11/12/13 13:38:44.09
2011年10月25日をもって、エヴァリスト・ガロア生誕200周年となりました
Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日
part 1
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part 2
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2:１３２人目の素数さん
11/12/13 14:12:41.53
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通報
3:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 14:16:45.23
C を圏とする。
C において任意の有限集合を添字集合とする積が存在するとする。
このとき C は有限積を持つと言った(代数的整数論018の911)。
同様に有限余積を持つ圏が定義される(代数的整数論019の51)。
4:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 14:24:20.03
有限積を持つ(>>3)前加法圏(過去スレpart2の589)を加法圏(additive category)と言った
(代数的整数論019の510)。
5:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 14:26:24.29
代数的整数論019の528より加法圏(>>4)は有限余積を持つ。
6:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 14:31:43.47
C を加法圏(>>4)とする。
C における任意の射が核(代数的整数論019の506)と余核(代数的整数論019の506)をもつとき
C を前アーベル圏(preabelian category)と呼んだ(代数的整数論019の512)。
7:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 14:38:04.24
I をグラフ(過去スレpart2の809)とする。
Ob(I) および Hom(I) が有限集合のとき I を有限グラフと呼んだ(代数的整数論019の170)。
8:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 14:40:34.14
C を圏とする。
I をグラフ(過去スレpart2の809)とし
F：I → C を図式(過去スレpart2の817)とする。
I が有限グラフ(>>7)のとき F を有限図式と言った(代数的整数論019の177)。
9:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 14:43:59.98
C を圏とする。
C において任意の有限図式(>>8)の極限(過去スレpart2の824)が存在するとき
C を有限完備(finitely complete)と言った(代数的整数論019の178)。
10:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 14:44:57.45
C を圏とする。
C において任意の有限図式(>>8)の余極限(過去スレpart2の831)が存在するとき
C を有限余完備(finitely cocomplete)と言った(代数的整数論019の179)。
11:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 14:48:32.51
C を前加法圏(過去スレpart2の589)とする。
代数的整数論019の532より C が前アーベル圏(>>6)であるためには
C が有限完備(>>9)かつ有限余完備(>>10)であることが必要十分である。
12:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 14:55:09.54
命題 575
C を前アーベル圏(>>6)とする。
C が積を持てば(過去スレpart2の900) C は完備(過去スレpart2の887)である。
証明
>>11より C は有限完備である。
よって、C は差核を持つ(過去スレpart2の900)。
過去スレpart2の901より C は完備である。
証明終
13:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 15:21:25.66
命題 576
C を前アーベル圏(>>6)とする。
C が余積を持てば(過去スレpart2の900) C は余完備(過去スレpart2の888)である。
証明
>>12の双対である。
14:１３２人目の素数さん
11/12/13 15:28:06.76
警察に通報した
15:１３２人目の素数さん
11/12/13 16:16:04.65
猫って、代数の講座にはいっていたの？
16:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 16:48:58.33
A を環とする。
>>12と>>13より Mod(A) (過去スレpart2の685)は完備かつ余完備である。
17:猫は釣り師 ◆MuKUnGPXAY
11/12/13 17:08:12.28
>>15
そういう事は自分で調べて下さいまし。
猫
18:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 19:47:22.81
I、J、C をそれぞれ圏とする。
I×J を積(代数的整数論017の586)とする。
F：I×J → C を関手とする。
u：i → j を I の射とし、s：a → b を J の射とする。
F(1_i, s)：F(i, a) → F(i, b) と F(u, 1_b)：F(i, b) → F(j, b) を
合成した射 F(u, 1_b)F(1_i, s) は F(u, s)：F(i, a) → F(j, b) である。
F(u, 1_a)：F(i, a) → F(j, a) と F(1_j, s)：F(j, a) → F(j, b) を
合成した射 F(1_j, s)F(u, 1_a) は F(u, s)：F(i, a) → F(j, b) である。
よって、次の可換図式が得られる。
F(i, a) → F(i, b)
↓ ↓
F(j, a) → F(j, b)
19:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 19:56:25.75
I、J、C をそれぞれ圏とする。
I×J を積(代数的整数論017の586)とする。
F：I×J → C を関手とする。
i ∈ I を固定したとき各 a ∈ J に F(i, a) を対応させ、
J の射 s：a → b に F(1_i, s)：F(i, a) → F(i, b) を対応させることにより
関手：F(i, －)：J → C が得られる。
a ∈ J を固定したとき各 i ∈ I に F(i, a) を対応させ、
I の射 u：i → j に F(u, 1_a)：F(i, a) → F(j, a) を対応させることにより
関手：F(－, a)：I → C が得られる。
u：i → j を I の射とする。
各 a ∈ J に射 F(u, 1_a)：F(i, a) → F(j, a) を対応させると
>>18の可換図式より自然変換：F(i, －) → F(j, －) が獲られる。
これを F(u, －) と書く。
s：a → b を J の射とする。
各 i ∈ I に射 F(1_i, s)：F(i, a) → F(i, b) を対応させると
>>18の可換図式より自然変換：F(－, a) → F(－, b) が獲られる。
これを F(－, s) と書く。
20:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 20:53:56.15
I と J を小さい圏(代数的整数論017の322)とする。
C を完備(過去スレpart2の887)な圏とする。
F：I×J → C を関手とする。
>>19より、各 i ∈ I に対して関手 F(i, －)：J → C が得られる。
F(i, －)：J → C は図式(過去スレpart2の817)である。
λ_i：L_i → F(i, －) を F(i, －) の極限(過去スレpart2の824)とする。
u：i → j を I の射とする。
>>19より自然変換 F(u, －)：F(i, －) → F(j, －) が定義される。
よって、次の図式が可換になるような ｆ_i：L_i → L_j が一意に存在する。
L_i → L_j
↓ ↓
F(i, －) → F(j, －)
よって、各 i ∈ I に対して L(i) = L_i とおき
I の射 u：i → j に対して L(u) = ｆ_i とおくことにより図式 L：I → C が得られる。
π：P → L をこの図式の極限とする。
u：i → j を I の射とし、s：a → b を J の射とする。
このとき、次の可換図式が得られる。
P → P （P の単位射）
↓ ↓
L_i → L_j
↓ ↓
F(i, a) → F(j, a)
↓ ↓
F(i, b) → F(j, b)
21:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 21:20:15.79
>>20の続き
各 (i, a) ∈ I×J に対して φ_(i, a)：P → F(i, a) を
π_i：P → L_i と (λ_i)_a：L_i → F(i, a) の合成射とする。
>>20の可換図式から φ：P → F は錐(過去スレpart2の822)である。
これが F の極限(過去スレpart2の824)であることを証明しよう。
α：S → F を錐とする。
u：i → j を I の射とし、s：a → b を J の射とする。
このとき、次の可換図式が得られる。
S → S （S の単位射）
↓ ↓
F(i, a) → F(j, a)
↓ ↓
F(i, b) → F(j, b)
よって、次の可換図式が得られる。
S → S
↓ ↓
P_i → P_j
↓ ↓
F(i, a) → F(j, a)
↓ ↓
F(i, b) → F(j, b)
22:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 21:25:28.48
>>21の続き
よって、次の可換図式が成り立つような射 S → P が一意に存在する。
S → S（S の単位射）
↓ ↓
P → P （P の単位射）
↓ ↓
P_i → P_j
↓ ↓
F(i, a) → F(j, a)
↓ ↓
F(i, b) → F(j, b)
よって、φ：P → F は F の極限である。
23:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 21:37:33.15
>>21の修正
>>20の続き
各 (i, a) ∈ I×J に対して φ_(i, a)：P → F(i, a) を
π_i：P → L_i と (λ_i)_a：L_i → F(i, a) の合成射とする。
>>20の可換図式から φ：P → F は錐(過去スレpart2の822)である。
これが F の極限(過去スレpart2の824)であることを証明しよう。
α：S → F を錐とする。
u：i → j を I の射とし、s：a → b を J の射とする。
このとき、次の可換図式が得られる。
S → S （S の単位射）
↓ ↓
F(i, a) → F(j, a)
↓ ↓
F(i, b) → F(j, b)
よって、次の可換図式が得られる。
S → S （S の単位射）
↓ ↓
L_i → L_j
↓ ↓
F(i, a) → F(j, a)
↓ ↓
F(i, b) → F(j, b)
24:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 21:40:38.09
>>22の修正
>>23の続き
よって、次の可換図式が成り立つような射 S → P が一意に存在する。
S → S （S の単位射）
↓ ↓
P → P （P の単位射）
↓ ↓
L_i → L_j
↓ ↓
F(i, a) → F(j, a)
↓ ↓
F(i, b) → F(j, b)
よって、φ：P → F は F の極限である。
25:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 21:59:14.46
I をグラフ(過去スレpart2の809)とし、C を圏とする。
F：I → C を図式(過去スレpart2の817)とする。
lim F (過去スレpart2の824) を lim[i ∈ I] F(i) または lim[i] F(i) または lim F(i) とも書く。
26:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 22:05:05.50
I と J を小さい圏(代数的整数論017の322)とする。
C を完備(過去スレpart2の887)な圏とする。
F：I×J → C を関手とする。
>>19より、各 i ∈ I に対して関手 F(i, －)：J → C が得られる。
F(i, －) の極限を lim[a ∈ J] F(i, a) または lim[a] F(i, a) と書く。
>>23より lim F = lim[i] (lim[a] F(i, a)) である。
同様に lim F = lim[a] (lim[i] F(i, a)) である。
よって、lim[i] (lim[a] F(i, a)) = lim[a] (lim[i] F(i, a)) である。
これを lim の交換公式と言う。
27:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/13 22:08:58.58
>>26の等号は同型の意味である。
28:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/14 13:11:57.70
>>23および>>26において C は完備でなくとも各 lim が存在すればよい。
29:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/14 13:14:41.59
I と J を小さい圏(代数的整数論017の322)とする。
F：I×J → C を関手とする。
以下に現れる lim と colim は全て存在するとする。
>>19より、各 i ∈ I に対して関手 F(i, －)：J → C が得られる。
同様に、各 a ∈ J に対して関手 F(－, a)：I → C が得られる。
各 (i、a) ∈ I×J に対して、射 lim F(i, －) → F(i, a) と射 F(i, a) → colim F(－, a) の
合成 lim F(i, －) → colim F(－, a) は図式 a → colim F(－, a) の錐である。
よって、射 lim F(i, －) → lim[a] colim F(－, a) で次の図式を可換にするものが
一意に存在する。
F(i, a) ← lim F(i, －)
↓ ↓
colim F(－, a) ← lim[a] colim F(－, a)
u：i → j を I の射とすると次の可換図式が得られる。
F(i, a) ← lim F(i, －)
↓ ↓
F(j, a) ← lim F(j, －)
↓ ↓
colim F(－, a) ← lim[a] colim F(－, a)
よって、lim F(i, －) → lim[a] colim F(－, a) は余錐である。
よって、次の図式を可換にする射 colim[i] lim F(i, －) → lim[a] colim F(－, a) が一意に存在する。
lim F(i, －) → colim[i] lim F(i, －)
↓ ↓
lim[a] colim F(－, a) ＝ lim[a] colim F(－, a)
この射 colim[i] lim F(i, －) → lim[a] colim F(－, a) を標準射と呼ぶ。
30:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/14 13:31:28.75
単位射以外の射を持たない圏を離散圏と言う。
任意の類(代数的整数論017の323)は離散圏と見なせる。
31:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/14 13:42:39.93
>>29の標準射 colim[i] lim F(i, －) → lim[a] colim F(－, a) は同型とは限らない。
例
I = J = {1、2} を離散圏(>>30)とする。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
F：I×J → Set を関手とする。
A_1 = F(1, 1)
B_1 = F(1, 2)
A_2 = F(2, 2)
B_2 = F(2, 2)
とおく。
標準射：(A_1)×(B_1) ＋ (A_2)×(B_2) → (A_1 ＋ A_2)×(B_1 ＋ B_2)
は単射であるが全単射でない。
ここで ＋ は直和を表す。
32:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/14 13:44:28.54
>>31
>A_2 = F(2, 2)
A_2 = F(2, 1)
33:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/14 19:24:23.69
>>31
>標準射：(A_1)×(B_1) ＋ (A_2)×(B_2) → (A_1 ＋ A_2)×(B_1 ＋ B_2)
>は単射であるが全単射でない。
標準射：(A_1)×(B_1) ＋ (A_2)×(B_2) → (A_1 ＋ A_2)×(B_1 ＋ B_2)
は単射であるが一般に全単射でない。
34:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 00:42:46.67
定義 577
次の条件を満たす圏を擬フィルター圏(pseudo-filtered category)と言う(SGA 4)。
(1) 任意の射 u：i → j、u’：i → j’に対して w：j → k と w’：j’→ k で
wu = w’u’となるものが存在する。
(2) 任意の射 u：i → j、v：i → j に対して w：j → k で wu = wv となるものがある。
35:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 00:51:21.77
例
ファイバー余積(代数的整数論017の867)と差余核(代数的整数論017の850)を持つ圏は
擬フィルター圏(>>34)である。
36:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 01:11:06.96
圏 C における任意の有限図式(>>8)に対して
それを基底とする余錐(過去スレpart2の830)が存在するとき
C をフィルター圏(filtered category)と呼んだ(代数的整数論020の97)。
37:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 01:20:06.03
圏 C がフィルター圏(>>36)であるためには C が次の条件を満たすことが必要十分である
(代数的整数論020の101)。
(1) C は空でない。
(2) i と j を C の任意の対象とするとき C の対象 k と射 i → k、j → k が存在する。
(3) 任意の射 u：i → j、v：i → j に対して w：j → k で wu = wv となるものがある。
38:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 01:29:57.84
例
有向集合(代数的整数論008の140)はフィルター圏(>>36)である。
39:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 01:31:31.54
例
有限余完備(>>10)な圏はフィルター圏(>>36)である。
40:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 01:59:13.02
定義 578
C を圏とする。
C の対象全体の類(代数的整数論017の323) Ob(C) に以下の様に同値関係 ≡ を導入する。
x, y を C の対象とする。
C の対象の有限個の列 x = x_0, x_1, ．．．x_n = y があり、
各 i (i = 1, 2, ．．．n)に対して射 x_(i-1) → x_i または射 x_i → x_(i-1) が存在するとき
x ≡ y と定義する。
Ob(C) の ≡ に関する各同値類から定まる C の充満な部分圏(代数的整数論017の362)を
C の連結成分と呼ぶ。
Ob(C) の ≡ に関する同値類が１個のとき C を連結と言う。
41:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 02:37:56.00
命題 579
C を圏とする。
C がフィルター圏(>>36)であるためには C が空でない連結(>>40)な擬フィルター圏(>>34)であることが
必要十分である。
証明
必要性：
C がフィルター圏であるとする。
>>37の (1) より C は空でない。
>>37の (2) より C は連結である。
>>37の (2) より任意の射 u：i → j、u’：i → j’に対して
w：j → k と w’：j’→ k となる射がある。
wu：i → k、w’u’：i → k である。
>>37の (3) より射 v：k → k’で vwu = vw’u’となるものがある。
よって、>>34の (1) が満たされる。
よって、C は擬フィルター圏である。
十分性：
C が空でない連結な擬フィルター圏であるとする。
x と y を C の任意の対象とするとき C の対象 z と射 x → z、y → z が存在することを
証明すれば良い。
C は連結だから C の対象の有限個の列 x = x_0, x_1, ．．．x_n = y があり、
各 i (i = 1, 2, ．．．n)に対して射 x_(i-1) → x_i または射 x_i → x_(i-1) が存在する。
n に関する帰納法で証明する。
n = 1 の場合は明らかであるから n ≧ 2 とする。
帰納法の仮定より射 x → r、x_(n-1) → r が存在する。
一方、仮定から射 x_(n-1) → y または射 y → x_(n-1) がある。
x_(n-1) → y がある場合は>>34の (1) より y → z と r → z がある。
よって、x → r → z と y → z がある。
y → x_(n-1) がある場合は x → r と y → x_(n-1) → r がある。
証明終
42:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 04:15:41.11
定義 580
C を圏とする。
C の射の集合 Hom(C) が有限集合のとき C を有限圏と言う。
43:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 04:21:33.52
C を有限圏(>>42)とする。
X ∈ Ob(C) に X の単位射 1_X ∈ Hom(C) を対応させる写像は単射である。
よって、Ob(C) は有限集合である。
よって、C の台グラフ(過去スレpart2の809)は有限グラフ(>>7)である。
44:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 04:41:22.58
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
I を小さい(代数的整数論017の322)フィルター圏(>>36)とする。
F：I → Set を関手とする。
S = ΣF(i) を族 (F(i))、i ∈ I の直和集合とする。
x ∈ F(i)、y ∈ F(j) とする。
u：i → k、v：j → k となる射があり
F(u)(x) = F(v)(y) となるとき x ≡ y と書く。
このとき代数的整数論020の109より ≡ は S 上の同値関係である。
L を商集合 S/≡ とし、p：S → L を標準写像とする。
f_i：F(i) → S を標準写像とする。
このとき代数的整数論020の110より (p(f_i)：F(i) → L)_I は F の余極限(過去スレpart2の831)である。
45:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 05:42:36.99
命題 581
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
I を小さい(代数的整数論017の322)フィルター圏(>>36)とする。
F：I → Set を関手とする。
S = ΣF(i) を族 (F(i))、i ∈ I の直和集合とする。
≡ を>>44で定義した同値関係とする。
このとき以下が成り立つ。
(1) x ∈ F(i)、y ∈ F(j) とする。
このとき k ∈ I と x’∈ F(k) と y’∈ F(k) があり x ≡ x’、y ≡ y’となる。
(2) x、y ∈ F(i) とする。
このとき x ≡ y となるためには射 u：i → j で F(u)(x) = F(u)(y) となるものが存在することが
必要十分である。
証明
(1)
>>37の (2) より u：i → k と v：j → k がある。
x’= F(u)(x)、y’= F(u)(y) とおけばよい。
(2)
必要性：
x ≡ y とする。
s：i → k と t：i → k があり F(s)(x) = F(t)(y) となる。
>>37の (3) より w：k → j で ws = wt となるものがある。
F(w)F(s)(x) = F(w)F(t)(x) より F(ws)(x) = F(wt)(y)
u = ws とおけば、u：i → j で F(u)(x) = F(u)(y)
十分性：
自明である。
証明終
46:１３２人目の素数さん
11/12/15 11:00:29.40
逮捕はいつ？
47:１３２人目の素数さん
11/12/15 11:00:59.99
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:711番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:716番)
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通報
48:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 11:38:37.76
命題 582
I を小さいフィルター圏(>>36)とする。
J を有限圏(>>43)とする。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
F：I×J → Set を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] lim F(i, －) → lim[a] colim F(－, a) は同型である。
証明
J の対象全体を {a_1、．．．、a_n} とする。
F(i, a_k) の元を (i, x_k) と書く。
ここで x_k ∈ F(i, a_k) である。
lim F(i, －) は F(i, a_1)×．．．×F(i, a_n) の部分集合である。
よって、lim F(i, －) の元は ((i, x_1)、．．．、(i, x_n)) で表される。
この元の標準射 lim F(i, －) → colim[i] lim F(i, －) による像を
[(i, x_1)、．．．、(i, x_n)] と書く。
他方、(i, x_k) ∈ F(i, a_k) の標準射 F(－, a_k) → colim F(－, a) による像を
[i, x_k] と書く。
このとき、ψ([(i, x_1)、．．．、(i, x_n)]) = ([i, x_1]、．．．、[i, x_n]) である。
>>45の(1)より lim[a] colim F(－, a) の元は ([i, x_1]、．．．、[i, x_n]) と書ける。
この元に [(i, x_1)、．．．、(i, x_n)] を対応させる写像 φ が ψ の逆写像である。
φ が矛盾なく定義(well-defined)されることは以下のようにして分かる。
([i, x_1]、．．．、[i, x_n]) = ([j, y_1]、．．．、[j, y_n]) とする。
>>44より射 u：i → k、v：j → k があり
F(u, a_1)(x_1) = F(v, a_1)(y_1)、．．．、F(u, a_n)(x_n) = F(v, a_n)(y_n) となる。
よって、[(i, x_1)、．．．、(i, x_n)] = [(j, y_1)、．．．、(j, y_n)] である。
証明終
49:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 13:05:09.24
記法
I を添字集合とする集合の族 (X_i)、i ∈ I を (X_i)_I とも書く。
直積 ΠX_i の元 (x_i)、i ∈ I を (x_i)_I とも書く。
各 X_i がある圏の対象であるときも同じ記法を使う。
50:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 13:30:34.42
命題 583
I を小さい圏(代数的整数論017の322)とする。
C を圏とする。
F：I → C を関手とする。
I の連結成分(>>40)を (I_λ)、λ ∈ Λ とする。
F の定義域を I_λ に制限した関手を F_λ とする。
このとき、colim F = Σcolim F_λ である。
ここで Σ は余積を表す。
証明
i ∈ I のとき i ∈ F_λ となる λ ∈ Λ がある。
μ_λ：F_λ → colim F_λ を標準的な余錐(過去スレpart2の830)とする。
標準射 F(i) → colim F_λ と標準射 colim F_λ → Σcolim F_λ の合成を
φ_i：F(i) → Σcolim F_λ とする。
φ = (φ_i)_I (>>49) は余錐 φ：F → Σcolim F_λ である。
α：F → T を余錐とする。
α は余錐 α_λ：F_λ → T を引き起こすから射 f_λ：colim F_λ → T で
α_λ = f_λμ_λ となるものが一意に存在する。
f = Σf_λ とおく。
即ち、f：Σcolim F_λ → T である。
fφ：F → T は各 λ に対して α_λ = f_λμ_λ：F_λ → T を引き起こす。
よって、α = fφ である。
このような f：Σcolim F_λ → T の一意性は明らかである。
よって、colim F = Σcolim F_λ である。
証明終
51:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 13:51:44.64
記法
C を圏とする。
(X_i)_I (>>49)を I を添字集合とする C の対象の族とする。
(X_i)_I の積(代数的整数論017の747)を ΠX_i、Π(X_i)_I、Π[i] X_i などと書く。
(X_i)_I の余積(代数的整数論017の837)を ΣX_i、Σ(X_i)_I、Σ[i] X_i などと書く。
52:１３２人目の素数さん
11/12/15 15:41:17.32
命題 584
I を小さい離散圏(>>30)とする。
J を３個の対象 a, b, c と２本の射 a → c、b → c と単位射 1_a、1_b、1_c からなる圏とする。
b
↓
a → c
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
F：I×J → Set を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：Σ[i] lim[p] F(i, p) → lim[p] Σ[i] F(i, p) は同型である。
証明
F(i, a) = X_i
F(i, b) = Y_i
F(i, c) = Z_i
P_i = lim[p] F(i, p)
とおく。
次の図式はファイバー積(代数的整数論017の799)である。
P_i → Y_i
↓ ↓
X_i → Z_i
次の図式がファイバー積であることを証明すれば良い。
しかし、これは明らかである。
ΣP_i → ΣY_i
↓ ↓
ΣX_i → ΣZ_i
証明終
53:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 15:44:41.40
謝罪厨と無職厨が消えて通報厨が出てきた件
分かりやすいやっちゃｗ
54:１３２人目の素数さん
11/12/15 15:45:17.37
>>Kummer
いや、監視中だよ。イデア界からね。
55:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 15:57:05.53
命題 585
I を小さい擬フィルター圏(>>34)とする。
J を３個の対象 a, b, c と２本の射 a → c、b → c と単位射 1_a、1_b、1_c からなる圏とする。
b
↓
a → c
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
F：I×J → Set を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] lim[p] F(i, p) → lim[p] colim[i] F(i, p) は同型である。
証明
I の連結成分(>>40)を (I_λ)、λ ∈ Λ とする。
>>41より各 I_λ はフィルター圏(>>36)である。
よって、>>48と>>50と>>52より本命題の主張が得られる。
証明終
56:１３２人目の素数さん
11/12/15 16:07:45.02
警察からも監視されているでしょう
57:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 16:39:14.58
C と D を圏とする。
F：C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレpart2の809)とする。
任意の図式 G：I → C と錐(過去スレpart2の822) α：M → G に対して
F(α)：F(M) → FG が FG の極限(過去スレpart2の824)であるとき
常に α は G の極限であるとき、F は I 型の極限を反映する
(F reflects limits of type I)と言った(代数的整数論019の324)。
同様に I 型の余極限(過去スレpart2の831)を反映する関手が定義される。
58:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/15 17:13:04.07
Grp を小さい群の圏とする。
I を小さいフィルター圏(>>36)とする。
F：I → Grp を関手とする。
S = ΣF(i) を直和集合とし、f_i：F(i) → S を標準写像とする。
≡ を>>44で定義した同値関係とする。
L を商集合 S/≡ とし、p：S → L を標準写像とする。
x ∈ S に対して p(x) を [x] と書くことにする。
x ∈ F(i)、y ∈ F(j) とする。
I はフィルター圏だから u：i → k、v：j → k となる射がある。
[x] と [y] の積 [x][y] を [F(u)(x)・F(v)(y)] により定義する。
このとき、この積は各同値類の代表の取り方によらず
L はこの乗法により群となる。
明らかに L = colim F (過去スレpart2の831) である。
59:１３２人目の素数さん
11/12/15 17:37:08.10
なさなやわ
60:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/16 13:03:09.31
C を圏とする。
I を小さい圏(代数的整数論017の322)とする。
Diag(I、F) (過去スレpart2の820) と Func(I、C) (過去スレpart2の597) は
一般に異なることに注意する。
Diag(I、F) は自然変換(過去スレpart2の811)を射とすることにより圏となる。
Func(I、C) は Diag(I、F) の充満な部分圏(代数的整数論017の362)である。
61:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/16 13:13:56.59
定義 586
C と D を圏とする。
I を圏(代数的整数論017の322)とする。
G：I → C を任意の関手とする。
G の極限(過去スレpart2の824)が存在するなら
F は常に G の極限を保存(過去スレpart2の845)するとき
F は I 型の極限を保存すると言う。
62:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/16 13:23:47.05
>>61の修正
定義 586
C と D を圏とする。
F：C → D を関手とする。
I を圏(代数的整数論017の322)とする。
G：I → C を任意の関手とする。
G の極限(過去スレpart2の824)が存在するなら
F は常に G の極限を保存(過去スレpart2の845)するとき
F は I 型の極限を保存すると言う。
63:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/16 13:25:33.25
>>62は過去スレpart2の846の定義と異なることに注意
即ち、I 型の極限を保存することと、|I| (過去スレpart2の809)型の極限を保存することは
一般に異なる。
64:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/16 14:37:06.57
>>62と同様に I 型の余極限を保存する関手が定義される。
65:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/16 14:39:43.94
C と D を圏とする。
F：C → D を関手とする。
任意のフィルター圏(>>36) I に対して F が I 型の余極限を保存する(>>64)とき
F はフィルター余極限を保存すると言う。
66:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/16 14:40:33.99
C と D を圏とする。
F：C → D を関手とする。
任意の小さいフィルター圏 I に対して F が I 型の余極限を保存する(>>64)とき
F は小さいフィルター余極限を保存すると言う。
67:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/16 14:44:41.58
C と D を圏とする。
F：C → D を関手とする。
I を圏とする。
任意の関手 G：I → C と錐(過去スレpart2の822) α：M → G に対して
F(α)：F(M) → FG が FG の極限(過去スレpart2の824)であるとき
常に α は G の極限であるとき、F は I 型の極限を反映する
(F reflects limits of type I)と言う。
同様に I 型の余極限(過去スレpart2の831)を反映する関手が定義される。
68:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/16 14:47:25.08
C と D を圏とする。
F：C → D を関手とする。
任意のフィルター圏(>>36) I に対して F が I 型の余極限を反映する(>>67)とき
F はフィルター余極限を反映すると言う。
同様に小さいフィルター余極限を反映する関手が定義される。
69:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/16 15:01:41.27
命題 587
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)の圏とする。
Grp を小さい群(過去スレpart2の893)の圏とする。
U：Grp → Set を忘却関手とする。
即ち、各 G ∈ Grp に対して U(G) は G を集合と見たものであり、
Grp の各射 f：G → H に対して U(f) は f を U(G) から U(H) への写像と見たものである。
このとき、U は小さいフィルター余極限を保存する(>>66)。
証明
I を小さいフィルター圏(>>36)とする。
F：I → Grp を関手とする。
λ：F → L を余極限とする。
L は>>58と同様に構成されたものと仮定してよい。
このとき、>>44より U(λ)：UF → U(L) は余極限である。
証明終
70:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/16 15:31:13.64
命題 588
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)の圏とする。
Grp を小さい群(過去スレpart2の893)の圏とする。
U：Grp → Set を忘却関手とする。
即ち、各 G ∈ Grp に対して U(G) は G を集合と見たものであり、
Grp の各射 f：G → H に対して U(f) は f を U(G) から U(H) への写像と見たものである。
このとき、U は小さいフィルター余極限を反映する(>>68)。
証明
I を小さいフィルター圏(>>36)とする。
F：I → Grp を関手とする。
λ：F → L を余錐(過去スレpart2の830)とする。
U(λ)：UF → U(L) が余極限であるとする。
U(L) は>>44と同様に構成されたものと仮定してよい。
x ∈ F(i)、y ∈ F(j) とする。
I はフィルター圏だから u：i → k、v：j → k となる射がある。
λ：F → L を余錐だから、
λ_i(x) = λ_kF(u)(x)
λ_j(y) = λ_kF(v)(y)
よって、λ_i(x)λ_j(y) = (λ_kF(u)(x))(λ_kF(v)(y)) = λ_k(F(u)(x)F(v)(y))
よって、L は>>58と同様に構成されたものである。
即ち、λ：F → L は余極限である。
証明終
71:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/16 16:40:36.90
命題 589
Grp を小さい群(過去スレpart2の893)の圏とする。
Grp は完備(過去スレpart2の887)である。
証明
代数的整数論019の183より Grp が積と差核を持つ(過去スレpart2の900)ことを証明すればよい。
Grp が積を持つことは明らかである。
f：G → H と g：G → H を Grp の射とする。
K = {x ∈ G；f(x) = g(x)} とおく。
K は G の部分群である。
u：K → G を標準射とすれば、これが f と g の差核である。
証明終
72:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/16 16:50:47.04
命題 590
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)の圏とする。
Grp を小さい群(過去スレpart2の893)の圏とする。
U：Grp → Set を忘却関手とする。
即ち、各 G ∈ Grp に対して U(G) は G を集合と見たものであり、
Grp の各射 f：G → H に対して U(f) は f を U(G) から U(H) への写像と見たものである。
このとき、U は小さい極限を保存する(代数的整数論019の259)。
証明
>>71より Grp は完備である。
よって、代数的整数論019の275より U が積と差核を保存することを証明すれば良い。
U が積を保存することは明らかである。
U が差核を保存することは Grp における差核の構成(>>71)より明らかである。
証明終
73:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/16 19:35:23.47
命題 591
I を小さいフィルター圏(>>36)とする。
J を有限圏(>>43)とする。
Grp を小さい群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Grp を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] lim F(i, －) → lim[a] colim F(－, a) は同型である。
証明
U：Grp → Set を忘却関手(>>72)とする。
>>48より
>>29の標準射 φ：colim[i] lim[p] UF(i, p) → lim[p] colim[i] UF(i, p) は同型である。
colim[i] lim[p] UF(i, p)
= colim[i] U(lim[p] F(i, p)) ← >>72
= U(colim[i] lim[p] F(i, p)) ← >>69
lim[p] colim[i] F(i, p)
= lim[p] U(colim[i] F(i, p)) ← >>69
= U(lim[p] colim[i] F(i, p)) ← >>72
よって、φ = U(ψ) であり、ψ は同型である。
証明終
74:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/17 06:55:59.57
命題 592
I を小さいフィルター圏(>>36)とする。
J を有限圏(>>43)とする。
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Grp をAbとする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] lim F(i, －) → lim[a] colim F(－, a) は同型である。
証明
>>73と同様である。
75:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/17 16:56:52.32
命題 593
I を小さい離散圏(>>30)とする。
J を有限(>>42)な離散圏とする。
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Ab を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：Σ[i] Π[p] F(i, p) → Π[p] Σ[i] F(i, p) は同型である。
証明
J は有限であるから Σ[i] Π[p] F(i, p) = Σ[i] Σ[p] F(i, p) である。
同様に Π[p] Σ[i] F(i, p) = Σ[p] Σ[i] F(i, p) である。
>>26の双対より(または明らかに) ψ：Σ[i] Σ[p] F(i, p) → Σ[p] Σ[i] F(i, p) は同型である。
証明終
76:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/17 17:00:55.97
命題 594
I を小さい離散圏(>>30)とする。
J を３個の対象 a, b, c と２本の射 a → c、b → c と単位射 1_a、1_b、1_c からなる圏とする。
b
↓
a → c
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Ab を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：Σ[i] lim[p] F(i, p) → lim[p] Σ[i] F(i, p) は同型である。
証明
F(i, a) = X_i
F(i, b) = Y_i
F(i, c) = Z_i
P_i = lim[p] F(i, p)
とおく。
次の図式はファイバー積(代数的整数論017の799)である。
P_i → Y_i
↓ ↓
X_i → Z_i
次の図式がファイバー積であることを証明すれば良い。
しかし、これは明らかである。
ΣP_i → ΣY_i
↓ ↓
ΣX_i → ΣZ_i
証明終
77:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/17 17:11:44.92
命題 595
I を小さい圏(代数的整数論017の322)とする。
J を有限(>>42)な離散圏とする。
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Ab を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] Π[p] F(i, p) → Π[p] colim[i] F(i, p) は同型である。
証明
J は有限であるから colim[i] Π[p] F(i, p) = colim[i] Σ[p] F(i, p) である。
同様に Π[p] colim[i] F(i, p) = Σ[p] colim[i] F(i, p) である。
>>26の双対より ψ：colim[i] Σ[p] F(i, p) → Σ[p] colim[i] F(i, p) は同型である。
証明終
78:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/17 17:15:35.98
>>74の修正
命題 592
I を小さいフィルター圏(>>36)とする。
J を有限圏(>>43)とする。
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Ab を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] lim F(i, －) → lim[a] colim F(－, a) は同型である。
証明
>>73と同様である。
79:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/17 17:17:52.64
命題 596
I を小さい擬フィルター圏(>>34)とする。
J を３個の対象 a, b, c と２本の射 a → c、b → c と単位射 1_a、1_b、1_c からなる圏とする。
b
↓
a → c
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Ab を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] lim[p] F(i, p) → lim[p] colim[i] F(i, p) は同型である。
証明
I の連結成分(>>40)を (I_λ)、λ ∈ Λ とする。
>>41より各 I_λ はフィルター圏(>>36)である。
よって、>>78と>>50と>>76より本命題の主張が得られる。
証明終
80:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/17 18:08:35.25
命題 597
I を小さい擬フィルター圏(>>34)とする。
J を２個の対象 a, b と２個の射 u：a → b, v：a → b と単位射 1_a、1_b からなる圏とする。
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Ab を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] lim[p] F(i, p) → lim[p] colim[i] F(i, p) は同型である。
証明
F(i, a) = X_i
F(i, b) = Y_i
f_i = F(i, u)
g_i = F(i, u)
とおく。
f_i：X_i → Y_i
g_i：X_i → Y_i
である。
γ_i：X_i → (X_i)×(Y_i) を f_i のグラフ射とする。
即ち γ_i(x) = (x、f_i(x)) である。
同様に λ_i：X_i → (X_i)×(Y_i) を g_i のグラフ射とする。
次の図式をファイバー積とする。
K_i → X_i
↓ ↓γ_i
X_i → (X_i)×(Y_i)
λ_i
K_i → X_i は f_i と g_i の差核(代数的整数論017の772)である。
即ち、K_i → X_i は lim[p] F(i, p) である。
よって、本命題の主張は>>79から得られる。
証明終
81:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/17 18:19:10.56
命題 598
I を小さい擬フィルター圏(>>34)とする。
J を有限圏(>>43)とする。
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Ab を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] lim[p] F(i, p) → lim[p] colim[i] F(i, p) は同型である。
証明
代数的整数論019の183の証明より Ab における有限図式の極限は
有限積と差核(代数的整数論017の772)から構成される。
よって、本命題の主張は>>77と>>80から得られる。
証明終
82:１３２人目の素数さん
11/12/17 18:48:43.70
数学初心者です。
kummerさんの数学力に憧れます。
なにか数学学習のアドバイスでもあれば教えて下さい。
83:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/17 18:55:07.16
>>82
このスレの内容と直接関係ない質問には原則として答えないことにしてるので悪しからず。
逆にこのスレの内容に関する質問や誤りの指摘は歓迎します。
84:１３２人目の素数さん
11/12/17 18:58:05.00
では早速指摘します。
貴方の存在自体が誤りです。
85:猫は一匹１００円 ◆MuKUnGPXAY
11/12/17 19:04:32.94
>>84
ですがスレの（書き込みの）内容に：
★★★『熊氏の存在自体が誤りではない。』★★★
という記述は差し当たっては見当たりません。なので何処の記述をどう
いう風に訂正するべきなのでしょうか？
お返事をお待ちしています。
猫
86:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/17 19:35:20.30
定義 599(代数的整数論017の571)
C と D を圏とする。
F: C → D を関手とする。
S ∈ Ob(D) と F から新しい圏 E を次のように定義する。
対象として対 (X, u) 全体をとる。
ここで、X ∈ Ob(C) であり、u: S → F(X) は D における射である。
(X, u) から (Y, v) への射は射 f: X → Y で
次の図式を可換にするものである。
S → S
↓ ↓
F(X) → F(Y)
ここで、上段の横の射は恒等射であり、下段の横の射は F(f) である。
この圏 E を (S↓F) と書き F に関して S の下にある C の対象全体の圏と言う。
87:82
11/12/17 19:38:03.39
>>83
そうでしたか。失礼しました。
88:猫は金くれ ◆MuKUnGPXAY
11/12/17 19:39:14.52
>>84
お返事をして下さいまし。
猫
89:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/17 19:43:43.46
定義 600(代数的整数論017の478)
C と D を圏とする。
F: C → D を関手とする。
S ∈ Ob(D) と F から新しい圏 E を次のように定義する。
対象として対 (X, u) 全体をとる。
ここで、X ∈ Ob(C) であり、u: F(X) → S は D における射である。
(X, u) から (Y, v) への射は射 f: X → Y で
次の図式を可換にするものである。
F(X) → F(Y)
↓ ↓
S → S
ここで、上段の横の射は F(f) であり、下段の横の射は恒等射である。
この圏 E を (F↓S) と書き F に関して S の上にある C の対象全体の圏と言う。
90:１３２人目の素数さん
11/12/17 19:46:44.70
ムラムラ村代表、●田●●
91:猫は馬鹿村の代表 ◆MuKUnGPXAY
11/12/17 20:09:03.96
>>84
お返事をして下さいまし。
猫
92:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/17 20:26:05.98
定義 601
I と J を圏とする。
L: I → J を関手とする。
各 k ∈ J に対して圏 (k↓L) (>>86)が空でなく連結(>>40)なとき L を終関手(final functor)と言う。
93:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/17 20:28:37.67
定義 602
I と J を圏とする。
L: I → J を関手とする。
各 k ∈ J に対して圏 (L↓k) (>>89)が空でなく連結(>>40)なとき L を始関手(initial functor)と言う。
94:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/17 20:36:03.52
終関手(>>92)を共終関手(cofinal functor)とも言う。
95:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/17 20:40:51.60
I をフィルター圏(>>36)とする。
J を I の部分圏とする。
任意の i ∈ I に対して射 u：i → j で j ∈ J となるものが存在するとき
J を I の共終(cofinal)な部分圏と言った(代数的整数論020の216)。
96:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/17 20:45:59.77
I を上向きの有向集合(代数的整数論008の140)とする。
I はフィルター圏(>>36)と見なせる。
J を I の部分集合とする。
J は I の充満部分圏(代数的整数論017の362)と見なせる。
J が共終(>>95)のとき J を I の共終な部分集合と言った(代数的整数論020の218)。
97:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/17 21:11:52.97
命題 603
I をフィルター圏(>>36)とする。
J を I の部分圏とする。
L：J → I を標準関手とする。
このとき L が終関手(>>92)であるためには J が共終(>>95)であることが必要十分である。
証明
必要性：
L が終関手であるとする。
任意の i ∈ I に対して (i↓L) は空でない。
よって、射 u：i → j で j ∈ J となるものが存在する。
よって、J は共終である。
十分性：
J が共終であるとする。
任意の i ∈ I に対して (i↓L) は空でない。
u：i → j と v：i → j’を (i↓L) の対象とする。
ここで、j、j’∈ J である。
>>41より I は擬フィルター圏(>>34)である。
よって、I の対象 k と射 r：j → k、s：j’→ k で ru = sv となるものが存在する。
J は共終だから k ∈ J と仮定してよい。
よって、(i↓L) は連結である。
証明終
98:猫は鱒建艶 ◆MuKUnGPXAY
11/12/17 21:58:03.11
>>84
そろそろお返事が欲しいなァ～。ワシ、アンタの返事を待ってるのや。
猫
99:１３２人目の素数さん
11/12/18 08:02:07.99
熊ーって証明も終わったから、そろそろ逮捕されるの？
100:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 14:10:26.51
命題 604
I と J を圏とする。
L: J → I を終関手(>>92)とする。
このとき、J が連結(>>40)であるためには I が連結であることが必要十分である。
証明
必要性：
J が連結(>>40)であるとする。
i、i’∈ I とする。
L は終関手だから、射 i → L(j)、i’→ L(j’) がある。
J は連結だから j ≡ j’である。
ここで、≡ は>>40で定義した同値関係である。
よって、L(j) ≡ L(j’) である。
よって、i ≡ i’である。
よって、I は連結である。
十分性：
I が連結であるとする。
j、j’∈ J とする。
i = L(j)、i’= L(j’) とする。
I は連結だから I の対象の有限個の列 i = i_0, i_1, ．．．i_n = i’があり、
各 k (k = 1, 2, ．．．n)に対して射 i_(k-1) → i_k または射 i_k → i_(k-1) が存在する。
L は終関手だから、各 k (k = 1, 2, ．．．n)に対して射 i_k → L(j_k) がある。
ただし、j = j_0、j’= j_n である。
射 i_(k-1) → i_k があるとき合成射 i_(k-1) → i_k → L(j_k) と射 i_(k-1) → L(j_(k-1)) は
(i_(k-1)↓L) の対象である。
(i_(k-1)↓L) は連結であるから j_(k-1) ≡ j_k である。
射 i_k → i_(k-1) があるときも同様に j_(k-1) ≡ j_k である。
よって、j ≡ j’である。
よって、J は連結である。
証明終
101:猫は鱒建艶 ◆MuKUnGPXAY
11/12/18 14:13:46.83
>>84
早く返事をして下さいませ。何回でも催促をしますので。
猫
102:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 14:37:35.16
記法
C を圏とする。
x、y ∈ C とする。
射 x → y または射 y → x があるとき x ～ y と書く。
103:１３２人目の素数さん
11/12/18 14:41:32.43
categoryは集合ではないのに要素であるという記号を書くのは愚劣
104:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 15:06:06.64
広く使われている略記法
105:１３２人目の素数さん
11/12/18 15:18:40.23
どこの本で使われている？ 具体的に
106:１３２人目の素数さん
11/12/18 15:24:31.02
Kummer ◆SgHZJkrsn08e の論文って、どういう査読雑誌に掲載されていますか？
107:猫は鱒建艶 ◆MuKUnGPXAY
11/12/18 15:25:50.19
熊氏はそういう馬鹿な質問に答える必要はナシ。
猫
108:１３２人目の素数さん
11/12/18 15:30:43.91
数学者は論文のみによって判断されるべきだと言うのは猫さんの基本姿勢ですね？
109:東大生
11/12/18 15:40:21.56
>>108
貴方は猫＝性犯罪者の文脈を理解していませんねw
猫＝痴漢はクマが数学者ではないと示唆しているわけですw
110:１３２人目の素数さん
11/12/18 15:44:41.90
そりゃあクマは単なるバカだからね
それって周知の事実だわな
おまけに犯罪を告白して逮捕が近い
111:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 15:47:07.05
>>105
例えば
Categories for the working mathematician
Handbook of categorical algebra
Kashiwara-Schapira: Categories and sheaves
112:１３２人目の素数さん
11/12/18 15:47:49.84
objectと区別しているだろw 記号的にもw
113:１３２人目の素数さん
11/12/18 15:53:11.97
X\in Obj (R-mod)なんちゅう書き方じゃん？
114:１３２人目の素数さん
11/12/18 15:55:45.17
朝鮮から強制で従軍慰安婦なんかにしたってあるの？
単なる売春業として従軍慰安婦に（親から強制されたにせよ）なったんじゃないの？
軍が強制的に朝鮮人を無理矢理、従軍慰安婦にしたという歴史的事実はある？
115:１３２人目の素数さん
11/12/18 15:56:31.41
猫って、他人には一人で数学しろといいながら
自分では色んな人に聞いて回って共著にしてもらっているだけじゃん
自主性があるのかね？ 単著で勝負してみろよw
116:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 15:57:41.14
例えば Categories for the working mathematician の p.34
117:猫は鱒建艶 ◆MuKUnGPXAY
11/12/18 15:59:00.54
>>115
私は数学者ではないので、従って単著は書きません。
猫
118:１３２人目の素数さん
11/12/18 15:59:49.13
これまでも数学者ではなかったということだねw
119:猫は鱒建艶 ◆MuKUnGPXAY
11/12/18 16:02:05.18
そういう事です。何も業績が無いのでね。
猫
120:１３２人目の素数さん
11/12/18 16:02:57.07
集合でもないものに集合の記号を乱用するのは適切ではない
121:猫は鱒建艶 ◆MuKUnGPXAY
11/12/18 16:04:54.73
意味が解ればソレで宜しい。
猫
122:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 16:06:12.51
>>112
だから x ∈ C は略記法
正確には x ∈ Ob(X) だがこの略記法は広く使われている
何度も言わせるなハゲｗ
123:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 16:16:21.49
>>122
>正確には x ∈ Ob(X) だがこの略記法は広く使われている
正確には x ∈ Ob(C) だがこの略記法は広く使われている
124:１３２人目の素数さん
11/12/18 16:16:38.34
>>122
広くなんてつかわれてないんだろw バカな犯罪者めw
125:１３２人目の素数さん
11/12/18 16:17:33.27
クマって論文をパブリッシュしたことあるのw？
126:１３２人目の素数さん
11/12/18 16:19:39.10
クマってどこかの大学の先生なのw？
127:１３２人目の素数さん
11/12/18 16:20:39.54
クマはどこかのウマの骨の数学愛好家w？
128:１３２人目の素数さん
11/12/18 16:22:19.32
ねえねえ熊さん、どうなの？ プロになれなかったルサンチマンで
下らんレスを延々と書いているのw？ 数学者ごっこをしているのw？
129:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 16:24:05.09
>>124
そう思うのはあんたが無知だから
130:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 16:25:25.98
その前に俺が貴族みたいな生活してる件は認めるのか？
131:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 16:26:21.44
こりゃ大サービスだな
132:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 16:26:57.00
お祭りが始まりました
133:１３２人目の素数さん
11/12/18 16:33:40.30
あれ、もう終り？
134:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 16:37:40.10
謝罪厨と無職厨と監視厨と通報厨はどこ行った？
135:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 17:34:16.80
命題 605
C と D を圏とする。
F:C → D を終関手(>>92)とする。
d、d’∈ D とする。
F は終関手だから射 d → F(c) と射 d’→ F(c’) がある。
このとき、d ≡ d’(>>40)なら c ≡ c’である。
証明
d ～ d’(>>102)の場合に c ≡ c’となることを証明すれば良い。
射 d → d’があるとする。
合成射 d → d’→ F(c’) は (d↓F) (>>86)の対象である。
(d↓F) は連結(>>40)だから d → F(c) ≡ d → d’→ F(c’) である。
よって、c ≡ c’である。
射 d’ → d がある場合も同様に c ≡ c’である。
証明終
136:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 18:28:35.53
補題 606
C、D、E を圏とする。
F：C → D と G：D → E を関手とする。
F を終関手(>>92)とする。
e → G(d)、e → G(d’) を (e↓G) (>>86)の対象とする。
(e↓G) の射 (e → G(d)) → (e → G(d’)) が射 d → d’により与えられるとする。
d → F(c)、d’→ F(c’) を D の射とする。
このとき、(e↓GF) において e → GF(c) ≡ e → GF(c’) (>>40)である。
証明
合成射 d → d’→ F(c’) は (d↓F) の対象だから d → d’→ F(c’) ≡ d → F(c) である。
よって、(G(d)↓GF) において G(d) → G(d’) → GF(c’) ≡ G(d) → GF(c) である。
よって、(e↓GF) において e → GF(c) ≡ e → GF(c’) である（下の可換図式参照）。
e → e
↓ ↓
G(d) → G(d’)
↓ ↓
GF(c) ≡ GF(c’)
証明終
137:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 18:36:13.71
補題 607
C、D、E を圏とする。
F：C → D と G：D → E を関手とする。
F を終関手(>>92)とする。
e → G(d)、e → G(d’) を (e↓G) (>>86)の対象とする。
(e↓G) において e → G(d) ≡ e → G(d’) (>>40) とする。
d → F(c)、d’→ F(c’) を D の射とする。
このとき、(e↓GF) において e → GF(c) ≡ e → GF(c’) (>>40)である。
証明
>>136より明らかである。
138:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 18:38:54.58
命題 608
C、D、E を圏とする。
F：C → D と G：D → E を関手とする。
F と G が終関手(>>92)なら GF：C → E も終関手である。
証明
e ∈ E とする。
e → G(d) となる d ∈ D がある。
d → F(c) となる c ∈ C がある。
よって、合成射 e → G(d) → GF(c) がある。
即ち (e↓GF) (>>86)は空でない。
e → GF(c)、e → GF(c’) を (e↓GF) の対象とする。
d = F(c)、d’= F(c’) とおく。
(e↓G) は連結だから e → G(d) ≡ e → G(d’) (>>40)である。
>>137より e → GF(c) ≡ e → GF(c’) である。
よって、(e↓GF) は連結である。
証明終
139:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 19:04:55.19
命題 609
C、D、E を圏とする。
F：C → D と G：D → E を関手とする。
F と GF が終関手(>>92)なら G も終関手である。
証明
e ∈ E とする。
GF は終関手だから射 e → GF(c) がある。
d = F(c) とおけば e → G(d) は (e↓G) (>>86)の対象である。
よって、(e↓G) は空でない。
e → G(d) と e → G(d’) を (e↓G) の対象とする。
F は終関手だから射 d → F(c) と射 d’→ F(c’) がある。
合成射 e → G(d) → GF(c) と合成射 e → G(d’) → GF(c’) は (e↓GF) の対象である。
GF は終関手だから e → G(d) → GF(c) ≡ e → G(d’) → GF(c’)
よって、e → G(d) ≡ e → G(d’)
よって、(e↓G) は連結である。
証明終
140:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 19:27:11.72
命題 610
C、D、E を圏とする。
F：C → D と G：D → E を関手とする。
G が充満忠実(代数的整数論017の403)で GF が終関手(>>92)なら F と G は終関手である。
証明
d ∈ D とする。
GF は終関手だから射 G(d) → GF(c) がある。
G は充満だから射 d → F(c) がある。
よって、(d↓F) (>>86)は空でない。
d → F(c) と d → F(c’) を (d↓F) の対象とする。
このとき G(d) → GF(c) と G(d) → GF(c’) は (G(d)↓GF) の対象であるから
G(d) → GF(c) ≡ G(d) → GF(c’) (>>40)
G は充満忠実だから d → F(c) ≡ d → F(c’) である。
よって、F は終関手である。
>>139より G も終関手である。
証明終
141:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 20:02:56.99
命題 611
C を圏とする。
D をフィルター圏(>>36)とする。
F:C → D を充満(代数的整数論017の403)な関手とする。
各 d ∈ D に対して (d↓F) (>>86)は空でないとする。
このとき F は終関手(>>92)である。
証明
各 d ∈ D に対して (d↓F) が連結(>>40)であることを証明すれば良い。
d → F(c) と d → F(c’) を (d↓F) の対象とする。
>>41より D は擬フィルター圏(>>34)である。
よって、>>34の(1)より射 F(c) → d’と 射 F(c’) → d があり
d → F(c) → d’= d → F(c’) → d’となる。
仮定より (d’↓F) は空でないから射 d’→ F(c”) がある。
よって、d → F(c) → F(c”) = d → F(c’) → F(c”) となる。
F は充満だから d → F(c) ≡ d → F(c’) (>>40)である。
よって、(d↓F) は連結である。
証明終
142:あのこうちやんは始皇帝だった
11/12/18 20:09:02.64
ガロア アーベル は、頭デッカチの虚弱児・ひ弱。
コイツらが、数学を、ダメにした！！！！！！！！
143:猫は爺 ◆MuKUnGPXAY
11/12/18 20:12:53.11
>>142
もっと書けば。読んであげるからサ。
猫
144:１３２人目の素数さん
11/12/18 20:15:09.64
>>142
Kummerはガチニートのドアホやから叩きまくってエエで。
145:猫は爺 ◆MuKUnGPXAY
11/12/18 20:16:47.34
へへへへへ。オモロイ話やんけ。
猫
146:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 21:27:23.50
J、I、E を圏とする。
L：J → I と F：I → C を関手とする。
α：F → T を余錐(過去スレpart2の830)とする。
各 j ∈ J に対して射 α_L(j)：F(L(j)) → T が定まる。
(α_L(j))_J は余錐：FL → T である。
この余錐を αL と書く。
147:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 21:33:25.85
J、I、E を圏とする。
L：J → I と F：I → C を関手とする。
(S、λ) = colim FL (過去スレpart2の831)と (T、μ) = colim F が存在するとする。
μ：F → T は余錐(過去スレpart2の830)であるから余錐 μL：FL → T が定義される(>>146)。
よって、射 h：S → T で hλ = μL となるものが一意に存在する。
このとき h：colim FL → colim F を標準射と呼ぶ。
148:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 23:21:17.19
命題 612
J、I、E を圏とする。
L：J → I を終関手(>>92)とし、F：I → C を関手とする。
colim FL (過去スレpart2の831)が存在するとする。
このとき、colim F が存在し、標準射(>>147) h：colim FL → colim F は同型となる。
証明
(S、λ) = colim FL とする。
L は終関手だから、各 k ∈ I に対して射 k → L(j) がある。
別の射 k → L(j’) があるとする。
(k↓L) (>>86) は連結だから k → L(j) ≡ k → L(j’) である。
よって、(F(k)↓FL) において F(k) → FL(j) ≡ F(k) → FL(j’) である。
λ：FL → S は錐であるから F(k) → FL(j) → S = F(k) → FL(j’) → S である。
よって、合成射 F(k) → FL(j) → S は射 k → L(j) の選び方によらない。
この射を μ_k：F(k) → S とする。
μ = (μ_k)_I：F → S が余錐であることを証明しよう。
k → k’を I の射とする。
射 k → L(j) と射 k’→ L(j’) がある。
合成射 k → k’→ L(j’) と 射 k → L(j) は (k↓L) の対象だから
k → k’→ L(j’) ≡ k → L(j) である。
よって、F(k) → F(k’) → FL(j’) ≡ F(k) → FL(j) である。
よって、F(k) → F(k’) → FL(j’) → S = F(k) → FL(j) → S
よって、μ：F → S は余錐である。
α：F → T を余錐とする。
余錐 αL：FL → T が定義される(>>146)。
よって、射 g：S → T で gλ = αL となるものが一意に存在する。
各 k ∈ I に対して射 s_k：k → L(j) がある。
gλ_j = α_L(j) より gλ_jF(s_k) = α_L(j)F(s_k) = α_k
μ_k = λ_jF(s_j) であるから gμ_k = α_k
よって、(μ、S) = colim F である。
証明終
149:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 23:27:34.70
>>148が終関手(>>92)の主要性質である。
そもそも>>148が成り立つように終関手が定義されたのである。
150:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 23:35:21.23
J、I、E を圏とする。
L：J → I と F：I → C を関手とする。
α：T → F を錐(過去スレpart2の822)とする。
各 j ∈ J に対して射 α_L(j)：T → F(L(j)) が定まる。
(α_L(j))_J は錐：T → FL である。
この錐を αL と書く。
151:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 23:41:32.42
J、I、E を圏とする。
L：J → I と F：I → C を関手とする。
(S、λ) = lim FL (過去スレpart2の824)と (T、μ) = lim F が存在するとする。
μ：T → F は錐(過去スレpart2の822)であるから錐 μL：T → FL が定義される(>>150)。
よって、射 h：T → S で λh = μL となるものが一意に存在する。
このとき h：lim F → lim FL を標準射と呼ぶ。
152:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/18 23:56:16.49
命題 613
J、I、E を圏とする。
L：J → I を始関手(>>93)とし、F：I → C を関手とする。
lim FL (過去スレpart2の824)が存在するとする。
このとき、lim F が存在し、標準射(>>151) h：lim F → lim FL は同型となる。
証明
>>148の双対である。
153:仙石６０
11/12/19 00:21:53.15
何ですかこのガラクタ同然の数学は
154:仙みっつ石まんこ
11/12/19 00:32:42.38
おひこら
本物は、Kummer ◆SgHZJkrsn08eのフアンやで
155:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/19 09:20:06.53
定義 614
C を圏とする。
C の対象全体の集合 Ob(C) を>>40の同値関係 ≡ で類別した商集合 Ob(C)/≡ を π_0(C) と書く。
156:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/19 09:39:59.48
命題 615
I を局所的に小さい圏(代数的整数論017の343)とする。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)の圏とする。
各 k ∈ I に対して関手 Hom(k, －)：I → Set が得られる(過去スレpart2の777)。
このとき、colim Hom(k, －) は１点からなる集合である。
証明
α：Hom(k, －) → S を余錐(過去スレpart2の830)とする。
写像 α_k：Hom(k, k) → S による k の単位射 1_k の像 α_k(1_k) を s_0 とする。
次の可換図式より、任意の射 f：k → i に対して α_i(f) = s_0 となることが分かる。
Hom(k, k) → Hom(k, i)
↓ ↓
S → S (Sの単位射)
よって、colim Hom(k, －) は１点からなる集合である。
証明終
157:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/19 09:41:59.79
>>148
>J、I、E を圏とする。
J、I、C を圏とする。
158:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/19 10:23:50.00
命題 616
J、I を小さい圏(代数的整数論017の322)とする。
L：J → I を関手とする。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)の圏とする。
各 k ∈ I に対して関手 Hom(k, －)：I → Set が得られる(過去スレpart2の777)。
よって、合成関手 Hom(k, L)：J → Set が得られる。
L が終関手(>>92)であるためには colim Hom(k, L) (過去スレpart2の831)が
１点からなる集合であることが必要十分である。
証明
必要性：
L が終関手であるとする。
代数的整数論017の835より Set は余完備(過去スレpart2の888)である。
よって、各 k ∈ I に対して colim Hom(k, L) が存在する。
よって、>>148より colim Hom(k, L) は colim Hom(k, －) と同型である。
一方、>>156より colim Hom(k, －) は１点からなる集合である。
十分性：
各 k ∈ I に対して colim Hom(k, L) が１点からなる集合であるとする。
(k↓L) (>>86)は空ではない。
S = π_0((k↓L)) (>>155) とおく。
π：Ob((k↓L)) → S を標準写像とする。
射 u：k → L(j) に π(u) ∈ S を対応させることにより
余錐(過去スレpart2の830) Hom(k, L) → S が得られる。
colim Hom(k, L) は１点からなる集合であるから S も１点からなる集合でなければならない。
よって、(k↓L) は連結である。
よって、L は終関手である。
証明終
159:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/19 10:30:04.98
命題 617
J、I を小さい圏(代数的整数論017の322)とする。
L：J → I を関手とする。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)の圏とする。
代数的整数論017の835より Set は余完備(過去スレpart2の888)である。
任意の関手 F：I → Set に対して
標準射(>>147) h：colim FL → colim F が同型となるとする。
このとき L は終関手(>>92)である。
証明
各 k ∈ I に対して関手 Hom(k, －)：I → Set が得られる(過去スレpart2の777)。
よって、合成関手 Hom(k, L)：J → Set が得られる。
>>156より colim Hom(k, －) は１点からなる集合である。
よって、仮定より colim Hom(k, L) も１点からなる集合である。
よって、>>158より L は終関手(>>92)である。
証明終
160:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/19 10:46:13.84
例
I を圏とする。
k ∈ I とする。
{k} は I の離散(>>30)な部分圏と見なせる。
L：{k} → I を包含関手とする。
このとき L が終関手(>>92)であるためには
k が I の終対象(代数的整数論017の288)であることが必要十分である。
証明
ほとんど自明である。
161:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/19 11:52:02.62
命題 618
J、I、C を圏とする。
L：J → I を終関手(>>92)とし、F：I → C を関手とする。
colim F (過去スレpart2の831)が存在するとする。
このとき、colim FL が存在し、標準射(>>147) h：colim FL → colim F は同型となる。
証明
(S、λ) = colim F とする。
λ：F → S は余錐(過去スレpart2の830)だから余錐 λL：FL → S が定義される(>>146)。
これが余極限(過去スレpart2の831)であることを証明すればよい。
α：FL → T を任意の余錐とする。
L は終関手だから、各 k ∈ I に対して射 k → L(j) がある。
>>148の証明と同様に合成射 F(k) → FL(j) → T は射 k → L(j) の選び方によらない。
この射を μ_k：F(k) → T とする。
>>148の証明と同様に μ = (μ_k)_I：F → T は余錐である。
よって、射 f：S → T で fλ = μ となるものが一意に存在する。
各 j ∈ J に対して fλ_L(j) = μ_L(j) = α_j
よって、f(λL) = α
よって、λL：FL → S は余極限である。
証明終
162:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/19 12:05:16.48
C と D を圏とする。
F：C → D を関手とする。
D の充満部分圏(代数的整数論017の362) C’で Ob(C’) = F(Ob(C)) となるものが一意に定まる。
関手 F’：C → C’を F から自然に引き起こされるものとする。
G：C’→ D を包含関手とする。
このとき F = GF’である。
163:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/19 12:13:26.68
定義 619
C を圏とする。
D を C の部分圏とする。
F：D → C を包含関手とする。
F が終関手(>>92)のとき D を C の終部分圏(final subcategory)または
共終部分圏(cofinal subcategory)と呼ぶ。
164:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/19 12:18:44.85
命題 620
C と D を圏とする。
F：C → D を終関手(>>92)とする。
D の充満部分圏(代数的整数論017の362) C’で Ob(C’) = F(Ob(C)) となるものが一意に定まる。
このとき C’は共終部分圏(>>163)である。
証明
G：C’→ C を包含関手とする。
F’：C → C’を F から自然に引き起こされる関手とする。
このとき F = GF’である。
G は充満忠実(代数的整数論017の403)である。
よって、>>140より G は終関手である。
証明終
165:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/19 15:39:48.96
C を局所的に小さい圏(代数的整数論017の343)とする。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)の圏とする。
各 X ∈ C に対して関手 Hom(－、X)：C^o → Set が定義される(過去スレpart2の777)。
I をグラフ(過去スレpart2の809)とする。
F：I → C を図式(過去スレpart2の817)とする。
F は図式 F：I^o → C^o を引き起こす。
このとき、F と Hom(－、X) の合成 Hom(F、X)：I^o → Set が得られる。
過去スレpart2の889より、lim Hom(F、X) は Cocone(F、X) (過去スレpart2の830)と同一視される。
166:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/19 16:29:45.80
命題 621(>>48の逆)
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
I を小さい圏(代数的整数論017の322)とする。
J を任意の有限圏(>>43)とする。
F：I×J → Set を任意の関手とする。
>>29の標準射 ψ：colim[i] lim[p] F(i, p) → lim[p] colim[i] F(i, p) は常に同型であるとする。
このとき I はフィルター圏(>>36)である。
証明
J を任意の有限圏とし、G：J → I を任意の関手とする。
(i, j) ∈ I×J に Hom(G(j), i) ∈ Set を対応させることにより関手：I×J → Set が得られる。
標準射 ψ：colim[i] lim[j] Hom(G(j), i) → lim[j] colim[i] Hom(G(j), i) は同型である。
>>156より colim[i] Hom(G(j), i) は１点からなる集合である。
よって、lim[j] colim[i] Hom(G(j), i) は１点からなる集合である。
よって、colim[i] lim[j] Hom(G(j), i) は１点からなる集合である。
よって、lim[j] Hom(G(j), i) ≠ φ となる i ∈ I がある。
>>165より、これは Cocone(G, i) ≠ φ を意味する。
よって、I は>>37の条件を満たす。
証明終
167:１３２人目の素数さん
11/12/19 19:34:36.35
>>Kummer
監視中
168:１３２人目の素数さん
11/12/20 07:49:42.83
無職失業者ニートのクマ
勤労の義務を果しなさい
169:猫はぱァ～ ◆MuKUnGPXAY
11/12/20 10:29:17.85
無職失業中はワシや。
猫
170:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/20 15:01:39.81
本スレで使用している圏論の基礎的用語および記法については代数的整数論017、018、019、020を参照
171:１３２人目の素数さん
11/12/20 15:46:11.49
だれが参照するかw 低脳の無職めw
172:猫は低脳 ◆MuKUnGPXAY
11/12/20 15:49:45.08
>>171
参照しないんやったらココに来いひんでもエエやろ。馬鹿はアッチへ行け。
猫
173:猫は低脳の無職 ◆MuKUnGPXAY
11/12/20 15:50:38.50
猫
174:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/20 16:09:40.07
さて今日は晩飯に何を食おうか。
たまには外食といくか。
腕がいいといっても毎日同じ専属料理人の料理ばかりだと飽きる。
熊の手でも食うかｗ
175:猫はグルメ ◆MuKUnGPXAY
11/12/20 16:16:49.95
超高級品ですがな。流石にお金持ちですナ。ワシは毎回カップラーメン
やけんどサ。
猫
176:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/20 16:17:56.85
外食で思い出したが、因みに俺の邸宅の地下には約１万本の高級ワインが眠っている。
そのほとんどが１本１万以上。
１０万以上のものが半分以上占めている。
177:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/20 16:26:34.92
外食のお相手は某有名大の女子大生
数学科だそうだ
彼女に圏論の手ほどきをしてあげる予定
特に交わりを持つ圏(代数的整数論019の165)についてｗ
178:１３２人目の素数さん
11/12/22 09:56:38.64
あげ
179:１３２人目の素数さん
11/12/22 09:59:39.40
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
ログは永久に消えないw
通報
180:１３２人目の素数さん
11/12/22 10:01:52.81
ここにもね
URLﾘﾝｸ(www.internethotline.jp)
181:１３２人目の素数さん
11/12/22 14:40:03.68
スレ立てを依頼します。
『スレタイ』 犯罪告白のKummer ◆SgHZJkrsn08eはブタ箱行きですね？
『本文』２ちゃんねるで犯罪を告白したクマー氏について、警察に通報しましょう。
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
182:１３２人目の素数さん
11/12/22 14:54:08.08
クマーのような金持ちの年寄りに
金を使わせるような政策を考えよう
183:１３２人目の素数さん
11/12/22 14:55:16.09
全面的に賛同の意をここに示します。
184:１３２人目の素数さん
11/12/22 15:00:51.94
クマーのブタ箱行きを提案します。
185:１３２人目の素数さん
11/12/22 15:03:40.09
賛同致します。
186:１３２人目の素数さん
11/12/22 15:04:00.71
全面的に協力します。
187:１３２人目の素数さん
11/12/22 20:56:12.44
宇宙が３次元で誕生する様子を高エネルギー加速器研究機構と静岡大などの
研究チームがシミュレーションで再現することに成功した。宇宙空間を「９次元」と
考える最先端理論を使って、現実の３次元の世界が生まれる瞬間を初めてとらえた。
宇宙論の発展につながる成果で、米物理学会誌電子版に来年１月４日に掲載される。
研究チームは、物質を構成する最小単位の素粒子は丸い粒ではなく、ひも状のものだと
考える「超ひも理論」に基づき、約１３７億年前の宇宙誕生の様子を数値計算した。
超ひも理論はノーベル賞受賞者の南部陽一郎氏らが約４０年前に提唱した「ひも理論」を
発展させたもので、物質や宇宙の根源的な謎を説明する理論として広く支持されている。
しかし超ひも理論は宇宙を「９次元の空間と時間」で定義しており、現実の３次元の空間と
どう結びつけるかが長年の課題だった。
研究チームは、時間の経過に伴い宇宙空間がどう変化するかを探る新手法を開発し、
スーパーコンピューターで解析。その結果、初期は非常に小さい９次元の空間だったが、
あるとき３つの方向だけが自然に急拡大し、膨張し始めることを発見した。これが３次元の
宇宙誕生の瞬間という。
残る６次元は現在も小さい状態のままで収まっており、人間は感じることさえできない。
同機構の西村淳准教授は「超ひも理論を現実の空間と結びつけられたことで、宇宙の
始まりから終わりまでの理解に弾みがつく」と話している。
URLﾘﾝｸ(sankei.jp.msn.com)
※画像：URLﾘﾝｸ(sankei.jp.msn.com)
188:１３２人目の素数さん
11/12/22 21:35:31.84
クマーはいつ逮捕されるの？
189:１３２人目の素数さん
11/12/22 21:44:11.23
緊急性の無い案件は３ヶ月くらい後になるらしい
190:１３２人目の素数さん
11/12/22 22:15:43.08
楽しみだな
191:１３２人目の素数さん
11/12/22 22:19:35.00
何か秘密警察まがいな事やってるな。
嫌な時代だ。
192:１３２人目の素数さん
11/12/22 23:24:06.70
>>191 ジジイ？
193:１３２人目の素数さん
11/12/22 23:27:18.12
このスレに公安とかいるの？
194:１３２人目の素数さん
11/12/22 23:28:38.61
警察は見てるだろ もちろん
195:１３２人目の素数さん
11/12/22 23:31:11.43
>>191 クマ？
196:１３２人目の素数さん
11/12/22 23:33:02.13
日本は警察国家。
この国は新型核兵器であと数年で消滅する。
197:１３２人目の素数さん
11/12/22 23:36:02.16
犯行を告白されてそれを通報されたら、警察は黙って見過ごすわけに行かないだろう
198:１３２人目の素数さん
11/12/23 02:25:44.51
日本人の心は病んでいる
199:１３２人目の素数さん
11/12/23 12:53:45.92
>>197
一応捜査せざるを得ない
悪戯ならば、警察に対する偽計業務妨害罪となる
200:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:10:29.54
クマは無職だから
201:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 14:12:45.52
無職じゃない
会社経営者
毎年莫大な税金を納めている
202:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 14:14:08.43
莫大と言っても高々数百億だが
203:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:17:00.34
そんなに金があるなら、秘書に２ちゃんの書き込みをさせればよいではないか？
グロタンみたいに講義だけして、東大院修了の秘書１０人くらいに
まとめさせて書き込みさせればよい
それが出来ないのか？
204:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:18:03.46
おまえは足立のりお先生に失礼だろ
反省して反省文をかけ＞クマ
205:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 14:19:27.32
１００近くの会社を経営してる。
中には有名なモデル事務所も。
俺が一声かければ有名モデルがほいほい俺の別荘に来る。
206:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:21:16.87
へえ～ すげえなあ～w
207:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:21:51.85
>>Kummer
リスペリドンは飲んでるか？
208:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:22:06.27
病棟から何が見えるの？＞クマ
209:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:23:05.50
クマーは２ちゃんで虚言を書くという印象をつけようとして必死であったw
身辺に警察の捜査が及んでいるからねw
210:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:24:23.44
そうやってみても犯罪を告白した事実は変わらないヨ
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
211:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:25:32.60
＞クマーは２ちゃんで虚言を書くという印象をつけようとして必死であったw
ま、そういうjことだねw
212:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:26:19.68
＞クマーは２ちゃんで虚言を書くという印象をつけようとして必死であったw
＞クマーは２ちゃんで虚言を書くという印象をつけようとして必死であったw
＞クマーは２ちゃんで虚言を書くという印象をつけようとして必死であったw
213:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 14:29:10.63
どっちかにしろよ
俺が犯罪者なのかキチガイなのか
両立はしないから
214:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:30:15.99
犯罪者なら逮捕される
悪戯をしたなら逮捕される
結果は同じ
215:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 14:31:20.01
キチガイは逮捕されても無罪
216:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:31:27.40
ブタ箱にはいってこいよw
217:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 14:32:46.28
てか日本で犯罪を犯したとは一言も書いてない
218:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:33:07.57
熊は無職なんだし、失うべきものが何もないんだから
刑務所で暖かい食事を食べて楽しく過ごせばいいのでわ？
219:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:33:53.74
>>217 へ理屈言っても無駄w
220:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:34:43.32
２ちゃんにサカナの名前を書いただけで逮捕された奴もいる
221:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:35:29.19
虚偽であっても、家宅捜索の対象にはなると思う
222:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:36:21.70
虚偽なら偽計業務妨害罪
223:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 14:37:37.47
屁理屈じゃないし
実際俺が日本と犯罪人引渡し条約を結んでない国で殺人を犯しても
日本の警察は何も出来ない
224:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 14:38:38.00
そういえば昨日すずきを焼いて食った
225:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:49:45.48
>>215
逮捕はされるでしょう
226:１３２人目の素数さん
11/12/23 14:53:01.40
逮捕は避けられませんね
227:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 15:13:43.36
実際俺が日本と犯罪人引渡し条約を結んでない国で殺人を犯しても
日本の警察は何も出来ない
228:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 15:15:43.49
784 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2011/12/06(火) 19:02:38.34
外国にも別荘をいくつか持ってる。
この夏は南イタリアにある別荘で過ごした。
向こうの海は日本とは比べ物にならないくらい綺麗だ。
カリブ海の透明度には劣るが。
229:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 15:41:24.51
何で俺が必死になんなきゃならないのか意味不明
230:１３２人目の素数さん
11/12/23 16:56:30.01
必死になっているじゃんw
231:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 16:58:49.96
仮に必死になってるとしてその理由は？
232:１３２人目の素数さん
11/12/23 17:00:30.27
スイスのクマーが優勝 日本勢は家根谷依里(へそ曲りク)の18位が最高
233:１３２人目の素数さん
11/12/23 17:02:43.85
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
周知させます
234:１３２人目の素数さん
11/12/23 17:03:52.32
１２月３日にはどこにいたの？＞熊
235:１３２人目の素数さん
11/12/23 17:06:38.24
警察がそのうち来るだろうけど、なんて言うの＞クマ
236:１３２人目の素数さん
11/12/23 17:07:43.00
まあ、いきなり逮捕、そして家宅捜査だろうね
マスコミは２ちゃんを目の敵にしているから
テレビとかに逮捕連行されるところを映されるだろう
237:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 17:11:07.17
さあ何て言うかね。
そのときの気分次第。
アホかお前らとかｗ
238:１３２人目の素数さん
11/12/23 17:14:31.29
まあ頑張れや
ハンドル名Kummer ◆SgHZJkrsn08eこと自称数学者無職の
●○○○は・・・・で警視庁に逮捕されました云々
とテレビに出るだろう
239:１３２人目の素数さん
11/12/23 17:26:54.58
不倫の末の略奪婚、離婚、そして再婚と忙しい人生を送っているフリーアナウンサーの近藤サト（４３）。
最近はテレビでその美貌を見かけることもなくなったが、いつの間にか「日本大学芸術学部特任教授」というリッパな肩書を頂いていた。
「近藤先生は今年度から放送学科で、卒業研究ゼミナールＩとアナウンス演習ＩＩを担当。
週に４コマ講義を受け持っています。本学部において、朗読を指導してくれる教員を探していました。
卒業生でアナウンスの実績はもちろん、朗読でも評価の高い近藤先生にお願いしました。
来年度も講義をしていただく予定です」（日大芸術学部・庶務課）
240:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 17:29:55.03
頑張ってないから
必死なのはお前らの方じゃないのか？
何回も同じことを言ってｗ
715 ：１３２人目の素数さん：2011/12/04(日) 18:00:15.82
>>711
これはアウト
717 ：１３２人目の素数さん：2011/12/04(日) 18:04:34.87
>>716
アウト これは家宅捜索やな
866 ：１３２人目の素数さん：2011/12/11(日) 03:24:49.12
冗談抜きでアウトだろうね
241:１３２人目の素数さん
11/12/23 17:31:38.93
いいんじゃないの それぞれの感想や判断なのだからね
警察が動くから待ってな
242:１３２人目の素数さん
11/12/23 17:32:53.86
くまさん マサイとかは見るんですか？
243:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 17:34:34.38
何回通報するんだよ
１回通報すれば十分だろ、常考
そんなに自信ないのかｗ
773 ：１３２人目の素数さん：2011/12/06(火) 13:10:43.61
そりゃあそうだよ
だって通報したから
このスレッドのＩＰは調べられるでしょ、警察に
774 ：１３２人目の素数さん：2011/12/06(火) 13:12:31.84
>>711 警察に通報しておいた
14 ：１３２人目の素数さん：2011/12/13(火) 15:28:06.76
警察に通報した
181 ：１３２人目の素数さん：2011/12/22(木) 14:40:03.68
スレ立てを依頼します。
『スレタイ』 犯罪告白のKummer ◆SgHZJkrsn08eはブタ箱行きですね？
『本文』２ちゃんねるで犯罪を告白したクマー氏について、警察に通報しましょう。
244:１３２人目の素数さん
11/12/23 17:35:59.95
近藤サトでも大学教授になれるのに
大学教授になれないクマって何なの？
245:１３２人目の素数さん
11/12/23 17:37:08.16
そうだな 近藤サトでも大学教授だ 大学教授なれない崩れは悔しいのお？
246:１３２人目の素数さん
11/12/23 17:37:55.50
>>243 通報は多い方が握りつぶされなくて良いと思うよw
247:１３２人目の素数さん
11/12/23 17:39:06.99
優秀なクマ先生に、数論とかの専門書の執筆依頼が岩波から来ない？
248:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 17:39:24.86
>握りつぶされなくて
笑うとこ？
249:１３２人目の素数さん
11/12/23 17:41:19.57
ねえねえ、クマさんって大学教授なの？ そうでしょ？
逮捕されたらまずいじゃんw
250:１３２人目の素数さん
11/12/23 17:42:27.50
住所不定無職になるのかな？＞クマ
251:１３２人目の素数さん
11/12/23 17:43:37.71
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
見えるように
252:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 17:44:06.81
会社経営者と言ってるだろ
逮捕されたらまずいか？
そんなの気にしたってしょうがない。
気にすれば逮捕されないとかそういう問題なのかｗ
253:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 17:53:35.09
>大学教授なれない
なんで俺が大学教授にならないといけない？
今の身分で十分満足してる。
254:１３２人目の素数さん
11/12/23 22:54:27.67
好むと好まざるとに関わらず、職無しなんだから満足するしかないだろw
255:１３２人目の素数さん
11/12/23 23:03:42.34
俺は在日が大嫌い
韓国人も大嫌い
俺のまわりの人は全員、半島の人が大嫌いだ
256:１３２人目の素数さん
11/12/23 23:08:15.85
会社経営だか何だか妄想しておるが
平日、四六時中２ちゃん三昧で仕事しているわけないねw
257:１３２人目の素数さん
11/12/23 23:13:02.83
日本人は半島が起源。
この国は滅ぶな。
258:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/12/23 23:15:04.64
俺は人に仕事をさせている。
俺の主要な仕事はトップ人事
だからそんなに時間は食わない。
ヒマが有り余ってる。
259:KingMathematician ◆LoZDre77j4i1
11/12/23 23:52:33.38
日本人は半島から来たという説はあるが,そのころは反日教育がない時代で,今ごろ半島から日本に来ている奴と同じように考えてはいけない.
260:１３２人目の素数さん
11/12/23 23:57:02.42
いつの話だよ。
261:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:03:25.78
>>258 証拠は？
そのうち逮捕されるぞ
262:KingMathematician ◆LoZDre77j4i1
11/12/24 00:05:28.09
歴史がないか,歴史が失われたか知らないが,とにかく資料がないからいつ来たかは知らない.
明治元年,Christ暦1868年より前にも日本に人はいたらしい.
263:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:05:28.35
強制連行や強制的な従軍慰安婦は無かった
264:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:06:21.87
クマは無職なのに会社経営と妄想を語っている
265:検便のナウシカ ◆UVkh7uHFoI
11/12/24 00:06:24.91
韓国人の名前がついてる定理ってある？
266:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:08:22.78
韓国剰余定理
267:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:14:23.91
韓国の主要な数学者はどんな業績を挙げていますか？
268:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:15:19.32
糞ばばあ、出てこい
269:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:16:36.57
>>267 Invent やAdvances in mathなどに多数の論文を掲載しています
270:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:17:00.63
全裸韓国起源定理
271:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:18:02.96
韓国式垢擦り定理
272:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:18:30.90
>>269
韓国の数学者はどんな分野に強いんですか？
韓国トップのマサイの引用数は？
273:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:18:32.93
いまや
韓国は全ての純粋数学の起源になっている
274:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:19:50.03
>>272 全ての分野ですよ
マサイの引用数は１０万を超えています
275:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:22:13.17
>>274
そうなんですか！？
でもフィールズ賞などの権威ある賞は全然もらえませんね
276:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:22:20.55
代数学の基本定理も 金正男によるものです
277:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:23:09.33
>>275 この先２０年くらいは韓国がフィールズ賞を独占しますよ
278:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:25:15.88
金正日はゴルフをはじめてしたときに、１８ホールの１０ホールでホールインワンだった
彼は微積分の本をはじめて読んだ時に、佐藤超函数を一般化する金超函数を構成していた
279:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:27:14.15
韓国の若数学の若手は今後、
どう化けるかは分からない。
280:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:28:34.17
たしかに韓国はレベルが上がっているね
281:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:28:52.23
>>277
今の韓国の若手は凄まじいんですね。
長い年月をかけて基盤が出来たので、後は韓国人の優秀さを発揮するだけという事でしょうかね。
282:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:29:51.50
何れにしても日本数学の未来はない。
283:検便のナウシカ ◆UVkh7uHFoI
11/12/24 00:32:10.83
ていうか韓国発の定理ってどんなのがあるの？
284:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:33:57.73
全てだ
ポワンカレー予想とか
285:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:35:13.39
日本発の定理をとっさに言えと言われても
思い浮かばない。
286:検便のナウシカ ◆UVkh7uHFoI
11/12/24 00:38:10.05
なんで？
名前がついてる奴だけでも小平の埋め込み定理とか広中の特異点解消定理とかいろいろあるじゃん。
287:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:40:22.33
なるほどね。
288:KingMathematician ◆LoZDre77j4i1
11/12/24 00:40:44.47
それではEuropeの未来に期待すればいいのか.
289:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:41:42.38
未来に期待するのでは駄目。
290:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:43:17.34
日本もそろそろ過去の遺産から脱却しないと
おいて行かれる。
291:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:45:29.68
在日が一人で頑張ってレスしてるみたい
292:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:46:28.10
２chは在日ネタが好きだね。
馬鹿しか居ないから無理もないが。
293:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:58:25.11
それこそ日本が没落国家である証拠。
294:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:58:45.79
日本人は世界的に見てもかなり独創性に優れた人種だよね。
ヨーロッパも一括りにしないで個別の国ごとに見れば、日本より独創性のある国は多くない。
295:１３２人目の素数さん
11/12/24 01:03:37.36
ドイツとかフランスは日本より上じゃね？
296:１３２人目の素数さん
11/12/24 01:06:35.50
それは当たり前。多くないと言っているだけ。
297:１３２人目の素数さん
11/12/24 01:09:38.73
今の日本の若い奴の覇気のなさを見てると
それも今後は怪しいな。
298:１３２人目の素数さん
11/12/24 01:12:53.10
人種ではなく国と言うべきだった。
299:検便のナウシカ ◆UVkh7uHFoI
11/12/24 01:15:36.53
日本人って戦略立てるの苦手なのに、数学上の業績が多い。
300:１３２人目の素数さん
11/12/24 01:19:02.50
それは個人の力で勝負できるだからだろう。
でも工学面でも日本人の持つ同質性は発揮されている。
301:KingMathematician ◆LoZDre77j4i1
11/12/24 02:34:35.61
同質性の問題にすりかえないようにしよう.
302:１３２人目の素数さん
11/12/24 10:39:32.28
>>294 あんたバカ？
オランダとかの人口知っている？
神奈川県みたいなもんだよw
303:１３２人目の素数さん
11/12/24 10:41:18.12
>>299 国際比較では日本の数学は物理や化学よりに業績のパーセンテージが大幅に低い
つまり数学は物理、化学といった分野ほど、国際的評価は高くないということ
304:１３２人目の素数さん
11/12/24 10:45:37.03
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
周知させますyo
305:ＧＭＧ ◆.5wljPk1.c
11/12/24 13:02:17.61
私の事、去年の１２月にでも会った、永田正嗣先生か、森脇淳先生に
でも、聞いてみな。デブでも、ブスでも無いと言うから。
性格が悪いなんて、実際にあった人で言う人居るだろうか？
タカビーとは思ってる人居るかも知れないけどね。
私は、性格は社交的だけど、実際に好きな人はただ、一人それは
元々のＡ。あれから、食後にヨーグルトぐらい食べたくなって
健康になって、少しは太ったけどデブだと言う人が見て居た
私程には全く太ってないよ。ガロアセオリーは好きで、キット
理解したいと思だったけど
ガロアの様に、決闘に行って死のうとは思わない。
それは、私が、教養部の頃、生命の尊さを知ったからに
違いない。
キチガイでない私が、人格障害者に悩まされて、苦しんで
来たのは、全く不幸でしか無いね。
私は、生きる。Ａにも自分の身は守って欲しい。
クリスマスだから、ちょっと、会えそうで会えない事に
悩んでいるけど、キリスト教にはには学ぶ
べきところは有るけど、たかが、キリストの誕生日
に一人で過ごせないなんて、弱い自分は捨てた。
スムーズに会えるなら会いたいけどね。