11/12/06 14:49:19.57
タイトルのとおり、自分が発見した定理とその証明を書いてください
2:１３２人目の素数さん
11/12/06 15:02:47.14
1＋1＝1
3:あんでぃ ◆Q5DeCEGA5s
11/12/06 18:34:15.77
あんでぃ
4:１３２人目の素数さん
11/12/15 01:00:32.20
悲しい現実
5:１３２人目の素数さん
11/12/15 22:52:42.23
三辺の長さa､b､cの三角形の面積をSとしたとき、
S＝1/4√2(a^2+b^2)c^2-c^4-(a^2-b^2)^2
この前授業中に気が付いた
6:１３２人目の素数さん
11/12/16 07:40:45.65
>>5が天才過ぎる件
高校生にしてはやりおる
7:１３２人目の素数さん
11/12/17 12:45:54.26
天才がいると聞いて
8:１３２人目の素数さん
11/12/18 01:12:25.57
>>5
ほほう……これはなかなか
9:１３２人目の素数さん
11/12/18 08:23:35.97
ヘロンヘロン
10:１３２人目の素数さん
11/12/18 08:37:17.19
中学の時、添削問題の通信欄に、その式と同等の式を書いたことがあったな
「これこれをxと置く」というテクニックを教わって、三角形に応用して導いたんだよな
11:１３２人目の素数さん
11/12/19 00:48:49.67
ああ、ヘロンの公式を一つの式に纏めたのか
使い所が無いのは御愛敬か？
12:KingMathematician ◆LoZDre77j4i1
11/12/19 20:33:49.41
三辺の長さがa,b,cの三角形の面積はab√(1-((a^2+b^2-c^2)/(2ab))^2)/2 になることに気がついた.
これを簡単にすると√(2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4)/4になる.
13:１３２人目の素数さん
11/12/19 22:39:28.84
眠い。
14:１３２人目の素数さん
11/12/19 23:15:25.31
√(2+√(2+√(2+√(2+・・・))))=2
証明
数列
a_1=√2
a_(n+1)=√(2+a_n)について
①0<a_n<2
∵
n=1は明らか
0<a_(n-1)<2
なら、
0<2+a_(n-1)=(a_n)^2<4
よって
0a_n)^2<4
0<a_(n>a_n
∵
a_2=√(2+√2)>√2=a_1
a_n>a_(n-1)とすると、
{a_(n+1)}^2-(a_n)^2=-(a_n-1/2)^2+9/4
15:１３２人目の素数さん
11/12/19 23:21:49.32
√(2+√(2+√(2+√(2+・・・))))=2
証明
数列
a_1=√2
a_(n+1)=√(2+a_n)について
①0<a_n<2
∵
n=1は明らか
0<a_(n-1)<2なら、
0<2+a_(n-1)=(a_n)^2<4
平方根は常に正だから、
0<a_n<2
②0<a_n<a_(n+1)
∵
n=1はa_2=√(2+√2)>√2=a_1より成立
a_n>a_(n-1)とすると、
{a_(n+1)}^2-(a_n)^2=-(a_n-1/2)^2+9/4>0(∵①)
a_nは常に正だから
a_n<a_(n+1)
よってa_nは増加列且つ有界で収束する。
n→∞でa_n=a_(n+1)より
(a_n)^2=2+a_n
これをといてa_n→2
つまりa_nの極限は2
したがってn→∞で、
a_n=√(2+√(2+√(2+√(2+・・・))))=2
16:１３２人目の素数さん
11/12/19 23:27:28.97
商の微分公式の別証
(u/v)'=(v'u-vu')/v^2
証明
y=u/vとすると、
u=vy.
積の微分公式より
u'=v'y+vy'
⇔
y=(u'-v'y)/v=(u'-v'u/v)/v=(v'u-vu')/v^2
17:１３２人目の素数さん
11/12/19 23:31:42.92
商の微分公式からの積の微分公式の導出
(uv)'=u'v+uv'
証明
y=uvとするとu=y/v
商の微分公式より
u'=(y'v-yv')/v^2
u'v^2=y'v-(uv)v'
y'=u'v+uv'
18:１３２人目の素数さん
11/12/19 23:33:39.02
>>16-17より
商と積の微分公式は互いに同値の関係にあることがわかる
19:１３２人目の素数さん
11/12/19 23:45:48.90
差分を利用した積の微分公式の証明
(uv)'=(uv)'=u'v+uv'
証明
u=u(t),v=v(t)
⊿u=u(t+⊿t)-u(t)
⊿v=v(t+⊿t)-v(t)
とすると,
u(t+⊿t)v(t+⊿t)-u(t)v(t)=(u+⊿u)(v+⊿v)-uv=uv+u⊿v+v⊿u+⊿u⊿v-uv
0<⊿t<<1について⊿u⊿v≒0であり
≒u⊿v+v⊿u
よって
{u(t+⊿t)v(t+⊿t)-u(t)v(t)}/⊿t≒u⊿v/⊿t+v⊿u/⊿t
⊿t→0で
(uv)=u'v+uv'
この差分という手法を知っていれば
教科書のような天才的な技法を使わなくても
だれでも積の微分公式を導出可能
20:１３２人目の素数さん
11/12/19 23:51:31.99
産業で終わる幾何級数の公式の証明
r≠1において
a+ar+ar^2+...+ar^n=a(r^(n+1)-1)/(r-1)
証明
因数分解の公式より
x^(n+1)-1=(x-1)(1+x+x^2+...+x^n)
⇔a(1+x+x^2+...+x^n)=a(x^(n+1)-1)/(x-1)
21:１３２人目の素数さん
11/12/19 23:56:26.28
無限幾何級数の公式の別証
|r|<1において
1+r+r^2+...=1/1-r
証明
S=1+r+r^2+...とすると
rS= r+r^2+...
上式から下式を引いて
(1-r)S=1
∴S=1/(1-r)
22:１３２人目の素数さん
11/12/20 00:11:30.60
>>15の手法を用いることにより、
√(2-√(2-√(2-√(2-・・・))))=1
√(6+√(6+√(6+√(6+・・・))))=3
√(6-√(6-√(6-√(6-・・・))))=2
√(12+√(12+√(12+√(12+・・・))))=4
√(12-√(12-√(12-√(12-・・・))))=3
…
√(n(n-1)+√(n(n-1)+√(n(n-1)+√(n(n-1+・・・))))=n
√(n(n-1)-√(n(n-1)-√(n(n-1)-√(n(n-1)-・・・))))=n-1
1+2/(1+2/(1+2/(1+...)))=2
-1+2/(-1+2/(-1+2/(-1+...)))=1
1+6/(1+6/(1+6/(1+...)))=3
-1+6/(-1+6/(-1+6/(-1+...)))=2
1+12/(1+12/(1+12/(1+...)))=4
-1+12/(-1+12/(-1+12/(-1+...)))=3
…
1+n(n+1)/(1+n(n+1)/(1+n(n+1)/(1+...)))=n+1
-1+n(n+1)/(-1+n(n+1)/(-1+n(n+1)/(1+...)))=n
23:１３２人目の素数さん
11/12/20 00:20:20.89
e^ix=cosx+isinxより
z=a+ibとすると、
log(a+ib)=log|z|+log(e^iθ)=log|z|+iθ
(ただしθはcosθ=a/|z|sinθ=b/|z|)
つまり複素数を定義域とする対数関数は
値がひとつに定まらない！
24:１３２人目の素数さん
11/12/20 00:23:09.70
a^ix=e^(ixloga)=(cosx+isinx)^loga
=cos(xloga)+ising(xloga)
25:１３２人目の素数さん
11/12/20 00:42:17.16
z=a+ib,z'=a'+ib'の偏角をθ、θ'とすると
log_z z'=logz'/logz=(log|z'|+iθ')/(log|z|+iθ)
=(log|z'|log|z|+θθ')/|logz|+i(θ'log|z|-θlog|z'|)/|logz|
26:１３２人目の素数さん
11/12/20 00:48:56.67
i^(1/n)はz^n=iなるz=a+bi
i^(m/n)=(i^(1/n))^m(n,m∈N)
i^r=lim(q→r)i^q(r∈R,q∈Q)
(ai)^b=(a^b)(i^b)
27:１３２人目の素数さん
11/12/20 00:57:29.04
(a+bi)^(1/n)はz^n=a+biなるz=a'+b'i
(a+bi)^(m/n)=((a+bi)^(1/n))^m
(a+bi)^r=lim(q→r,q∈Q)(a+bi)^q
ごめん寝る
28:１３２人目の素数さん
11/12/24 00:30:46.55
定理というのとは違うかもしれませんが最近不思議なことに気がついたんですよ
正方形を思い浮かべてください
１辺の長さが１ｃｍの正方形が目の前にあると思ってください
この正方形の面積は１ｃｍ２ですよね
ところが対角線の長さが求められないんですよ
対角線は確かに存在しています
ですからその長さもはっきり求めることができるはずなんです
いろいろ考えたのですが小数や分数で表すことができないんです
もちろん整数にならないのははっきりしています
ね、不思議でしょう
皆さんも考えてみてください
ひょっとするとすごいことになるかもしれませんよ
29:ハンムラビ昇天 ◆R/MlPTLub6
11/12/25 02:16:12.44
>>28
なにが言いたいんだお前
30:１３２人目の素数さん
11/12/25 14:47:24.57
>>28
それをルート２と定義したのがすうがくなんですけど
31:28
11/12/26 02:49:24.85
>>30
もう先に考えた人がいたのですか
残念です
でもそんなにガッカリしていないです
というのは今は直角三角形について研究しているのですが
どうやら３辺の長さには何か関係があるみたいです
もう少しハッキリすればここに書きますので期待して待っていてください
32:１３２人目の素数さん
11/12/26 14:13:43.10
つまらん
33:宇宙人
11/12/26 18:42:58.32
k=1～n とし、二項係数をＣ(n, r)とするとき、
∑k^3 = Ｃ(n+1, 4) + 4* Ｃ(n+2, 4) + Ｃ(n+3, 4)
∑k^4 = Ｃ(n+1, 5) + 11* Ｃ(n+2, 5) + 11* Ｃ(n+3, 5) + Ｃ(n+4, 5)
∑k^5 = Ｃ(n+1, 6) + 26* Ｃ(n+2, 6) + 66* Ｃ(n+3, 6) + 26* Ｃ(n+3, 6) + Ｃ(n+4, 6)
34:宇宙人
11/12/26 18:49:15.95
書きくさしで投稿してもうた。もう１回！
k=1～n とし、二項係数をＣ(n, r)とするとき、
∑k^3 = Ｃ(n+1, 4) + 4* Ｃ(n+2, 4) + Ｃ(n+3, 4)
∑k^4 = Ｃ(n+1, 5) + 11* Ｃ(n+2, 5) + 11* Ｃ(n+3, 5) + Ｃ(n+4, 5)
∑k^5 = Ｃ(n+1, 6) + 26* Ｃ(n+2, 6) + 66* Ｃ(n+3, 6) + 26* Ｃ(n+4, 6) + Ｃ(n+5, 6)
:
Ｃ(n, r)の前の係数はEurerian Numbers.
35:宇宙人
11/12/28 12:04:05.21
オイラリアン数の逐次計算法
１ １ 算 式
２，２
１ ４ １ ４＝１×２＋１×２
３，２ ２，３
１ １１ １１ １ １１＝１×３＋４×２
４，２ ３，３ ２，４
１ ２６ ６６ ２６ １ ２６＝１×４＋１１×２、 ６６＝１１×３＋１１×３
５，２ ４，３ ３，４ ２，５
１ ５７ ３０２ ３０２ ５７ １ ５７＝１×５＋２６×２、 ３０２＝２６×４＋６６×３
:
36:１３２人目の素数さん
12/01/13 00:05:04.73
a,b,cの長さの三辺を持つ三角形について。
aとbがなす角を二等分する線は辺cを ac/(a+b)とbc/(a+b)に分ける。
図で書いて強引に代数で解いた。
37:１３２人目の素数さん
12/01/13 00:13:04.38
v=初速度
t=時間
a=加速度
vt+(1/2)at^2 等加速度運動する物体の何秒後の進んだ距離を求める公式
秒毎に区切って相加平均を求めていくと
vt+ (0+a)/2 + (a+2a)/2 + (2a+3a)/2 + (3a+4a)/2・・・・(t-2+t-1)/2 + (t-1+t)/2
=vt+ a{1+1+2+2+3・・・t-1+t-1+t}/2=vt+at^2/2= vt + (1/2)at^2
この求め方を先生に見せたら感激された。うれしかった
38:１３２人目の素数さん
12/01/13 00:16:39.70
ちなみに三角形を３辺だけで面積を求める公式、
サインコサイン使わないでも代数だけで導ける。
39:１３２人目の素数さん
12/01/13 00:29:41.52
あ、今思ったらサインコサイン使うのも媒介変数の類だから代数の部類か。
40:１３２人目の素数さん
12/01/14 00:06:13.80
すでにあったらごめんけど、
円に内接する四角形の辺の長さをa,b,c,dとすると、
aとb、cとdの部分にわける対角線の長さxは
x＝√{(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)}
となる。
まぁ美しいと思っただけで使う機会は全くないけどな
41:１３２人目の素数さん
12/01/14 00:46:52.98
でも、そんな式を見るたびに、この世界はうまくできてるなーって関心するよね
42:１３２人目の素数さん
12/02/05 14:23:24.59
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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43:あんでぃはショートの小田和正 ◆AfX9iez2fA
12/02/05 14:40:36.87
あんでぃ
44:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
12/02/05 16:37:21.46
>>40
成程
併せて覚えたい公式
ヘロンの公式
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ブラーマグプタの公式
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ブレードシュナイダーの公式
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
双心四角形
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
45:KingMathematician ◆LoZDre77j4i1
12/02/05 17:23:47.48
nを1以上の自然数とする.
各文字が0または1で長さnの文字列で辞書式順序にすべてひとつずつ並べたときにm+1番目に来るものをb(m)とする.
文字列sが文字列tを含むとは,文字列sのある部分から初めて文字列tの文字数-1だけ文字列sの後続部に進みその行程にある文字列がtになることとする.
文字列sと文字列tのKM20120205合成とは,文字列sが文字列tを含むときは文字列sとし,
それ以外で文字列tの最初の何文字かが文字列sの最後の部分に等しいときは,その最長の一致部分を文字列tから除き残りを文字列sに追加したものとし,
それ以外のときは文字列sに文字列tを追加したものとする.
文字列sをはじめは空の文字列とし変数mをはじめは0とする.
文字列sとb(m)のKM20120205合成をしたものを新たに文字列sとし,mを1増やし,m<2^(n-1)ならばこの文の最初に戻りm=2^(n-1)ならば,文字列sの最後にb(2^(n-1))を追加したものを新たにsとする.
こうしてできた文字列sの長さは2^n+n-1で,0<=m<2^nのすべての自然数mに対してsはb(m)を含む.
またこのような性質を満たすもののなかで辞書式順序に並べたときsは最初に来る.
46:猫は唯のイケメン ◆MuKUnGPXAY
12/02/05 18:56:09.96
>>45
消滅するまで追い詰めるさかいナ。
猫
>45 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2012/02/05(日) 17:23:47.48
> nを1以上の自然数とする.
> 各文字が0または1で長さnの文字列で辞書式順序にすべてひとつずつ並べたときにm+1番目に来るものをb(m)とする.
> 文字列sが文字列tを含むとは,文字列sのある部分から初めて文字列tの文字数-1だけ文字列sの後続部に進みその行程にある文字列がtになることとする.
> 文字列sと文字列tのKM20120205合成とは,文字列sが文字列tを含むときは文字列sとし,
> それ以外で文字列tの最初の何文字かが文字列sの最後の部分に等しいときは,その最長の一致部分を文字列tから除き残りを文字列sに追加したものとし,
> それ以外のときは文字列sに文字列tを追加したものとする.
> 文字列sをはじめは空の文字列とし変数mをはじめは0とする.
> 文字列sとb(m)のKM20120205合成をしたものを新たに文字列sとし,mを1増やし,m<2^(n-1)ならばこの文の最初に戻りm=2^(n-1)ならば,文字列sの最後にb(2^(n-1))を追加したものを新たにsとする.
> こうしてできた文字列sの長さは2^n+n-1で,0<=m<2^nのすべての自然数mに対してsはb(m)を含む.
> またこのような性質を満たすもののなかで辞書式順序に並べたときsは最初に来る.
>
47:１３２人目の素数さん
12/02/11 19:37:11.27
x^2-(x^2-1)=x+(x-1)
48:１３２人目の素数さん
12/02/23 20:58:06.31
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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49:１３２人目の素数さん
12/03/03 22:40:46.07
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| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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50:１３２人目の素数さん
12/03/04 11:09:57.87
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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51:１３２人目の素数さん
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12/03/06 23:22:51.86
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12/03/07 21:20:44.40
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56:１３２人目の素数さん
12/03/10 21:22:32.31
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57:１３２人目の素数さん
12/03/10 23:44:11.55
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58:１３２人目の素数さん
12/03/25 23:33:38.84
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12/03/31 18:14:49.03
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62:１３２人目の素数さん
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| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
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67:１３２人目の素数さん
12/05/19 15:10:41.39
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
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