12/02/13 21:44:45.44
>>247 つづき
(スマソ、途中で誤操作で投稿してしまった)
具体的には、U=A'r+B'r'+C'r''・・・ で A'、B'、C'・・・はQ上の定数でUの値が、p個の根r、r'、r''・・・の全ての置換で異なるように定める
根r、r'、r''・・・に特別の関係がなければ、異なる数はp!(pの階乗)になる
つまり、根を一つ添加したときは、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・とp個分解されたのが、全部添加だと
F(x)=f(V,U)xf(V,U')xf(V,U'')x・・・と分解され、前と同様に根右辺は補助方程式の根r、r'、r''・・・の対称式であって・・・
という複雑な関係を維持していなければならない
で、ガロア分解式を考えることは、ガロア群を考えることと同じだったから(>>28-29参照)
補助方程式のガロア群(例えばNとする)を考えていることになる
F(x)=f(V,U)xf(V,U')xf(V,U'')x・・・で、根r、r'、r''・・・の置換を行うとf(V,U)xf(V,U')xf(V,U'')x・・・は積の順番が変わるのだが
そもそも
f(V,U)=(x-V1)(x-V2)・・・(x-Vn')なわけで(>>235の5項参照)
もとの方程式の根V、V'、V''、・・・・、V''*(>>235の2項参照)の置換とも見ることができて
元の方程式のガロア群をG、その正規部分群をHとして、補助方程式のガロア群Nは商群になっていると
つまり、G/H=Nだと。これが、ガロアの見ていたものだろう
URLリンク(hooktail.sub.jp)
商群
群Gの一つの正規部分群をHとします.このとき,G のH に対する商集合(つまり,Hによる剰余類全体の作る集合.商集合については, 完全代表系と商集合 を復習して下さい.)を 商群 ,もしくは 因子群 , 剰余群 などと呼びます.