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>>230 参考追加
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2008-04-26-Sat （ガウス32）アーベル方程式とガロアの第一論文
（抜粋）
代数方程式論を語るうえで、夭逝してフランスの数学者エヴァリスト・ガロアの名を逸することはできませんが、そのガロアの理論を理解するためには、それに先立ってアーベルのアーベル方程式論を一瞥しておかなければなりません。
ガウスが考察した素数次数の円周等分方程式は巡回方程式でした。すなわち、次数nは素数とするとき、円周等分方程式のn個の根は、
《ある任意次数の方程式の根は、すべての根がそれらのうちのひとつを用いて有理的に表示されるという様式で相互に結ばれているとしよう。そのひとつの根をxで表わそう。
また、さらに、θ(x)、θ1(x)は他の任意の二根を表わすとするとき、
θ(θ1(x))=θ1(θ(x))
となるとしよう。このとき、ここで取り上げられている方程式はつねに代数的に可解である。》
この命題では、「アーベル方程式は代数的に可解である」ことが主張されています。これもまた数あるアーベルの定理のひとつです。
代数的可解性を左右する根源的な要因は「諸根の相互依存関係」にあります。この認識はガロアもまた共有し、代数方程式の代数的可解性をテーマにした第一論文
「方程式が冪根を用いて解けるための条件について」において、
《冪根を用いて解ける方程式のどれもが満たし、しかも逆に、その可解性を保証するひとつの一般条件》をみいだすことに成功しました。
第一論文からここまでの部分を抽出して精密に展開すれば、今日のいわゆるガロア理論が手に入ります。
他方、ガウスが円周等分方程式を解いていく道筋を忠実に再現すれば、そのままガロア理論が出現するという事実もまた注目に値します。
アーベルはガウスの理論の根幹をなす数学的思想の泉から直接、アーベル方程式の概念を取り出しましたが、ガロアはガロアでガウスの理論の「証明の構造」を学び、ガウスの理論をその雛形と見ることを可能にする大きな理論を構想したのでした。
ガロア理論により、素次数既約方程式の代数的可解性の判定条件が手に入ります。
ガウスに端を発し、アーベルが洞察した代数的可解性の基本原理は、ガロアに継承されてひとつの完結した姿形を獲得したのでした。