12/02/13 21:57:45.06
>>247
正規部分群については、下記が面白く、かつ印象が強烈だったので紹介しておく
URLﾘﾝｸ(kazuschool.blog94.fc2.com)
正規部分群はどういう意味があるか
（抜粋）
正規部分群は最初に経験する忘れらない切ない経験ですが、今回はそういう正規部分群について説明したいと思います。
まあこれだけ聞くと正規部分群はなんかようわからんことが多いねん。
なんでこんな定義してるのか、どう扱ったらええのか。
それで定義も忘れると。
そこでまずは正規部分群にイメージを持ってもらいたいねん。
だいたいこんな感じ。
これでだいたい、
せ…正規部分群…おまえ…
ってなると思うねんけど、もう少し説明を加えると正規部分群は正規部分群だけ見ててもあんまよくわからんかって剰余集合を考えて見てほしいねん。
（以下略）
251:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/13 22:07:22.19
>>248
補足
補助方程式の根を１つだけ添加するより、もったいぶらず全部添加する方が、話は早い
で、そうすると、正規部分群の話になって、補助方程式の添加でガロア（分解）方程式が分解するなら、そもそも方程式のガロア群が正規部分群を持っていて、補助方程式の群は商群になると
逆に言えば、そういう方程式のガロア群の構造になっていないと、ガロア（分解）方程式を分解できるような補助方程式は見つからないんだよと
それが、ガロアの見ていた原風景だったろう
252:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/13 22:35:58.38
>>248
補足
>>195でも書いたが、推定だが、ガロアは最初素数p次のべき根の添加を考えていたと思う
素数p次のべき根（二項方程式の根）の場合、話は簡単
二項方程式は巡回群になるから、素数p次のべき根一つを添加することと、その全部の根を添加することとは同じだから
そして、素数p次のべき根は、ｐ乗されて有理数体Qになるので、話は簡単になる
ガロアは決闘直前に見直して>>247 第III節の定理のように一般化したのだった
253:１３２人目の素数さん
12/02/13 23:25:38.04
>>248
>つまり、根を一つ添加したときは、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・とｐ個分解されたのが、全部添加だと
例えば、ｒを添加したとき、f(V,r)が出てくるのはわかるけど、
f(V,r')xf(V,r'')x・・・
という分解は無理じゃない？
254:猫はチョコ３つ獲得 ◆MuKUnGPXAY
12/02/14 15:40:56.03
猫
255:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/14 20:44:59.06
>>254
猫さん、乙
チョコ３つか・・
おいらは、義理チョコ一つだよ
256:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/14 21:22:42.30
>>253
乙
フォローありがとう
>つまり、根を一つ添加したときは、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・とｐ個分解されたのが、全部添加だと
>例えば、ｒを添加したとき、f(V,r)が出てくるのはわかるけど、
>f(V,r')xf(V,r'')x・・・
>という分解は無理じゃない？
そのセンスは正しいよ
が、r、r'、r''・・・は補助方程式g(x)の根であったことを思い出そう>>247
ここに、g(x)は素数p次の式で、Q（有理数体）で既約とする。面倒なので、モニック（最高次の係数が１）としておこう
で、F(x)が根rの添加でF(x)＝f(V,r)q(V,r)と分解されたとする>>226
１．左辺F(x)は、Q（有理数体）の式
２．なので、右辺f(V,r)q(V,r)は、r、r'、r''・・・の対称式になっていないとまずい（r、r'、r''・・・の対称式になっていないと、Q（有理数体）の係数にならないから）
３．ということは、f(V,r)q(V,r)はr、r'、r''・・・の対称式なので、それを
F(x)=(f(V,r)xf(V,r')x・・・xf(V,r'p-1))x(q(V,r)(xq(V,r')x・・・xq(V,r'p-1)) ここにr'p-1は、rに’（ダッシュ）がp-1個ついたもの（なお同じ記述が>>226に記号を変えてある）
４．で、結局右辺は、r、r'、r''・・・の対称式になっていなければならないから、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・とならないといけない
５．しかし、これはもしそういう分解が起こったらということで、実際にそういう分解がめったに起こらない
６．実際にそういう分解が起こらないということが、代数的解法ができないということにつながる
257:猫はチョコ4つ獲得 ◆MuKUnGPXAY
12/02/14 23:38:17.21
>>
258:猫はチョコ４つ獲得 ◆MuKUnGPXAY
12/02/14 23:40:32.85
>>255
当然の事ながら私のも全部義理チョコでっせ。どうかご安心を。
猫
PS:だってこんなオッサンが本命チョコなんか貰ったら大変ですワ。
259:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/14 23:44:01.18
>>256
> ４．で、結局右辺は、r、r'、r''・・・の対称式になっていなければならないから、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・とならないといけない
> ５．しかし、これはもしそういう分解が起こったらということで、実際にそういう分解がめったに起こらない
> ６．実際にそういう分解が起こらないということが、代数的解法ができないということにつながる
補足
１．一般の方程式で、５次以上の場合、方程式の代数的解法はないことは良く知られている
２．それは、５次以上の一般方程式のガロア群は、対称群Sn（nは５以上）で、正規部分群は交代群Anのみ（nが５以上のAnは単純群）
３．ということは、簡単には上記４のような分解は起こらない。（判別式の平方を添加することで、SnをAnに縮小させることは可能。でも、このときの話は単純）
４．で、４次方程式以下の場合は、べき根のみの添加で、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・の分解は起きる（それは>>53-57あたりに群の分解として書いた）
５．だから、結局補助方程式として二項方程式以外を使う場面は出てこない
６．けど、やっぱガロアが補助方程式を一般の方程式まで拡大したことは意味があって、方程式の理論としての完成度が高いだけでなく、群論としてのその後の発展でも意味あったんだ
260:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/14 23:45:38.96
>>257-258
猫さん、乙
あれ、いつの間にかチョコ一つ増加・・
261:猫はチョコ４つ獲得 ◆MuKUnGPXAY
12/02/14 23:53:36.28
>>260
さっきコンビニに買い物に行ったら、知り合いの姉ちゃんに出会ってね、
ほんでまた一個義理チョコを貰いましたね。
猫
262:１３２人目の素数さん
12/02/15 00:09:59.20
妄想乙
お薬出しときますね
263:猫はチョコ４つ獲得 ◆MuKUnGPXAY
12/02/15 00:34:43.97
>>262
どんな薬や？ 早よ出せや。
猫
264:１３２人目の素数さん
12/02/15 00:39:28.86
>>263
リスパダールだ。
265:猫はチョコ４つ獲得 ◆MuKUnGPXAY
12/02/15 01:08:37.73
>>264
コレですか：
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
随分と高価な薬みたいですナ。本当におかしくなってこういう薬のお世話
になったらかなり大変でしょうね。勉強になりましたワ。
どうもです。
猫
266:１３２人目の素数さん
12/02/15 01:10:01.90
>>265
読み間違えてない？4090円じゃなくて、40.90円だぞ。
だから、一錠あたり41円ぐらいで、普通じゃん。
267:猫はチョコ４つ獲得 ◆MuKUnGPXAY
12/02/15 01:15:06.88
>>266
ああ、そうですね。コッチ：
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
と勘違いしてましたワ。
猫
268:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/15 21:42:39.08
>>256
>そのセンスは正しいよ
> １．左辺F(x)は、Q（有理数体）の式
> ２．なので、右辺f(V,r)q(V,r)は、r、r'、r''・・・の対称式になっていないとまずい（r、r'、r''・・・の対称式になっていないと、Q（有理数体）の係数にならないから）
> ３．ということは、f(V,r)q(V,r)はr、r'、r''・・・の対称式なので、それを
> F(x)=(f(V,r)xf(V,r')x・・・xf(V,r'p-1))x(q(V,r)(xq(V,r')x・・・xq(V,r'p-1)) ここにr'p-1は、rに’（ダッシュ）がp-1個ついたもの（なお同じ記述が>>226に記号を変えてある）
> ４．で、結局右辺は、r、r'、r''・・・の対称式になっていなければならないから、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・とならないといけない
> ５．しかし、これはもしそういう分解が起こったらということで、実際にそういう分解がめったに起こらない
> ６．実際にそういう分解が起こらないということが、代数的解法ができないということにつながる
これを書いていたあとで、考えたんだが
上記のような分解ができるということは、元の方程式のガロア群が正規部分群を持っている場合だけ
えーと何が言いたいかというと、現在の我々は、ガロア分解式>>28とガロア（分解）方程式を経由しない完成されたガロア理論を持っている
その完成されたガロア理論を正しいとすれば（当然正しいが）、補助方程式の根を添加して上記の分解が起こるのは、元の方程式のガロア群が正規部分群を持っている場合だけ
逆にいえば、正規部分群がないのに、補助方程式の根の添加でそんな分解が起これば、完成されたガロア理論に反する
だから、上記のような分解が起こるのは、完成されたガロア理論に従う場合だけで、結局正規部分群に従って分解が起きるだよと
269:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/15 21:55:38.87
>>268
補足
アーベルが一般の５次方程式が代数的に解けないことを証明する前、それはガロア理論の前でもあるが
ラグランジュを代表として、「補助方程式さんに頑張ってもらえば、なんとかなる」＝>>268のF(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・みたいな分解が補助方程式gをうまく作ればやれるのではという幻想を持っていた
ところが、現代のガロア理論では、元の方程式が素性の特性を持つ群Gでないと、いくら補助方程式さんが頑張ってもどうにもならんと
元の方程式が素性の特性を持つとは、群Gが可解群になっていること。可解群とは、正規部分群の連鎖から出来ている群だと
（可解群の一つの定義は下記。表現はいろいろあるみたい。本によって違う）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
可解群・交換子群・冪零群
270:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/15 21:57:41.70
>>269
訂正
ところが、現代のガロア理論では、元の方程式が素性の特性を持つ群Gでないと、いくら補助方程式さんが頑張ってもどうにもならんと
元の方程式が素性の特性を持つとは、群Gが可解群になっていること。可解群とは、正規部分群の連鎖から出来ている群だと
↓
ところが、現代のガロア理論では、元の方程式が素性の良い特性を持つ群Gでないと、いくら補助方程式さんが頑張ってもどうにもならんと
元の方程式が素性の良い特性を持つとは、群Gが可解群になっていること。可解群とは、正規部分群の連鎖から出来ている群だと
271:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/15 22:15:47.06
>>270
補足
ガロアさんは、群論の創業者として、苦労して、ガロア分解式>>28とガロア（分解）方程式>>33を経由して、ガロア方程式論の頂上まで上っていったんだが
その過程で
１．ガロア論文第II節で、補助方程式の一根rを添加して、ガロア（分解）方程式が分解される場合を考え>>268
２．その後、第III節で、補助方程式の根の全てを添加した場合として、正規部分群を考えた
しかし、完成されたガロア理論から見れば（それはあたかも我々が、舗装された道を車で山頂まで上って、眺めるようなものだが）
上記１．の場合だって、方程式の群Gが正規部分群を持たなければ、そもそもそんな分解は起こらない
分解が起こる場合は、正規部分群の働きで分解は起こるべくして起こる。補助方程式も、それに適合した式でなければならないんだと
だから、”f(V,r')xf(V,r'')x・・・
という分解は無理じゃない？”>>253というのは、結構良いセンスだと
分解は起きるべくして起き、そう簡単に起きるものじゃないと>>256
272:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/15 22:36:03.64
>>271
さらに補足
１．アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11)>>3 のP33の第III節の注記にあるように、ガロアは最初ここは素数P次の二項方程式r^p=Aの場合を考えていた
２．しかし、決闘前夜に見直して、一般の正規部部分群の場合に書き直したという（倉田P144>>4）
３、なので、個人的感想をいえば、第III節はいかにも急に付け足した感じで、証明もろくに書いていないし、>>271に書いたように第II節との整合性がすっきりしていない感があるんだ
４．そして、「すっきりしていない感」は以前からあったんだけど、>>268に書いたように>>256の後、なんですっきりしないかその理由が分かった気がした
273:１３２人目の素数さん
12/02/15 23:35:29.06
ガロア
274:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/16 00:25:25.03
>>256
補足の補足の補足
>右辺f(V,r)q(V,r)は、r、r'、r''・・・の対称式になっていないとまずい（r、r'、r''・・・の対称式になっていないと、Q（有理数体）の係数にならないから）
> ３．ということは、f(V,r)q(V,r)はr、r'、r''・・・の対称式なので、それを
> F(x)=(f(V,r)xf(V,r')x・・・xf(V,r'p-1))x(q(V,r)(xq(V,r')x・・・xq(V,r'p-1)) ここにr'p-1は、rに’（ダッシュ）がp-1個ついたもの（なお同じ記述が>>226に記号を変えてある）
共役という概念がある。複素数でも、共役複素数などと。複素数さんは、共役複素数さんとペアにならないと、リアル（実数）の世界に戻れない
無理数も同じ。既約な補助方程式の根r、r'、r''・・・は、単独では無理数だが、共役な他の根とセット（対称式）になると有理数の世界に戻れる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
共軛、共役（きょうやく）は2つのものがセットになって結びついていること、同様の働きをすること。
共軛の「軛」（くびき）は、人力車や馬車において2本の梶棒を結びつけて同時に動かすようにするための棒のことである。
「軛」が常用漢字表外であったため、音読みの同じ「役」の字で代用され、現在では共役と書かれることが多い。
数学における「共軛/共役」
以下は主な例であるが、数学において、この語は様々な文脈で用いられるため、全てを網羅してはいない。
・共役複素数のこと。
・群論において、群の内部自己同型で移り合う元あるいは部分集合たちの関係のこと。
・代数拡大体の自己同型で移り合う元の関係のこと。特に Q 上自己同型に関するものは代数的数を参照。
（引用おわり）
だから、F(x)=(f(V,r)xf(V,r')x・・・xf(V,r'p-1))x(q(V,r)(xq(V,r')x・・・xq(V,r'p-1)) で、左辺F(x)が有理数の世界の式だと、右辺は共役なr、r'、r''・・・たちのセット（対称式）でないとまずいよと
しかし、これは簡単に実現できない。そもそも、１根rを添加してガロア（分解）方程式>>33が可約になると、他の共役なr'、r''・・・たちも必然的に出現すると
これは、よほどうまく仕掛けが出来ていないと、実現できないという空気は分かるでしょ
275:１３２人目の素数さん
12/02/16 01:32:09.57
>>268
>上記のような分解ができるということは、元の方程式のガロア群が正規部分群を持っている場合だけ
そんなことないよ。
276:１３２人目の素数さん
12/02/16 01:51:10.24
うん
277:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/16 07:19:30.35
>>275-276
そうなんか？
例えば、具体的な例を挙げられる？
278:１３２人目の素数さん
12/02/16 10:09:27.80
矢ケ部はちゃんと読んだ？
279:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/16 20:23:10.26
>>278
おお、ありがとう
矢ケ部ね
あそこに例があったかな・・・、思い当たるのは、ラグランジュの分解式のところだから
P176-178かな？ もう一度読んでみるよ
280:１３２人目の素数さん
12/02/16 21:03:44.80
>>279
例えば、与えられた方程式が三次方程式とする。
その時、以下のような補助方程式を考える：
{ x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0 .
ただし、α、β、γは元の方程式の根とする。上の式を展開すれば、
係数はα、β、γの対称式なのは明らか。
さて、この補助方程式の根を添加すると、
F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）
はどのように分解されるか。その時、各因子 f(V,r) の群は？ 一致するか否か？
281:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/16 23:05:23.58
>>280
乙
ありがとう
なかなか深い人がいるね
ちょっと考えて見るよ
282:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/16 23:58:05.72
>>280
いま、あまり時間が取れないが、考えたことを書いておくと
三次方程式のガロア群は、S3（３次の対称群）になるけれど
で、S3の群の要素は、長さ３の巡回置換と、３つの互換とからなる
{ x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0 は、互換で変わらないのを作ったってことかな？
なお、対称群などについては、下記が参考になるだろう
URLﾘﾝｸ(www.math.meiji.ac.jp)
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
URLﾘﾝｸ(www.math.meiji.ac.jp)
明治大学 蔵野ゼミ 研究室の学生の卒業論文・修士論文
283:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/18 11:19:17.06
>>282
いい機会なので、Maximaを使ってみようと
以前、下記の竹内薫さんの本、「はじめての数式処理ソフト」CD-ROM付 (ﾌﾞﾙｰﾊﾞｯｸｽ)を買って、前のPCとかにインストールしていたんだが、あまり使っていなかった （Weblogの方とは別人です。念のため）
今回は、win7のCorei7になっているので、下記Maximaのページから最新版（windows版）を落とした
5.26.0-Windows 2012-01-26なんだけど、インストールすると、CD版とは印象が違う
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
「はじめての数式処理ソフト」 竹内薫 2007-07-23 02:27:22 / Weblog
（抜粋）
今日は、本屋へ行き、楽しみにしていた竹内薫さんの本、「はじめての数式処理ソフト」を購入。CD-ROM付 (ﾌﾞﾙｰﾊﾞｯｸｽ)
さっそくMaximaをインストールして、本にしたがって、遊び始める。
楽しい！
（引用おわり）
URLﾘﾝｸ(maxima.sourceforge.net)
Maxima, a Computer Algebra System
（SourceForge file managerからダウンロード、Maxima-Windowsの）
284:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/18 11:27:44.53
>>283 つづき
ちょっと遊んでみると、
(%o22) (x-(a-b)^2)*(x-(b-c)^2)*(x-(c-a)^2)
(%o23) x^3-2*c^2*x^2+2*b*c*x^2+2*a*c*x^2-2*b^2*x^2+2*a*b*x^2-2*a^2*x^2+c^4*x-2*b*c^3*x-2*a*c^3*x+3*b^2*c^2*x+3*a^2*c^2*x-2*b^3*c*x-2*a^3*c*x+b^4*x-2*a*b^3*x+3*a^2*b^2*x-2*a^3*b*x+a^4*x-b^2*c^4+2*a*b*c^4-a^2*c^4+2*b^3*c^3-2*a*b^2*c^3-2*a^2*b*
c^3+2*a^3*c^3-b^4*c^2-2*a*b^3*c^2+6*a^2*b^2*c^2-2*a^3*b*c^2-a^4*c^2+2*a*b^4*c-2*a^2*b^3*c-2*a^3*b^2*c+2*a^4*b*c-a^2*b^4+2*a^3*b^3-a^4*b^2
(%o24) x^3+(-2*c^2+(2*b+2*a)*c-2*b^2+2*a*b-2*a^2)*x^2+(c^4+(-2*b-2*a)*c^3+(3*b^2+3*a^2)*c^2+(-2*b^3-2*a^3)*c+b^4-2*a*b^3+3*a^2*b^2-2*a^3*b+a^4)*x+(-b^2+2*a*b-a^2)*c^4+(2*b^3-2*a*b^2-2*a^2*b+2*a^3)*c^3+
(-b^4-2*a*b^3+6*a^2*b^2-2*a^3*b-a^4)*c^2+(2*a*b^4-2*a^2*b^3-2*a^3*b^2+2*a^4*b)*c-a^2*b^4+2*a^3*b^3-a^4*b^2
285:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/18 11:34:48.49
>>284
説明
(%o22) (x-(a-b)^2)*(x-(b-c)^2)*(x-(c-a)^2)：最初、α、β、γをテキストコピーで入力したら、文字化け。で、a,b,cで計算
(%o23) が、展開結果
(%o24) は、式の整理というコマンドがあって、それを適用した結果（関数の整理コマンドもやってみたが、同じ出力）
286:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/18 11:50:48.21
>>284-285
補足
この式は、コピーしてここに貼り付けると、こんなエクセル記法になるけど
Maxima（正確にはwxMaxima）画面では、LaTex（ご存知と思うが下記）風の数式（いわゆる数学書籍風）に見える
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
こんなところが、windows版らしいところかも・・
以前見たCD版よりだいぶ進化している感じがする
287:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/18 12:07:54.19
>>284
補足
式の対称性が壊れて、あまり見やすくないね
えーと、
A=(a-b)^2
B=(b-c)^2
C=(c-a)^2
と置き換えて
(x-A)*(x-B)*(x-C)
展開
(%o29) -A*B*C+x*B*C+x*A*C-x^2*C+x*A*B-x^2*B-x^2*A+x^3
式のxについての整理ratsimp(%,x);
(%o31) x*((B+A)*C+A*B)-A*B*C+x^2*(-C-B-A)+x^3 （xのべきの昇順にすればいいのに、定数項がへんなところに。ご愛嬌ですか？）
こんな程度は、暗算レベル（昔散々やった）でしょうが、式を手書きするより楽です
288:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/18 12:14:29.24
>>287
” maxima 日本語 解説 ”でネット検索すると、いろいろ資料がヒットする
maxima がすいすいフリーで使える時代ですか。いい時代ですね
Mathematicaは、使ったことがないけれど、式の整理とかどうなんでしょうね？ 対称性を考慮した整理なんてのはないのでしょうか？
289:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/18 20:57:32.38
>>282
>三次方程式のガロア群は、S3（３次の対称群）になるけれど
>で、S3の群の要素は、長さ３の巡回置換と、３つの互換とからなる
S3（３次の対称群）について下記がある
URLﾘﾝｸ(oshiete1.nifty.com)
QNo.6387299 投稿日時 - 2010-12-15 23:54:32
３次の対称群を、
A＝{e = (1 2 3 ｜1 2 3）, r+ ＝(1 2 3 ｜ 2 3 1), r-＝(1 2 3 ｜ 3 1 2),
σ1=(1 2 3｜1 3 2), σ2＝(1 2 3 ｜3 2 1), σ3＝(1 2 3｜2 1 3)}
とする部分群G＝{e, r+, r-}およびH＝{e, σ1}に対して
(1) ラグランジェの定理を使って [A：G]および[A：H]を求めよ。
(2) G、Hに対して、全ての左剰余類を求めよ。
(3) G、Hに対して、全ての右剰余類を求めよ。
(4) G、HがAの正規部分群であるかを判定せよ。
分かりません。。よろしくお願いします！
A.
(1) [A：G]＝２、[A：H]＝３
(2) A=G＋σ1G={e, r+, r-}+{σ1, σ3, σ2},A=H＋r+H ＋r-H ={e, σ1}＋{r+, σ2}＋{r-, σ3}
(3) A=G＋Gσ1={e, r+, r-}+{σ1, σ2, σ3},A=H＋Hr+ ＋Hr- ={e, σ1}＋{r+, σ3}＋{r-, σ2}
(4) Gは正規部分群、Hは正規部分群ではない。
ここで、Gは長さ３の巡回置換を要素とする交代群A3
で、G=A3が、S3の唯一の正規部分群だと
290:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/18 21:01:16.66
>>282
URLﾘﾝｸ(www.math.meiji.ac.jp)
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
のP2の表に同じ話がある（下記抜粋）
S3 の部分群
位数 同値関係 共役な部分群の個数
（共役）での代表元
1 { e } 1
2 { e , (12) } 3
3 { e , (123) , (132) } 1
6 S3 1
計6 （自明な部分群を含む）
291:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/18 21:21:03.15
>>290
関連する文献で、下記あり。
URLﾘﾝｸ(www.math.meiji.ac.jp)
2004 年度卒業研究 位数 30 以下の群の分類
P10 （数学記号が表示できないので、原文PDFご参照）
”6 位数が2p の群の分類(p は奇素数)
この節で，位数2p (p は奇素数) の群の分類を行う．
#G = 2p と仮定する．S2, Sp は，それぞれG の2-シロー部分群，p-シロー部分
群であるとする．すると，#S2 = 2, #Sp = p である．シローの定理より，G は唯
一つのp-シロー部分群をもっているので，Sp / G （注：ここSp / Gは、SpがGの正規部分群を表す白三角の記号で表現されている）である．
また，
S2 ＾ Sp = { e } （注：ここS2 ＾ Spは、S2 ＾ Spの積集合（交わり）を表すハット形の記号で表現されている）
であり，#S2 ・ #Sp = #G である．よって，注意3.3 により，G はS2 とSp の半直
積となる．つまり，G＝Sp x S2 と書ける．ただし，
s : S2 → Aut(Sp) (3)
は準同型とする．S2 = { e, a } としよう．
このとき，定理4.1 によりAut(Sp) = (Z/pZ)x = { 1, 2, ・・・・ p-1 } である．
(Z/pZ)x の中の二乗して1 になる元は§1 のみである．よって，(3) の準同型は，
「s(e) = s(a) = 1」と「t (e) = 1, t (a) = -1」の二通りが考えられる．
s の場合は，G はS2 とSp の直積と同型になり，特にアーベル群になる．
t の場合を考える．Sp = <b> とする．すると，a^2 = b^p = e, aba^-1 = b^(p-1) で
あり，この群は位数2p の二面体群D2p と同型である．(二面体群に関しては，第2 節参照．)
以上により，位数が2p の群(p が奇素数) は，C2 x Cp とD2p の二通り存在す
る．(D2p はアーベル群ではないので，この二つの群は，同型ではありえない．)”
292:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/18 23:04:16.33
>>282
ちょっと地道に準備を
３次方程式：f(x)=x^3+A*x^2+B*x+C=(x-a)*(x-b)*(x-c) （α、β、γは、Maximaに乗らないみたいだから。？ 半角のギリシャ文字があるのかもしれないが・・・）
A=a+b+c
B=a*b+b*c+c*a
C=a*b*c
(o：ω(1の原始根)の代わり）
o =(-1+√3i)/2
o^2=(-1-√3i)/2 (o+o^2=-1 ＆ 1+o+o^2=0 (oとo^2は、共役複素数))
o^3=1
として、３次のラグランジュ分解式を次のように考えても一般性を失わない
V1=a+o*b+o^2*c, V4=a+o*c+o^2*b,
V2=c+o*a+o^2*b, V5=c+o*b+o^2*a,
V3=b+o*c+o^2*a, V3=b+o*a+o^2*c,
ガロア（分解）方程式は下記
F(x)=(x-V2)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)
補助方程式 >>280
g(x)=(x-(a-b)^2)*(x-(b-c)^2)*(x-(c-a)^2)
293:１３２人目の素数さん
12/02/18 23:27:34.75
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
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294:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/18 23:29:10.20
>>292 つづき
で、補助方程式の根(b-c)^2を添加して、ガロア（分解）方程式が可約になったとする
その因子をf'(V,r) ：Vはガロア分解式（V1・・・V6のどれか。これらはお互いに有理式の関係がある）、r=(b-c)^2 （注：f(x)と紛らわしいので、f'(V,r)と’を付けた）
ここで、互換（b,c）を作用させると、rは変化しないので、たとえばV1*V2とすると
V1*V2＝(a+o*b+o^2*c)*(a+o*c+o^2*b)
=b*c*o+c^2+b^2+b*c*o^2+a*c*o^2+a*b*o^2+a*c*o+a*b*o+a^2
=a*b*o^2+b*c*o^2+a*c*o^2+a*b*o+b*c*o+a*c*o+a^2+b^2+c^2
=(a*b+b*c+a*c)*o^2+(a*b+b*c+a*c)*o+a^2+b^2+c^2
=(a*b+b*c+a*c)*(o+o^2)+a^2+b^2+c^2
=-(a*b+b*c+a*c)+a^2+b^2+c^2
などとなりますが、これK(r)になる？
295:１３２人目の素数さん
12/02/18 23:29:46.56
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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296:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 09:42:30.89
Ann.of Math にえらくこだわっているが、古典的なアタマかな
ポアンカレ予想を解決したペレリマンは、結局その論文はネット上にアップしただけだった
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペレルマンとポアンカレ予想
arXivで以下の3つのプレプリント (Preprint) を発表しポアンカレ予想を解決したと宣言した。
The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications、2002年11月11日
Ricci flow with surgery on three-manifolds、2003年3月10日
Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds、2003年7月17日
彼はウィリアム・サーストンの幾何化予想（ポアンカレ予想を含む）を解決してその系としてポアンカレ予想を解決した。
手法もリチャード・S・ハミルトンの発見したリッチ・フロー (Ricci flow) （ハミルトン・ペレルマンのリッチ・フロー理論）と統計力学を用いた独創的なものである。
ペレルマン論文に対する他の数学者達による検証は、国際的な数学者の助力の下2006年夏頃まで続いたが、結論として少なくともポアンカレ予想についてはペレルマンの証明は正しかったと考えられている。
2006年度、ポアンカレ予想解決の貢献により「数学界のノーベル賞」と言われているフィールズ賞（幾何学への貢献とリッチ・フローの解析的かつ幾何的構造への革命的な洞察力に対して）を受賞したが、「自分の証明が正しければ賞は必要ない」として受賞を辞退した。
フィールズ賞の辞退は彼が初めてである。ペレルマンは以前にも昇進や欧州の若手数学者に贈られる賞を辞退するなどした経緯があり、賞金に全く興味を示さなかったり、自分の論文をあまり公表したがらない性格でも知られていた。
アメリカの雑誌の取材に対しては「有名になると何も言えなくなってしまう」と答えている。
297:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 09:48:13.38
以前に例を出した、エドワード・ウィッテン>>200>>206なども、Ann.of Math に投稿するスタイルじゃないだろうよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
M理論（えむりろん）とは、現在知られている5つの超弦理論を統合するとされる、11次元（空間次元が10個、時間次元が1個）の仮説理論である。
尚、この理論には弦は存在せず、2次元の膜（メンブレーン）や5次元の膜が構成要素であると考えられている。
1995年、エドワード・ウィッテンによって提唱されたこのM理論は、11次元超重力理論がもつこれらの難点を克服すると考えられるものであり、その提唱は第二次超弦理論革命へのきっかけとなった。
298:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 09:57:45.48
数学者は、リチャード・ボーチャーズなどアスペルガー症候群の人もいるから、付き合う相手としては気を付けた方がいいだろう
まあ、数学者には限らないが、数学以外の分野では他人とのコミュニケーションがより必要とされる場合が多いだろうから、ある程度対人スキルも訓練されると思うけど
いやまあ、アスペルガー症候群に対する理解をしてあげれば、お付き合いは可能と思うけど
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アスペルガー症候群（アスペルガーしょうこうぐん、Asperger syndrome: AS）またはアスペルガー障害（アスペルガーしょうがい）は、社会性・興味・コミュニケーションについて特異性が認められる広汎性発達障害である。
各種の診断基準には明記されていないが、総合的なIQが知的障害域でないことが多く「知的障害がない自閉症」として扱われることも多い。
アスペルガー症候群の診断を受けている事を公表している著名人
倉持由香[15]
リチャード・ボーチャーズ[16]
スティーブン・スピルバーグ[18][19]
299:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 10:08:05.03
佐藤 幹夫先生なんかも、Ann.of Math に投稿するスタイルじゃない
もっとも、女性にはモテたのか、下記”佐藤-佐藤の定理（夫人と共著）”というのが、ソリトン方程式を共同研究していた若い女性と結婚したって話は有名でね
そもそも、Ann.of Mathなど論文投稿を基準にしているってのが、ちょっと21世紀の基準としてはどうなのかと疑問に思った次第だ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85)
佐藤 幹夫（さとう みきお、男性、1928年4月18日 - ）は、日本の数学者で佐藤超函数、概均質ベクトル空間、D加群の創始者。大阪大学教授を経て京都大学数理解析研究所名誉教授。1992年退官。東京都出身。
東京大学理学部数学科で彌永昌吉に師事した後、一時期高校教師を務めるなど異色の経歴を持つ。ノーベル物理学賞受賞の物理学者朝永振一郎に学んだこともある。
ソリトンなど可積分系の研究、特に、ソリトン方程式のモジュライが無限次元グラスマン多様体になるという佐藤-佐藤の定理（夫人と共著）で有名。この定理は可積分微分方程式に対するガロア理論とみなすことができる。
人物
・ 不快でなじめぬ中学時代、それを忘れるため数学に没頭していたという。
・ 彼の講演を理解できる人がおらず、「ほとんどの聴衆は道に迷ってしまう」と述懐している。
・ 自身では論文をほとんど書かず、アイデアや方針をうけた弟子が書き留める。
・ 数学を解説するのではなく、独創的に作り上げるタイプの数学者。
外部リンク
Mikio Sato (京都大学数理解析研究所)
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
An invitation to the Theory of Hyperfunctions
URLﾘﾝｸ(www.iis.it-hiroshima.ac.jp)
300:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 10:17:58.24
>>294 補足
>V1*V2＝(a+o*b+o^2*c)*(a+o*c+o^2*b)
えーと、正確には
（x-V1)*(x-V2)=x^2+(V1+V2)*x+V1*V2
を考えて、（x-V1)*(x-V2)は互換（b,c）で変化しないから、これが因子f'(V,r) の候補だと
それで、定数項V1*V2を計算してみたのが>>294なんだけど
注）
なお、一般人には常識だけど（いまさらですが）
^：べきの記号
*：積の記号
いずれもエクセル記法だが、いまや数式処理では標準かな（数式処理からエクセルに入ったのかも？）
301:１３２人目の素数さん
12/02/19 10:19:14.93
定理［ガロア、アーベル］n＞5ならば、方程式の解を根号m√と加減乗除によって係数 a0, a1, ...anで表示することはできない。
この定理を証明するために彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
（１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群で記述される。
（２）ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。
302:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 10:34:38.63
訂正
>>292
V3=b+o*c+o^2*a, V3=b+o*a+o^2*c,
↓
V3=b+o*c+o^2*a, V6=b+o*a+o^2*c,
>>294：V2→V4
ここで、互換（b,c）を作用させると、rは変化しないので、たとえばV1*V4とすると
V1*V4＝(a+o*b+o^2*c)*(a+o*c+o^2*b)
=b*c*o+c^2+b^2+b*c*o^2+a*c*o^2+a*b*o^2+a*c*o+a*b*o+a^2
=a*b*o^2+b*c*o^2+a*c*o^2+a*b*o+b*c*o+a*c*o+a^2+b^2+c^2
=(a*b+b*c+a*c)*o^2+(a*b+b*c+a*c)*o+a^2+b^2+c^2
=(a*b+b*c+a*c)*(o+o^2)+a^2+b^2+c^2
=-(a*b+b*c+a*c)+a^2+b^2+c^2
などとなりますが、これK(r)になる？
>>300：V2→V4
>V1*V4＝(a+o*b+o^2*c)*(a+o*c+o^2*b)
えーと、正確には
（x-V1)*(x-V4)=x^2+(V1+V4)*x+V1*V4
を考えて、（x-V1)*(x-V4)は互換（b,c）で変化しないから、これが因子f'(V,r) の候補だと
それで、定数項V1*V4を計算してみたのが>>294なんだけど
303:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 10:35:50.39
>>301
乙！
304:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 11:24:37.31
>>302
さらに補足
V1+V4の方は簡単で
(a+o*b+o^2*c)+(a+o*c+o^2*b)
=2*a+(o+o^2)*b+(o+o^2)*c
(ここで、o+o^2=-1>>292を使うと)
=2*a-(b+c)
で、>>302
V1=a+o*b+o^2*c, V4=a+o*c+o^2*b,
V2=c+o*a+o^2*b, V5=c+o*b+o^2*a,
V3=b+o*c+o^2*a, V6=b+o*a+o^2*c,
ガロア（分解）方程式>>292：F(x)=(x-V2)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)
なので、互換（b,c）で変化しない因子の組み合わせは
上記（x-V1)*(x-V4)と、（x-V2)*(x-V6)と、（x-V3)*(x-V5)
（x-V2)*(x-V6)と、（x-V3)*(x-V5)について、同様の計算ができる
305:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 11:54:03.30
>>280
これ、ガロアを読む: 倉田令二朗>>4の16節（P146）からの「根の有理式の添加によるガロア群の簡約」が参考になるね
補助方程式：{ x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0
で、
根 (α-β)^2は、>>289の巡回群G（＝C3）で変わる。具体的には
(α-β)^2
(β-γ)^2
(γ-α)^2
となる
根 (α-β)^2は、>>289の互換σ1, σ2, σ3と恒等置換e
で変わらない
で、互換σ1, σ2, σ3と恒等置換eとで、対称群S3の部分集合を形成するが
部分群ではない
部分群は>>290、 { e , (12) } など位数２の部分群３つか、位数３の{ e , (123) , (132) } の一つしかない（真の部分群の意味で）
位数３の{ e , (123) , (132) } は、>>289のG。 { e , (12) } は、>>289のH。
306:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 13:08:04.57
>>302-305
えーと、考えの筋を書いておくと
まず、３次方程式で、ラグランジュ分解式V1=a+o*b+o^2*c,を考える (a,b,cは、方程式の根で、o：ω(1の原始根)の代わり。o =(-1+√3i)/2） （こう考えても一般性は失わないだろう）
すると、３つの根の置換で、６つの式ができる
V1=a+o*b+o^2*c, V4=a+o*c+o^2*b,
V2=c+o*a+o^2*b, V5=c+o*b+o^2*a,
V3=b+o*c+o^2*a, V3=b+o*a+o^2*c,
ガロア（分解）方程式は下記
F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)
因子はこの６つしかない
なので、勝手な補助方程式をもってきて、補助方程式の根を添加してあげるから可約になってくださいといわれも
V1～V6の組み合わせの仕方は制限されている
ところで、V1～V6は根の置換と対応しているから、元の方程式のガロア群（置換群）とも関連していて、ガロア群に従った組み合わせしかできないのだ
で、補助方程式g(x)=(x-(a-b)^2)*(x-(b-c)^2)*(x-(c-a)^2) が、ガロア（分解）方程式を可約にする能力があるのかと
307:１３２人目の素数さん
12/02/19 13:28:17.85
そんな複雑な計算しなくても、ラグランジュの定理を使えばすぐわかるんじゃない？
308:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 14:00:10.38
>>307
乙！
おお！ そうなのか！
どうやるの？ 教えて
309:１３２人目の素数さん
12/02/19 14:28:58.24
ぶりっ！
310:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 18:06:44.89
ぶりっ子かい？
ではマイペースで
>>306
「数III方式ガロアの理論」矢ケ部 巌>>198 P151から、「ラグランジュの水平思考」で、３次方程式について書いている
P159で、
矢ケ部が書いている式がある。矢ケ部は、根をx1,x2,x3で書いているが、
それにならって>>306を使って書く
V1=a+o*b+o^2*c, V4=a+o*c+o^2*b,
oV1=V2=c+o*a+o^2*b, oV4=V5=c+o*b+o^2*a,
o^2*V1=V3=b+o*c+o^2*a, o^2*V4=V3=b+o*a+o^2*c,
(念のため o：ω(1の原始根)の代わりで、o^3=1)
なので、ガロア（分解）方程式は下記
F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)
=(x^3-V1^3)*(x^3-V4^3)
とV1とV4の３乗でまとまり、X^3の２次方程式と見ることができる
これは、>>290のS3の群の構造（位数３の巡回群＝正規部分群と、３つの位数２の部分群を持つ）が反映されていると見ることができる
311:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 18:32:36.24
>>310
つづき
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
=2*c^2-2*b*c-2*a*c+2*b^2-2*a*b+2*a^2
=2*(-(a*b+b*c+c*a)+a^2+b^2+c^2)
なので
>>302
V1*V4＝(a+o*b+o^2*c)*(a+o*c+o^2*b)
=-(a*b+b*c+a*c)+a^2+b^2+c^2
=((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2
一方
>>304
V1+V4=(a+o*b+o^2*c)+(a+o*c+o^2*b)
=2*a-(b+c)
=(a-b)-(c-a)
となる
（x-V1)*(x-V4)=x^2+(V1+V4)*x+V1*V4の係数がこうなる
これが、補助方程式g(x)=(x-(a-b)^2)*(x-(b-c)^2)*(x-(c-a)^2) の一つの根r=(b-c)^2を添加して、その係数が拡大体K(r)（元の体をKとして）に属するのかと
312:１３２人目の素数さん
12/02/19 19:33:03.01
>>308
ラグランジュの定理とは？
313:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 20:01:54.22
>>312
乙
ラグランジュの定理とは、普通は下記
「G を有限群とし、H を G の部分群とする。このとき、H の位数は、G の位数を割り切る。 」
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E7%BE%A4%E8%AB%96)
群論において、ラグランジュの定理（英語：Lagrange's theorem）とは、次のような定理である。
G を有限群とし、H を G の部分群とする。このとき、H の位数は、G の位数を割り切る。
また、指数を用いれば次のような式で表すことができる。
[G] = [G:H] ・[H]
314:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 20:03:27.49
>>311
つづき
さて
「数III方式ガロアの理論」矢ケ部 巌>>198 P34から、カルダノの公式
（詳しくは、 URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp) 三次方程式の解の公式 など参照 ）
３次方程式
A*x^3+B*x^2+C*x+D=0の根 （ここでは、根をa,b,cとする）
カルダノの公式は
a=-B/(3*A)+t1^(1/3)+t2^(1/3)
b=-B/(3*A)+t1^(1/3)*o+t2^(1/3)*o^2
c=-B/(3*A)+t1^(1/3)*o^2+t2^(1/3)*o
但し、t1^(1/3)*t2^(1/3)=-p/3
(o：ω(1の原始根)の代わり）
o =(-1+√3i)/2
o^2=(-1-√3i)/2 (o+o^2=-1 ＆ 1+o+o^2=0 (oとo^2は、共役複素数))
o^3=1
とすると
a-b=t1^(1/3)+t2^(1/3)-(t1^(1/3)*o+t2^(1/3)*o^2)=(1-o)*t1^(1/3)+(1-o^2)*t2^(1/3)
b-c=t1^(1/3)*o+t2^(1/3)*o^2-(t1^(1/3)*o^2+t2^(1/3)*o)=(o-o^2)*t1^(1/3)+(o^2-o)*t2^(1/3)=(o-o^2)*(t1^(1/3)-t2^(1/3))
c-a=t1^(1/3)*o^2+t2^(1/3)*o-(t1^(1/3)+t2^(1/3))=(o^2-1)*t1^(1/3)+(o-1)*t2^(1/3)
315:１３２人目の素数さん
12/02/19 20:05:06.10
>>313
そっちの方じゃないｗ 例えば、倉田の本の§７に書いてあるやつ。
316:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 20:34:53.12
>>314
つづき
さて
「数III方式ガロアの理論」矢ケ部 巌>>198 P53-54から
カルダノの公式を使った練習問題
(2) x^3-9*x^2+36*x-48=0
この根が、3+3^(1/3)-3^(2/3), 1/2*(6-(3^(1/3)-3^(2/3)))+1/2(3^(5/6)+3*3^(1/6))*i, 1/2*(6-(3^(1/3)-3^(2/3)))-1/2(3^(5/6)+3*3^(1/6))*i
(１実根と２虚数根)だとある
これを、順にa,b,cとして
b-c=(3^(5/6)+3*3^(1/6))*i
この両辺を自乗して
(b-c)^2=((3^(5/6)+3*3^(1/6))*i)^2
=(3^(5/6))^2+2*(3^(5/6))*(3*3^(1/6))+(3*3^(1/6))^2
= 3^(5/3)+2*3*3+9*3^(1/3)
(要するに、(b-c)^2だと、3^(1/6)が自乗されて3^(1/3)がベースになる)
317:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 20:46:48.73
>>315
ああ、見た
P49の命題１ね
不変式論ってやつかな？ 自分でタイプするのは面倒なので、検索すると
URLﾘﾝｸ(homepage2.nifty.com)
方程式論の歴史（平成１４年）
これの定理3-3だな
318:１３２人目の素数さん
12/02/19 20:58:19.41
>>317
そうそれ。
で、例えば、（α－β）^2を変えない置換を
（ａα＋ｂβ＋ｃγ）（ａβ＋ｂα＋ｃγ）
に施すとどうなるか考えてみる。
319:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 21:18:34.90
>>316
つづき
まず、訂正（虚数単位iを飛ばしていた）
(b-c)^2=((3^(5/6)+3*3^(1/6))*i)^2
=(3^(5/6))^2+2*(3^(5/6))*(3*3^(1/6))*i-(3*3^(1/6))^2
= 3*3^(2/3)+2*3*3*i-9*3^(1/3)
=3*(3^(2/3)+6*i-3*3^(1/3))
さて
この矢ケ部 巌>>198 P53-54の具体例
(2) x^3-9*x^2+36*x-48=0
この根が、3+3^(1/3)-3^(2/3), 1/2*(6-(3^(1/3)-3^(2/3)))+1/2(3^(5/6)+3*3^(1/6))*i, 1/2*(6-(3^(1/3)-3^(2/3)))-1/2(3^(5/6)+3*3^(1/6))*i
(１実根と２虚数根)だとある （これを、順にa,b,cとして）
（補足：3^(1/3)は3の3乗根、3^(1/6は3の6乗根など）
で、>>311を見ると
V1+V4=(a+o*b+o^2*c)+(a+o*c+o^2*b)
=2*a-(b+c)
=2*(3+3^(1/3)-3^(2/3))-(6-(3^(1/3)-3^(2/3)))
=3*3^(1/3)-3^(2/3)
(b-c)^2を添加することは、3^(2/3)-3*3^(1/3)を添加することと見ると、V1+V4は、K(r)に属すると言えるね>>311
V1*V4がどうかだが
320:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 21:20:18.54
>>318
ああ、誘導ありがとう。君は親切だね
えーと、今日は時間がなくなったので、後日
321:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/19 21:22:14.49
>>317
そうそう、検索途中で面白いのが落ちていた
なにかのご参考まで
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
平成16年度(第26回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所
不変式の話 ?対称式と方程式から第14 問題の反例へ? 向井茂
322:１３２人目の素数さん
12/02/19 22:17:06.02
>>321
これ面白そうだな。
323:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/20 22:29:08.25
>>318
なるほど
ラグランジュの定理>>317の根の式の場合で、
f(α,β,γ)=（α－β）^2で、これを変えない置換は、（α,β）（＝α,βの互換）
で
g(α,β,γ)=（ａα＋ｂβ＋ｃγ）（ａβ＋ｂα＋ｃγ）は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらないから、
ラグランジュの定理の適用で、g(α,β,γ)はf(α,β,γ)=（α－β）^2の有理式になるはずだと
g(α,β,γ)にγが含まれていて、f(α,β,γ)=（α－β）^2にγが含まれて居ないから疑問におもったが
>>292みたいに、f(x)=x^3+A*x^2+B*x+Cの根とすると、根と係数の関係から、α+β+γ=Aでγ=A-（α+β）で置き換えられるからそうなりそうかな
で、同じようにg’(α,β,γ)=（ａα＋ｂβ＋ｃγ）＋（ａβ＋ｂα＋ｃγ）もf(α,β,γ)=（α－β）^2の有理式になるはずだと
なので（ｘ－（ａα＋ｂβ＋ｃγ））（ｘ－（ａβ＋ｂα＋ｃγ））の係数もf(α,β,γ)=（α－β）^2の有理式になるはずだと
324:１３２人目の素数さん
12/02/21 01:11:46.07
>>323
その通り。それで、（α－β）^2だけでなく、（β－γ）^2と（γ－α）^2を添加したとき
F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)
がどう分解されるかをみると？
325:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/21 21:08:25.74
>>324
誘導ありがとう。君は親切だね
f(α,β,γ)=（α－β）^2で、これを変えない置換は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない式を作る
Ｖ１＝ａα＋ｂβ＋ｃγ、Ｖ４＝ａβ＋ｂα＋ｃγ（Ｖ１に（α,β）を施してＶ４に）
で、（ｘ－Ｖ１）（ｘ－Ｖ４）がそれ
同じようにするんだが、>>289の記号で、r+ ＝(1 2 3 ｜ 2 3 1), r-＝(1 2 3 ｜ 3 1 2)（長さ３の巡回置換）を使って
（β－γ）^2を添加するときは、これを変えない置換は（β、γ）で変わらない式を作る
r-（Ｖ１）＝ａβ＋ｂγ＋ｃα＝Ｖ２として、（β、γ）（Ｖ２）＝ａγ＋ｂβ＋ｃα＝Ｖ５
で（ｘ－Ｖ２）（ｘ－Ｖ５）
（γ－α）^2を添加するときは、これを変えない置換は（γ、α）で変わらない式を作る
r+ （Ｖ１）＝ａγ＋ｂα＋ｃβ＝Ｖ３として、（γ、α）（Ｖ３）＝ａα＋ｂγ＋ｃβ＝Ｖ６
で（ｘ－Ｖ３）（ｘ－Ｖ６）
これで、F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)の分解が見える
326:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/21 21:25:55.01
>>280
で、最初の問に戻る
Ｑ１．F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6) はどのように分解されるか。
Ａ１．>>325の通り。補助方程式 { x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0 の根を、r1=(α-β)^2, r2= (β-γ)^2, r3= (γ-α)^2
と書き直すと、
F(x)=f1(x,r1)xf2(x,r2)xf3(x,r3),
f1(x,r1)=（ｘ－Ｖ１）（ｘ－Ｖ４）
f2(x,r2)=（ｘ－Ｖ２）（ｘ－Ｖ５）
f3(x,r3)=（ｘ－Ｖ３）（ｘ－Ｖ６）
Ｑ２．その時、各因子 f(V,r) の群は？ 一致するか否か？
Ａ２．各因子 f(V,r) の群は、>>290の { e , (12) } 型の位数２の３つの部分群。同型だが、一致はしていない。
ってことか
327:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/21 21:38:54.06
>>326
補足
f1(x,r1)=（ｘ－Ｖ１）（ｘ－Ｖ４）
f2(x,r2)=（ｘ－Ｖ２）（ｘ－Ｖ５）
f3(x,r3)=（ｘ－Ｖ３）（ｘ－Ｖ６）
で、Ｖ１＝ａα＋ｂβ＋ｃγの係数a,b,cは、置換で全て異なる数になるようにとったから
f1(x,r1)、f2(x,r2)、f3(x,r3)は、全て異なる（等しくない）
えーと、申し遅れたが、f1(x,r1)、f2(x,r2)、f3(x,r3)の形にしたのは、ガロア論文（アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) >>3）のＰ３２ 第II節の定理の書き方
「・・もしもＶの方程式が可約ならば、Ｖの方程式はすべて同一の次数のｐ個の因子に分解し、そしてr,r',r'',・・・はrの異なる値として
f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・
という形になる。したがって、与えられた方程式の群はおのおのが同一個数の順列に分解する。」という記載に合わせたもの。
328:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/21 21:44:41.03
>>327
そこで一つ疑問が残る
f1(x,r1)、f2(x,r2)、f3(x,r3)は、全て異なる（等しくない）
でも、ガロア論文では
”f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・という形になる。”としている
V,rの２変数の式としてみたときに、同じ式の形になる？
ラグランジュの定理の証明の筋で言えるか？ はて？
”Ｖの方程式はすべて同一の次数のｐ個の因子に分解し”と”与えられた方程式の群はおのおのが同一個数の順列に分解する”は、>>326の通りでいえるね
329:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/21 21:50:26.52
>>328
つづき
で、まだよく理解できないのが
補助方程式 { x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0 の根を、r1=(α-β)^2, r2= (β-γ)^2, r3= (γ-α)^2を全部添加したらどうなるのか？
ガロア論文第ＩＩＩ節によれば、「各群において置換は同一である」と。はて？
330:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/21 23:33:11.60
>>323
ラグランジュの定理というのが、ガロア理論の一つの補助線なんだね
補助線を一つ引くことで、見通しが良くなる
昔、小平邦彦が平面幾何の補助線を非常に重視していたとか（下記）
”補助線”の概念を、拡張すれば、上記のようにいえるかも・・
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
30 小平邦彦の「平面幾何の追放」に対する警鐘 2010-07-17 16:49:48
小平は著書「怠け数学者の記」（岩波現代文庫）の中で、
・・・・大脳生理学の知見が正しいとすれば・・・昔われわれが中学校で学んだユークリッド平面幾何は数学の初等教育のための最適な教材であることになる。
・・・平面幾何では図形を見ながら論証を進める。図形を見るのは右半球の働き、論証は左半球の働きであるから、平面幾何は左右の両半球を互いに関連させて同時に訓練することになる。
殊に証明のための補助線を引くには図形全体のパターンを眺めて総合的に判断することが必要である。
故にそれは右半球のための最もよい訓練である。
アダマールがいうように発見が「無意識」すなわち右半球の働きであるとすれば、したがって平面幾何は創造力を養うためにも最適な教材であることになる。
近年ユークリッド平面幾何は(文部省によって)数学の初等教育からほとんど追放されてしまったが、それによって失われたものは普通に考えられているよりもはるかに大きいのではないかと思う(34頁)。
・・・・幾何学的直観力の一つが補助線を発見する能力ですが、この能力を猛勉強によって獲得したという体験談があるんです(232頁)。
331:１３２人目の素数さん
12/02/22 00:22:49.80
>>328
その通り。
>>329
つまり、今までは補助方程式の根を別々に添加していたわけだけど、同時に加えるということ。
俺の挙げた例でいうと、K(r1), K(r2), K(r3) ではなく K(r1, r2, r3) でF(x)を見たらどう分解されるか？
332:みぃな
12/02/22 00:23:24.69
ｘの１０じょう ÷Ｘの２じょう ー３ｘ＋２
ができません汗
解説できたらおねがいします１
333:１３２人目の素数さん
12/02/22 11:11:24.96
>>326
>Ｑ２．その時、各因子 f(V,r) の群は？ 一致するか否か？
>Ａ２．各因子 f(V,r) の群は、>>290の { e , (12) } 型の位数２の３つの部分群。同型だが、一致はしていない。
そういうことｗ ガロアは一般的な立場で補助方程式の根の添加、言い換えれば体の拡大を考察している。
334:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/22 21:28:00.83
>>333
乙、ありがとう
>>331
>つまり、今までは補助方程式の根を別々に添加していたわけだけど、同時に加えるということ。
>俺の挙げた例でいうと、K(r1), K(r2), K(r3) ではなく K(r1, r2, r3) でF(x)を見たらどう分解されるか？
誘導ありがとう
１．まず、K(r1)のとき、>>326でr1=(α-β)^2、F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)、f1(x,r1)=（ｘ－Ｖ１）（ｘ－Ｖ４）
までは、すでに記した通り。
で、F(x)＝f1(x,r1)(x-V2)(x-V3)(x-V5)(x-V6)＝f1(x,r1)g(X) 但しg(X)=(x-V2)(x-V3)(x-V5)(x-V6)として、g(X)がK(r1)に属するかだが
ラグランジュの定理でいえるね。
g(X)＝F(x)/f1(x,r1)と書けて、F(x)とf1(x,r1)とも（α,β）（＝α,βの互換）で変わらないから、g(X)も変わらない。だから、その係数はr1の有理式で、g(X)がK(r1)に属する
だがそこまでで、g(X)＝g(x,r1)とは書けるが、これ以上分解はできない
２．で、K(r1, r2, r3) は、r1, r2, r3を全て含む拡大体で、>>326 F(x)=f1(x,r1)xf2(x,r2)xf3(x,r3)で
f1(x,r1)=（ｘ－Ｖ１）（ｘ－Ｖ４）,f2(x,r2)=（ｘ－Ｖ２）（ｘ－Ｖ５）,f3(x,r3)=（ｘ－Ｖ３）（ｘ－Ｖ６）となるが
f1(x,r1)、f2(x,r2)、f3(x,r3)は全て、K(r1, r2, r3) に属するので、F(x)=f1(x,r1)xf2(x,r2)xf3(x,r3) （２次式）までの分解ができる
３．では、それ以上（１次式へ）の分解ができるか？ これはできない
K(r1, r2, r3) の元は、例えば（α,β）（＝α,βの互換）で変わらないが、V1～V6は、全て（α,β）で変わるから、K(r1, r2, r3) の元ではない。だから、１次式への分解はできないと
335:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/22 21:33:49.37
>>334
補足
ここらは、倉田 ガロアを読む:>>4のP146 16節「根の有理式の添加によるガロア群の簡約」に関連した事項だ
で、中間体K(r1, r2, r3)のガロア群がどうなるかだが、P155の対応定理などで見るんだろうね
336:１３２人目の素数さん
12/02/23 00:15:47.64
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
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337:１３２人目の素数さん
12/02/23 00:26:39.31
>>334
>K(r1, r2, r3) の元は、例えば（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない
そうかなｗ K(r1, r2, r3) は、例えば r2 を含むよね。これに（α,β）を施すとどうなる？
338:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/23 21:49:15.68
>>337
ああ、そうか。誘導ありがとう。君は親切だね
ここの理解が不十分だから、すっきりしなかったんだ
１．さて、K(r1, r2, r3) ：補助方程式 { x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0 の根を、r1=(α-β)^2, r2= (β-γ)^2, r3= (γ-α)^2 >>326
２．で、ガロア分解式（>>28）にならって
V’＝A’r1＋B’r2＋C’r3で、係数A,B,Cは体Kに属するとして、r1, r2, r3の置換すべてで、異なる値を取る様に選んだとする
書き直すと
V’＝A’(α-β)^2＋B’(β-γ)^2＋C’ (γ-α)^2
３．このV’は、拡大体K(r1, r2, r3)に属する元
これに（α,β）を施すと
V1’＝A’(α-β)^2＋B’(α-γ)^2＋C’ (γ-β)^2となり、V’≠V1’となり値は変わる（異なる値を取る様に選んだので）
４．つまり、V’は互換（α,β）で値が変わる。これは、全ての互換にいえる。
５．また、長さ３の巡回置換（α，β，γ）でも値が変わる。これは、互換とは別の式で値も異なる
６．結局、V’＝A’(α-β)^2＋B’(β-γ)^2＋C’ (γ-α)^2は、根α，β，γの置換の全てで異なる値を取る
７．ラグランジュの定理>>317で、V’は全ての置換で変わって、これを変えないのは恒等置換ｅのみ（>>289-290参照）で、
もとの方程式のガロア分解式V=Aα+Bβ+Cγ >>235 とV’＝A’r1＋B’r2＋C’r3とは、いずれも、恒等置換ｅ以外のすべての置換で値を変えるから
お互いに有理式で表される関係（VとV’は同じ分解能力を持つってことか）
８．だから、ＶはV’の有理式で表されるということで、拡大体K(r1, r2, r3)の中で、F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)は、１次の式に分解される
つまり、V1、V2、V3、V4、V5、V6たちは、拡大体K(r1, r2, r3)の元？
339:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/23 21:54:01.88
>>338
つづき
ということは、補助方程式 { x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0 を解くことは、即もとの方程式を解くことに
また、補助方程式のガロア分解式V’＝A’(α-β)^2＋B’(β-γ)^2＋C’ (γ-α)^2は、６つの異なる値を取り、補助方程式のガロア群はＳ３（３次の対称群）となる・・
340:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/23 22:00:21.58
>>339
つづき
(α-β)^2自身は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない
(β-γ)^2、 (γ-α)^2も同様
しかし、この３つを集めて、V’＝A’r1＋B’r2＋C’r3を作ると、V’は根α，β，γの置換の全てで異なる値を取ると
面白ね
341:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/23 22:26:47.98
>>340
つづき
なお、(β-γ)^2＝(β＋γ)^2－４βγ
と書けて
３次方程式：f(x)=x^3+A*x^2+B*x+C=(x-α)*(x-β)*(x-γ) >>323
で、α+β+γ=A、αβγ=Ｃより
β+γ＝A－α
βγ＝C/α
となり、これを代入すると
(β-γ)^2＝(β＋γ)^2－４βγ＝（A－α）^2－４（C/α）
つまり、αだけの式になる
まあ、(β-γ)^2は、αの化身だと
342:１３２人目の素数さん
12/02/23 23:39:48.29
>>338
>８．だから、ＶはV’の有理式で表されるということで、拡大体K(r1, r2, r3)の中で、F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)は、１次の式に分解される
> つまり、V1、V2、V3、V4、V5、V6たちは、拡大体K(r1, r2, r3)の元？
まあそういうこと。あと付け加えると、F(x)はK(r1, r2, r3)の中で
F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)
と分解されるよね？ このとき、各因子(x-V1)～(x-V6)の群はすべて恒等置換よりなることがわかる。
すなわち、補助方程式のすべての根を添加することによって、
>>329 ガロア論文第ＩＩＩ節によれば、「各群において置換は同一である」と。はて？
となっていることがわかる。俺の挙げた例では、恒等置換だけだからおもしろみはないけどね。
なお、ちゃんとした証明は、守屋や矢ケ部の本にあったと思う。お持ちのようだから
読んでみれば？ 定理のイメージがつかめたなら、それほど難しくない・・・と思うｗ
それでは、>>275からの件はこれで終わりと言うことで。気が向いたらまたコメントするよｗ
343:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/25 09:47:41.21
>>342
ありがとう。君は親切だね
>それでは、>>275からの件はこれで終わりと言うことで。気が向いたらまたコメントするよｗ
乙
>>上記のような分解ができるということは、元の方程式のガロア群が正規部分群を持っている場合だけ>>268
えーと、ここから始まったんだが。いろいろ誘導ありがとう。おかげですっかり理解できた
（（有理式と置換に関する）ラグランジュの定理というのが、ガロア理論の一つの補助線なんだ>>330ということも）
１．>>280のように、ある方程式（例えば３次方程式（以下例えばを略する））の根（α、β、γ）のある有理式を考える（ (α-β)^2）
２．倉田>>4のP146のように、この有理式（(α-β)^2）の最小定義多項式（＝補助方程式と見ることもできる）を考える（{ x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0 ）
この有理式が、根（α、β、γ）の全ての置換で取る異なる値を集めて例にならって多項式をつくる
そうすると、ラグランジュの定理から作った多項式の係数は、元の体kに属することが分かる
３．そうして、この有理式（(α-β)^2）の添加で、ガロア分解方程式（F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*） ）がどうなるかを考える
可約になる場合がある（>>323-327）
４．この場合、最小定義多項式の根を全て添加すると、さらに低い次数への分解ができる場合がある（>>338）
５．これを群論の言葉でいうと、この有理式を不変にするガロア群Gの部分群Hがあって
Hの左剰余類によるGの分解
G=H+s1H+・・・+sk-1H (ここで、s1・・・sk-1は、倉田P146ではシグマに下付の1・・・k-1が添えられたものだが、ギリシャ文字が面倒なので代用)
６．で、３の可約によるガロア分解方程式の因数分解は、上記左剰余類によるGの分解G=H+s1H+・・・+sk-1Hに従う
（つづく）
344:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/25 09:51:14.74
>>343
つづき
７．で、４の最小定義多項式の根を全て添加するとは、Gの分解G=H+s1H+・・・+sk-1Hで、H、s1H、・・・、sk-1Hの共通部分（最大公約部分群などと書いてある本もある）を考えることになって
これは、Gの正規部分群。このとき、正規拡大になっている
８．ということは、ある有理式を考えて、その最小定義多項式（＝補助方程式）を考えると、その最小定義多項式（＝補助方程式）の全ての根が使えるが、それを全て添加すると、Gの正規部分群と正規拡大の話になる
９．これすなわちガロア理論
”上記のような分解ができるということは、元の方程式のガロア群が正規部分群を持っている場合だけ”>>268
を正しく言い換えると上記のようになる？
これでOK？
345:１３２人目の素数さん
12/02/25 14:07:13.39
>>344
まだやるのか？ｗ
肝心なことがわかってないかな。
>７．で、４の最小定義多項式の根を全て添加するとは、Gの分解G=H+s1H+・・・+sk-1Hで、H、s1H、・・・、sk-1Hの共通部分（最大公約部分群などと書いてある本もあ
ここが違う。H、s1H、・・・、sk-1H に共通部分はない。
手短に書くと以下。
F(x)に補助方程式の根を添加して因数分解されたとき、各因子の根の順列は
各々（上の記号を使えば）、
H s_1H ・・・ sk-1H
となる。このとき、各因子のガロア群は、
Ｈ s_1*H* s_1^{-1} ... s_{k-1}*H*s_1^{k-1}
となる。記号がわかりにくいが、要するに、Ｈを（恒等変換を含めて）、s_1・・・s_{k-1}で変換したときに
できる群のこと。
そして、すべての補助方程式の根を添加したときのガロア群とは、上のｋ個の
群の共通部分をとってできる根のことだよ。なお、この群はGの正規部分群の性質をもっている。
すでにHが正規部分群のときは、上の共通部分はH自身となる。俺のあげた例では
恒等置換となる。
346:１３２人目の素数さん
12/02/25 17:06:47.37
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
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347:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/25 18:43:47.40
>>345
おお、ありがとうよ
君は、親切だし、本当にガロア理論を理解しているね
>ここが違う。H、s1H、・・・、sk-1H に共通部分はない。
そうだった。剰余類分解だから、共通部分はない
>Ｈ s_1*H* s_1^{-1} ... s_{k-1}*H*s_1^{k-1}
>となる。記号がわかりにくいが、要するに、Ｈを（恒等変換を含めて）、s_1・・・s_{k-1}で変換したときに
うんうん
変換だね
ありがとう
348:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/25 19:45:26.61
>>345
そうそう
>F(x)に補助方程式の根を添加して因数分解されたとき、各因子の根の順列は
>各々（上の記号を使えば）、
>
>H s_1H ・・・ sk-1H
>
>となる。このとき、各因子のガロア群は、
>
>Ｈ s_1*H* s_1^{-1} ... (s_k-1)*H*(s_k-1)^{-1}
>
>となる。記号がわかりにくいが、要するに、Ｈを（恒等変換を含めて）、s_1・・・s_k-1で変換したときに
>できる群のこと。
ここ、流石だね。（蛇足だが、s_1^{-1}・・・(s_k-1)^{-1}は、s_1・・・(s_k-1)の逆元だね）
”各因子の根の順列は各々（上の記号を使えば）、H s_1H ・・・ sk-1H”については、
”３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応”>>29と関連するけれど、普通に使われる順列を上下２行並べてするコーシーの記法（>>28）で
H s_1H ・・・ sk-1Hで、コーシーの記法の下の順列だけを取るとガロア記法になる
ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略されるから、H s_1H ・・・ sk-1Hで、下の順列だけを取るとガロア記法が即
Ｈ s_1*H* s_1^{-1} ... (s_k-1)*H*(s_k-1)^{-1}、つまりのＨを（恒等変換を含めて）、s_1・・・s_k-1で変換した群を表すんだよね
この見方は、ガロアの原論文>>3を読むときに常に意識しておくべき点だ
349:あのこうちやんは始皇帝だった
12/02/25 19:46:49.27
お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああああ！！！！！！！！！
ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああ！！！！！！！！！！
350:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/25 19:54:26.37
>>343
最小定義多項式の参考に下記を
（最小多項式と書かれている本が多い。下記も）
URLﾘﾝｸ(www.kishimo.com)
アルティン「ガロア理論入門」を読む・p46の最小多項式の性質
351:１３２人目の素数さん
12/02/25 22:19:34.37
>>348
>ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略されるから、H s_1H ・・・ sk-1Hで、下の順列だけを取るとガロア記法が即
俺はあなたの言いたいことがよく理解できないが、ちょっと違う気がする。
例として、３次方程式の群である３次の対称群をとるとしよう。
H＝｛e, （αβγ), （αγβ）｝、S1=（αβ）とすると、元の群Gは、G = H + H*S1 と分解される。具体的に書くと
H H*S1
－－－ －－－－
αβγ βαγ
βγα αγβ
γαβ γβα
となる。ここで、H*S1の順列の中でβαγをαγβやγβαに変換する置換を考えてごらん。
βαγ→αγβ は、具体的に書くと、β→α、α→γ、γ→βとなるから、（αγβ）に等しい。同様に、
βαγ→γβα は、（αβγ）に等しい。
αγβ→γβα は、（αγβ）に等しい。
恒等置換を含めると、H*S1に含まれる順列の間を移り変えるような置換は群になることがわかる。
この群は、実際に計算してみればわかると思うが、実は、、
S1*H*S1^{-1}
に等しくなっているのである！ ちなみにこの例では、Hと等しい。
よくわからなかったら、群論の本の置換の章でも参照してください。
352:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 00:43:49.65
ネット検索してたら、こんなのがあった
神田神保町の岩波書店に置いてあったのを見たことがある
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
原田耕一郎著，『群の発見』岩波書店，２００１年，２４８ + xiv 頁 （三松佳彦，中大理工）
（抜粋）
本書が出版された２００１年１１月，生協の書籍部で見付けて直ぐに，これは素晴ら
しい本だと感じた．以来（特に教室内部では学生，院生たちに）「日本の数学書の中で
も特筆すべき名著」などと宣伝していたら，とうとう書評の依頼が来てしまった．改め
て読んでみても，最初の印象に間違いはない．この書評などどうでもよいから，とにか
く読んで頂きたい，というのが筆者の偽ざる気持ちである．特に若い人には是非読んで
もらいたい数学書である．しかも，この本自体が若者たちに読んでもらいたがっている
のだ．筆者も（残念ながらまるで若くはないのだが）大きな，しかも多くの意味で感銘
を受けた．
「こういう風に教えてくれれば，僕にもガロア理論はもっと素直に生き生きと分かっ
たに違いない！」本書を手にして最初に強く感じたことである．学生時代の自分のでき
の悪さを棚に上げるのは，教えて頂いた先生に失礼なのは百も承知であるが，正直な気
持ちである．
353:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 07:11:27.94
>>351
>俺はあなたの言いたいことがよく理解できないが、ちょっと違う気がする。
ありがとう、ありがとう
君は親切だね
だけど、これは大丈夫だ
ガロア記法では、コーシーの記法との関係は、ブルーバックス 「ガロアの理論」 中村亨>>2で勉強したから
P108 「ガロア流のガロア群」のところ
中村先生はガロア記法という表現はしていないが、コーシーの記法と対比するためこう表現した
354:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 07:21:15.86
>>353
補足
実は、中村先生の説明は
>>348で書いた
>ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略されるから、H s_1H ・・・ sk-1Hで、下の順列だけを取るとガロア記法が即
とは違う説明だ
でも>>351で書いていただいた
” H H*S1
－－－ －－－－
αβγ βαγ
βγα αγβ
γαβ γβα
となる。ここで、H*S1の順列の中でβαγをαγβやγβαに変換する置換を考えてごらん。
βαγ→αγβ は、具体的に書くと、β→α、α→γ、γ→βとなるから、（αγβ）に等しい。同様に、
βαγ→γβα は、（αβγ）に等しい。
βαγ→βαγ は、ｅに等しい。”
ってこと
355:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 07:29:43.66
>>354
ここは、ガロアの原論文>>3を読むときのキモなのでもう少し書く
今日、置換は普通はコーシーの記法
（a b c d・・・・k）
（a b c d・・・・k）
（直上の２行は大きな括弧で括られていると思ってください）
（コーシーの記法は説明不要と思うが、下記などが参考になろう）
URLﾘﾝｸ(homepage3.nifty.com)
（>>28より再録）
で
”βαγ→αγβ は、具体的に書くと、β→α、α→γ、γ→βとなるから、（αγβ）に等しい。同様に、
βαγ→γβα は、（αβγ）に等しい。
βαγ→βαγ は、ｅに等しい。”
をコーシーの記法で書くと下記
(βαγ)
(αγβ)
(βαγ)
(γβα)
(βαγ)
(βαγ)
となる
（つづく）
356:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 07:36:39.29
>>355
つづき
つまり
H*S1
－－－－
βαγ
αγβ
γβα >>354
を”ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略される”>>348と考えることで
(βαγ)
(βαγ)
(βαγ)
(αγβ)
(βαγ)
(γβα)
（注：ここは、>>355のコーシーの記法の置換のｅを並び替えて、上のH*S1の順列に合わせた）
（つづく）
357:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 07:41:05.18
>>356
つづき
同様に
H
－－－
αβγ
βγα
γαβ
のガロア記法を、コーシーの記法で書き直すと
(αβγ)
(αβγ)
(αβγ)
(βγα)
(αβγ)
(γαβ)
となる
このガロア記法→コーシーの記法の解釈では、常に先頭は恒等置換ｅになる
（つづき）
358:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 07:56:18.56
>>375
つづき
ガロア記法の原論文に忠実な説明は、P108 「ガロア流のガロア群」>>353が正確だ
でも、簡略化して”ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略される”>>348と考えることで、ガロア記法が直感的に把握できて、ガロアの原論文の記述は十分理解できる
えーと、いま中村先生の本を見ると、P110から111に殆ど同じ表現がある。
違いは、ガロアの原論文の記述
「一つの順列からそれぞれの順列に移る置換の集まりが、どの順列から始めても同じになる」（ここは、アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) >>2ガロアの原論文のP27に少し違う表現で記されているが）
に中村先生は忠実に説明されている
でも、簡単に言えば
H
－－－
αβγ
βγα
γαβ
のガロア記法を、コーシーの記法で書き直すと
(αβγ)
(αβγ)
(αβγ)
(βγα)
(αβγ)
(γαβ)
ってことでOK
359:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 08:16:13.65
>>358
補足
ガロアが「一つの順列からそれぞれの順列に移る置換の集まりが、どの順列から始めても同じになる」としているのは、
つづく「それゆえ、置換S,Tが同じ群に属すれば、置換STも確かにその群に属さねばならない」を言いたいためだったのだろう（＝ガロア群のガロア流の定義）
ここ、置換の積STで閉じているという話は、中村先生の本でP211に詳しい説明がある
でも我々が、ガロアの現論文を読むときは、群論の知識を前提としてガロア群は確立されたものとして、
ガロア記法→コーシーの記法の解釈を上記のようにすることで、現論文を直感的にできるねと中村先生の本で学んだ
ここらは、>>59-60にも書いた。その応用編が>>53-58、>>75だ
で、中村先生の本とあなたのおかげで、原論文でもやっとしていたところが、かなりスッキリした。ありがとう
360:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 08:32:11.57
>>354
補足の補足
” H H*S1
－－－ －－－－
αβγ βαγ
βγα αγβ
γαβ γβα
となる。ここで、H*S1の順列の中でβαγをαγβやγβαに変換する置換を考えてごらん。
βαγ→αγβ は、具体的に書くと、β→α、α→γ、γ→βとなるから、（αγβ）に等しい。同様に、
βαγ→γβα は、（αβγ）に等しい。
βαγ→βαγ は、ｅに等しい。”
これを”ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略される”との視点から見ると
” H H*S1
－－－ －－－－
(αβγ) (βαγ)
(αβγ) (βαγ)
(αβγ) (βαγ)
(βγα) (αγβ)
(αβγ) (βαγ)
(γαβ) (γβα)
つまり、置換S1は、コーシーの記法の上の順列にも作用して、同じように置き換えをしていると見ることができる
ここは置換群論の変換”S1*H*S1^{-1}”>>351を学ぶときの重要なポイントだ。S1の逆元が出てきてなにをやっていのか見えないが、コーシーの記法の上の順列もまとめて置き換えているんだと見る
361:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 10:51:56.69
ところで、>>29の”３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応”で少し補足をしておきたい
>>325辺りでも使っているが、
”f(α,β,γ)=（α－β）^2で、これを変えない置換は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない式を作る
Ｖ１＝ａα＋ｂβ＋ｃγ、Ｖ４＝ａβ＋ｂα＋ｃγ（Ｖ１に（α,β）を施してＶ４に）
で、（ｘ－Ｖ１）（ｘ－Ｖ４）がそれ”と
つまり、
Ｖ４＝ａβ＋ｂα＋ｃγ（Ｖ１に（α,β）を施してＶ４→式Ｖ４と（α,β）が対応しているという見方が重要だと
ここは、ガロア論文の元の記述>>29では見えてこない
現論文>>3のP31の記述だが、ガロアは
ガロア分解式（リゾルベント）
V=Aa+Bb+Cc+・・・
a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる>>28
として、
ガロアは、根a,b,c・・・をVの有理式a=φV,b=φ1V,・・・・,am-1=φm-1V (am-1並べた最後の根でm番目の根、m-1は下付き添字)
として、
（V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V,
（V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V',
（V''）| φV'',φ1V'',・・・・,φm-1V'',
・・・・|･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・
（V''*）| φV''*,φ1V''*,・・・・,φm-1V''*,
注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）>>29
とガロア群（＝根の置換の群）を表す
でも、この表現だと、例えばV'に対応する置換φV',φ1V',・・・・,φm-1V',が具体的にどういう根の並びになっているか不明
でも、直感的には例えば、V1=Ab+Ba+Cc+・・・（互換(a,b)）なら、根の並びも b, a, c ・・・（互換(a,b)）が対応するんじゃないかと。それが自然な対応で、そういう自然な対応になっていないと、群の積を考えたときに困るだろうと
ここは原論文では詳しく説明されていないが、倉田>>4P119の命題２（Vの有理式の群と根の置換の成す群が（反）同型）を考えればそうなる
（つづく）
362:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 11:06:48.57
>>361
つづき
例えば、
（V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V,
（V=Aa+Bb+Cc+・・・ ）
の左右に、同じ置換σ（例えば互換（a,b））を施すことを考える
これをV’と書いて
V’＝Ab+Ba+Cc+・・・になるが
φV,φ1V,・・・・,φm-1V,は、a,b,c・・・だが、これが互換（a,b）で, b,a,c・・・の並びに変わって、それは即ちφV',φ1V',・・・・,φm-1V',だと
それが、倉田>>4P119の命題２の意味だと
（我々凡人は、ここまで噛み砕いて言ってもらわないと、天才ガロアの論文は読みこなせない）
363:１３２人目の素数さん
12/02/26 12:22:39.44
>>353
なるほど。了解。
364:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 13:19:13.51
>>363
ありがとう
君に了解と行ってもらえると安心だ
365:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 13:43:48.89
ネットサーフィンをしていると、こんなのが
URLﾘﾝｸ(www.mypress.jp)
五次方程式とガロア群論を理解するための“単純な”たとえ話(サイエンス＋数学) / ヒロさん日記 ：2009/8/10
（抜粋）
数学の進歩を100年早めたといわれるガロアの群論は、ときどき気になっている。とりわけ「5次以上の方程式は代数的な一般解が存在しない」という話は、せめて大まかな流れぐらいは理解できないものか。
もっとも薄手の本は133頁からなる『ガロアと群論』（リリアン・リーバー）。冒頭はとてもわかりやすく読めるが、50頁の「不変部分群（正規部分群）」と55頁の「可解群」は頭にスッ～と入ってこない。結局は、
１つの方程式は、その群が、その方程式の係数を含む体に対して、可解群であるとき、かつ、そのときに限って、ベキ根によって、解くことができる（81頁）
ということが理解できればいいらしいが、この１冊だけでは埒が開けそうにない。翻訳調でわかりにくいところもある。そこで次に求めたのが『群論への30講』（志賀浩二）。
これは実にわかりやすく読める。11講以降の記号だらけの証明は読み飛ばしたくなるが、各講の最後にあるTea Timeという休憩コラムがこれまた面白く、なんとか先に進める。
で、問題の5次以上方程式に関しては、
5次以上の方程式にはべき根による代数的解法は一般には存在しないことを示した根拠は、ｎ＞＝５のときに、交代群Ａnは単純群であるという事実であった。（129頁）
「可解群でない」＝「交代群が単純群になる」と因数分解してくれたので、１歩前進だ。
方程式の問題をどのように群論に置き換えているのか、という全体像はチャートでも描いてみないとわからない。私が探した範囲では＜こちらのページの最後にあるチャートマップ＞が全体像をもっともよく俯瞰しているように思える。
このマップを見て、ピンと来ない人はいったん下山したほうがよさそうだ。私もこの夏休みで山越えができると期待して軽装備で歩き回ってきたが、山の怖さを知っているので、ここでいったん引き返したい。
ガロアが証明したのは1820年なので、200周年の2020年までに何とかしよう（笑）。
366:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 13:47:27.21
>>365
つづき
URLﾘﾝｸ(www.mypress.jp)
コメント抜粋
むむむ、侮れない 2009/8/10(月) 23:37 ピンちゃん
ヒロさんが数学好きなひとであるのは知っていたけど、ここまで
本格的な興味をもっているとはおどろきました。
ただいま下山の最中です 2009/8/11(火) 01:21 Hiro-san★ブログ主
いえいえ、侮れないのは数学のほうです。整数、群論、関数、位相、集合・・・という山脈にうっかり迷い込んだら生きて帰って来れません。
でも五次方程式の山ぐらいは、アマチュア登山家のささやかな楽しみとして、体力をつけた上で登ってみたいのです。
ピンちゃんを昔いじめたのは、整数の女王さま？ ベクトルの剣？ 三角関数の恋の病？ それとも微積分の羽交い締め？
＜こちらのページの最後にあるチャートマップ＞（この[物理のかぎしっぽ]は、これ以外のページ（二十面体など）をかなり参考にさせてもらいました。）
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
ガロア理論と代数方程式
367:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 14:09:03.01
ネットサーフィンで、こんなのも
Wolfram|Alphaってページは初めてだけど、無料登録もあるそうだ
一度は覗いてみる価値ありだね
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
2010年08月23日 22:30 群の叡智 - ガロア理論を知るための三作
（抜粋）
四次までなら、Wolfram|Alphaも知っている。次数が一つ上がるごとにとてつもなく難しくなっていくことがここからも伺えるだろう。
a_0x+a_1=0 - Wolfram|Alpha URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
a_0x^2+a_1x+a_2=0 - Wolfram|Alpha URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0 - Wolfram|Alpha URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0 - Wolfram|Alpha URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
ところが、五次ともなるとお手上げなのだ。
a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5=0 - Wolfram|Alpha URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
「天才ガロアの発想力」、「ガロアの群論」と読み継いだ人であれば、本書も落ちついて読めるはずだ。「決して難しくはない」という「ガロアの群論」の紹介は間違っていない。問題に回答集が付いているのも親切だ。
刊行の順番がこうだったらどれほどよかったか。しかし現実は逆である。ガロア理論に限らず。後にかかれた本ほど、難しかったことがやさしく書かれている。
天才とは、それを逆に進めることなのだ。坂を上るのは大変だが、下るのは楽なのに似て。
そして一旦坂を上り切ってしまえば、そこから同じ道を下る必要はない。裾野は四方八方に広がっている。
その裾野が広ければひろいほどすごいということになるが、群論の裾野の広さは群を抜いている。ルービックキューブから宇宙論まで、およそ対称性があるところには必ず顔を出す。
ルフィニもアーベルもこの点では頂上に一歩およばず、そしてガロアも眺望を楽しむ前につまらぬ、実につまらぬことで絶命してしまった。
368:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 14:46:12.02
こんなのも
URLﾘﾝｸ(wind.ap.teacup.com)
ガロア理論 なぜこの方程式は解けないか？ （さくら教育研究所）
■ガロア理論への旅 その１
ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。
ところが、最近になって急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地というのもスゴイやら情けないやらである。
そして、わかってしまうと、結局は「2次方程式の解の公式」の中にすべての秘密が隠されていることに気がつかされるのである。（某大学の先生）
■ガロア、わが青春の砕けた夢
いまでも数学というと陶然となる。もちろん高校までの受験数学や教養課程の数学ではない。今でも理解したくても出来ないのがガロア理論だ。
確かにガロアといえばその政治的人生と失恋、決闘による悲劇の最期の生涯ばかりが語られがちだ。これもやむを得ないことでガロア理論、現代数学の真のスタート、があまりに難解で読んでも聞いてもまず常人では理解不可能なしろものだからだ。
これは何もガロア理論に限らず近代から現代数学の諸天才になる数学理論の全てに妥当するがその象徴的、あらゆる意味で象徴的な存在がガロアである。
今はラインナップが整理されたようだが東京図書からは数多くの数学ジャンルの本が出版されていた。その中で「ガロア理論」を高三のとき購入し、読み始めたが余りの難しさに持っているだけの満足感を求めるしかなかった。
「ガロア、その真実の生涯」は数学自体は出てこないに等しいので誰にでも読める。だが、これでは何も理解したことにはならない。
カントールの「濃度の理論」の集合論は分かる。
だが抽象代数学は本当に難しい。
ガロアの群論からさらにリー群論となるとてんで一行も進まない。（某お医者さん）
369:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 15:11:13.68
こんなのも。海城ね
URLﾘﾝｸ(www.kaijo-academy.jp)
第二回数学科リレー講座「ガロア生誕２００年記念講習会」第六日目 2011.08.28. (海城PRESS)
抜粋
最終日の今日（２７日）は網谷先生が担当（写真１）。ガロア理論のアプローチの方法はいくつか考えられますが、昨日の授業を聞き、その「バトン」を受けて、アンカーはスタートされました。
中間地点にさしかかり、いよいよガロア理論の本題である，体の拡大とガロア群の縮小の関係が登場しました。
「解けていない」方程式を「解けた」方程式にするために，係数体にべき乗根を添加して拡大体の列をつくること。そのとき，各拡大体上のガロア群が縮小して部分群の列が対応すること。
そして，方程式の可解性がガロア群の可解条件で表せることが，見事に示されました。
ともあれ、偉大なガロア先生生誕200年に際し、このような試みができたことに担当者一同、感謝で一杯です。熱心に聴講してくれた受講生の皆さん、有難うございました。皆さんの今夏の思い出のひとつにしてもらえれば、こんな嬉しいことはありません。
【講義を終えて】（網谷先生）
最終日は、ガロアの定理の説明がテーマです。
この定理は、有理数体の拡大体と方程式のガロア群の部分群が対応するということをいうものですが、非常に難解な定理として知られています。
中高生に伝えるとなったとき、全く分からなかったとなると残念なことになるので、「数」の視点から、ガロア理論の意義のなるべく分かりやすい説明を最初に行いました。
結構真剣に聞いてくれている様子でうれしかったです。
そのあとの話の流れは、「方程式のガロア群」→「ガロアの定理」→「3次方程式」
となりました。「5次方程式」は、時間の関係で説明できませんでした。
3次方程式がなぜ平方根と3乗根を1回ずつ使って解けるのかということを伝えたかったのですが、途中でタイムアップ。
ガロア群を見れば、方程式が解けるかどうか、また解ける場合どういう風にべき根を取ればよいかが分かる。
このことが、定理の醍醐味で、ガロアの天才ぶりを表すものです。
プリントなどの準備には、いろいろ悩んだところもあったのですが、数学の奥深さや美しさ、何でもよいので興味をもって皆さんが勉強を進めてくれたら、これ以上の喜びはありません。
370:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 15:20:11.71
>>369
網谷先生って、次の早稲田理工の網谷泰治先生かな？
名前が珍しいから、検索してみた
URLﾘﾝｸ(www.wnp7.waseda.jp)
課題番号: 2007A-874
研究課題 高次数 Castelnuovo 多様体の構造に関する研究
研究者所属 資格 氏名
(代表者) 理工学術院 助手 網谷 泰治
371:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
12/02/26 15:52:58.32
>>365-370
ネットサーフィンはこれくらいにして
なかなかガロア理論を全体的かつ直感的に理解するのはむつかしいという声が多いので、ここまでのスレをまとめてみよう
>方程式の問題をどのように群論に置き換えているのか、という全体像はチャートでも描いてみないとわからない。私が探した範囲では＜こちらのページの最後にあるチャートマップ＞が全体像をもっともよく俯瞰しているように思える。
>このマップを見て、ピンと来ない人はいったん下山したほうがよさそうだ。私もこの夏休みで山越えができると期待して軽装備で歩き回ってきたが、山の怖さを知っているので、ここでいったん引き返したい。
このマップは、現代ガロア理論のものなんだよね
ガロアは体論はもって居なかった。持っていたのは、>>361-362の体論の代用となるV=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）>>28と、Vと置換との同型対応（例えば（V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V',）
それを通して、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）がどうなるかを見る>>33
これが、ガロア理論の足場>>198-200
そして、ラグランジュの定理というのが、ガロア理論の一つの補助線なんだ>>330
ラグランジュの定理は、>>314の定理3.3にあるが
定理3-3 有理式f(x1,x2,・・・,xn)を変えない置換で，有理式g(x1,x2,・・・,xn)を変え
ないならば，有理式gはfの有理式になる。係数はx1,x2,・・・,xnの対称式である．
（つづく）