12/02/11 14:53:22.61
>>43
自分でやってみたのですが、広義一様収束は示せました。
任意のＲをとって、|ｚ|≦Ｒで考える。２Ｒ≦Nとなる自然数Nをとる
Σ(n＝-∞～∞)1/(ｚ-n)^2＝Σ(n＝-∞～-N)1/(ｚ-n)^2＋Σ(n＝-N～N)1/(ｚ-n)^2＋Σ(n＝N～∞)1/(ｚ-n)^2…①
と分ける。
まず第１項について
Σ(n＝-∞～-N)1/(ｚ-n)^2＝Σ(n＝N～∞)1/(ｚ＋n)^2と考えて、ワイエルシュトラスの判定送を使って第１項が一様に絶対収束することを示す。
N≦nの時
|1/(ｚ＋n)^2|≦4/n^2
Σ(n＝N～∞)4/n^2＜∞だから、①の第１項は一様に絶対収束する。同様に第３項も一様に絶対収束する。
したがって、|ｚ|≦ＲでΣ(n＝-∞～∞)1/(ｚ-n)^2は一様収束するから、広義一様収束が示された。
しかし、絶対収束が示せません…
上の証明と同様にΣ(n＝-∞～∞)|1/(ｚ-n)^2|＝Σ(n＝-∞～-N)|1/(ｚ-n)^2|＋Σ(n＝-N～N)|1/(ｚ-n)^2|＋Σ(n＝N～∞)|1/(ｚ-n)^2|と分けます。
第１項と第３項は先ほどの議論から、収束しますが、第２項が有限かどうかわからないため、絶対収束が示せません…
方針がまずいのでしょうか？アドバイスお願いします