12/02/17 07:36:40.97
>>111
fがCの領域Dの各点で微分可能なとき、fはD上で正則であるという。コーシー・リーマンの関係式とグリーンの定理から、次のコーシーの積分定理が導かれる:
fはD上正則でDの境界∂Dが区分的になめらかな閉曲線とすると
∫_[∂D]f(z)dz=∫_[∂D](udx-vdy)+i∫_[∂D](udy+vdx)=0
つまり、正則関数を閉曲線に沿って線積分すると0になる。この定理から次の重要な公式が導かれる:
同じ仮定のもとで、任意のa∈Dに対して
f(a)=(1/2πi)∫_[∂D]f(z)/(z-a)dz （コーシーの積分公式）
正則関数にまつわる重要な定理はすべてこの公式から導かれるといってもさほど過言ではない。
たとえば、正則関数は何回でも微分可能とか、関数列{f_n}がD上でfに広義一様収束するならfも正則で任意のk∈Nに対して{f^(k)_n}はf^(k)に広義一様収束するとか、
領域D内に集積点aをもつ点列{z_n}(z_n≠a)上でf(z_n)=0ならD上でf(z)=0とか、定数でない正則関数の絶対値は領域上で最大値を取らないとか、複素平面全体で有界な正則関数は定数のみとか、……