12/02/26 16:11:33.11
>>371
つづき
１．V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）は、”a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる”ように定めた>>28
だから、Vを変えない置換は恒等置換eのみ
２．ここで代数的可解性の原則を認めて、元の方程式が解けるためには、根a,b,c・・・の有理式から補助方程式を作って、補助方程式の根を添加することで、方程式を解くことを考えてみよう
３．ラグランジュの定理を補助線として、Vを見ると、Vを変えない置換は恒等置換eのみだから、Vはどんな根の有理式を持ってきても、それは必ずVの有理式で表されるという構造になっているんだ（ここポイント）
４．で、>>343
・ある根の有理式を持ってくる
・その有理式で根a,b,c・・・の置換を行なって、値の異なるものを集める
・そうして、最小定義多項式（＝補助方程式）を作る（補助方程式は根と係数の関係から、元の体の数になる）
・最小定義多項式には、有理式の置換で異なる値（補助方程式の共役な根）が含まれる
・補助方程式を全部添加して、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）の因数分解（可約性）を見ると、因数分解できるときは補助方程式のガロア群をHとしてHがもとの方程式のガロア群Gの正規部分群になってしまうんだと
ここは、上記の>>345-348だ
つづく
373:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 16:59:42.77
>>372
つづき
５．繰り返しになるが、Vを変えない置換は恒等置換eのみだから、Vはどんな根の有理式を持ってきても、それは必ずVの有理式で表されるという構造になっている
で、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）で、代数的可解性の原則から根a,b,c・・・の有理式を持ってきても、全部Vとガロア（分解）方程式F(x)の土俵の上に乗っている
つまり、ガロアはVとF(x)で、根の有理式が全部乗る土俵を作った。代数的可解性の原則を認めれば、ここからこぼれるものはない
６．そして、根の有理式から補助方程式を作ってF(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*の因数分解（可約性）を見るとガロア群Gの正規部分群になるように分解するしかない
つまり、ガロア群Gが正規部分群を持つという良い群としての性質を持っていないと、いくら補助方程式を作ろうと思っても、それは元々無理だと
７．これを具体例で見ると、>>323-342だ
>>280のように３次方程式の根の有理式(α-β)^2 を考える。根の置換を考えると、
補助方程式 g(x)={ x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0ができる
ここで、有理式(α-β)^2 だけなら２次式で簡単だけど、置換をすると、共役な(β-γ)^2、 (γ-α)^2達が出現する
で、補助方程式は３次式で根は３つになる
この補助方程式の根全てを添加するとは、>>328補助方程式 g(x)のガロア分解式V’＝A’(α-β)^2＋B’(β-γ)^2＋C’ (γ-α)^2 を作って（係数A、B、Cは置換で値が異なるように取る）
V’を添加することと同じ
ところが、ガロア分解式V’は、根α、β、γの置換全てで異なる値を取り、６つの異なる値を取ることに
８．上記７を要約すると、簡単な有理式をとってきても、そこから補助方程式を作るときに、共役な仲間達が出てきて次数が上がる。
そして、ガロア分解式V’＝A’(α-β)^2＋B’(β-γ)^2＋C’ (γ-α)^2 を作ってその取る値を見ると、また次数が上がる場合がある。
この場合は、結局６次まで次数が上がってしまって、VとV’は同じ分解能力を持つってことになってしまった（つまり、方程式を解く視点からは役に立たないと）
つづく
374:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 17:10:50.91
>>373
つづき
９．ここで、一般の５次方程式のガロア群は、５つの根の全ての置換120個からなるS5（5次の対称群）で、S5の正規部分群はA5（位数60の5次の交代群）のみで、A5は単純群で非可解だということを認めよう
１０．となると、上で述べたように、どんな有理式を作って補助方程式を作っても、元々の群がいい性質を持っていないから無理だよと
１１．この事情を、上記にならってお話風に言えば、一般の５次方程式のガロア群は、置換の組み合わせが120、交代群で60もあって、根の有理式をよってたかって沢山値を作ってしまう
沢山値を作ってしまう仕組みは、根の有利式の共役な仲間達と、その仲間達と作る補助方程式のガロア分解式V’の組み合わせの作用
一口で言えば、置換の組み合わせが多すぎて、次数は下げられないよと
375:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 17:21:32.82
>>374
補足
１．S5の正規部分群はA5（位数60の5次の交代群）のみは、５次以上ではそうなると証明できるそうだ
A5は、偶置換全体の成す群だと。残りが奇置換全体。
この事情は、根の全ての差積からなるΔ（＝判別式Dを√で開いたもの。というか、Δの自乗がDという方が正しいかも）を添加することで、ガロア分解方程式が120次から60次に下げられるということにつながる
２．根の全ての差積からなるΔは、全ての奇置換で値を変える（正負の符号が変わるだけ）。しかし、偶置換では値を変えないという性質がある。で、Δの自乗Dは、偶置換でも奇置換でも値は変わらないと
376:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 17:31:21.27
>>372
代数的可解性の原則は、下記のP26などをご参照。倉田>>4なら、P154など
URLﾘﾝｸ(homepage2.nifty.com) >>321
方程式論の歴史（平成１４年）
377:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 18:07:49.61
>>376
訂正
>>321
↓
>>317