12/01/15 20:29:39.02
>>300
クラスClは
(a,b)(a＝b≡C(a)＝C(b))
cl(a)≡(Ex)(a＝C(x))
で、定義される。このEは1階論理の量化記号みたいなもの。
Clは何らかの個体の集まりなんだけど、
その集まりの集まりは元の集まりと変わらない。というのが彼のクラスの特徴。
こうすると最上位概念の存在によって循環がなくなる。
1項述語Cl,Ob,二項述語∈,＝が存在して、
・等号＝に関する公理
・外延性公理 (a,b)(cl(a)(cl(b))→(x)(x∈a≡x∈b)→a＝b)
・(a,b)(a∈b→ob(a)(cl(b))
・内包性公理 (Ea)(cl(a)((x)(x∈a N≡ob(Y).ψ(x))))
GodelとBernaysの公理的集合論の断片になる。
あとはクラスclとobに関する操作が多少加わる。
とはいえ、集合論いらない数学は
Feferman・Aczelの構成的数学などもある。
それらをオントロジーの枠組みで実現しているものだろう。