12/03/02 07:15:34.96
>>412
補足
>ところで、a=φ(V)だったからこの式の両辺に置換σを施すとb=φ(Vb)
>つまりb=φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)
ここは、
φ(V)=aで、φ(V)／（ｘ－V）は、デデキント、ラグランジュの論法>>407のもともとの式の定義から、分母と分子は一つの置換で連動して動くことになっていたから>>409
分子aがbに置換されれば、分母のVの式中のaもbに置換されると
そういう見方もできる
>そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ）
V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントには、順列（a,b,c,・・・）が対応し
V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ ガロアリゾルベントには、順列（a',b',c',・・・）が対応し
この順列と下記の置換が対応する
（a,b,c,・・・）
（a',b',c',・・・）
（ここは、置換のコーシー記法で、上段と下段とを大きな括弧で括っていると見てください）
V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ ガロアリゾルベント
↓
（a',b',c',・・・）順列
↓
（a,b,c,・・・）置換
（a',b',c',・・・）
という三点セットで、ガロアは置換群をガロアリゾルベントの集合として捉え、ガロアリゾルベントを体論の代用として使った
これがガロアの見ていた原風景ではないだろうか
415:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/02 07:43:29.83
>>414
ガロアリゾルベントを体論の代用として使うメリットもある
例えば、ガロア論文の最後の定理
「素数次の既約方程式が累乗根で解けるためには、（この方程式の）根の任意の二つがわかれば、他（の根）はそれから有利的に導かれることが必要十分である」と
つまり、根の任意の二つがわかれば・・・は
V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実は
V=Aa+Bb と二つの根で十分だと
とすると、置換（a,b,c,・・・）でV=Aa+Bbの取る値の数は、n(n-1)となり、この場合のガロア群の位数が直ちにでるのだった
416:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/02 21:29:40.88
>>415
とすると、置換（a,b,c,・・・）でV=Aa+Bbの取る値の数は、n(n-1)となり、この場合のガロア群の位数が直ちにでるのだった
補足
ガロア群Gの位数がn(n-1)として、nは素数
とすると、シローの定理(下記)により、ガロア群Gは素数n次の巡回群を部分群として含むことになり、Gは線形群が出るのだろう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
シローの定理
417:１３２人目の素数さん
12/03/03 02:12:13.43
これだけ古典的数学に造詣をお持ちの方というとＴ氏なんでしょうか？
418:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/03 07:27:36.47
>>417
乙です
Ｔ氏がどなたか存じ上げませんが、別人です
419:１３２人目の素数さん
12/03/03 08:13:06.94
test
420:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/03 09:32:06.95
>>415
補足
ガロア論文>>3の第VII節は、原文ままでは分かりにくい
倉田>>4 P164の解説がお勧め
ガロアは、素数P次の既約方程式に対し
G=H1＞H2＞・・・＞Hμ-1＞Hμ＝（e） （ここで＞などは、群論の含む記号のアスキー代用。また、Gは方程式のガロア群、（e）は単位元のみからなる群）
という、べき根添加による正規拡大列を見ていた
そして、（e）の直前のHμが素数P次の巡回群であることを述べ、Hμ-1が線形群になることを述べる
倉田P166（エドワーズ）の証明では、Hμ-1が素数P次の巡回群の正規拡大であることを使って、線形性を導いている
直感的でわかりやすい
ガロアは時間が無かったのか、あるいは現在のように群論を表現する記法が十分発達していなかったのもあると思うが、お話し風に書いてあるので分かりにくい
一度、解説を読んで、それから原文を読むのが良い
ガロアは間違いなく、倉田（エドワーズ）が示すような風景を見ていたことは確かだろう。だが、見ている風景を表現する記法は当時十分発達していなかったのだった
なお、第VII節のP39の最後のラグランジュの分解式（正確にはそのn乗）を使う解法は、ラグランジュがすでに得ていたことは、
「数学史 (数と方程式)」小杉肇や「代数方程式のガロアの理論」Jean-Pierre Tignol>>385に記されている
倉田>>4は、P206「22. ラグランジュとガロア」で、両者の関係について詳しく述べている
２説あるという。一つは、ガロアがラグランジュ理論の完成者だと
上記の小杉肇やJean-Pierre Tignolを読むと、この説に近いかなと個人的には思う
（倉田は、P208で当時ガロアが逮捕されていたときの釈放要求の新聞記事でガロア論文は
「ラグランジュの解釈できなかった困難を取り除くもの・・・」を引用している）
”記者がこれらのことに通じているとは考えられないから、これはガロア自身が語ったことだろう”と
421:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/03 09:33:09.85
>>420
（さらに補足）
しかし、そうだとしても、群論の創設は革命的であり、パラダイムシフトと見ることが出来る>>386
まあ、アインシュタインが特殊相対論を提唱したことに例えられるかも>>387
（特殊相対論によって物理学は、単なる数式でしかなかった「ローレンツ収縮」>>387 を大きく超えて発展したのだった）
422:１３２人目の素数さん
12/03/03 13:51:48.78
>>421
群論（正確には置換群）はルフィニやアーベルも使ってるよ。
423:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/03 21:03:55.60
>>422
>群論（正確には置換群）はルフィニやアーベルも使ってるよ。
なるほど、そういう意味で遡ると、群論の始祖はラグランジュだろうな
「代数方程式のガロアの理論」Jean-Pierre Tignol>>385 P146 「10.3 群論とガロア理論の最初の成果」に、
「・・・ラグランジュ・・・。実際、彼は根の置換に関する計算に着手しており、群論とガロア理論における最初の成果を得ている。」と認定している
ところで、有名なペレルマンが、「ハミルトンのリッチ・フロー発見に対する評価が十分でないことなど、数学界の不公平さに異議があることをその主たるものとして」ミレニアム賞の受賞を断ったとか
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
2010年3月18日に、クレイ数学研究所は、ペレルマンがポアンカレ予想を解決したと認定して、ミレニアム賞（副賞として100万ドル）授賞を発表した。
彼は2010年6月8日の授賞式に姿を見せなかったが、クレイ数学研究所の所長は「選択を尊重する」と声明を発表し、賞金と賞品は保管されるという。
同年7月1日にロシアのインテルファクス通信がペレルマンの話として伝えたところによると、受賞を断った理由は複数あるが、ハミルトンのリッチ・フロー発見に対する評価が十分でないことなど、数学界の不公平さに異議があることをその主たるものとしてあげたという。
（引用おわり）
つまり、「数学界では、大伽藍の最後のタイルを貼り付けて、証明を完成した者が評価される」という性癖があると言われる
ペレルマンは、「自分はハミルトンという巨人の肩の上に登って、仕事をしたのだ」と言いたかったのかも
さてガロアの例で言えば、ラグランジュは置換群論の始祖であって、彼が最初の成果を得たことは、Jean-Pierre Tignol>>385認定の通りだろう
そして、おいらも「ガロアがラグランジュ理論の完成者だと」思う>>420
だが、数学界一般では、ガロアを群論の創始者とする人たちも多いみたい。それは、ガロアが大伽藍の最後のタイルを貼り付けて、目覚しい成果を数学界の人々に見せたからだろう
ガロアが、ラグランジュという巨人の肩の上で仕事をしたことは確かだと思う
だが、大伽藍の成果を目に見える形にしたのはガロアだ
424:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/03 21:08:05.91
>>423
>ガロアが、ラグランジュという巨人の肩の上で仕事をしたことは確かだと思う
>だが、大伽藍の成果を目に見える形にしたのはガロアだ
現代では、誰もが先達の巨人の肩の上にいる
それを否定しては、何事も成り立たない
巨人の肩の上に乗っていいが、礼儀がある
先達のオリジナリティーを尊重し、きちんと引用を明確にすること
この点、ガロアはラグランジュの引用が少なすぎると思う
だが、彼は若かったし、時間がなかったのだろう。この点はスルーとしたい
425:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/03 21:26:54.09
>>424
補足
巨人の肩という言い方は、ニュートンの言葉として有名だ（下記）
URLﾘﾝｸ(ja.wikiquote.org)
私がさらに遠くを見ることができたとしたら、それはたんに私が巨人の肩に乗っていたからです。--ロバート・フック宛書簡、1675年2月5日（ユリウス暦、グレゴリオ暦では1676年2月15日）
If I have been able to see further, it was only because I stood on the shoulders of giants.
URLﾘﾝｸ(q.hatena.ne.jp)
ニュートンの有名な言葉「巨人の肩の上に～」について、その典拠を調べています。
ライバルであるロバート・フックあての1676年2月5日付けの手紙だそうです。
ただし、この言葉はニュートンの独創というわけではなく、1159年にすでに引用の形で残っているとのこと。
426:１３２人目の素数さん
12/03/03 21:32:30.52
>>423
単純に、有名な問題を解いたというだけで賞金を出す
クレイの売名行為が嫌いだったんだろう。
グロタンディクが、軍から研究所への資金援助を嫌って
隠遁生活に入ったようなもんだ。
427:１３２人目の素数さん
12/03/03 22:05:01.01
>>423
>なるほど、そういう意味で遡ると、群論の始祖はラグランジュだろうな
もっと遡ると、いわゆる対称式の対称性を初めて認識した人ではないだろうか？
つまり、対称式ではどんな置換をしても式の形が違わないということに気付いた人だね。
428:１３２人目の素数さん
12/03/03 22:13:18.70
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
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| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
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429:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/03 23:28:06.07
>>426
乙。そうかも
>>427
対称式ね。そうなのか。根と係数の関係（基本対称式）はいつから意識されていたんだろうか？
そういえば、有名なニュートンも対称式を研究していたようだが？
>>428
乙！ いつもご苦労さまです！ できれば、”age”にしてもらえるとありがたい！
430:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/03 23:32:54.84
正20 面体について検索していたら、こんなのが。メモ代わりに貼っておく
URLﾘﾝｸ(www.math.chuo-u.ac.jp)
ENCOUNTERwithMATHEMATICS
第51回 正 20 面体にまつわる数学--その 2 -- 2009年10月2日(金), 3日(土)
431:１３２人目の素数さん
12/03/03 23:39:52.75
物理学や天文学の発展がなければ
数学上の重要な発見もどうなっていたか？
432:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/03 23:46:49.39
同じく
しかし、数学展望 IIの講義資料は、だれかタイプアップしてやれよ、おい＞学生、手分けして （シラバスは同感）
URLﾘﾝｸ(ocw.nagoya-u.jp)
講義資料 | 数学展望 I | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW)
URLﾘﾝｸ(ocw.nagoya-u.jp)
講義資料 | 数学展望 II | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW)
URLﾘﾝｸ(ocw.nagoya-u.jp)
シラバス | 数学展望 II | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW)
歴史をひもといてみますと、数学と物理は互いに大きく影響をおよぼし合いながら発展してきたことが分かります。19 世紀以前ですと、ニュートン力学と微分積分や位相幾何学、電磁気学とベクトル解析などが代表的なものです。
20 世紀そして今世紀になると、その関係は更に深くなってきています。ですから、数学をより良く理解するためには、物理を全く無視する訳にはいきません。
本講義では、数学と物理の関わりについて、高校や共通教育ではやらない 20 世紀の物理（相対論や量子論）を題材に紹介します。
433:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/03 23:49:21.40
>>431
うん、ちょうど>>432をアップしたところだ
”歴史をひもといてみますと、数学と物理は互いに大きく影響をおよぼし合いながら発展してきたことが分かります。”（粟田英資 准教授）だと
434:１３２人目の素数さん
12/03/04 00:03:38.90
>>433
おお、ありがとう！！
解析力学とかベクトル解析も数学として学ぶことも
出来るが矢張り、数学科でも物理的観点を教えるべき。
435:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 08:01:14.76
>>430-432
A5（５次交代群）が、正20面体群に同型というのは有名だが、詳しい説明を探していたんだ
下記が良いね
図があるので、それを見ながら読んでください
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
正多面体群２ [物理のかぎしっぽ]
（抜粋）
正十二面体と正二十面体
正十二面体や正二十面体でも，(正四面体で先に示したように)頂点の動きに着目すれば，5次の交代群に同型だということが分かります．
P(20)～P(12)～A5
（つづく）
436:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 08:02:12.91
>>435 つづき
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
正多面体群２ [物理のかぎしっぽ]
（抜粋）
正十二面体が 次の交代群に対応することは，当初面倒なので結果しか示さなかったのですが，要望があったのでここに補足します．
正十二面体の面は正五角形をしていますので，星型に五本の対角線が引けます．
この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内接させることができます．次図のように，これには五種類あります．
正十二面体はちょうど，正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せたような形になっているわけですね．
さて，上の図のうちの一つだけに注目しましょう．正十二面体群の元のうち，内接する正六面体を正六面体自身に移す変換は，もちろん正十二面体も正十二面体自身に移します．
そこで，正十二面体群の元で，内接する正六面体をも保つものをまず考えます．左から四番目のものが見やすいと思います．
まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に，120度もしくは240度回す変換があります．対角線は4本ありますので，この種類の変換が計8個あります．
次に，正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換があります(この軸は，切妻屋根の稜線の中心を通ります)．これが計3本あります．
P(6)と違うのは，正六面体の各辺の中点を結んだ線を中心に回す変換が無いことです．このような回転は正十二面体の対称性を崩してしまうことがわかるでしょう．
結局，上記の二種類に恒等置換を加えて，正十二面体群のうち，正十二面体も内接する立方体も両方不変に保つものには8+3+1=12種類あることが分かりました．
24のちょうど半分ですから，位数からだけでもこれが交代群であることが証明できそうですが，念のため，頂点に番号を振って，ここで求めた変換が偶置換であることを示しましょう．
正十二面体に正六面体を内接させるさせ方には 種類ありましたから，次式が成り立ちます．
P(12)～5xA4=A5
437:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 08:35:03.60
>>434
乙です
そうそう
でも、粟田英資 准教授 講義資料 | 数学展望 II URLﾘﾝｸ(ocw.nagoya-u.jp)
で、初回にもう少し全体像を話す時間を取った方が良いだろう
シラバス URLﾘﾝｸ(ocw.nagoya-u.jp)
”歴史をひもといてみますと、数学と物理は互いに大きく影響をおよぼし合いながら発展してきたことが分かります。19 世紀以前ですと、ニュートン力学と微分積分や位相幾何学、電磁気学とベクトル解析などが代表的なものです。
20 世紀そして今世紀になると、その関係は更に深くなってきています。ですから、数学をより良く理解するためには、物理を全く無視する訳にはいきません。
本講義では、数学と物理の関わりについて、高校や共通教育ではやらない 20 世紀の物理（相対論や量子論）を題材に紹介します。”
の時間を、そしてそのレジュメを
初回で、数学と物理の関係の全体像をレビューする
たとえば
ニュートンが、天体力学の要請から微分積分を発展させた
それから解析力学が出てきた（ハミルトニアン）
分数関数の積分の要請から、分母の因数分解が強く求められ、方程式論から群論に発展した
電磁気学が出てきた
その刺激で、数学はベクトル解析やテンソル解析が発展した
微分方程式を解くための演算子法が出てきた （これは工学から）
熱伝導方程式を解くためにフーリエ変換が出てきた
その下で、相対論が出た
量子論もハミルトニアンをベースに発展した
数学が多次元空間や無限次元空間を扱えるように発展した
ディラックがデルタ関数の有用性を示した
シュワルツが超関数を考えた
佐藤幹雄がhyperfuctionを考えた
ワインバーグサラム理論（非可換ゲージ理論）が出た
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
南部 陽一郎がstring theoryを考えた URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ウィッテンがこれを発展させて、どういうわけかフィールズ賞をもらった
（つづく）
438:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 09:36:53.84
>>437
つづき
アインシュタインが、当時馬鹿にされながら統一理論を追求して、カルツァー・クライン理論になった
それが、ウィッテンのM理論に
ワインバーグサラム理論は、４次元位相空間の研究に使われたそうだ
量子力学のランダム行列理論とリーマン予想との不思議な関係
ゴレイ符号（デジタル通信に用いられる誤り訂正符号。名前の由来はスイスの数学者 Marcel J. E. Golay。）→リーチ格子→散在単純群→モンスター群→ムーンシャイン→頂点作用素代数によるボーチャn－ズの証明という流れもある
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ゴレイ符号（英: Golay code）は、数学の散在型単純群の理論に基づく符号の種類である。名前の由来はスイスの数学者 Marcel J. E. Golay。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
ソリトンも落とせないかな
フェルミ・パスタ・ウラムの問題→ソリトン→可積分系
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
950年代にロスアラモス研究所で電子計算機を用いて、この問題に取り組んだ3人の物理学者エンリコ・フェルミ、ジョン・パスタ、スタニスワフ・ウラムに名に因む。
当初の予想では相互作用が非線形な系ではエルゴード性によって、長時間経過後に各モードにエネルギーが等分配された平衡状態に達するはずであったが、
計算機実験の結果はそれに反し、初期状態のモードに戻る再帰現象が観測された。後に、この再帰現象はKdV方程式の研究から可積分系におけるソリトンと関連した現象であることが明らかにされた。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In 1965 Norman Zabusky of Bell Labs and Martin Kruskal of Princeton University first demonstrated soliton behaviour in media subject to the Korteweg?de Vries equation (KdV equation) in a computational investigation using a finite difference approach.
They also showed how this behavior explained the puzzling earlier work of Fermi, Pasta and Ulam.[3]
（つづく）
439:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 10:07:26.35
>>438
つづき
ヴィラソロ代数→頂点作用素代数 みたいな流れもあると思うんだけど
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学・物理学においてヴィラソロ代数（ヴィラソロだいすう、英語: Virasoro algebra）は円周上定義される複素多項式ベクトル場の中心拡大として与えられる無限次元複素リー環で、弦理論において広く用いられる。名称は物理学者のミグエル・ヴィラソロen に由来する。
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
頂点作用素代数入門
最近では、ペレルマンのポアンカレ予想の解決に、熱力学のエントロピーや熱浴の概念が用いられたという
URLﾘﾝｸ(www15.ocn.ne.jp)
Grisha Perelman Ricci フローのエントロピー公式とその幾何学的応用 URLﾘﾝｸ(www15.ocn.ne.jp)
で、話はてんこ盛りになるけれど、全部は話せないので、話題を絞って話すと
つまり、全体像→部分像という流れを押さえておくことが要点
それから、物理から数学、数学から物理の行ったり来たりの歴史も入れて
毎回読み切り：今日の講義を聞いて、まとまったなにか「なるほど」と思う要素を入れる
こんなことに気をつけると面白いと思うよ
440:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 10:49:23.43
>>436
話がそれたが、今日の本題は、正十二面体の中で、５次の線形群（位数 5・4=20）を考えてみようと
>正十二面体の面は正五角形をしていますので，星型に五本の対角線が引けます．
>この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内接させることができます．次図のように，これには五種類あります．
>正十二面体はちょうど，正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せたような形になっているわけですね．
>まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に，120度もしくは240度回す変換があります．対角線は4本ありますので，この種類の変換が計8個あります．
>次に，正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換があります(この軸は，切妻屋根の稜線の中心を通ります)．これが計3本あります．
>P(12)～5xA4=A5
P(12)～5xA4=A5の中で、5は５次の巡回群＝”上記の内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”で位数５
だから、位数 5・4=20のためには、A4の部分群で位数４のものを探すと・・・、”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”計3本＋恒等置換で計４！ これかなと
まとめると、
５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と、”内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”の巡回置換群（位数５）の組み合わせからから成る群だと
これ（>>435-436）で、A5（５次交代群）と正十二面体や正二十面体群との関係、部分群として５次の線形群（位数 5・4=20）の正十二面体の中での位置づけが見えたと思う
で繰り返しになるが、５次の線形群（位数 5・4=20）までの特殊な５次方程式ならべき根拡大で解ける>>415-416
そのときは、”V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実はV=Aa+Bb と二つの根で十分だ”>>415という特別な場合だ
しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とるが、A5は図形的には正十二面体や正二十面体群で、これはべき根（＝巡回群）による正規拡大（＝巡回群による群の拡大列）では到達できない群になる
これが、ガロア理論のお話し的な説明なのだ
441:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 10:53:30.29
>>440 訂正スマソ
５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と、”内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”の巡回置換群（位数５）の組み合わせからから成る群だと
↓
・・・組み合わせから成る群だと
しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とるが、
↓
・・・、それはA5に落とせるが、
442:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 11:41:11.77
>>440
補足
>５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と・・
A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）で
シローの定理>>416により、位数２の部分群が含まれ、位数２の部分群との組み合わせで、位数10の部分群があることがわかる（これが図形の中でどう見えるかまだ自分には見えていないが）
ここらの事情は、エム・ポストニコフの『ガロアの理論』(1964年4月25日，東京図書出版発行)に詳しいが
（エム・ポストニコフで、検索してたら、下記が・・・
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
2011-08-05 ガロア理論
雑誌『現代思想』4月号が「ガロアの思考」を特集している．ガロア生誕200年を記念してのものである．そのなかで吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」にいたく感動した．
（抜粋）
ガロア理論については思い出がある．
エム・ポストニコフの『ガロアの理論』(1964年4月25日，東京図書出版発行)を高校3年生のときに買った．
大学に入ったらこの本を読もうと，それを励みに受験勉強した．
・・証明に感心した他はすらすら読める．・・ガロア対応の意義が書かれてはいるが，それを深くつかむことが出来ていなかった．
そして思った．一体ガロアの理論とは何なんだ．何がそれまでの数学からの飛躍であり，何が新しいのだ．それがわからなかった．ガロア理論は理解出来た．しかし納得は出来なかった．
今回，吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」を読んで，若いころの自分の思いを整理することが出来た．また論考の中の基本定理の証明にも，あのときこのようなことを自分でするべきだったという悔恨とともに，心を動かされた．
今から思えば，あのとき，19歳の夏にガロア理論を読んであのように思ったのなら，ガロア理論がどのような公理的前提のもとに示されるのかとか，5次方程式の根の公式の不存在の証明に何が用いられるのかとか，その根幹の定理は何かとか，
自分でガロア理論を再構成しなければならなかったのだ．
それをしなかった，あるいはそのような問題意識は持ちえなかった．これらのことをいろいろ思い起こし考える機会となった若い吉田氏の論考に感謝する．）
（つづく）
443:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 12:08:18.53
>>442
横道にそれたが、雑誌『現代思想』4月号 吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」にいたく感動ですか
しかし、おそらく大半の人はそこまで行くまいが、読んでみたい気はする
で、エム・ポストニコフは
>>72
URLﾘﾝｸ(staff.aist.go.jp)
5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01
で、元吉文男も引用している
なぜか、これ書棚のこやしになっていたんだ
いま読むと、なかなかいい本です
ポストニコフP145から、５次の推移群として
位数５ C5巡回群
位数10 B5 半メタ巡回群
位数20 B'5 メタ巡回群
これらが、べき根で解かれる群だと
>>399
URLﾘﾝｸ(repository.hyogo-u.ac.jp)
可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003
大迎規宏くんは、ポストニコフを引用していないが、内容重複している部分があるよ
それと、元吉文男も引用していないが、元吉文男を読んでいれば、ポストニコフには気付いたろう
それはおいておくとして、我々はありがたく大迎規宏「可解な5次方程式について」を読ませていただければ
なお、大迎規宏はジラードの標準型まで落としているが
元吉文男は４次項を落とすだけに止めて係数が有理数体から拡大することなく、可解性が高速判定できるように工夫しているのだった
（これは、大迎規宏も4.2節で扱っているかな？）
444:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 12:39:24.00
>>442
>雑誌『現代思想』4月号が「ガロアの思考」を特集している
これだね
URLﾘﾝｸ(www.seidosha.co.jp)
back-pensee10-19 - 「ユリイカ」「現代思想」の雑誌発行、人文諸科学の専門書の出版社「青土社」
2011/04 ガロアの思考 若き数学者の革命
URLﾘﾝｸ(www.seidosha.co.jp)
特集＝ガロアの思考 若き数学者の革命
【ガロアの思考】
ガロアの考えたこと ／ 上野健爾
ガロア理論体験記 ／ 砂田利一
ガロア理論の基本定理 ／ 吉田輝義
数学における抽象化とは何か アーベルの具象とガロアの抽象を包むもの ／ 高瀬正仁
【現代数学へ】
絶対ガロア理論 ／ 黒川信重
謎をもって謎に答える、或いは問題の解消 ／ 高瀬幸一
空間の 「形」 を知るための武器 位相空間のガロア理論 ／ 小島寛之
リーの理論と可積分性 解析学におけるガロアの影響 ／ 竹縄知之
【現代物理学へ】
存在から関係へ 現実の軽さ ／ 佐藤文隆
ガロアは現代物理学の源流だ！ ／ 竹内薫
【現代哲学へ】
問い・身体・真理 カヴァイエスとドゥルーズの問題論 ／ 近藤和敬
ヴュイユマン 『代数学の哲学』 における哲学的方法論の探究
フィヒテの哲学とラグランジュからガロアに至る代数方程式論の変遷 ／ 原田雅樹
445:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 12:45:24.22
>>444
「現代思想」のパックナンバーにこんなのが。年に１回くらい理系の特集かな
「現代思想」は現代哲学系の雑誌だな。理系の読者もいるんだろうね
URLﾘﾝｸ(www.seidosha.co.jp)
back-pensee10-19 - 「ユリイカ」「現代思想」の雑誌発行、人文諸科学の専門書の出版社「青土社」
2012/01 ニュートリノ／相対性理論 観測がひらく新世界
2010/09 現代数学の思考法 数学はいかにして世界を変えるか
446:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 13:35:25.90
>>442
>雑誌『現代思想』4月号が「ガロアの思考」を特集している．ガロア生誕200年を記念してのものである．そのなかで吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」にいたく感動した．
ネット検索でこんなのが・・
URLﾘﾝｸ(sugakujuku.blog109.fc2.com)
びっくり数学島 日記
（抜粋）
解説記事の紹介『現代数学のめざすもの』
2012-01-22 Sun
以前のブログで吉田輝義さんという方（と言いつつ実は，吉田さんは僕の大学院時代の同級生で，今もお付き合いをさせてもらっているのですが）の論説を紹介しました．
吉田さんが『現代数学のめざすもの』というタイトルで再び現代数学の解説を書いておられます．それを案内しようと思います．前回は雑誌の記事でしたが，今回は吉田さんのwebsiteから直接取ってこれます：
ご本人のwebsite → 『現代数学のめざすもの』(PDFファイル, 12ページ) URLﾘﾝｸ(www.dpmms.cam.ac.uk)
ご本人の高校での講演が基になっていて，高２ぐらいまでの数学（＝文系・理系共通範囲の数学）に慣れ親しんだ記憶のある方なら読み通せると思います．
目玉の一つは，２次・３次・４次方程式の解法を基にした，ガロア理論（と現代数学）の考え方の説明で，ここまでシンプルにまとまった解説はなかなか見たことがありません．
大学数学科の花形とも言われるガロア理論ですが，『ガロア理論は，方程式のもっている「形」，その本来の姿を人類史上初めて「見た」理論だった』（文中より）ということが，実にうまく説明されていると思います．
習うときはタンタンと
2011-09-26 Mon
しばらく前に仲間に言われたこと．
できあがった理論や，他人が研究で新しく編み出したテクニックを習得するときは，何てすごいアイディアなんだ！と驚嘆したり感動したりせず，
「フーン，そうやればいいのか．」と冷静に，当たり前のように受け止めたほうがよいらしい．
なぜなら，それをスゴイ理論だと思うほど，自分には難しくて使いこなせないのでは，という心理的な壁ができてしまうから．うーんなるほど，そうだなぁと思った．
（つづく）
447:１３２人目の素数さん
12/03/04 13:38:16.96
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
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448:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 13:40:34.55
>>446 つづき
URLﾘﾝｸ(sugakujuku.blog109.fc2.com)
びっくり数学島 日記
論説の紹介『ガロア理論の基本定理』
2011-06-04 Sat
分数の話の途中ですが，雑誌『現代思想』の４月号に掲載されている，吉田輝義さんの『ガロア理論の基本定理』という論説が読んで興味深かったので，簡単に紹介したいと思います．
ガロア（Galois,1811-1832）というフランスの天才数学少年によって生み出された，ガロア理論という理論があります．
これはその後の数学の流れを変えたほどの重要な"革命的"理論だったのですが，ガロア理論の抽象的な性格もあって，その意味を実感することは数学科の学生にとっても簡単でない（200年近くも経つというのに）のが現状です．
アインシュタインの相対性理論は100年も経たないうちにＣＧとなり，テレビの科学番組で解説され，科学好きの中高生の心を掴んでいる--それと比べると数学者としてはちょっとクヤシイ．
そんな中この論説は，ガロア理論の本質を損ねることなしに，ガロア理論とその意義を一般の読者向けに描き出そうと試みた野心作です．
（引用おわり）
449:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 14:06:02.63
>>250
”正規部分群はどういう意味があるか”の著者がこんなことを書いているので紹介する
URLﾘﾝｸ(wankora.blog31.fc2.com)
Author:かずゆき 京都大学理学部を数学専攻で卒業
わんこら式数学の勉強法(受験生、小学生から中学生、高校生、大学生、社会人まで通用)
これを参考に効率ではなく『拘りを捨てて出来ることをやる』を常に念じて自分にあわせてやってください。
問題を見てすぐに解答、解説を読みます。
英語なら英語を読んですぐに対応する日本語を読みます。
最初に30秒ぐらいで出来た範囲をすぐに7周ぐらい繰り返す感じでやります。
1,最初の周は問題も解答も意味わからんわ～って感じで読むだけで超高速で終わらせます。
2,またその範囲を、意味や理解などすぐに拾えるものだけ拾って一周します。
3,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。
4,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。
5,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。
…こんな感じで7周ぐらいやってみてください。
これで、だんだん理解出来ていったり、処理が速くなったり、覚えられてきたら成功です。
拾えるものだけ拾うって言うのは
○こういう意味だから、こうなのか
○これとあれは似てる
○こういう計算になるから、こうなる
○語呂合わせ などです。
目安タイムは最初の1周目で 白チャートなら1例題10秒 シンプルな英単語帳の例文は1つ1秒
大学受験の数学の二次試験の過去問なら1問20～40秒 数学の専門書なら1ページで10～30秒
最初の周は意味わからないスピードにするのがポイントです(限界突破) 2周目からは、スピードを余り落とさないで意味を拾えるだけ拾っていきます。
ほんまに速すぎたり、めっちゃ難しいのは、何も拾えずに出来ないので注意して下さい。拾えるものを拾おうとしたり、計算を紙に書いて確認して結構時間かかっても大丈夫です。
繰り返すたびに整理していって、話を簡単にしていくようにします。
450:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 14:28:31.48
>>449
補足
昔、糸川英夫先生が「数学は暗記科目」みたいなことを言ったが、それに似ているかも
（因みに、小惑星が「イトカワ」（日本の探査機はやぶさは、この関連）の名前の由来。また、”はやぶさ”も、彼の設計した戦闘機にちなんだものかも）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
しかし、両方要ると思うんだよね
じっくり理解するところと、暗記してでも覚えることを優先するところと
>>395
>ブルバキのスタイルは私は大好きですね。余計なお節介が一切ないので。
なにが、余計なお節介なのかどうか、人によると思うんだよね
その人の置かれている事情にも
それから、ブルバキのスタイルは結構だが、ブルバキで必要十分なら、世の中他の教科書は売れないか消えているわけで
世間一般の事情は、そうじゃないという証明なのではないかな
ブルバキはそれなりに意義はあると思うが
一時ほど、ヨイショされなくなったような気がする
じっくり理解するというところに戻ると、>>442
”・・証明に感心した他はすらすら読める．・・ガロア対応の意義が書かれてはいるが，それを深くつかむことが出来ていなかった．
そして思った．一体ガロアの理論とは何なんだ．何がそれまでの数学からの飛躍であり，何が新しいのだ．それがわからなかった．ガロア理論は理解出来た．しかし納得は出来なかった．”
これ、結構共感できる。ガロアの理論あって、それぞれ立派。そして、書いていることは一つ一つは理解できるが、全体像が自分の中で細部まですっきり形成できなかった（自分でガロア理論を再構成しなければならなかったのだ．>>442）
”群盲象をなでる”という。個々の定理は、象の部分だ。うちわのような耳、ホースのような鼻、柱のような足・・・、それらの部分の記述を元に自らの心象風景として、象の姿を描くことができるか
現代ガロア理論（拡大体と群の対応）は、なんとなく出来た。しかし、ガロア原論文は理解できなかった
A5が単純群で、べき根拡大では到達できないということはアタマでは分かった。しかし、なんとか目に見えるような形で納得できないかと考えていた
（つづく）
451:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 14:35:51.40
>>450
つづき
>>1を見て、ベストアンサー：
”ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。
が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。
自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。”
ベストアンサー氏は、おそらく数学科の出身者だろう
ならば、ブルーバックス 「ガロアの理論」 中村亨>>3で、なんとなくガロア理論が見えた気がしたので、いっちょうスレを立ててみるかと
452:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 14:43:26.40
>>450
ブルバキの整理されたスタイルは、結局理論が出来上がった後の知恵なんだよね
理論が出来上がる進行形のときは、そうじゃない
だから、ブルバキの整理されたスタイルでしか論文読めない書けないないようじゃ、そいつは使えないだろう
よって両方あって良いんじゃないか
そして、このスレで重視しているのは、全体的な理解、直感的な理解だ
全体から部分へ、部分から全体へ
直感から精密な論理へ、精密な論理から直感的理解へ
数式からお話へ、お話から数式へ
この行ったり来たりが自由自在にできる
それがベストだろう
453:１３２人目の素数さん
12/03/04 14:56:22.42
>>405
＞ガロア理論は多くの人が関心をもっている
が、大抵は「なんで根の公式がないのか」という程度の関心だから
結局「なんかわからんが、根の公式があるとすると矛盾するらしい」
で終わる。素人は、公式は理解できても、公式がない理由は
理解できないし、ないならないで仕方ないと思うだけ。
454:１３２人目の素数さん
12/03/04 14:58:27.45
ガロア理論の面白さを知るには、一度
「５次以上の方程式の解の公式は存在しない」
とかいうのを忘れる必要がある。
そこは今や本筋でもなんでもないから。
455:１３２人目の素数さん
12/03/04 15:01:50.60
>>452
＞ブルバキの整理されたスタイルでしか論文読めない書けないないようじゃ、
数学の論文を一度でも書いたことがあるなら、
ブルバキのスタイルでなんて書けないことは
当然わかるがな。
456:１３２人目の素数さん
12/03/04 15:12:25.93
何度追い詰められても復活する
探査機はやぶさの執念は凄いわ。
457:１３２人目の素数さん
12/03/04 15:13:03.91
>アインシュタインの相対性理論は100年も経たないうちにＣＧとなり，
>テレビの科学番組で解説され，科学好きの中高生の心を掴んでいる
双曲幾何はエッシャーの版画作品にもなったがね。
ガロア理論より双曲幾何のほうが分かりやすい。
理屈ぬきに、ポアンカレモデルで、２本の平行線も図示できる。
合同変換もＣＧで示せる。要するに計算できる。
素人に分かるのは計算の方法とその結果。
計算できないという結果を示す論理なんて理解しようがない。
458:１３２人目の素数さん
12/03/04 15:13:04.64
>>455
そりゃサボってるだけだろ
書こうと思えば書けるけどプロ相手だからあえて書かないというだけで。
それがアダになって間違いとか平気で書いてるがｗ
459:１３２人目の素数さん
12/03/04 15:18:04.21
>>458
サボってるわけじゃないな。
同業者に「ああ、確かに正しいね」と
確認させるために書くんで、
別にアホ学生向けの教科書を
書くわけじゃないからな。
そもそも研究に間違いはつきものだ。
一度も間違った結果の論文を書いたことがない
数学者なんてのは皆無ではないが稀少。
460:１３２人目の素数さん
12/03/04 15:24:25.36
>>459
だからそれが落とし穴なんだって
トリビアルと思ってたのが実はトリビアルでなかったというのはよくある。
というかそれがほとんどの間違いの原因
461:１３２人目の素数さん
12/03/04 15:30:15.67
明確に定義されたものから論理的に命題を導くというのがブルバキの整理されたスタイルというのなら
そうでないスタイルは常識的には現代数学とは認められない。
462:１３２人目の素数さん
12/03/04 15:39:17.33
>>460
学生？そんな重箱の隅つついてるようじゃ
クソ論文しか書けねぇぞ。
間違いを怖れてちゃいい結果は出せねぇよ。
463:１３２人目の素数さん
12/03/04 15:42:44.10
>>461
現代数学という言葉が、数学書の記述を指すなら
論文の記述は、そのようなものとは程遠い。
数学業界の常識。知らない奴はモグリ。
464:１３２人目の素数さん
12/03/04 15:51:28.62
>>463
数学書だろうと論文だろうと論理的に証明されてなければ駄目だろ
エッセーならいいが
465:１３２人目の素数さん
12/03/04 15:54:12.72
>>462
誰も間違いを恐れろと言ってない
間違いは自分のノートで思い切りやればいい
ただし、それを論文でやるのは大馬鹿
466:１３２人目の素数さん
12/03/04 17:19:09.16
>>459
誤植、ミスプリ、計算ミスの類は多々やらかしてるが
主結果が間違ってる論文のほうが、数学では稀ですよ。
467:１３２人目の素数さん
12/03/04 17:24:51.62
>>463
ブルバキの「数学原論」の文体で論文を書くことは、昔も
ほとんどなかったし、今もまずない、という意味では正しい。
が、ブルバキ以前の数学の論文のスタイルは、今より
もう少し雑然としており、現代では定義や主定理とその証明を
明確に書くようになっている。その意味で、現代の論文の
大半は、ブルバキの影響の下にある。
468:１３２人目の素数さん
12/03/04 17:31:04.16
>>461
別にそれはブルバキスタイルではないな。ユークリッドの原論からそのスタイルじゃん。
ブルバキスタイルってよく言うけど、どういうものかわからずに言ってる人多いよねｗ
469:１３２人目の素数さん
12/03/04 17:49:04.33
>>468
でブルバキスタイルとはどういうもの？
470:１３２人目の素数さん
12/03/04 17:50:00.98
>>466
それはあんたが無知なだけｗ
471:１３２人目の素数さん
12/03/04 17:51:57.12
>>470
無知のあんたに、勝手に決めつけられてもなあｗ
472:１３２人目の素数さん
12/03/04 17:53:29.79
集合論を基礎におき、集合にある数学的構造を定め、それによって数学的現象を説明しようとする態度。
473:１３２人目の素数さん
12/03/04 17:55:14.76
>>468
ユークリッドの原論のスタイルも、また独特だから
比較に使っても仕方ないでしょう。
19世紀から20世紀前半の、数学の論文のスタイルは、
ユークリッド原論とも、ブルバキ以降の近年の論文の
スタイルとも異なり、現代になれた人には読みにくい。
やっぱり、今の論文のスタイルは読みやすくなってるね。
474:１３２人目の素数さん
12/03/04 17:56:31.37
>>471
>主結果が間違ってる論文のほうが、数学では稀ですよ。
Wiles知らないの？
475:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:01:03.94
>>472
それは現代数学そのものじゃん
圏論もブルバキは表立って使ってないが裏では使ってる
476:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:10:01.16
大体、空集合の記号φとか Z、Q、R、C はブルバキの考案だからね。
現代数学はブルバキの強い影響下にある。
別にそれを知らなくてもいいが思いっきり否定するのはアホ
477:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:14:05.75
定義や公理から出発して論理的に、演繹的に数学を構築していくやり方をもって
ブルバキスタイルって言ってるのが、形式だけ見て中身を見ていないって言ってるんだよ。
478:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:18:49.30
>>474
だから、稀なんだろ。
アホですか、あんたｗｗ
479:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:20:53.43
>>477
集合論を基礎においてるのはそのとうりだが、
それ以前にあんたの言う定義や公理から出発して論理的に、演繹的に
というのがブルバキを特徴付けてるだろ。
Elementsという名前からしてユークリッド原論を意識してるのは明らか。
GrothendieckのEGAも同様
480:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:22:28.97
>>478
意味不明
悔し紛れに何言ってるんだかｗ
481:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:26:36.77
>>479
ブルバキが原論を意識してるのは有名な話ですね。
なら、そのような体系を話題にするなら原論スタイルとでも言うべきですね。
482:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:32:25.98
>>474
ワイルズの論文は、査読を経て修正された正しい形で
Ann. Math.に掲載されている。
今の多くの雑誌は、査読がなされているので、
掲載された論文が深刻な誤りを含んでいることは少ない。
名古屋の藤原氏の論文も不掲載となった。
が、査読をスルーして出版されてしまうケースは皆無ではない。
もちろん、不注意によるくだらないミスは山ほどあるｗ
483:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:36:38.99
要するにブルバキは公理主義ということ
これに収まらない数学があることは確かだがそれはその数学がまだ成熟していないと見ることも出来る
484:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:38:32.44
>>482
甘いな
査読されてるからってｗ
485:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:40:28.97
>>483
成熟すればすべてを収めることのできる体系ができるとでも？
486:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:42:42.48
非線型の偏微分方程式とかは、ずっと収まらんだろｗ
テレンス・タオを収めるには、20世紀のブルバキじゃあ
古くさくて枠が狭いんだろね。
ポアンカレ予想とかもあんまりブルバキっぽくないが、
リッチフローとか、多様体の崩壊とか、別に数学として
成熟してる、してないとかじゃないだろ。
487:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:44:11.37
>>485
その分野が成熟すれば体系化されるというほぼ当然のことを言ってる
488:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:47:35.96
>>486
代数幾何も昔は体系化は望み薄と思われていたがGrothendieckが現れて（略
489:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:49:31.54
>>488
でも、結局、今の代数幾何って、体系的というより
具体的な対象の研究に戻ったような。
490:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:53:52.00
>>483
公理主義は別にブルバキに限らないってことを言いたかったわけです。
491:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:58:10.76
>>489
Grothendieckが去ったから
492:あのこうちやんは始皇帝だった
12/03/04 18:59:47.80
お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああ！！！！！！！
ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああ！！！！！！！！！
493:１３２人目の素数さん
12/03/04 19:01:13.38
>>492
キチガイは病院行け
494:１３２人目の素数さん
12/03/04 19:07:28.04
>>491
結局、ブルバキもメンバーが替わってしまい、
全ての数学を体系化するとか、もう言わなくなった。
代数幾何で、Grothendieckがやったことが例外的
だったんでしょうね。今世紀に、第2、第3のGrothendieckが
現れて、微分幾何や非線型PDEを体系化する！なんて
ことはないと思いますよ。
495:１３２人目の素数さん
12/03/04 19:18:08.40
あれは元気者で気の合うものどうしが集まって
気炎を上げた弾みでできたものだから
そう深い意味はないものと思う
496:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 19:21:03.27
>>453-478
みなさん、乙です！
>>442
>A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）で
>シローの定理>>416により、位数２の部分群が含まれ、位数２の部分群との組み合わせで、位数10の部分群があることがわかる（これが図形の中でどう見えるかまだ自分には見えていないが）
分かりました
”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）は、クラインの四元群ですね（下記）
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
(抜粋)
具体的にはクラインの四元群は x,y,z各軸回りに180度回転させる回転操作の群として表現されます．
クラインの四元群の元 はどれも二乗すると になりますから位数は だと言えます．クラインの四元群は，巡回群ではない群としては最小のものです．
（引用おわり）
下記P2によれば、A4の部分群で（位数４）は、二つあるが巡回群でない方だから、{ e , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23)}で、これはクラインの四元群そのもの。で、位数２の部分群は、{ e , (12)(34) }となる
URLﾘﾝｸ(www.math.meiji.ac.jp)
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
497:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 20:02:18.04
>>479-495
みなさん、乙です。スレが進む日だな
>>496
繰り返しになるが、べき根拡大で解けるのは、ガロア群G=C5xV （V:クラインの四元群 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ）
（C5は、５次巡回群）
の場合のみ
一般の５次方程式では、ガロア群G=S5=C2xA5 （A5は位数60の交代群で、これは単純群で、非可解。C2は、２次の巡回群）
となってしまうので、解けないと
498:１３２人目の素数さん
12/03/04 20:11:32.05
>>494
詳しくないけど代数解析は佐藤とか柏原により少しは体系化されてるでしょ。
数論の一部（類体論その他）も数論幾何が発展することによりLanglands programの下に
体系化されるのではと夢想してる。
499:１３２人目の素数さん
12/03/04 20:30:29.86
>>498
代数解析でも、非線型はまだまだ妄想の範囲ｗ
ソリトンとパンルヴェの一部くらい。
500:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 20:38:45.46
>>497
つづき
位数119 までの群の分類が下記にある
URLﾘﾝｸ(www.akanekodou.mydns.jp)
位数119 までの群の分類 Red cat 平成23 年10 月3 日
>>372-380
V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）
一般５次方程式では、Vは120の値を取る。この120個の値を集めて
ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）で、代数的可解性の原則から根a,b,c・・・の有理式を持ってきても、全部Vとガロア（分解）方程式F(x)の土俵の上に乗っている
つまり、ガロアはVとF(x)で、根の有理式が全部乗る土俵を作った。代数的可解性の原則を認めれば、ここからこぼれるものはない
そして、元の方程式を解くことは、ガロア（分解）方程式F(x)が解けることと同じ
V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）は、根の置換と対応している>>414
そして、方程式のガロア群の構造は、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）に反映されている
元の方程式がべき根で解けるとは、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）がべき根で解けること
つまり、”ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）がべき根で解ける”→”ガロア群Gが、巡回群の拡大で構成される構造を持っているべき”だと
しかし、上記”位数119 までの群の分類”にあるように、一般に群には巡回群以外のいろいろな群があり、巡回群の拡大で構成される構造を持っている群ばかりではない
その一つが、位数60の５次の交代群A5で、これは巡回群の拡大になっていない。つまり、非可解であり、単純群でもあった
５次の既約方程式で解ける最大の群は、位数20 B'5 メタ巡回群の場合で、それならべき根で解ける>>443（ガロア原論文では線形群とされている）
これが、一般の５次方程式が解けなず、どんな５次方程式なら解けるかの分かりやすい説明かな
5次方程式の可解性の高速判定法は>>443
また、可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003>>443では、根の公式が導かれている
501:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 20:42:15.49
>>500 訂正
これが、一般の５次方程式が解けなず、どんな５次方程式なら解けるかの分かりやすい説明かな
↓
これが、一般の５次方程式が解けず、どんな５次方程式なら解けるかの分かりやすい説明かな
502:１３２人目の素数さん
12/03/04 20:48:41.92
>>497
G=S5=C2xA5
とはならないよ
503:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 21:09:24.99
下記は随分参考にさせてもらいました
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
物理のかぎしっぽ
URLﾘﾝｸ(hooktail.org)
代数学 - [物理のかぎしっぽ]
504:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/04 22:09:33.40
>>502
おお、ありがとう
しっかりチェックしてくれる人がいて、安心だ
対称群S5 位数120に対し、交代群A5 位数60は正規部分群なので、商群Hが定まり
S5/A5＝Hとして、Hの位数は２。位数２の群は巡回群C2に同型なので
G=S5=C2xA5 と書いたんだが
505:１３２人目の素数さん
12/03/05 19:33:15.70
直積ではなく半直積だ
506:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/05 22:01:28.33
>>505
なるほど、納得
半直積ね
掲示板では、あまり数学記号が文字化けのため書けないので手抜きしたのもある
ところで、半直積の参考資料を検索したら、こんなのがあった
URLﾘﾝｸ(homepage2.nifty.com)
群と群から群を作る話 成川淳（なるかわあつし）
（抜粋）
数学の世界ではしばしば、2 つの群から1 つの群を作る場面があります。方法としては、
「直積」という概念が最も自然で、最も頻繁に見かけるのですが、少し複雑な「半直積」とい
う概念も頻繁に見かけます。しかし、半直積の定義は2 つの群それぞれの役割が非対称で、
気持ち悪いなという印象が私にはありました。その気持ち悪さを解消し、直積・半直積を包
括する概念として、群のBicrossed Product というものがあります。この概念を知って感心
した覚えがあるので、ここで紹介することにしました。本稿では群の定義と直積の定義は省
略して、作用という概念の紹介から話を進めます。
5 最後に
私は半直積という非対称な概念が嫌いでした。しかし、一度Bicrossed Product という概
念を知り、対称性の高さに感心しつつも厳しい条件(11)-(14) を考えると、逆に半直積の有
用性が理解できました。半直積が素晴らしいのは、(13) が退化した(5) が「準同型」という
扱いやすい性質だからです。逆に(5) を仮定するためには、H のK への右作用が自明でな
ければなりません。つまり、半直積は二項演算としての対称性を犠牲にしつつも、扱いやす
い別の対称性を構成する手段と言えます。実用的ではなさそうな群のBicrossed Product で
すが、半直積の特殊性を浮き彫りにできるだけでも、価値のある概念だと私は思います。
URLﾘﾝｸ(homepage2.nifty.com)
成川淳の文書集へようこそ！
507:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/06 06:26:09.03
>>506
補足
ご指摘ありがとう
URLﾘﾝｸ(www.math.kochi-u.ac.jp)
抜粋
群G の部分群H とK が与えられたとする。
K がさらにG の正規部分群ならば、HK はG の部分群になる。
・・・がなりたつとき、G はH とK の半直積であると呼び、G = H △ Kと書かれる。（△は、半直積の記号）
H とK の両方がG の正規部分群のときはどうだろうか。
H も正規部分群のときにG はH とK の直積であると呼ばれる。
（引用おわり）
（この資料はちょっと読みにくいが）
なので、直積はH とKの両方が正規部分群になる場合、半直積はKが正規部分群になる場合の群の構造ってことでしょうか
だからG=S5=C2xA5と書いたとき、正規部分群は両方ではなく、A5のみが正規部分群だから、半直積だと
508:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/06 22:15:54.25
>>507
補足の補足
半直積は、下記にも解説がある
シューア・ザッセンハウスの定理が、半直積理解の要点だろうな
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#.E7.BE.A4.E3.81.AE.E7.9B.B4.E7.A9.8D.E3.81.A8.E5.8D.8A.E7.9B.B4.E7.A9.8D
群 H と群 N と準同型写像 f: H → Aut(N) が与えられているとき、直積集合 N × H 上に
で積を定めると群となる。これを H と N の f による半直積 (semi-direct product) といい、
で表す。なお、この群で N は正規部分群となる。群の拡大も参照。
シューア・ザッセンハウスの定理： Nを有限群Gの正規部分群とし、|N|と|G:N|が互いに素であるとき、Gの部分群Cが存在して、GはNとCの半直積となる。
509:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/06 22:42:14.15
>>440
>で繰り返しになるが、５次の線形群（位数 5・4=20）までの特殊な５次方程式ならべき根拡大で解ける>>415-416
>そのときは、”V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実はV=Aa+Bb と二つの根で十分だ”>>415という特別な場合だ
>しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とせるが、A5は図形的には正十二面体や正二十面体群で、これはべき根（＝巡回群）による正規拡大（＝巡回群による群の拡大列）では到達できない群になる
>これが、ガロア理論のお話し的な説明なのだ
ガロア論文>>3p38第VII節
ここが、おそらく普通の人はなにが書いてあるか、なかなか読めないだろう
守屋の解説もなかなか難しい
ところが、おいらの本で守屋の解説のところに、”アルティンP102”とメモしてあった。うんうん、なるほど・・・
アルティンといえばこれしかないよね・・・？？？
URLﾘﾝｸ(na-inet.jp)
上野健爾「数学の視点」東京図書，E.Artin(アルティン)/寺田文行・訳「ガロア理論入門」ちくま学芸文庫
URLﾘﾝｸ(www.kishimo.com)
アルティン「ガロア理論入門」を読む
文庫本が出たのをきっかけに，30年前から読みたかった「ガロア理論入門 (ちくま学芸文庫)」を読む決心をしました。
”文庫本が出た”？ おいらの持っているのは東京図書のハードカバーだ
P102は、定理43の後（定理44の前。定理44が線形群の話）だ
これは、なかなかわかり易いよ
だから、ガロア論文>>3p38第VII節を読む前に、アルティンの該当箇所を読んで、それからこれを読めば、多少ガロアの言いたいことが分かるだろう
ガロアは、アルティンと同じものを見ていたことは間違いない
が、見ているものを表現する方法がまだ未熟だったのだろう
510:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/06 22:51:35.94
>>509
補足
ガロア論文>>3p38第VII節は、訳文もこなれていないのか
あるいは、ガロアも決闘が迫っていて時間が無かったのか
結論は正しいが、途中あまり証明らしくない・・・というか、分かる説明になっていない
メモを書いたのは、おいらが守屋先生の解説が理解できなかったので、別の本を漁ったのだろう
511:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/07 21:35:28.44
>>509
>定理43の後（定理44の前。定理44が線形群の話）だ
>これは、なかなかわかり易いよ
アルティンは、
「Kを任意の体とし、f(x)を素数次数qのK内の既約多項式で、そのガロア群は可解とする。
このときのGの構造は非常に簡単である。
まず、Gは可解であることから正規部分群列
G=G0>G1>G2>・・・>Gs=1 （注：>は集合の包含記号のアスキー代用）
が存在して、相続く２つの群による商群はアーベルである。」
と、始める
実に明快。これをスタートとして、アルティンは線形群を導く（これはさすがにガロアには難しいだろう。群論の用語や記法が当時未整備だったから）
ところで、このアルティンの記述が、べき根で解かれる群の構造と、なぜ５次既約方程式が一般の解かれないかの説明になっている
つまり、５次既約方程式が可解であるとき、Gの構造は非常に簡単でなければならない
即ち、正規部分群列が存在して、G=G0>G1>G2>・・・>Gs=1で、相続く２つの群による商群はアーベルであるという
しかし、一般の５次既約方程式のガロア群GはS5で、正規部分群は位数60の対称群A5のみで、A5の構造は複雑でとてもべき根添加で解けるほど簡単ではないと
（ここらの事情は、>>496>>442>>440辺りをご参照）
これも、５次方程式がべき根による根の公式を有しない大衆向けの一つの説明だろう
512:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/07 21:38:09.08
>>511
訂正スマソ
ガロア群GはS5で、正規部分群は位数60の対称群A5のみで
↓
ガロア群GはS5で、正規部分群は位数60の交代群A5のみで
513:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/07 22:35:49.29
>>437
>ニュートンが、天体力学の要請から微分積分を発展させた
>それから解析力学が出てきた（ハミルトニアン）
（思い出したときに追加しておく）
天体力学から摂動計算が出て、後の量子力学へつながった
量子力学のハイゼンベルグの行列力学から固有値によるシュレージンガー方程式との同等性証明
天体力学の三体問題などから、ポアンカレの位相幾何学へ
514:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/07 23:01:38.54
>>385
>最近気付いたが、下記Jean-Pierre Tignolも詳しい
>というか、P156の定理10,7など、ガロア論文>>3のP39のラグランジュ分解式のn乗を扱っていることや補助方程式の次数が(n-2)!になることと、完全に一致している
>一致という意味では小杉の方がお話風で読みやすいが
>ともかく、こういうラグランジュが到達していた地点を見ると、ほとんどガロアに近い
繰り返しになるが
ガロア論文>>3のP39のラグランジュ分解式のn乗と、補助方程式の次数が(n-2)!になること（５次方程式の場合(n-2)!＝６次）、この方程式が有理敵に解ければ、５次方程式は代数的に解けること（十分条件）
ここまでは、ラグランジュがすでに確率していた
５次方程式の可解性とこの６次方程式が有理敵に解けることが必要十分であることは、ガロアが初めて示したが
ラグランジュはもう一歩というところまで行っていた
ガロアは、ラグランジュという巨人の肩の上で仕事をしたんだと思う
守屋>>3がP76で
「ガロア時代の数学者に難解と思われても無理とはいえない。当時の科学学士院がこの論文を受理しなかったのも、論文の内容を十分理解しえなかったためだと思う。
この点について、当時の科学学士院の無力を攻めるよりは、むしろはるかに遠く時代に先行していたガロアの天才を讃えるべき・・」と書いているが
書き方が雑ということも大きいように思う
おそらく時間が無かったのと、ガロアは若かった
論文が革新的であれば、よけい丁寧に書かなければ理解は得られない
ただ、ガロアがあと１０年存命であれば、ガロア理論はもっと早く理解を得られたと思う
「科学学士院がこの論文を受理しなかった」のではなく、書き直しを命じたのだった。決闘で若くして命を無くすとは思わず
また、ガロアの時代は現代のようにワープロやコピー機はなく、手書き原稿を紛失されると痛い（がっくりするよね）
それは手書き原稿時代に、原稿を紛失され書き直しを言われるとは、なんとも腹立たしいことだったろうとは思う
515:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/08 00:18:39.00
>>80
>近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
「ガロアの方程式論は彼が期待したように四十年後にジョルダンが「判読」してぼう然たる置換論（1870）の述作をなした」と高木は書いている
”ラグランジュはもう一歩”>>514と書いたけれども、ガロアの後四十年群論を理解する人思いつく人は出なかった
ガロアの遺稿がなければ、もっと遅れていただろうか
だが、もし遺稿がなくとも、いずれガロア理論はだれかが書いたろうと思う、ジョルダンよりずっと後になったかも知れないが・・
516:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
12/03/08 00:45:20.55
>>515
>ガロアの後四十年群論を理解する人思いつく人は出なかった
置換群論はCauchyが1844年にやっている。
そこで有名なCauchyの定理（有限群の位数が素数 p で割れればその群は位数 p の元を持つ）を証明している。
517:１３２人目の素数さん
12/03/08 01:04:15.88
群という概念自体はガロア以前にあったんじゃなかったっけ？
ガロアの評価されるべきところは正規部分群という概念を発見したところ
っていうのをどっかで見たようなキガス。２ちゃんソースかもしれんがｗ
518:１３２人目の素数さん
12/03/08 01:58:53.69
>>516
自分のスレでは相手にされないから、ちょっかい出しに来たのか？ｗ
519:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/08 06:38:35.67
>>516
Kummerさん、乙です
なるほど
そういえば、倉田>>4がデデキントについて書いていたね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
デデキントは1855年にゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義を行ったことでも知られている[1]。
[1]^ 佐武一郎「解説「ガロア理論」について」、エミール・アルティン 『ガロア理論入門』 寺田文行訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2010年4月、p. 215。ISBN 978-4-480-09283-0。
（引用おわり）
近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治>>515によれば
いわゆる第一論文は「1846年にリウーヴィルの手で発表された」とあるので、発表後９年でデデキントが最初の講義を行ったんだ
>>517
乙
その見方も正しい
ある事象Aについて、見る視点によって、見え方が違うという場合がある
というか、多少複雑な事象については、視点を変えてみる必要がある場合が多い
例えば、Aが四角形の形に配列された煙突だとすると、視点によっては３本に見えたりする
上空から見れば、配列は一目瞭然としても、上空に上がれない場合にはその配列を周囲から調べるしか配列を知る方法はない
520:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/08 07:46:58.19
>>519
補足
これがまとまっているね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
歴史
ガロアは1832年の（死の原因となる）決闘の前日に、友人のオーギュスト・シュヴァリエに宛てて、ガロア理論と楕円関数論に関する数学的業績を要約した手紙を書いた。
その後、1846年になって、リューヴィルがガロアの功績を知って自分の雑誌にガロアの論文集を掲載したことで、多くの数学者が刺激を受けることになった。
デデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[1]。
早い時期に、ベッチ、クロネッカー、ケイリー、セレは群概念を厳密化していった。
カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された『置換と代数方程式論』 (Traite des substitutions et des equations algebraique) はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。
また、デデキントとウェーバーは1882年に代数関数体とリーマン面の代数的理論を構築した[1]。
ソフス・リーによって導入されたリー群はガロア理論の類似を微分方程式に対して確立しようという試みの中から生まれたとされている。
その後、エミール・アルティンによってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された。
アレクサンダー・グロタンディークによって圏論的な定式化と数論幾何・代数幾何への応用が押し進められた。
521:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/08 21:54:24.43
>>519
>近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治>>515によれば
近世数学史談で面白い記述を見つけた
”１８．パリ便り”というアーベルの手紙に関する節だ。1826年10月24日付け
・・次の一般的の問題を解く手掛かりが見つかったようだ。
それは「代数的に解きえる凡ての方程式の形を決定すること」というのだ。
僕は、五次、六次、七次等々のそれらを無数に見出した。
今までそれを嗅ぎつけたものはあるまいと思う。
同時に僕は最初の四つの次数の方程式の最も直接的なる解法を得た。
それに由れば、何故にこれらだけが解けて、他のものは解けないかが甚だ明白に理会されるのである。
特に、五次方程式に関しては、若しもそれが代数的に解かれるならば、根の形は次のようでなければならないことが分かった。
ｘ=A+(R)^(1/5)+(R')^(1/5)+(R'')^(1/5)+(R''')^(1/5)
ここで、R、R'、R''、R'''は一つの四方程式の四つの根で、それらは平方根ばかりで表されるのだ。
（注：(R)^(1/5)などの項は、原文ではRの五乗根（ルート記号）を用いて表されているが、掲示板の制約でエクセル記法を用いた。）
（引用おわり）
>>440-441、>>443、>>496に書いたが
五次の既約な方程式で、解ける場合はガロア群は位数20 B'5 メタ巡回群であって
位数20 B'5 メタ巡回群（＝線形群（アルティン>>511））は、一つの５次巡回群C5とクラインの４元群Vとの積（直積でいいのかな？）からなるので
アーベルの述べた上記の根の形は、位数20 B'5 メタ巡回群の姿を確かに捉えているのではないだろうか
アーベルは、1829年4月6日は亡くなったが、生きていれば、ガロアより先に五次方程式に関してなにか書いたかも知れない（それはおそらく上記を発展させたものだろう）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ニールス・ヘンリック・アーベル（Niels Henrik Abel、1802年8月5日 - 1829年4月6日）はノルウェーの数学者である。
522:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
12/03/08 22:21:13.18
楕円関数は代数関数論の一部として理解しなけりゃ真の意義が分からないだろ。
もっと言うと代数関数論はコンパクトリーマン面、非特異射影代数曲線、１変数代数関数体
この三つを総合して考える必要がある。
これ等は一つの実体の異なる化身と考えられる。
いわば三位一体
523:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
12/03/08 22:23:11.83
スレを間違えたｗ
まったく無関係というわけじゃないが
524:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
12/03/08 22:43:09.82
GaussはDisquisitiones Arithmeticaeにおいてレムニスケートの等分理論についてほのめかしている。
Abelはそれに触発されて楕円関数の研究に向かったと思われる。
楕円関数の等分方程式の可解性の問題がAbelの方程式論の背後にある。
Galoisの問題意識も恐らくそこにあったと思われる。
525:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/08 22:46:56.28
>>521
補足
ラグランジュは、素数ｎ次の既約方程式について、補助方程式で次数が(n-2)!のものが解ければ、５次方程式などは代数的に解けること（十分条件）を示していた>>514
だから、これが必要十分条件であることを示せば、ガロアの得た結果と同じになる
そして、５次方程式の一般の代数的解法が不可能（べき根による根の公式がない）なことはアーベル自身が証明している
だから、アーベルはラグランジュよりさらに半歩、ガロア理論に近づいていたのだ
あるいは、手が届いていたのかも
ラグランジュも、５次の根の公式があると思い込んでいるから、記載ぶりや結論があやふやになった
５次の根の公式の存在を否定してしまえば、ラグランジュ自身が示した６次の補助方程式が有理解を持つことが必要十分という方向へ行ったろう
まあ、一般５次方程式の代数的解法がないことを証明したアーベルだから、
それがガロアのような群論を用いたものになったかどうか不明だが、少なくとも>>521の手紙に記したようなことは、存命ならいずれ発表したろう
ガロア論文の出版が遅れたから、おそらくガロア論文が世に出る前にアーベルの理論が出版されたのではないか
となると、アーベル存命でアーベルの方程式論が発表されそれが発展すれば、ガロア論文に対する評価も現在とは違った形になったかもしれない
526:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/08 22:48:49.34
>>522-524
Kummerさま、投稿乙です！
527:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/10 11:13:55.42
>>367
>a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0 - Wolfram|Alpha URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
Maxima>>283で同じ問題を解かせると
a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+c=0は、” << Expression too long to display! >>”となる
３次の項を落として
a*x^4+c*x^2+d*x+c=0は解けるが、かなり長い結果表示で、上記のWolfram|Alphaの方が見やすいね。さすがに、こっちの方が上で、使いやすいか
528:１３２人目の素数さん
12/03/10 15:06:00.79
>>524
人が言ったことをさも自分の考えのように言っちゃってｗ
さすが、コピペスレのスレ主は違う。
529:１３２人目の素数さん
12/03/10 15:15:12.64
>>524
失せろくんまー
通報するぞ
530:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
12/03/10 17:11:31.85
ドキュンはこれだから
誰の考えかは無関係
問題はその内容
531:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
12/03/10 17:19:51.14
>>529
お前はもう死んでいる
532:１３２人目の素数さん
12/03/10 19:11:58.15
>>530
>問題はその内容
どれもどこかで聞いた内容ですがｗ
533:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
12/03/10 19:40:22.50
Abelの方程式論の背後には明らかに楕円関数の等分方程式の可解性の問題がある。
Galoisの書いたものから判断して彼も同様だと思われる。
この問題はKroneckerの青春の夢につながり最終的には高木により解決された。
534:あのこうちやんは始皇帝だった
12/03/10 19:53:41.11
お前たちは、定職に就くのが先決だろがああああああ！！！！！！！！
ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああ！！！！！！！
535:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/10 19:59:52.44
>>528-532
おいらは、Kummerさんも歓迎だよ
但し、定理の証明は自スレでやってもらえば
それから”通報するぞ”は無意味だ
通報してから、書くように
もっとも、この程度では通報しても荒しとは認められないだろうな
536:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/10 20:11:48.70
>>525
こんなのが、あった
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（抜粋）
アーベル-ルフィニの定理（Abel-Ruffini theorem）は、五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない、と主張する定理である。
より正確には、5以上の任意の整数 n に対して、一般の n 次方程式を代数的に解く方法は存在しない、という定理である。
1770年 ラグランジュが代数方程式の解法と根の置換について考察し、代数方程式が解けるための条件を初めて見いだす。
1799年 ルフィニが最初の不可能性の論文を発表。同年ガウスが代数学の基本定理を証明した学位論文中で五次方程式の不可能性について予言。
1824年 最初の論文によりアーベルによってルフィニの欠陥が解決される。定理の成立。
1829年 アーベル没。ガロアが代数方程式の可解性について最初の論文を書く。
1832年 ガロア没。
1846年 リウヴィルによりガロアの仕事が世に出る。
同時期の貢献としては他にガウスのものがある。ガウスは不可能性の直接証明こそ行わなかったが、それが不可能問題であることに確信を持っていた。学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。
代数的に可解な系列として円分方程式論を展開しているが、これはアーベルやガロアの理論のプロトタイプといえるものであり、両者に影響を与えた。
なおガウスは後年アーベル、ガロアの論文を受け取っているが、全く関心を示さなかったという。ガウスにとって既に重要な問題とは見えなかったらしい。
ラグランジュを学んだアーベルは、当初五次方程式の解法を発見しようとしていたが、そのうちに不可能かも知れないと考えるようになり、研究の方向を転換する。
一方ガロアはアーベルとは独立でほぼ同じ経路を辿っていた。アーベルの仕事については知らなかったが、後に恩師に薦められて存在を知る。
コーシーが自分の時と同じく、アーベルの論文も紛失したことに憤慨する手紙が残されている。
どちらの証明も、本質的にはガロア群の構造に触れることで不可能性を証明しているが、アーベル、ルフィニらには「群」という意識がまだ存在しておらず、技巧的な証明に留まっていた。
537:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
12/03/10 20:28:25.80
>但し、定理の証明は自スレでやってもらえば
ここでやるわけないｗ
538:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/10 20:28:58.07
>>536
>同時期の貢献としては他にガウスのものがある。ガウスは不可能性の直接証明こそ行わなかったが、それが不可能問題であることに確信を持っていた。学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。
>代数的に可解な系列として円分方程式論を展開しているが、これはアーベルやガロアの理論のプロトタイプといえるものであり、両者に影響を与えた。
ガウスは、作図可能な正多角形の研究を通じて、円分方程式論を展開している。これは、正にべき根と巡回群に関する研究である。それを通じて、べき根拡大には限界があり、一般の５次方程式はべき根では解けないことがガウスには直感的に分かったのではないだろうか
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（抜粋）
作図可能な正多角形
正三角形と正五角形、この2つの正多角形の頂点の数の最小公倍数の値と同じ数の頂点を持つ正十五角形、正方形、
およびこれらの頂点の数に2の冪を乗じた数の頂点を持つ正多角形が作図可能である事は古代ギリシアの数学者エウクレイデス（ユークリッド）が著した『原論』に記されており、よく知られていた。
長い間それ以上のことは判明しなかったが、ガウスが1796年3月30日に、正十七角形が作図可能であることを発見した[3][4]。
同時に正五十一角形、正八十五角形、正二百五十五角形、及び17もしくはこれらの頂点の数に2の冪を乗じた数の頂点を持つ正多角形が作図可能であることも発見されたことになる。
ガウスはさらに1801年に出版した『整数論の研究』において、正 n 角形が作図可能であるための必要十分条件が、n が2の冪と相異なるフェルマー素数の積、すなわち
n = 2mFaFb…Fc（Fa , Fb , … ,Fc は全て異なるフェルマー素数、m は非負整数）
の形であることを示した[5]。
これは 1 の原始 n 乗根 ζn のガロア群の構造が 2 次拡大の繰り返しによって得られることの特徴付けとして得られる。
539:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/10 20:31:26.35
>>537
Kummerさん、乙です
>ここでやるわけないｗ
だよね
ま、よろしくね
540:１３２人目の素数さん
12/03/10 20:33:44.01
>>533
知ったかぶり乙ｗ
541:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/10 20:40:21.95
>>536
>学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。
これだね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
Disquisitiones Arithmeticae（ディスクィジティオネス・アリトメティカエ、ラテン語で算術研究の意、以下 D. A. と略す）は、カール・フリードリヒ・ガウス唯一の著書にして、後年の数論の研究に多大な影響を与えた書物である。
1801年、ガウス24歳のときに公刊された。その研究の端緒はガウス17歳の1795年にまでさかのぼり、1797年にはほぼ原稿は完成していた[1]。
ラテン語の arithmetica（アリトメティカ）は通常「算術」と訳される[2]が、ガウスの意図したものは、今日「数論」もしくは「整数論」と呼ばれる学術的領域である[3]。
D. A. を『数論研究』と訳している書物もある[4]し、高瀬正仁による最初の D. A. の完全な日本語訳の書名は『ガウス整数論』である。
最後の第7章は、円周の等分に関する理論であり、1の冪根や円分多項式について議論している。特に、正多角形が定規とコンパスによる作図で構成可能であるための条件を与えている（最終第365条、366条）。
ガウスは、高次の合同式に関する、第8章に相当するものを書いていたが、完成することなく、死後に部分的に公表された[5]。
542:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
12/03/10 20:41:52.78
>>540
オマエの様な奴が一番いやらしいワ。そやし攻撃したる。
猫
543:１３２人目の素数さん
12/03/10 21:19:07.40
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
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544:１３２人目の素数さん
12/03/10 21:47:42.29
>>542
痴漢にそんなことをいう資格はない。痴漢はいやらしくないのかｗ
545:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
12/03/10 21:53:40.49
>>544
攻撃するのはわしの勝手や。そやし気に入らんかったらオマエがワシを
攻撃したらエエのや。そうやってスレが焦土と化して行くだけや。
どや、文句アルかァ！
猫
546:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
12/03/10 21:57:21.27
>>542
オマエをズタボロになるまで追い詰めて潰したる。許さんからナ。
猫
547:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
12/03/10 21:59:23.43
アンカーを間違えたワ。攻撃の目標は>>540やったワ。
猫
548:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
12/03/10 22:00:10.23
>>540
オマエをズタボロになるまで追い詰めて潰したる。許さんからナ。
猫
549:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
12/03/10 22:01:45.16
>>540
オマエみたいな発想の奴が一番憎いんだヨ。徹底的に追い詰めたる。
猫
550:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/10 22:05:45.26
>>545
ねこさん、乙！
おいらも、ねこさんに賛成だな
まあ、この程度は焦土とは呼ばないが。焚き火だね。ちょっとホットにあったまって適温だな
999まで、先はまだまだ長いし、それで足りなければ次スレ立てるから
551:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
12/03/10 22:09:17.32
ああ、そうですか。なるほど。
猫
552:１３２人目の素数さん
12/03/10 22:27:34.53
>>545-549
よほど痴漢と呼ばれたの答えたらしいなｗ
キチガイぶりでは、猫と熊はよく似ている。
553:１３２人目の素数さん
12/03/10 22:29:55.99
>>549
世の中には、人のいったことを、さも自分が考えたようにいう輩がいる。
痴漢猫はその仲間ｗ
554:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/10 22:36:48.07
>>511
補足
アルティンが、線形群の補題を書いている
定理44の直前だ
補題 qを素数とし、Hをq個の文字の置換群とし、Hの正規部分群Nが線形であるとする。するとH自身も線形である
これのアルティンの証明もなかなか鮮やかだが
ともかく、「qを素数とし、Hをq個の文字の置換群とし」＝Hは素数次の対称群Sqの部分群ってことで
線形群は、いくらべき根で正規拡大しようとしても、線形群以上にはならない
で、線形群の位数の最大値は、q(q-1)にしかならない（これは、アルティンの定理45の直前の記述）
なので、べき根で解けるのは、ガロア群がこの程度（位数の最大値q(q-1)）まで
一般のガロア群では、対称群Sqの位数はq!(qの階乗)だから、それは線形群よりもっともっと複雑ってことがわかって、「なるほどべき根では解けないね」と
555:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/10 22:37:27.13
>>552-553
おまえ、そうとう馬鹿だな
556:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/10 22:48:44.71
>>554
補足
ガロア論文>>3の第VII節で、ガロアはアルティンの補題や定理44から45にかけての説明と同じ趣旨のことを書いている
しかし、ガロアの時代正規部分群という用語も線形群という用語や概念もはっきりしていないから、その表現がわかりづらい
アルティンや守屋解説>>3、倉田>>4などを読んでからでないと、とても読めたしろものではない
557:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/10 22:57:52.93
>>556
だが、守屋先生の解説も分かりにくい
えーと、守屋先生を検索すると・・
守屋 美賀雄（もりや みかお）、洗礼名は「ミカエル」か・・。「ミカエル」→美賀雄かも・・。高木貞治門下の一人か。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
守屋 美賀雄（もりや みかお、1906年3月 - 1982年10月18日）は、日本の数学者。高木貞治門下の一人。
専攻は整数論。父親は守屋荒美雄（すさびお）で、帝国書院、関東第一高等学校、吉祥女子中学校・高等学校の創立者。
洗礼名は「ミカエル」。理学博士。
1949年から始まったイールズ事件（1949年占領軍総司令部民間情報部最高教育顧問官イールズが全国の大学をまわって、講演の中で共産主義者を大学から追放すべきだと主張していた）では、
1949年5月15日に北海道大学でイールズの講演に対し、カトリック信者として真っ向から反対している。
経歴
1923年 開成中学卒業。
・第一高等学校卒業。
1929年 東京帝国大学理学部数学科卒。
1931年10月 ドイツのマールブルク大学へ留学、ヘルムート・ハッセの下で学ぶ。
1934年3月 ドイツより帰国し、直ちに北海道帝国大学（のちの北海道大学）理学部数学科助教授
1938年 帝国第一高等女学校（のちの吉祥女子中学校・高等学校）の初代理事長に就任。（設立者）
1941年 北海道大学理学部数学科教授
1950年5月 岡山大学理学部数学科教授
1957年8月 東京大学教養学部教授
1965年3月 東京大学定年退官
1965年4月 上智大学理工学部数学科教授←数学科新設に伴い
1968年11月12日－1975年3月31日 上智大学第6代学長
1971年1月 ローマ教皇庁より聖グレゴリオ大勲章受章
学位
1938年 理学博士（東京大学）
558:１３２人目の素数さん
12/03/10 23:06:57.22
>>555
>なので、べき根で解けるのは、ガロア群がこの程度（位数の最大値q(q-1)）まで
こんないい加減なことを書いておいてどっちがバカなんだかｗ
559:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/10 23:15:57.29
>>557
>だが、守屋先生の解説も分かりにくい
守屋先生1906年3月 - 1982年10月18日ですか
お亡くなりになっている人を悪くいうつもりはないが
P113の解説 「22)・・これ以降本節でガロアの述べていることは意味が明確でないし、また原文のままでは必ずしも正しくはない。
・・、もとの方程式のガロア群の元が線形置換とは断定できない。そのためには、以下に示すようにある制限が必要である。」
としておきながら、どんな制限かあいまい。この後、”制限”というキーワードが出ないまま、23)の解説になってしまう
”ガロアの述べていることは意味が明確でない”と批判した解説であるから、自分はもっとしっかり（意味明確の）手本を示すつもりで書いて欲しかったね
560:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/10 23:16:39.79
>>558
おまえに決まっているじゃん
561:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/03/10 23:22:35.53
>>558
>>なので、べき根で解けるのは、ガロア群がこの程度（位数の最大値q(q-1)）まで
まあ、正確には、アルティン先生は
「よって、Gの位数はdqであり、Gの構造は位数dqによって一意に定まる。位数の最大値は(q-1)qである」（定理45の直前に）と書いてあるが、面倒なので縮めたんだよ
562:１３２人目の素数さん
12/03/10 23:24:56.83
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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