12/03/29 03:30:58.84
>>411
簡略化して、関数f(x) 0<x<2πの近似を考える
f(x)を F_N(x) = Σ[n=-N,N] a_n exp(inx) で近似するとき
残差F_N(x)-f(x)の重みつき積分∫[0,2π]{F_N(x)-f(x)}exp(-ikx)dx
を0にすることを考えれば
∫[0,2π]{Σ[n=-N,N] a_n exp(inx)-f(x)}exp(-ikx)dx=0 k=0,±1,..,±N
すなわち
a_k = (1/(2π))∫[0,2π]f(x)exp(-ikx)dx k=0,±1,..,±N
となり、係数a_kが得られる。
これが俗に言うフーリエ級数展開で、fが連続ならば一様に
F_N(x)→f(x) (N→∞) であることが証明されている。
これがイメージで、後はfを微分方程式の境界値問題に置き換えるだけ