12/02/17 07:34:43.96
>>111
複素数Re^iθをかけることは、複素平面（複素数x+iyをベクトル(x,y)と同一視したもの）上で原点を中心とするR倍の相似拡大とθ回転の合成を意味する。
複素数はただのベクトルと違って（自然な）積と商の構造をもつから、実数の四則演算で表されることは変数を複素数に置き換えても成り立つ。
だから、複素数変数の関数f:C→Cに対して、実数の一変数関数関数とまったく同じように微分を定義できる。つまり、ある複素数定数Aがあって
f(z)-f(a)=A(z-a)+ο[z-a] (z→aのときο[z-a]/(z-a)→0)
となるとき、f(z)はz=aで微分可能という。
z,aが実数のときは、z→aの近づき方は、z→a+0,z→a-0の2通りしかなかったが、変数が複素数になると近づき方は無数にある。だから、fが実数の範囲で微分可能でも、複素数の範囲で微分可能とは限らない。
z-aに複素数Aをかけることは原点を中心とする回転拡大を意味するので、fが微分可能ならばfは局所的には回転拡大となっている。
で、f:C→Cは、変数変換Φ:(x,y)→(u,v)と見なせるから、ヤコビ行列∂(u,v)/∂(x,y)は回転拡大を表す行列になっている。つまり、
∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x （コーシー・リーマンの関係式）
をみたす。以上から、複素数の意味で微分可能というのは、かなり強い性質であることが分かる。