20）までの特殊な５次方程式ならべき根拡大で解ける>>415-416
そのときは、”V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実はV=Aa+Bb と二つの根で十分だ”>>415という特別な場合だ
しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とるが、A5は図形的には正十二面体や正二十面体群で、これはべき根（＝巡回群）による正規拡大（＝巡回群による群の拡大列）では到達できない群になる
これが、ガロア理論のお話し的な説明なのだ
130:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 12:42:17.52
>>129
つづき
ガロアは、５次（素数次）の方程式として、コーシーの論文を引用し、５次の巡回群が必要だというボトムアップアプローチを考える
そうして、５次の巡回群のひとつ前の正規部分群が線形群になり、線形群を正規部分群を含む群は正規部分群になると展開する
それが>>128-129
これで、ボトムアップアプローチから、５次のべき根で解ける方程式のガロア群は線形群（位数20）までで、位数60の交代群A5や位数120の対称群には届かない
これば、ボトムアップアプローチからの一般５次方程式がべき根では解けないもう一つの説明だ
131:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 13:06:34.54
>>130
E.Artin(アルティン)/寺田文行・訳「ガロア理論入門」>>83
で、定理46 素数次の既約方程式の群Gが可解のとき、その分解体はその方程式の相異なる任意の２根を添加するだけで得られる
と述べたのち、
「Kを実数体の部分体とする・・２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。”」
「系 実数だけからなる体内の奇素数次の既約多項式がべき根で解けるときは、その既約多項式は実根をただ一つもつか、すべての根が実根であるかのいずれかである」
「有理数を係数にもち、既約でしかも３つの実根をもつ５次方程式をつくることは容易である。そのような方程式はべき根で解くことはできない。例えばx^5-10-2=0」
だと。
これも、一般５次方程式が解けないという説明の一つの切り口
132:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 13:59:49.25
>>131
>「Kを実数体の部分体とする・・２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。」
>「系 実数だけからなる体内の奇素数次の既約多項式がべき根で解けるときは、その既約多項式は実根をただ一つもつか、すべての根が実根であるかのいずれかである」
>「有理数を係数にもち、既約でしかも３つの実根をもつ５次方程式をつくることは容易である。そのような方程式はべき根で解くことはできない。例えばx^5-10-2=0」
余談だが
この系と例は、アルティンとは別の本んでも昔読んだ気がする（そのときは下記には気付かなかった）
が、「Kを実数体の部分体とする・・２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。」
という部分で、１の原始根は拡大体に含まれているとして、ガロア理論を展開するのが普通。とすれば、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”で、１の原始根（虚数）は？と思うんだよね
結論は正しいと思うけど、理由付けがね。例えば、アルティンは定理41の証明の２．で「εを１の原始n乗根として」として証明を進めている
そしてその結果を用いて、線形群を導き、定理46を導いている
とすれば、”２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。”は違和感あり
３つの実根と２つの虚根の場合に、定理46に反するのは（１の原始n乗根は添加されている前提で）もう少し丁寧な議論を要するように思う
133:１３２人目の素数さん
12/03/19 16:04:39.57
>>113
>２ちゃんねる素人か？
何かうまい方法でも有るのか？
134:１３２人目の素数さん
12/03/19 16:04:49.19
640 名前：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2012/02/18(土) 15:05:47.13 ID:sskgsjsc0 [2/2]
『平清盛』プロデューサー反日朝鮮人 磯智明（反日・天皇制度廃止論者）のプロデュース作品
①『監査法人 (2008)』反体制・反社会
②『最後の戦犯 (2008)』反日・天皇制度廃止・反体制・反社会
③『リミット -刑事の現場２- (2009)』反体制・反社会
日本放送協会 、、 〒150-8001 東京都渋谷区神南2-2-1
韓国放送公社(KBS) 〒150-0041 東京都渋谷区神南2-2-1NHK東館710-C ←よく痴漢やヤクで捕まるのはここの工作員
テレビが言えない民主党のスポンサー=韓国北朝鮮
あとはもうわかるよな
民主党は、朝鮮人だらけ。
野田はどうだろうか。韓国人の集いに出席し、韓国人暴力団から賄賂を貰っている野田は
135:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 17:52:30.11
>>133
>何かうまい方法でも有るのか？
いや、別に方法はないけど
”俺は仙石では無いが、荒らしのしすぎで目を付けられている。
そろそろ書く禁になるかもな。”のところがね
数学板みたく過疎っているところはどうか知らないが
そう簡単にアク禁にはならないだろうと思う
現在のルールは熟知していないが、経験的にはアク禁は個人ではなく、発信元のプロバイダー込でアク禁になったと思う
だから、自分は関係なくとも巻き込まれて、アク禁にされてアキコが出来ないという経験はなんどもあった
「発信元のプロバイダー込でアク禁」というのは、そうとう大変なことで周りを巻き込むから管理者側もよほどでないとやらない
”荒らしのしすぎ”というのがどの程度か知らないが、従来のアク禁のレベルから言えば、そうとうな労力をかけてやらないと
アク禁になるのは、荒しより宣伝貼り付けが多いように思う（経験上）
２ちゃんねるでの商売（PR）は、オーナーの許可が必要だぞと
”荒し”かどうかは、なかなかムツカシイし、基本はその板やスレの住人に任されているから、「その程度は自分らで管理しろ」と思われる場合が多いだろうと
と言って、荒しを奨励しているわけじゃない
「発信元のプロバイダー込でアク禁」というのは、その個人のIDをプロバイダーへ送り付けて、「こいつをなんとかしないと、あんたのところ全員２ちゃんねるアク禁だ」とやるわけで
そいつは、発信元のプロバイダーから睨まれるってことになる。そうして、プロバイダーから「再発防止策を取りましたのでアク禁解除してください」という連絡があるまで、解除されないよと
”荒し”みたいな無益はことに労力使うなと
それが結論だけど
136:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 17:55:19.65
>>135 訂正
だから、自分は関係なくとも巻き込まれて、アク禁にされてアキコが出来ないという経験はなんどもあった
↓
だから、自分は関係なくとも巻き込まれて、アク禁にされてカキコが
137:１３２人目の素数さん
12/03/19 18:23:56.94
>>135
他人の荒らしやほかの板と比べてどの程度か分からないが、
URLﾘﾝｸ(150.19.10.122)
と云うメッセージが良く出る。
>”荒し”みたいな無益はことに労力使うなと
確かにそうだが、暇なので又、今晩やってみる。
今月いっぱいで止めようとは思うが。
138:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 18:46:43.93
>>137
>URLﾘﾝｸ(150.19.10.122)
>と云うメッセージが良く出る。
うん、これはね、おいらも経験があるけど
”荒し”という内容に関する規制ではないよ
”連投禁止”みたいなものだ
おそらく、ある短い時間の間に連続して投稿（記憶では８回かな）したので（あんたの場合は荒しかな）
ちょっと頭を冷やしないさいみたいな
で、それは”目を付けられて”ではなく、（コンピュータの）機械的な処理だと思う
>確かにそうだが、暇なので又、今晩やってみる。
>今月いっぱいで止めようとは思うが。
暇だね。まあ、止める権能はおいらにはないけど
できれば、他所でやってくれると助かるね
139:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 19:48:10.49
>>137
>確かにそうだが、暇なので又、今晩やってみる。
>今月いっぱいで止めようとは思うが。
一つ忠信から忠告するが
つまらんことをしていると、リアルでそういう臭いというか影が出ることがある
人間が小さく影や隠し事のあるつまらない人間的魅力の無い人になってしまうような気がする
やるなら、人のために汗をかくことをした方がいいよ
そうすれば、人が磨かれ光る
そちらがお薦めだよ
140:１３２人目の素数さん
12/03/19 20:13:20.92
>>139
忠告有り難う。
来週は理科大だから実質的には今週いっぱい。
それ以外にあったとしたら別人。
141:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 21:33:23.52
ああ、東京理科大か
うちの会社にも去年一人
神楽坂の辺に展示場みたいなのが・・
もう大学の準備かね
頑張ってね
142:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 23:02:58.50
>>90
>”ガロア理論とは何か？”
このページなかなか面白いし、レベル高い。参考になるよ
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
学校では教えてくれない数学:ガロア理論
2010年09月16日
かわったガロア理論
143:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 23:10:54.02
>>90
これも面白い
URLﾘﾝｸ(www.sci.nagoya-u.ac.jp)
眠りから覚めた微分ガロア理論 梅村 浩 多元数理科学専攻教授 名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌 No.10 p14_15
彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
（１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
（２）ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。
方程式の場合、目のつけどころであるカナメの部分がガロア群である。ヒヨコのお尻と違って、方程式の対称性であるガロア群は隠れているので、発見するのが難しいのである。
ガロア理論は上に述べた歴史的難問の解決に役立っただけではない。19世紀以降の数論、代数幾何学の発展はガロア理論なくして考えられない。たとえば300年を越える眠りから覚めたフェルマの最終定理の証明もそうである。
忘れ去られたアイデア
代数方程式とならんで大切なのが微分方程式*4である。科学の多くの問題が微分方程式記述できることからもその重要性が推察できよう。
代数方程式においてガロア理論が重要な役割をはたすのを見て、リー*5はガロア理論を微分方程式に対してもつくろうという着想をもった。微分方程式のガロア理論は微分ガロア理論とよばれている。つまり、リーは微分ガロア理論をつくろうと考えた。
ところがこれは難しい問題である。その理由は2つあって、1つは理論が本質的に無限次元*6であること（略）
有限次元の理論さえなかった当時、リーは有限次元の理論からつくり始めなければならなかった。リーのアイデアの実現は20世紀の初めまで盛んに試みられたが、問題が難しいこともあって放棄され、ついには忘れ去られてしまった。
私は1996年に、20世紀初頭に活躍したフランスの数学者ヴェッシオ*7の晩年の1つのアイデアを現代代数幾何学*8と結びつけることにより、新しい無限次元微分ガロア理論を提案した。
数年後海外で話題となった。現在はこの分野の研究に注目する数学者が増えてきた。無限次元微分ガロア理論は数十年の眠りから覚めて復活したのである。
1980年代からひそかにこの分野の重要性に注目して、研究をしていた私にとって、復活のための一翼を担うことができたのは、うれしいことである。
144:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 23:19:19.52
（前スレ368より再録）
URLﾘﾝｸ(wind.ap.teacup.com)
ガロア理論 なぜこの方程式は解けないか？ （さくら教育研究所）
■ガロア理論への旅 その１
ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。
ところが、最近になって急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地というのもスゴイやら情けないやらである。
そして、わかってしまうと、結局は「2次方程式の解の公式」の中にすべての秘密が隠されていることに気がつかされるのである。（某大学の先生）
■ガロア、わが青春の砕けた夢
いまでも数学というと陶然となる。もちろん高校までの受験数学や教養課程の数学ではない。今でも理解したくても出来ないのがガロア理論だ。
確かにガロアといえばその政治的人生と失恋、決闘による悲劇の最期の生涯ばかりが語られがちだ。これもやむを得ないことでガロア理論、現代数学の真のスタート、があまりに難解で読んでも聞いてもまず常人では理解不可能なしろものだからだ。
これは何もガロア理論に限らず近代から現代数学の諸天才になる数学理論の全てに妥当するがその象徴的、あらゆる意味で象徴的な存在がガロアである。
今はラインナップが整理されたようだが東京図書からは数多くの数学ジャンルの本が出版されていた。その中で「ガロア理論」を高三のとき購入し、読み始めたが余りの難しさに持っているだけの満足感を求めるしかなかった。
「ガロア、その真実の生涯」は数学自体は出てこないに等しいので誰にでも読める。だが、これでは何も理解したことにはならない。
カントールの「濃度の理論」の集合論は分かる。
だが抽象代数学は本当に難しい。
ガロアの群論からさらにリー群論となるとてんで一行も進まない。（某お医者さん）
145:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 23:33:18.50
は？ hiroyukikojimaの日記って、あの小島さん？
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
思想としてのガロア理論 - hiroyukikojimaの日記 2011-04-04
ぼくに記事の依頼があったのは、昨年『天才ガロアの発想力』技術評論社というのを刊行したからだろう。今回の記事は、この本の最後の章に書いた「位相空間のガロア理論」を、もっと初歩から丁寧に論じた。
天才ガロアの発想力 ?対称性と群が明かす方程式の秘密? (tanQブックス)作者: 小島寛之
(この本については、『天才ガロアの発想力』出ました！ - hiroyukikojimaの日記参照のこと)
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146:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/19 23:44:28.22
”最後になってですが、筆者はこの解法を書き上げて、やっとガロア理論をなんとなく分かってきたかなという状況に成りました。”か
みんな苦労しているんだ・・
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ガロア理論 を勉強中の人の役に立ちたい！４次方程式からの入門 ライター：nijicameさん（最終更新日時:2012/1/28）投稿日：2012/1/27
４次方程式の解法の紹介
関連資料（準同型、半直積等についての）
４次方程式の解法中で群論がどのように働いているか、群がどうのように変化しているかを行列で表現し工夫しました。
読後、「５次対称群が可解群でないので５次方程式がこの解法の延長では解けそうもない」ことを感じ取って貰えれば、このノートの目的はひとまず達成しているかと思っています。
最後になってですが、筆者はこの解法を書き上げて、やっとガロア理論をなんとなく分かってきたかなという状況に成りました。
147:１３２人目の素数さん
12/03/20 01:08:50.70
攻撃開始
148:１３２人目の素数さん
12/03/20 05:41:46.87
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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149:１３２人目の素数さん
12/03/20 05:42:11.23
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150:１３２人目の素数さん
12/03/20 05:42:30.98
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151:１３２人目の素数さん
12/03/20 05:43:00.68
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152:１３２人目の素数さん
12/03/20 05:43:19.07
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12/03/20 05:44:55.62
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12/03/20 05:45:21.72
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12/03/20 05:46:16.76
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156:１３２人目の素数さん
12/03/21 21:03:03.48
>>132
（前スレ415より再録）
ガロアリゾルベントを体論の代用として使うメリットもある
例えば、ガロア論文の最後の定理
「素数次の既約方程式が累乗根で解けるためには、（この方程式の）根の任意の二つがわかれば、他（の根）はそれから有利的に導かれることが必要十分である」と
つまり、根の任意の二つがわかれば・・・は
V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実は
V=Aa+Bb と二つの根で十分だと
とすると、置換（a,b,c,・・・）でV=Aa+Bbの取る値の数は、n(n-1)となり、この場合のガロア群の位数が直ちにでるのだった
157:１３２人目の素数さん
12/03/21 21:09:57.96
（前スレ407より再録）
今日はこれ。>>315>>317倉田>>4§７より
（ラグランジュの定理）
体ｋ上のｎ（＞１）次の多項式の根α１、・・・、αｎは重根を持たないとする。
α１、・・・、αｎのｋ上の有理式
β＝φ（α１、・・・、αｎ）、γ＝ψ（α１、・・・、αｎ）において
βを不変にするすべての（α１、・・・、αｎ）の置換によって、γが不変ならば、
γはβのｋ上の有理式で表される。
証明は、
デデキント、ラグランジュの論法を使う
βを不変にするSn（ｎ次対象群）の部分群をHとし、
Sn＝H＋σ1H＋・・・＋σk-1H
とする。
β1＝σ1β、β2＝σ2β、・・・、βk-1＝σk-1β とおけば、
β、β1、β2、・・・、βk-1は、Snの置換によって生じる量の全部である。
γから同様にγ1＝σ1γ、γ2＝σ2γ、・・・、γk-1＝σk-1γを作る。
このとき、γ、γ1、γ2、・・・、γk-1も、Snの置換によって生じる量の全部である。
但し、γ、γ1、γ2、・・・、γk-1の中に等しいものはあり得る。
F(ｘ)＝（ｘ－β）（ｘ－β1）・・・（ｘ－βk-1）
を作ると、根と係数の関係から、F(ｘ)はｋ上の式。
F(ｘ)（γ／（ｘ－β）＋γ1／（ｘ－β1）・・・＋γk-1／（ｘ－βk-1））＝G(ｘ)
を作ると、G(ｘ)もSnの置換によって不変だから、ｋ上の式。
これから、
γ＝G(β)／F’(β) 即ち、γはβのｋ上の有理式
F’( x )＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分)
158:１３２人目の素数さん
12/03/21 21:13:56.65
（前スレ411より再録）
「１．V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）は、”a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる”ように定めた>>28
だから、Vを変えない置換は恒等置換eのみ」
「３．ラグランジュの定理を補助線として、Vを見ると、Vを変えない置換は恒等置換eのみだから、Vはどんな根の有理式を持ってきても、それは必ずVの有理式で表されるという構造になっているんだ（ここポイント）」
V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントで、>>407にならって、Snの置換によって生じる量の全部
V、V1、V2、・・・、Vk-1 （k=n!）
で、元の方程式の一つの根aがa＝φ(V)という有理式で表されたとして、上記同様Snの置換によって生じる量の全部を考え
φ(V)、φ(V)1、φ(V)2、・・・、φ(V)k-1 （k=n!）
ここで、この中には同じ値のものが存在する。例えば、一般５次方程式なら根は５つ(例 a,b,c,d,e)であるから、異なる値は５で２４づつ同じ値が存在する。
F(ｘ)＝（ｘ－V）（ｘ－V1）・・・（ｘ－Vk-1）として
F(ｘ)（φ(V)／（ｘ－V）＋φ(V)1／（ｘ－V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ－Vk-1））＝G(ｘ)
φ(V)＝G(V)／F’(V)
F’(x)＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分)
で、分かりやすく一般５次方程式で根５つ a,b,c,d,eで考える。
１．ある置換σがあって、根aがbに置換されたとする
そのとき、ガロアリゾルベントVの値が変わるがその式をVbと名づけよう
Vb＝Ab＋・・・（後の・・・は根b以外の項）
F(ｘ)（φ(V)／（ｘ－V）＋φ(V)1／（ｘ－V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ－Vk-1））＝G(ｘ) （k=5!）
で、この式の両辺に置換σを施す
この式全体は、ｋ上の有理式だから、左右両辺は全体としては変わらず等号は成り立つ
ただ、（φ(V)／（ｘ－V）＋φ(V)1／（ｘ－V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ－Vk-1））の並びが変わる
φ(V)／（ｘ－V）は、φ(Vb)／（ｘ－Vb）に変わる
φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)
ところで、a=φ(V)だったからこの式の両辺に置換σを施すとb=φ(Vb)
つまりb=φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)
159:１３２人目の素数さん
12/03/21 21:17:27.25
（つづき）
２．逆にある置換σでaが不変なら、上記の論法でφ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)は、aのまま
３．同じことが、aがc、ｄ、eに変わるときにも言える。つまり、ある置換σとそれに対応するガロアリゾルベントでのaの変化は完全に対応している
４．上記の論法（φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)）で、同じことは他の根（b,c,d,e）の全てに言えて、ある置換σにおける根の入れ替わりと、その置換に対応するガロアリゾルベントでの根の入れ替わりは同じ
なので、>>325でしたように
”f(α,β,γ)=（α－β）^2で、これを変えない置換は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない式を作る
Ｖ１＝ａα＋ｂβ＋ｃγ、Ｖ４＝ａβ＋ｂα＋ｃγ（Ｖ１に（α,β）を施してＶ４に）
で、（ｘ－Ｖ１）（ｘ－Ｖ４）がそれ”
と、置換（α,β）（＝α,βの互換）を考えて、それをベースに素直に（ガロア論文にある根の有理式を経由しないで）ガロアリゾルベントで直接根の置換を考えて良いということになる
そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ）
ここは、前述>>361のように
倉田>>4は、P119の命題２（Vの有理式の群と根の置換の成す群が（反）同型）で扱っている
>>409-412が証明になっているかどうか不明だが、分かりやすい説明にはなっているだろう
160:１３２人目の素数さん
12/03/21 21:18:36.43
（前スレ414より再録）
補足
>ところで、a=φ(V)だったからこの式の両辺に置換σを施すとb=φ(Vb)
>つまりb=φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)
ここは、
φ(V)=aで、φ(V)／（ｘ－V）は、デデキント、ラグランジュの論法>>407のもともとの式の定義から、分母と分子は一つの置換で連動して動くことになっていたから>>409
分子aがbに置換されれば、分母のVの式中のaもbに置換されると
そういう見方もできる
>そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ）
V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントには、順列（a,b,c,・・・）が対応し
V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ ガロアリゾルベントには、順列（a',b',c',・・・）が対応し
この順列と下記の置換が対応する
（a,b,c,・・・）
（a',b',c',・・・）
（ここは、置換のコーシー記法で、上段と下段とを大きな括弧で括っていると見てください）
V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ ガロアリゾルベント
↓
（a',b',c',・・・）順列
↓
（a,b,c,・・・）置換
（a',b',c',・・・）
という三点セットで、ガロアは置換群をガロアリゾルベントの集合として捉え、ガロアリゾルベントを体論の代用として使った
これがガロアの見ていた原風景ではないだろうか
161:１３２人目の素数さん
12/03/21 21:28:24.30
>>156
えーと、前スレより長々と引用したが
言いたいことは
”つまり、根の任意の二つがわかれば・・・は
V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実は
V=Aa+Bb と二つの根で十分だと
とすると、置換（a,b,c,・・・）でV=Aa+Bbの取る値の数は、n(n-1)となり、この場合のガロア群の位数が直ちにでるのだった”と
そして、ガロアリゾルベントを使う論法で、係数A,B,C・・・は、最初の体（簡単のために有理体Qとする）としてよく、方程式論の拡大体（分解体）のように１の原始根（x^n=1 の虚根）は考える必要はない
とすれば、>>132のアルティンの例ではガロアリゾルベントを使う論法の方が、１の原始根を考慮する必要がないだけ、議論は簡単になるだろうということ
（>>132で指摘したように、アルティンは分解体を導く前、定理41の証明の２．で「εを１の原始n乗根として」として証明を進めている）
162:１３２人目の素数さん
12/03/21 23:17:25.76
>>161
アルティン>>83の例 >>131で定理46の系の下に記されている
「有理数を係数にもち、既約でしかも３つの実根をもつ５次方程式をつくることは容易である。そのような方程式はべき根で解くことはできない。例えばx^5-10-2=0」
について考える
３つの実根a,b,cと二つの虚根d,eを持つを持つとする
定理46は、「素数次の既約方程式の群Gが可解のとき、その分解体はその方程式の相異なる任意の２根を添加するだけで得られる」と
だが、ガロア論文>>4の第VIII節の定理は
「素数次の既約方程式が累乗根で解けるためには、[この方程式の]根の任意の２つがわかれば、他[の根]はそれから有理的に導かれることが必要十分である」と
このガロア原論文の表現でよければ、分解体という用語を使わない方が、１の原始根を使わなくて簡単で良い
ガロア原論文の表現でよければ、「実根を二つ選べば、虚根は有理的に導かれない」ともいえる
163:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/21 23:19:13.49
すまん、コテ抜けた>>156-162
164:１３２人目の素数さん
12/03/21 23:27:25.56
割り込んですいません。かなりのボンクラですが、質問させてください。
長いので↓に書きました。迷惑だったらスルーヨロ！
URLﾘﾝｸ(blogs.yahoo.co.jp)
165:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/22 06:48:18.18
>>164
乙です。面白い情報をありがとう
暗黒物質関連の数物連携宇宙研究機構というのは知らなかったが、面白そう
URLﾘﾝｸ(www.ipmu.jp)
ホームページ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数物連携宇宙研究機構（すうぶつれんけいうちゅうけんきゅうきこう、英称: Institute for the Physics and Mathematics of the Universe、略称: IPMU）は、
数学と物理学の連携により宇宙の最も根源たる謎（暗黒物質など）の解明に挑む、東京大学総長室直属の研究機関。
166:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/22 07:09:33.64
>>165 つづき
”「このような暗黒物質粒子の安定性は基本的な数論とフェルマー理論に関連する新しい対称性によって引き起こされる。」 と書いてますが、”は、下記だね
URLﾘﾝｸ(www.ipmu.jp)
天体素粒子物理学 | IPMU-数物連携宇宙研究機構
（抜粋）
暗黒物質粒子の相互作用は重力以外わかっていないので、いろいろな可能性を調べなければならない。
IPMU研究者は可能性のありそうなもの、たとえば数論的暗黒物質、超対称性理論に現れるグラビティーノ、アクシオン、ステライルニュートリノ（相互作用をしないニュートリノの総称）、非対称でなおかつ崩壊するレプトンのような暗黒物質、などである。
数論的暗黒物質は中山、高橋、柳田によって提案されたエレガントで新しい可能性である。このような暗黒物質粒子の安定性は基本的な数論とフェルマー理論に関連する新しい対称性によって引き起こされる。
（このような理論はその名称と目的に示されるとおりの「物理学と数学」の研究所から生まれたことを付け加えておく）
（引用おわり）
その英語版が下記
URLﾘﾝｸ(www.ipmu.jp)
で、Number-theory dark matter が英語のキーワード（日本語で”数論的暗黒物質”で検索してほとんど意味ある情報はヒットしない）
で、英語検索で下記ヒット
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Number-Theory Dark Matter
Authors: Kazunori Nakayama, Fuminobu Takahashi, Tsutomu T. Yanagida
(Submitted on 23 Feb 2011 (v1), last revised 21 Apr 2011 (this version, v2))
167:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/22 07:14:26.95
>>166 つづき
（アブストラクト）
We propose that the stability of dark matter is ensured by a discrete subgroup of the U(1)B-L gauge symmetry, Z_2(B-L).
We introduce a set of chiral fermions charged under the U(1)B-L in addition to the right-handed neutrinos,
and require the anomaly-cancellation conditions associated with the U(1)B-L gauge symmetry.
We find that the possible number of fermions and their charges are tightly constrained,
and that non-trivial solutions appear when at least five additional chiral fermions are introduced.
The Fermat theorem in the number theory plays an important role in this argument.
Focusing on one of the solutions, we show that there is indeed a good candidate for dark matter, whose stability is guaranteed by Z_2(B-L).
Comments: 12 pages, no figure. v2: references added
Subjects: High Energy Physics - Phenomenology (hep-ph); Cosmology and Extragalactic Astrophysics (astro-ph.CO); High Energy Physics - Theory (hep-th)
Journal reference: Physics Letters B 699 (2011) 360-363
DOI: 10.1016/j.physletb.2011.04.035
Report number: IPMU 11-0020, TU-878, KEK-TH 1440
Cite as: arXiv:1102.4688v2 [hep-ph]
（引用おわり）
フェルマー理論との関係：
”We find that the possible number of fermions and their charges are tightly constrained,
and that non-trivial solutions appear when at least five additional chiral fermions are introduced.
The Fermat theorem in the number theory plays an important role in this argument.
Focusing on one of the solutions, we show that there is indeed a good candidate for dark matter, whose stability is guaranteed by Z_2(B-L). ”
168:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/22 07:24:20.53
あとは仕事から帰ってから
169:１３２人目の素数さん
12/03/22 07:30:21.34
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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170:１３２人目の素数さん
12/03/22 08:59:06.11
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171:１３２人目の素数さん
12/03/22 21:25:12.05
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あとはもうわかるよな
172:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/22 21:52:01.66
>>166-168
論文のPDFが見つかった（下記）
URLﾘﾝｸ(www.citebase.org)
で、本文を読むと、P9で
”Importantly, the Fermat theorem excludes the case of n = 3, which have forced us to consider n > 3.”と出てくる
P7で
”In the case of three new fermions (n = 3), we can easily see that there is no solution to Eq. (4), by noting the famous Fermat theorem in the number theory [7].”
”[7] A. Wiles, Annals of Mathematics 141, 3, 443 (1995); R. Taylor and A. Wiles, Annals of Mathematics 141, 3, 553 (1995).”
ところがだ。Eq. (4)というのがZ1^3+Z2^3+Z3^3=0って・・・、それWilesを引用する？？？
173:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/22 21:56:57.33
>>172
Z1^3+Z2^3+Z3^3=0は、もともとオイラーさんが証明していたでしょうよ
（因みに、オイラーさんも”おいら”と言っていたんだぜ、きっと）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
n = 3 ：オイラー
オイラーは1753年にゴールドバッハへ宛てた書簡の中で n = 3 の場合の証明法について言及し、1770年に刊行した著書でそれを明らかにした。
ただし、この証明は虚数のレベルまで因数分解を行ったものであったが、虚数のレベルまで因数分解をすると様々な複素数の積に分解できてしまうという不備があったので、のちに補正された。
（引用おわり）
まあ、軽い冗談なんだろうな
174:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/22 22:02:19.27
>>167
U(1)B-Lとか分からんだろうな（おいらも分からんかった）
下記ご参照
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In high energy physics, B ? L (pronounced "bee minus ell") is the difference between the baryon number (B) and the lepton number (L).
DetailsThis quantum number is the charge of a global/gauge U(1) symmetry in some Grand Unified Theory models, called U(1)B ? L.
Unlike baryon number alone or lepton number alone, this hypothetical symmetry would not be broken by chiral anomalies or gravitational anomalies,
as long as this symmetry is global, which is why this symmetry is often invoked.
If B ? L exists as a symmetry, it has to be spontaneously broken to give the neutrinos a nonzero mass if we assume the seesaw mechanism.
The gauge bosons associated to this symmetry are commonly called X and Y bosons.
The anomalies that would break baryon number conservation and lepton number conservation individually cancel in such a way that B ? L is always conserved.
One hypothetical example is proton decay where a proton (B = 1; L = 0) would decay into a pion (B = 0, L = 0) and positron (B = 0; L = ?1).
Weak hypercharge Y
W is related to B ? L via:
X + 2Y
W = 5(B ? L)
where X is the U(1) symmetry Grand Unified Theory-associated conserved quantum number.
175:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/22 22:06:46.54
>>174 つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Left?right symmetry is a general principle in physics which holds that valid physical laws must not produce a different result for a motion that is left-handed than motion that is right-handed.
The most common application is expressed as equal treatment of clockwise and counter-clockwise rotations from a fixed frame of reference.
The general principle is often referred to by the name chiral symmetry.
The rule is absolutely valid in the classical mechanics of Newton and Einstein, but results from quantum mechanical experiments show a difference in the behavior of left-chiral versus right-chiral subatomic particles.
Particle PhysicsIn theoretical physics, the electroweak model breaks parity maximally.
All its fermions are chiral Weyl fermions, which means that the weak gauge bosons only couple to left-handed quarks and leptons.
Some theorists found this objectionable, and so proposed a GUT extension of the weak force which has new, high energy W' and Z' bosons which couple with right handed quarks and leptons.
（この後が面白いが、数学記号が複雑なので省略する）
176:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/22 22:10:43.77
>>175 つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
A Grand Unified Theory, (GUT), is a candidate model in particle physics in which at high energy,
the three gauge interactions of the Standard Model which define the electromagnetic, weak,
and strong interactions, are merged into one single interaction characterized by one larger gauge symmetry and thus one unified coupling constant.
In contrast, the experimentally verified Standard Model of particle physics is based on three independent interactions, symmetries and coupling constants.
Models that do not unify all interactions using one simple Lie group as the gauge symmetry,
but do so using semisimple groups, can exhibit similar properties and are sometimes referred to as Grand Unified Theories as well.
Unifying gravity with the other three interactions would provide a theory of everything (TOE), rather than a GUT. Nevertheless, GUTs are often seen as an intermediate step towards a TOE.
As of 2012[update], all GUT models which aim to be completely realistic are quite complicated, even compared to the Standard Model, because they need to introduce additional fields and interactions, or even additional dimensions of space.
The main reason for this complexity lies in the difficulty of reproducing the observed fermion masses and mixing angles.
Due to this difficulty, and due to the lack of any observed effect of grand unification so far, there is no generally accepted GUT model.
（この後が面白いが、数学記号が複雑なので省略する）
177:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/22 22:24:38.00
>>164
ブログ削除されたか？・・・
まあ良い
>>166
”このような暗黒物質粒子の安定性は基本的な数論とフェルマー理論に関連する新しい対称性によって引き起こされる。”って
ご冗談でしょうフェルマーさん・・だな
178:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/22 22:43:44.75
>>162
本題に戻る
>３つの実根a,b,cと二つの虚根d,eを持つとする
分解体という用語を使わないガロア原論文の表現の方が、１のべき乗根を入れたくないときは、議論がシンプルだと思う
それから、３つの実根a,b,cと二つの（共役な）虚根d,eを持つ場合、ガロア群は線形群では収まらないということを直接導けるような気がする
（どうすれば良いか浮かんでいないが）
179:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/22 22:58:09.37
>>161
>V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント
なぜガロアはこんなものを考えたのか？を考えて見た
ガロアリゾルベントの前に、ラグランジュの分解式があった>>1
ラグランジュの分解式＝１の（虚数）累乗根のべきを係数とした式
ガロアは、最初ラグランジュの分解式の係数を１の（虚数）累乗根という制約を外して、５次方程式の解法を考えたのではないだろうか？
だが、結局係数を１の（虚数）累乗根という制約を外しても、５次方程式は解けなかった
そこから、ガロア群へ発展したのでは・・
180:164
12/03/22 23:04:25.03
>>1
レスどうもありがとう！
ってか何でブログ削除されてんだろ？
何かのカテゴリーに何時間か以内に入らないと消えるシステムになってんの？
それとも人のアドレスを勝手に貼ったからかなあ…気味悪
181:１３２人目の素数さん
12/03/22 23:12:40.20
>>179
違うよ
182:１３２人目の素数さん
12/03/23 01:40:15.07
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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183:１３２人目の素数さん
12/03/23 01:51:32.58
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184:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/23 06:10:09.73
>>180
ども
>ってか何でブログ削除されてんだろ？
>何かのカテゴリーに何時間か以内に入らないと消えるシステムになってんの？
おそらくルールは公開されていると思う
どこかに書いてあるんじゃないかな？
探して読んで見たらどうか
185:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/23 06:21:43.09
>>181
この書きっぷりは、その１で出てきたお方かな
どこが違うと？
ラグランジュの分解式＝１の（虚数）累乗根のべきを係数とした式で、元の体をQ（有理数体）で考える限り、ラグランジュの分解式で根の置換をすると一般５次方程式でも異なる１２０の値を持つ
とすると、ラグランジュの分解式はガロアリゾルベントの一種と考えることもできるだろう
とすれば、体をQ（有理数体）で考える限り、ラグランジュの分解式を使ってもガロア論文と同じ論法は展開できるのでは？
とすれば、わざわざラグランジュの分解式を使わずガロアリゾルベントにする意味は？
↓
ガロアは、最初ラグランジュの分解式の係数を１の（虚数）累乗根という制約を外して、５次方程式の解法を考えたのではないだろうか？と考えたのだが・・
186:１３２人目の素数さん
12/03/23 06:21:50.72
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187:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/23 21:45:20.04
現代数学はガロアから始まった・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論（ガロア-りろん、Galois theory）は、基本的には代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する代数学の理論をさす。
1830年代におけるエヴァリスト・ガロアによる代数方程式のべき根による可解性などの研究に端を発しているためこの名前がつけられている。
数学的構造についての最も初期の研究であり、圏と関手の考え方を含むような非常に現代的なパラダイムにもとづく理論だと見なされている。
実際にガロアは、方程式の研究において未知であった群や体の考えを用いていた。現代の代数学はこの理論から始まった。
ガロア理論を、方程式だけでなくそれの元になった初期の基本的な代数まで含めてもよいだろう。
188:１３２人目の素数さん
12/03/23 22:33:45.05
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189:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/23 23:28:15.78
>>187
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
歴史
ガロアは1832年の（死の原因となる）決闘の前日に、友人のオーギュスト・シュヴァリエに宛てて、ガロア理論と楕円関数論に関する数学的業績を要約した手紙を書いた。
その後、1846年になって、リューヴィルがガロアの功績を知って自分の雑誌にガロアの論文集を掲載したことで、多くの数学者が刺激を受けることになった。
デデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[1]。早い時期に、ベッチ、クロネッカー、ケイリー、セレは群概念を厳密化していった。
カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された『置換と代数方程式論』 (Traite des substitutions et des equations algebraique) はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。
また、デデキントとウェーバーは1882年に代数関数体とリーマン面の代数的理論を構築した[1]。
ソフス・リーによって導入されたリー群はガロア理論の類似を微分方程式に対して確立しようという試みの中から生まれたとされている。
その後、エミール・アルティンによってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された。
アレクサンダー・グロタンディークによって圏論的な定式化と数論幾何・代数幾何への応用が押し進められた。
190:１３２人目の素数さん
12/03/23 23:57:04.09
640 名前：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2012/02/18(土) 15:05:47.13 ID:sskgsjsc0 [2/2]
『平清盛』プロデューサー在日朝鮮人 磯智明（反日・天皇制度廃止論者）のプロデュース作品
①『監査法人 (2008)』反体制・反社会
②『最後の戦犯 (2008)』反日・天皇制度廃止・反体制・反社会
③『リミット -刑事の現場２- (2009)』反体制・反社会
日本放送協会 、、 〒150-8001 東京都渋谷区神南2-2-1
韓国放送公社(KBS) 〒150-0041 東京都渋谷区神南2-2-1NHK東館710-C ←よく痴漢やヤクで捕まるのはここの工作員
テレビが言えない民主党のスポンサー=韓国北朝鮮
あとはもうわかるよな
民主党は、朝鮮人だらけ。
野田はどうだろうか。韓国人の集いに出席し、韓国人暴力団から賄賂を貰っている野田は
191:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/24 09:41:43.35
>>189
下記がなかなか面白い
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
外部リンク
フランス語の原文とドイツ語、イタリア語、英語の翻訳：
URLﾘﾝｸ(www.galois-group.net)
URLﾘﾝｸ(www.galois-group.net) というのがあって、”Prof. James Milne for allowing us to mirror his splendid course notes "Fields and Galois Theory". ”で
URLﾘﾝｸ(www.jmilne.org) へ行くと
URLﾘﾝｸ(www.jmilne.org) Fields and Galois Theory - J.S. Milne Top から、v4.22 (March 30, 2011).が最新版
192:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/24 09:56:02.24
>>191
J.S. Milneさんか、どこの大学かな？
URLﾘﾝｸ(www.jmilne.org)
Mathematics Site - J.S. Milne (since 1996)
What's New in Articles
?Nov 11, 2009. New version of Points on Shimura varieties over finite fields: the conjecture of Langlands and Rapoport 2008b
What's New in Course Notes
?March 7, 2012. Major revision of Affine group schemes, Lie algebras, reductive groups, ....
?September 16, 2011. Algebraic Number Theory and Group Theory now available for ereaders
What's New in Expository Notes
?March 18, 2012. The Work of John Tate For Abel prize volume.
?May 13, 2011. TeXed version of Tannakian Categories (with Deligne)
URLﾘﾝｸ(www.jmilne.org) Lectures on Etale Cohomology
193:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/24 10:07:43.89
>>192
URLﾘﾝｸ(www.jmilne.org) 写真が綺麗
URLﾘﾝｸ(www.jmilne.org)
If you write clearly, then your readers may understand your mathematics and conclude that it isn't profound. Worse, a referee may find your errors. Here are some tips for avoiding these awful possibilities.
1.Never explain why you need all those weird conditions, or what they mean. For example, simply begin your paper with two pages of notations and conditions without explaining that they mean that the varieties you are considering have zero-dimensional
（面白い人だね）
大学がよくわからないが、時間がないのでここまで
194:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/24 10:17:47.08
>>192
> URLﾘﾝｸ(www.jmilne.org) Lectures on Etale Cohomology
補足：上記を引用したのは、下記があったから
おーい、加藤和也！ 名指しされているぞー！
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
現在エタール・コホモロジーについて書かれた体系的な日本語文献は出版されていない。岩波書店の現代数学の展開から出版予定であるが数年間延期されたままになっている。（執筆者は加藤和也）
・・と、 シカゴ大学数学科教授か、日本語書いている時間がないかね？ 愛光出身か、四国の名門だね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85)
1970年 - 愛光高等学校卒業
2009年 - シカゴ大学数学科教授に就任
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ドミニコ会を設立母体とし、カトリック精神に基づいて「愛 (Amor) と光 (Lumen) の使徒」たる「世界的教養人」を育成することを目標としている。
開校以来、男子校であったが、創立50周年に当たる2002年度より共学化を実施。2005年2月には、初めての女子生徒を送り出した。
全国でも有数の進学校であり、全国各地から生徒を集め、学園構内にある寮には多くの生徒が寄宿している。
195:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/24 10:27:45.75
>>194
>・・と、 シカゴ大学数学科教授か、日本語書いている時間がないかね？
ビジネス的には、なにか仕掛けをつくらないと動かんよ
シカゴ大学で、講義する。そのテキストと講義録を元に、だれか日本にいる人がテキストを作る
加藤和也と共著にするか、加藤和也監修にするか
まあ、岩波も名門だけどのんびりしているからな・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
1913年（大正2年）8月5日、岩波茂雄が東京市神田区南神保町16番地（現・東京都千代田区神田神保町）に開いた古書店として出発。正札販売方法を採用し、注目を集めた。
翌1914年（大正3年）に夏目漱石の『こゝろ』を刊行し、出版業にも進出。漱石没後に『夏目漱石全集』を刊行し、躍進する。看板は漱石の筆による。
多くの学術書を出版するだけでなく、岩波文庫や岩波新書を出版するなどして古典や学術研究の成果を社会に普及させることに貢献。文化の大衆化に多大な影響を与えた。昭和時代にはしばしば、大衆的な路線を貫く講談社と対比された。
戦前には、いわゆる共産主義講座派の拠点であった。
196:１３２人目の素数さん
12/03/24 10:32:41.02
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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197:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/24 16:56:31.76
>>193
>大学がよくわからないが、時間がないのでここまで
どうもシカゴ大みたいだが
その前にこんなのが・・・
URLﾘﾝｸ(www.e-booksdirectory.com)
Free Mathematics Books
Here is an alphabetical list of online mathematics books, textbooks, monographs, lecture notes, and other mathematics related documents freely available on the web.
I tried to select only the works in book formats, "real" books that are mainly in PDF format, so many well-known html-based mathematics web pages and online tutorials are left out.
Click here if you prefer a categorized directory of mathematics books. The list is updated almost on a daily basis, so, if you want to bookmark this page, use the button in the upper right corner.
005. Lectures on Stochastic Processes
K. Ito | Tata Institute of Fundamental Research （伊藤清？）
Published in 1960, 207 pages
（新しそうなところで）
006. Theory of the Integral
Brian S. Thomson | ClassicalRealAnalysis.com
Published in 2012, 330 pages
010. Geometry and Group Theory
Christopher Pope | Texas A&M University
Published in 2008, 181 pages
013. Group Theory
J. S. Milne |
Published in 2009, 127 pages
014. Introduction to Topology
Alex Kuronya |
Published in 2010, 102 pages
198:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/24 17:04:02.03
>>197
”J. S. Milne taught at the University of Michigan between 1986 and 1999”だと
いまは？と思うが、まあこの程度で
（このサイトもなかなか面白いよ）
URLﾘﾝｸ(mathforum.org)
The Math Forum - Math Library - Fields
All Sites - 8 items found, showing 1 to 8
２．Course Notes - J. S. Milne
Full course notes in dvi, pdf, and postscript formats for all the advanced courses J. S. Milne taught at the University of Michigan between 1986 and 1999:
Group Theory; Fields and Galois Theory; Algebraic Number Theory; Class Field Theory; Modular Functions ...more>>
199:１３２人目の素数さん
12/03/24 18:03:00.21
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200:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/24 19:33:47.87
>>185
補足
>ラグランジュの分解式＝１の（虚数）累乗根のべきを係数とした式で、元の体をQ（有理数体）で考える限り、ラグランジュの分解式で根の置換をすると一般５次方程式でも異なる１２０の値を持つ
>とすると、ラグランジュの分解式はガロアリゾルベントの一種と考えることもできるだろう
一つ確かに言えることは、V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント>>161は、ラグランジュの分解式＝１の（虚数）累乗根のべきを係数とした式の一般化（拡張）になっている
現代のガロア理論を知る我々の目から見れば、体をQ（有理数体）で考える限り、ラグランジュの分解式を使ってもガロア論文と同じ論法は展開できる
だが、ガロアの時代の人から見れば、ラグランジュの分解式＝１の（虚数）累乗根のべきを係数とした式を使っても、そこに疑問を挟まれる余地がある（別の係数の式ではどうなる？と）
そこで、V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントで係数A、B、Cは任意だとして理論を展開すれば、ここに疑問を挟まれる余地がなくなるので、理論としてはすっきりする。そういうメリットはある
ただ、ガロアの思考としてはV=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントでラグランジュの分解式以上の何かが出ないかと少しは考えたのではないだろうか
でも、何も出ないということは、ガロアにはすぐ分かったことと思う。そして、それをガロア理論の展開の基礎に据えたと
201:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/24 19:43:17.63
>>20
さて、今日はこれ
（引用開始）
”３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応
（V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V,
（V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V',
（V''）| φV'',φ1V'',・・・・,φm-1V'',
・・・・|･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・
（V''*）| φV''*,φ1V''*,・・・・,φm-1V''*,
注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）”
（引用おわり）
「 V=Aa+Bb+Cc+・・・
a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる」>>19
普通の素直な発想は、V=Aa+Bb+Cc+・・で、根（a,b,c・・・）の置換（a',b',c'・・・） (aa',bb',cc'・・・)
202:１３２人目の素数さん
12/03/24 19:44:10.76
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