12/02/18 21:21:03.15
>>290
関連する文献で、下記あり。
URLﾘﾝｸ(www.math.meiji.ac.jp)
2004 年度卒業研究 位数 30 以下の群の分類
P10 （数学記号が表示できないので、原文PDFご参照）
”6 位数が2p の群の分類(p は奇素数)
この節で，位数2p (p は奇素数) の群の分類を行う．
#G = 2p と仮定する．S2, Sp は，それぞれG の2-シロー部分群，p-シロー部分
群であるとする．すると，#S2 = 2, #Sp = p である．シローの定理より，G は唯
一つのp-シロー部分群をもっているので，Sp / G （注：ここSp / Gは、SpがGの正規部分群を表す白三角の記号で表現されている）である．
また，
S2 ＾ Sp = { e } （注：ここS2 ＾ Spは、S2 ＾ Spの積集合（交わり）を表すハット形の記号で表現されている）
であり，#S2 ・ #Sp = #G である．よって，注意3.3 により，G はS2 とSp の半直
積となる．つまり，G＝Sp x S2 と書ける．ただし，
s : S2 → Aut(Sp) (3)
は準同型とする．S2 = { e, a } としよう．
このとき，定理4.1 によりAut(Sp) = (Z/pZ)x = { 1, 2, ・・・・ p-1 } である．
(Z/pZ)x の中の二乗して1 になる元は§1 のみである．よって，(3) の準同型は，
「s(e) = s(a) = 1」と「t (e) = 1, t (a) = -1」の二通りが考えられる．
s の場合は，G はS2 とSp の直積と同型になり，特にアーベル群になる．
t の場合を考える．Sp = <b> とする．すると，a^2 = b^p = e, aba^-1 = b^(p-1) で
あり，この群は位数2p の二面体群D2p と同型である．(二面体群に関しては，第2 節参照．)
以上により，位数が2p の群(p が奇素数) は，C2 x Cp とD2p の二通り存在す
る．(D2p はアーベル群ではないので，この二つの群は，同型ではありえない．)”