12/02/12 20:01:35.93
>>234 つづき
1.つまり、補助方程式の根rの添加で、元の方程式の根から作られたV=Aa+Bb+Cc+・・・ で、元の方程式のガロア群をGとして
2.根の置換とV、V'、V''、・・・・、V''* (もとの既約方程式の根 a,b,c・・・を置換してできる値の異なる全ての式。(元が一般5次方程式なら120個の式))が対応して)
3.F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''*) (元が一般5次方程式なら120次の式)が、分解し
4.その分解の様子は、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・となり、対称式の要請から、f(V,r1)、f(V,r2)、・・・、f(V,rm)は次数はもちろん式の形も同じだと
5.F(x)の分解に対応して、f(V,r)=(x-V1)(x-V2)・・・(x-Vn)でV1、V2、・・・、Vnに対応する置換を集めてくる(それらの置換を例えば、g1、g2、・・・、gnなどすればイメージがわくだろう)
6.これを繰り返せば、F(x)がn個つづの積に分解され、それに対応して元の方程式のガロア群Gもn個つづに分解される
これが、ガロアの見ていた原風景だろうと
対称式の要請から、f(V,r1)、f(V,r2)、・・・、f(V,rm)は次数はもちろん式の形も同じだとすれば、分けられたn個の群の部分も同じ構造を持つだろうと、直感的に納得できるのでは?
つまり、群論の言葉でいえば、元の方程式のガロア群Gが部分群Hによって分解され、剰余類分割されると
繰り返しになるが、ガロアは
1.ガロア分解式(リゾルベント) V=Aa+Bb+Cc+・・・
2.ガロア(分解)方程式 F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''*)
3.V、V'、V''、・・・・、V''*と置換との対応>>29
をセットにして、この3つを通して見ることで、ガロア群Gがrの添加で分解する様子をイメージしたのだろうと思う>>234