12/03/01 07:43:10.97
>>393
>でも、この表現だと、例えばV'に対応する置換φV',φ1V',・・・・,φm-1V',が具体的にどういう根の並びになっているか不明
>でも、直感的には例えば、V1=Ab+Ba+Cc+・・・（互換(a,b)）なら、根の並びも b, a, c ・・・（互換(a,b)）が対応するんじゃないかと。それが自然な対応で、そういう自然な対応になっていないと、群の積を考えたときに困るだろうと
>倉田>>4の７節「ラグランジュの定理」の証明に使う分母に微分が来る式があるんだが、その筋で直接照明できるね
今日はこれ。>>315>>317倉田>>4§７より
（ラグランジュの定理）
体ｋ上のｎ（＞１）次の多項式の根α１、・・・、αｎは重根を持たないとする。
α１、・・・、αｎのｋ上の有理式
β＝φ（α１、・・・、αｎ）、γ＝ψ（α１、・・・、αｎ）において
βを不変にするすべての（α１、・・・、αｎ）の置換によって、γが不変ならば、
γはβのｋ上の有理式で表される。
証明は、
デデキント、ラグランジュの論法を使う
βを不変にするSn（ｎ次対象群）の部分群をHとし、
Sn＝H＋σ1H＋・・・＋σk-1H
とする。
β1＝σ1β、β2＝σ2β、・・・、βk-1＝σk-1β とおけば、
β、β1、β2、・・・、βk-1は、Snの置換によって生じる量の全部である。
γから同様にγ1＝σ1γ、γ2＝σ2γ、・・・、γk-1＝σk-1γを作る。
このとき、γ、γ1、γ2、・・・、γk-1も、Snの置換によって生じる量の全部である。
但し、γ、γ1、γ2、・・・、γk-1の中に等しいものはあり得る。
F(ｘ)＝（ｘ－β）（ｘ－β1）・・・（ｘ－βk-1）
を作ると、根と係数の関係から、F(ｘ)はｋ上の式。
F(ｘ)（γ／（ｘ－β）＋γ1／（ｘ－β1）・・・＋γk-1／（ｘ－βk-1））＝G(ｘ)
を作ると、G(ｘ)もSnの置換によって不変だから、ｋ上の式。
これから、
γ＝G(β)／F’(β) 即ち、γはβのｋ上の有理式
F’(β)＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分)