12/05/31 13:57:09.54
３×３の場合
（１）各辺のピースを中央のピースに合わせる 最悪で（３＋２＋１＋０）＝６回
（２）角のピースを合わせる 最悪で（３＋２＋１＋０）＝６回
よって６＋６＝１２回
４×４の場合
（１）各辺のピースに対して対応する中央のピースを見つける
最悪で（４×４－１）＋（４×３＋２×１－１）＋（４×２＋２×２－１）＋（４×１＋２×３－１）＋（２×４－１）＋（２×３－１）＋（２×２－１）＋（２×１－１）＝６４回
（２）角のピースを合わせる 最悪で（３＋２＋１＋０）＝６回
（３）２×２の場合に帰着 最悪で３回
よって６４＋６＋３＝７３回
これが最善手かどうかはわからんが
578:１３２人目の素数さん
12/05/31 18:52:19.13
実際に配置する話と情報を獲得する話がごっちゃに議論されるとわかりにくいので
「照合」とはあくまでも１つの辺と１つの辺がかみ合うかどうかをチェックする
作業を指すものだという設定にしたほうがよいかもしれない。
たとえば既に判明しているかみ合わせから部分的な配置が確定したところに存在する
１ピース分の穴に実際にピースを置いて確認する操作をすると、それは
同時に４組の辺と辺のかみ合わせをチェックしていることになるが、
上記考え方ではそのように実際に配置した所でチェックするのではなく
あくもでも個々の辺と辺のかみ合わせだけをチェックするのであって、
今回の例では、穴の周囲４辺のうちのどこかと別のピースのある辺がマッチした
時点で、他の３辺についてもマッチすることは推論による帰結として判明する
と考える。
579:１３２人目の素数さん
12/05/31 21:32:29.35
N×N の場合でも、次の方針でできるんじゃないの？
(1) 外枠を作る
(2) Pを残りのピースとする
(3) 以下の処理をして内側を埋める
for(c=2; c<N; c++){
＿for(r=2; r<N; r++){
＿＿r-1行c列目のピースとPのピースを照合し、
＿＿マッチしたピースpをPから取り出してr行c列目にはめる。
＿}
}
この場合の照合回数もすぐ出るでしょ。
580:１３２人目の素数さん
12/05/31 22:25:27.52
最善である証明どうやりゃいいんだか
581:１３２人目の素数さん
12/05/31 22:34:02.85
外枠を作るのに何回かかるか公式化できる？
ちなみに３×３だとある角のピースから時計回りにつなげると３＋２＋２＋１＋１回
それに中央のピースの回転を合わせるのに３回で計１２回、>>577と同じになる
>>577のやり方も一般化できるよ。しかも公式化できる。
n×n (n≧4)の場合、求める回数をP(n)とする
（１）各辺のピースに対して対応する中央のピースを見つける
最悪で(4*n-1)+(4*n-3)+...+3+1=4*n^2回
（２）角のピースを合わせる 最悪で3+2+1+0=6回
（３）(n-2)×(n-2)の場合に帰着 最悪でP(n-2)回
よってP(n)=4*n^2+6+P(n-2)
582:１３２人目の素数さん
12/05/31 22:38:34.16
>>581
ごめん、（１）の回数が間違ってるわ。スルーして
583:１３２人目の素数さん
12/05/31 22:48:30.55
>>581
n×n (n≧4)の場合
辺のピースの個数e:=4*(n-2)
中央のピースの個数c:=(n-2)*(n-2)
だから（１）の回数は
(4*c-1)+(4*c-3)+...+(4*c-2*(e-1)-1)回に訂正
これでいけるはず
584:１３２人目の素数さん
12/05/31 23:53:43.34
ある場所にピースが置けるかどうかは
隣のピースとの合致を総当りで見るしかない
順番に埋めていく限りはどの順番で当てはめても
1辺ずつの照合になるから最悪手はおよそ4*N!だろう
ちょっと問題を変えて、4つのピースを十字型に
並べてから真ん中に5つ目を当てはめると言う手順で
同時に4辺の合致判定をしたと認めるならば
4乗根くらい探索効率があがるはずだがどうかね
585:１３２人目の素数さん
12/06/01 07:48:15.88
>>584
自己レスだが計算が適当すぎた
586:569
12/06/03 19:32:14.86
意外に厳密なルール設定が必要だったな。
照合に関しては >>578 がいいかな。
安楽椅子探偵が別部屋のパズルを
「◯番のピースの{左, 右, 上, 下} 辺に△番のピースはマッチするか？」の形式の
質問に対する「Yes/No」だけで解いてるイメージで。
>>584 はピースの照合が目的なら４手。
SAT充足判定問題を反復深化させると解けるかな。
587:569
12/06/03 19:38:19.87
話がズレるが実際のジグソーパズルのユニークな切り口ってどうやって作ってるんだろうね。
多分凸の部分の大きさが線形に並んでるんだろう。
ってことはリアルジグソーも凸の大きさであらかじめソートしてやれば
二分探索が出来て早くなるのかもね
588:１３２人目の素数さん
12/06/03 19:40:20.12
Flashのジグソーパズルなら
ピースをほとんど重ねてしまって照合作業をCPUに任せるという
卑怯な手がある
589:１３２人目の素数さん
12/06/03 20:26:30.14
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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590:１３２人目の素数さん
12/06/03 21:50:23.58
「◯番のピースの{左, 右, 上, 下} 辺に△番のピースの{左, 右, 上, 下}はマッチするか？」
だった
591:１３２人目の素数さん
12/06/03 22:24:18.64
ジグソーパズルを NxM とすると、
4個のコーナーピースは (位置の組み合わせ)=4!=24通り、
2(N+M)-8個のエッジピースは (位置の組み合わせ)=(2(N+M)-8)! 通り、
(N-2)(M-2)個のセンターピースは (位置の組み合わせ)×(向きの組み合わせ)
=(((N-2)(M-2))!)(4^((N-2)(M-2))) 通りの組み合わせがある。
全体の正解の組み合わせは、
N≠Mのとき、これらの積の1/2（180度回転対称はどちらも正解なので）
N=Mのとき、これらの積の1/4（90度回転対称はどちらも正解なので）
となる。
2x2のとき、6 通り。
3x3のとき、576 通り。
4x4のとき、1486356480 通り。
4x5のとき、128421199872000 通り。
5x5のとき、273395378722701312000 通り。
592:１３２人目の素数さん
12/06/03 22:53:44.38
2x2 を minimax の全探索で行ってみよう。
ピースを a,b,c,d として a を左上に置く。
答えは abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb のどれかだ。
（左上、右上、右下、左下の順で表現した）
「a の右隣りは b か」を問うとする。
__ 答 YES → 候補 abcd, abdc より２手詰み。
__ 答 NO → 候補 acbd, acdb, adbc, adcb。
____「a の右隣りは c か」を問うとする
______ 答 YES → 候補 acbd, acdb より３手詰み。
______ 答 NO → 候補 adcb, adbc より３手詰み。
____「b の右隣りは a か」を問うとする
______ 答 YES → 候補 acdb, adcb より３手詰み。
______ 答 NO → 候補 acbd, adbc より３手詰み。
____「c の右隣りは a か」を問うとする
______ 答 YES → 候補 adbc より２手詰み。
______ 答 NO → 候補 acbd, acdb, adcb より３手以上必要。
____「c の右隣りは d か」を問うとする
______ 答 YES → 候補 acdb より２手詰み。
______ 答 NO → 候補 acbd, adbc, adcb より３手以上必要。
よって2x2に対する「最悪手を最小にする最善手」の
最悪手は３手。最良手は２手。確率平均的には、8/3=2.666手。
これ以上はちょっと計算機の力が必要か。
593:１３２人目の素数さん
12/06/04 07:03:47.87
01 02 04 07 11
03 05 08 12 16
06 09 13 17 20
10 14 18 21 23
15 19 22 24 25
の順番で照合するとする。
01を置いた後、残りの
2辺が直線のピースは3個
1辺が直線のピースは12個
0辺が直線のピースは9個
よって照合回数の最大数は
(2+1)+(11+10+...+2+1)+(8+7+...+2+1)=120回
各順番で高々残りピースの数-1と同じ回数だけ照合すればいいという訳だから、単純に足してみた
594:１３２人目の素数さん
12/06/04 07:22:09.78
同じ方法で
1*1は0回
2*2は1回
3*3は9回
4*4は36回
n*nは3+(4n-7)(4n-6)/2+((n-2)^2-1)((n-2)^2)/2
595:１３２人目の素数さん
12/06/04 07:24:29.01
n>1が抜けてた
596:１３２人目の素数さん
12/06/04 07:27:24.55
>>593
細かいが、各()の中で最後に1を足す必要は無いぞ
597:１３２人目の素数さん
12/06/04 07:30:01.53
すまんミスりまくりだ
同じ方法で
1*1は0回
2*2は3回
3*3は9回
4*4は37回
n*nは3+(4n-9)(4n-8)/2+((n-2)^2-1)((n-2)^2)/2回
598:１３２人目の素数さん
12/06/04 07:34:45.90
>>596
+1の項は残りピース2個の時だから要ると思う
わかりにくくてすまん
599:１３２人目の素数さん
12/06/04 07:38:05.32
>>587
普通のジグソーパズルなら凸の位置や形状、
辺の曲がり方なんかも変えてある
大きなパズルを解くときは事前にピースの色と
形状パラメータで分類してから始めるというのは
慣れてる人ならみんなやってると思う
600:１３２人目の素数さん
12/06/04 07:45:37.43
>>599で思い出したけど、普通のジグソーパズルなら
凸と凸のマッチングとか絶対見ないし、4辺凸型とか
周りの情報で探索を絞れる形もあるな
今の全探索型の解は実際の2倍くらいの見積もりか
601:１３２人目の素数さん
12/06/04 10:27:23.26
>>600
そっかじゃあ例えば左と上が凹、右と下が凸になってたら、上下がわかるのか
そうなると4つの角は自動的に決まるし、枠だってすぐ決まるな
と思って>>569見たら上下と左右が対称だった
602:１３２人目の素数さん
12/06/04 22:09:29.26
>>601
ばらけたピースの左端のやつは3辺が凸の形に見える
603:１３２人目の素数さん
12/06/05 13:34:44.79
>>593
中央のピースは回転も考慮に入れないといけないのでは？
今日東急ハンズで実物見てきたけど
・９×１１と１２×１７の２タイプ
・表裏の区別はおそらく可能
・中央のピースはすべて上下凸左右凹（上下凹左右凸）型
・辺のピースは上凸左右凹型か上凹左右凸型のどちらか
だった
604:１３２人目の素数さん
12/06/05 13:48:44.57
>>603
ちゃんと買ってこいよ、乞食が！
605:１３２人目の素数さん
12/06/05 14:55:42.97
>>603
確かにそうだ
ていうか>>569を改めて見る限り、目視も照合回数に含まれると考えていいんじゃね？
とすると中央ピースは×3して192回か？
606:１３２人目の素数さん
12/06/05 15:02:53.51
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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607:１３２人目の素数さん
12/06/05 20:39:57.38
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608:１３２人目の素数さん
12/06/06 00:04:40.42
>>605
中央ピースは{(4*9-1)+(4*8-1)+...+(4*2-1)+(4*1-1)}になるんじゃね？
609:１３２人目の素数さん
12/06/06 00:21:07.96
端から１個ずつやるのは損では？
残ってるピースがすべてバラバラの１個だと、
残ってるもの全部候補になっちゃうから全部試さないといけない。
あらかじめ２個以上のをくっつけてピースを大きくしとくと、
明らかにぶつかって試しても意味ないところがもっと枝刈りできる気がするが。
たとえば３ｘ２のすでにくっ付いたピースと２ｘ２の隙間があるとすると、
そのピースはその隙間には入らないことは照合しなくてもわかるわけで。
610:１３２人目の素数さん
12/06/06 00:21:27.57
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611:１３２人目の素数さん
12/06/08 10:15:14.01
>>609
求める手数はピースの照合の仕方によらない
612:１３２人目の素数さん
12/06/08 13:06:52.34
>>611
どうして？
613:１３２人目の素数さん
12/06/08 14:19:57.54
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614:１３２人目の素数さん
12/06/08 16:29:17.10
>>612
バラバラにやろうとすると4辺を調べなきゃいけないけど、端(角)からやると1回で済む
615:１３２人目の素数さん
12/06/08 18:15:26.13
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616:１３２人目の素数さん
12/06/08 23:11:32.07
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617:１３２人目の素数さん
12/06/12 02:44:09.94
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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618:１３２人目の素数さん
12/06/12 12:06:45.86
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619:１３２人目の素数さん
12/06/12 17:20:19.66
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620:１３２人目の素数さん
12/06/15 23:09:05.04
n人のＪＫを、3人以上のいくつかのグループに分けて、それぞれのグループで円順列をつくる場合の数は何通りか？
621:１３２人目の素数さん
12/06/15 23:11:47.64
>>620
すまん、数ヲタ的にはこうか？ 「n人のＪＫを」 → 「n人のょぅι゛ょを」
622:１３２人目の素数さん
12/06/15 23:18:22.93
n人のロリコンを、3人以上のいくつかのグループに分けて、それぞれのグループで円順列をつくる場合の数は何通りか？
だろ
623:１３２人目の素数さん
12/06/15 23:50:05.88
いやいや
n人のロリータを、3人以上のいくつかのグループに分けて、それぞれのグループで円順列をつくる場合の数は何通りか？
だろ
624:１３２人目の素数さん
12/06/16 00:19:02.72
じゃあ
n人のロリコンが、m人のJCを3人以上のいくつかのグループに分けて、それぞれのグループで円順列をつくる場合の数は何通りか？
か
625:１３２人目の素数さん
12/06/16 00:56:14.43
>>624
その n は、当社で働く上で何の役に立つのですか？
626:１３２人目の素数さん
12/06/16 01:01:00.57
>>620
> 数ヲタはロリコンなの？
> ロリコン達が、n人のＪCを、3人以上のいくつかのグループに分けて、
> それぞれのグループで円順列をつくる場合の数は何通りか？
答えは簡単な形にならなんだ
しかもGFを使って解いたし… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
627:１３２人目の素数さん
12/06/16 01:03:41.32
ＪＣって？
628:１３２人目の素数さん
12/06/16 01:05:50.78
ちょっとだけだぞ！
つ URLﾘﾝｸ(stat.ameba.jp)
629:１３２人目の素数さん
12/06/16 09:22:27.51
>>628
ＪＣキタ━━┌(_Д_┌ )┐━━！！
630:１３２人目の素数さん
12/06/16 13:21:20.19
>>627
常識的にカンガルー
URLﾘﾝｸ(dic.nicovideo.jp)
URLﾘﾝｸ(dic.nicovideo.jp)
631:１３２人目の素数さん
12/06/21 00:52:36.01
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632:１３２人目の素数さん
12/06/21 18:40:39.75
>>27
出題者がいるか謎だが解いてみた
答えは(315π-284√2)/140
どうだろう
633:あのこうちやんは始皇帝だった
12/06/21 19:35:38.57
テメ～ら、定職に就くのが先決だろがあああああ！！！！！！！！！！！！！
ニート・無職・無能の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああ！！！！！！！！！！！！
ブッ殺してやっから、覚悟しとけ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
634:１３２人目の素数さん
12/06/21 19:42:20.71
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635:１３２人目の素数さん
12/06/21 23:17:26.17
2^nを3で割ると2余ることを証明せよ。
ただし、nは自然数とする。
636:１３２人目の素数さん
12/06/21 23:23:45.61
>>635
4=2^2はそうなってないよ。
637:１３２人目の素数さん
12/06/21 23:24:35.60
>>635
2^n-2
=2(2^(n-1)-1)
=6(1+2+2^2+…+2^(n-2))
mod 3として
2^n-2≡0
∴2^n≡2
何が面白いのか分からん
638:１３２人目の素数さん
12/06/21 23:25:12.57
>>637補足
n-2>0
つまりn>2のとき
639:１３２人目の素数さん
12/06/21 23:34:27.79
16=2^4はそうなってないよ。
640:１３２人目の素数さん
12/06/21 23:59:31.27
意外と面白かったな
641:１３２人目の素数さん
12/06/22 00:19:24.66
滑稽で仕方ない
642:１３２人目の素数さん
12/06/22 00:35:53.02
マイナスとマイナスの積はプラスになることを式変形によって証明してつかあさい
643:１３２人目の素数さん
12/06/22 00:52:37.91
2^n = (3-1)^n ≡ (-1)^n (mod 3)
なので、nが偶数なら1余り、奇数なら2余る。
644:１３２人目の素数さん
12/06/22 00:53:23.18
>>637
> >>635
> 2^n-2
> =2(2^(n-1)-1)
> =6(1+2+2^2+…+2^(n-2))
何が凄いといって、ここほど凄いところはない。
> 何が面白いのか分からん
君が面白がられている。
645:１３２人目の素数さん
12/06/22 00:59:39.08
>>642
あってる？
(-1) * (-1) = 1 + (-1) + (-1) * (-1) = 1 + 1 * (-1) + (-1) * (-1) = 1 + (1 - 1) * (-1) = 1 + 0 * (-1) = 1
646:１３２人目の素数さん
12/06/22 01:01:47.67
x<0&y<0→xy=|x|e^πi|y|e^πi=|x||y|e^2πi=|x||y|>0
647:１３２人目の素数さん
12/06/22 01:04:23.33
>>645
マジレスするとそれは一例を示しただけのような。
648:１３２人目の素数さん
12/06/22 01:10:35.44
>>647
そだね。これでどうかな。
x, y > 0 のとき
(-x) * (-y) = x * 0 + (-x) * (-y) = x * (y - y) + (-x) * (-y) = x * y + x * (-y) + (-x) * (-y) = x * y + (x - x) * (-y) = x * y
649:１３２人目の素数さん
12/06/22 22:33:14.41
つきつめるとこうなるかな
(-x)(-y)=(0-x)(0-y)=00-0x-0y+xy=0-0-0+xy=xy
650:１３２人目の素数さん
12/06/22 23:18:32.83
>>649
> (-x)(-y)=(0-x)(0-y)=00-0x-0y+xy=0-0-0+xy=xy
.................................................................................↑
651:１３２人目の素数さん
12/06/22 23:21:15.22
>>649
ズレてしまった
> > (-x)(-y)=(0-x)(0-y)=00-0x-0y+xy=0-0-0+xy=xy
> .................................................................................↑
↑は +xyのところを指したつもり
652:１３２人目の素数さん
12/06/22 23:57:24.04
半径1の円周上(この円をC1)に異なる2点P,Qをとる。C1の中心をOとする。
また2点P,Qを直径とする円(この円をC2)をかく。
線分P,Qを1:2に外分する点をRとするとき、RからC1,C2に2本の接戦が引ける。
この接線のなす角をθとするとき、cosθの最大値を求めよ。
653:１３２人目の素数さん
12/06/23 00:27:38.53
>>651
xyの項で(-x)(-y)=xyつかってるじゃん
654:１３２人目の素数さん
12/06/23 00:28:33.20
7/9になった
655:651
12/06/23 01:04:50.18
>>653
>>649に言ってくれ
656:１３２人目の素数さん
12/06/23 01:21:12.09
>>649
君には、まず
-x=(-1)・x を証明することをお勧めする。
657:649
12/06/23 01:39:10.60
ちょっとまって。俺めっちゃ突っ込まれてる
658:１３２人目の素数さん
12/06/23 01:47:33.26
つきつめた責任は取ってもらう。
659:１３２人目の素数さん
12/06/23 02:34:11.13
1x1 の実数２次元平面上に
等間隔に５つ自分の石を並べると勝ちになる実数五目並べを考える。
石の大きさはゼロで、すでに置いてある点の上ぴったりに置くことはできない。
禁じ手はない。
先手必勝パターンはあるか？
660:１３２人目の素数さん
12/06/23 07:58:47.12
>>624
これの解き方は？
661:１３２人目の素数さん
12/06/23 08:45:05.54
>>659
等間隔なら間に相手の石があってもいいの？
662:１３２人目の素数さん
12/06/23 09:46:19.00
>>659
1.とりあえず2点を置く
21の2点を通る.直線と異なる点に点Bを置く
3.1と2で作った3角形の辺Bを伸ばして4点を等間隔に置く
4.辺Bの延長と異なる点に1点Cを置く
4.辺Bの延長上の4点と点Cとの中点に4点を置く
4の4点目をおいた時点で4点と3点の
等間隔の点列ができるから勝ちが確定する
途中で邪魔されなければ適当に勝てる
663:１３２人目の素数さん
12/06/23 22:59:18.01
これができなきゃ算数やり直し問題
円周が15cmの円柱があり、下の面の円を0とし、上の面の円を0`とする。
そして、0X//0`Yとなるような点Xを円0上に、点Yを円0`上にとる。
点Xから時計周りに点aが毎秒3cmで移動し、
点Yから反時計周りに点bが毎秒ncmで移動している
点bが点Yを出発してから3秒後に点aが点Xから出発をすると、
それから6秒後に三回目の0a//0bとなるときnの値を求めよ。
日本語はおかしいかもしれませんがご了承ください
664:１３２人目の素数さん
12/06/23 23:04:20.32
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665:１３２人目の素数さん
12/06/23 23:15:39.51
>>663
まんどくさい、ご了承くさい
666:１３２人目の素数さん
12/06/23 23:29:40.49
>>662
3のあたりが何を言ってるのかよくわからんが、
2で同一直線上以外に置いた時点で、
先手とは関係なく後手が黙々と等間隔に並べた方が先行してしまうだろうよ
667:１３２人目の素数さん
12/06/23 23:31:26.21
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668:１３２人目の素数さん
12/06/23 23:53:53.22
黒先手とする。
黒白の１手目はどこに置いても話は同じ。
黒の２手目はそこまでの２点と同一直線上に並ばないように置く。
以降黒は全て、黒の１手目と２手目を結ぶ直線上に置くようにすれば、
その直線上では常に白に対して数的優位を保てるので
まあよっぽどヘマをやらない限り勝てる。
場合分けがちょっと面倒くさいのでやらないけど
白側の手を、黒を阻止するために有効ないくつかの場所と「その他」で場合分けして
それぞれの場合の黒側の手を用意しておけば、さほど分岐も発散せずに
必勝法は構成できると予想。
669:１３２人目の素数さん
12/06/24 00:18:47.81
>>663
なんでOじゃなくて0を使うの
670:１３２人目の素数さん
12/06/24 00:22:55.05
>>620
誰も解いてくれないので、答えだけ置いておく
(2n-3)!!
671:１３２人目の素数さん
12/06/24 00:25:39.36
方程式2^x=x^2の異なる2つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
672:１３２人目の素数さん
12/06/24 00:33:48.63
>>670
すまん、間違い
673:１３２人目の素数さん
12/06/24 00:37:09.11
>>671の間違いを指摘せよ。
674:１３２人目の素数さん
12/06/24 00:37:36.98
>>671
グラフ書けば終わり
675:１３２人目の素数さん
12/06/24 00:38:50.59
>>673
実数解は３つある
676:１３２人目の素数さん
12/06/24 00:39:39.41
mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)の異なる2つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
677:１３２人目の素数さん
12/06/24 00:39:53.78
「よろしくお願いします」がない
678:１３２人目の素数さん
12/06/24 00:40:31.03
mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
679:１３２人目の素数さん
12/06/24 00:41:12.19
方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
おながいします
680:１３２人目の素数さん
12/06/24 07:30:02.23
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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681:１３２人目の素数さん
12/06/24 11:41:40.39
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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682:１３２人目の素数さん
12/06/24 11:53:53.01
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683:１３２人目の素数さん
12/06/24 12:58:06.84
方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
おながいします
684:１３２人目の素数さん
12/06/24 13:11:22.71
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685:１３２人目の素数さん
12/06/24 13:15:03.67
方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
おながいします
686:１３２人目の素数さん
12/06/24 13:16:37.04
方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)・・・①の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
①でm→∞のとき、α→-1を示せ。
687:１３２人目の素数さん
12/06/24 13:31:36.81
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688:１３２人目の素数さん
12/06/24 14:04:29.07
方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)・・・①の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
①でm→∞のとき、α→-1を示せ。
689:１３２人目の素数さん
12/06/24 14:22:30.58
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690:１３２人目の素数さん
12/06/24 16:47:27.11
0=1
691:１３２人目の素数さん
12/06/24 21:03:04.03
カップラーメンが食べ頃になるまでの時間(s)とお湯の温度(℃)の積は一定(=180*100[s*℃])であると仮定する。
1000℃のお湯を注いだとき、食べ頃になると同時にお湯の温度が100℃になった。
お湯は1秒あたり何℃冷めたか。またカップラーメンが食べ頃になるまでの時間は何秒であったか。
但し、お湯の冷め方は常に一定で、お湯を注いだ瞬間から冷め始める。お湯を注ぐのに要する時間は無視する。
692:１３２人目の素数さん
12/06/24 21:35:19.19
αβ=2,α+β=-8であるとする。
α^n+β^nをnを用いて表せ。
693:１３２人目の素数さん
12/06/24 22:23:07.90
>>692
どういう答を期待してるんだろうね。
694:１３２人目の素数さん
12/06/24 22:53:19.03
αとβは具体的に数値として書き表されるんだからそれを代入して終り。
695:１３２人目の素数さん
12/06/24 22:56:39.10
方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)・・・①の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
①でm→∞のとき、α→-1を示せ。
696:１３２人目の素数さん
12/06/24 23:01:24.85
基本対称式で表せってことだろ
アルファとベータ求めたほうが早そうだけど
697:１３２人目の素数さん
12/06/24 23:05:28.14
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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698:１３２人目の素数さん
12/06/24 23:11:15.64
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699:１３２人目の素数さん
12/06/24 23:27:24.05
a_0=2、a_1=-8、a_[n]=-8a_[n-1]-2a_[n-2]（n≧2）を満たす数列a_[n]をnで表せ。
の答えがα^n+β^n だな。
700:１３２人目の素数さん
12/06/25 00:05:42.21
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701:１３２人目の素数さん
12/06/25 01:20:45.92
>>694
α = -4 -√14 = -7.741657
β = -4 +√14 = 0.258343
|β|^n < 0.258343
α^n + β^n = [ α^n + 1/2 ]
で計算する方が速い？
702:１３２人目の素数さん
12/06/25 06:25:53.37
半径rの球面上に4点A,B,C,Dがある。
四面体ABCDの各辺の長さは、AB=√3,AB=AC=AD=BC=BD=CD=2を満たしている。
このとき、rの値を求めよ。
703:１３２人目の素数さん
12/06/25 06:42:41.27
xy平面の放物線y=x^2上の3点P,Q,Rが次の条件を満たしている。
三角形PQRは1辺の長さがaの正三角形であり、点P,Qを通る直線の傾きは√2である。
このとき、aの値を求めよ。
704:１３２人目の素数さん
12/06/25 07:06:44.78
T大の過去問か
705:１３２人目の素数さん
12/06/25 07:13:05.45
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706:１３２人目の素数さん
12/06/25 07:38:13.82
>>702
どっかで見たこある
それも非常に最近の高校生の問題
家庭教師先だったか…
707:１３２人目の素数さん
12/06/25 07:41:55.08
>>702
AB=√3=2?
708:１３２人目の素数さん
12/06/25 07:52:44.43
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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709:１３２人目の素数さん
12/06/25 11:45:02.30
>>703
AB=√3, AC=AD=BC=BD=CD=2 なら暗算で r=1 が出るから、これだな。
710:709
12/06/25 11:46:28.86
>>702 だった
711:１３２人目の素数さん
12/06/25 12:34:15.64
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| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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712:１３２人目の素数さん
12/06/25 15:28:58.40
半径1の球の中に長さ2の直線を入れて正三角形を作るのは無理くない？
713:１３２人目の素数さん
12/06/25 15:48:03.75
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714:709
12/06/25 16:10:35.03
>>712
そういやそうだ、どこで間違ったかな？
715:709
12/06/25 16:28:15.63
暗算あきらめて r=(√13)/3
まだ間違ってるんじゃないだろうな
716:709
12/06/25 16:55:08.05
CD の中点を H とすると ACD, BCD は正三角形だから AH＝BH＝√3
これで ABH も正三角形になり、対称性から球の中心 O は ABH 面内にあり、AB の中点を M とすると O は MH 上にある。
ACD は頂点が球面にある正三角形だから ACD の重心 G の垂線上に O がある。
G は AH＝√3 上にある重心だから GH＝(√3)/3, AG＝(2√3)/3
ABH は正三角形だから∠AHM＝∠GHO＝30°
GH と GO は垂直だから GO＝1/3
AG と GO は垂直だから r＝AO＝√( AG^2＋GO^2 )=(√13)/3
717:１３２人目の素数さん
12/06/25 17:09:34.21
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 単位m^2のことを平方メートルと呼ぶからおかしいんです。メートル平方と呼びたいものですね
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 単位km^2のことを平方キロメートルと呼ぶからおかしいんです。
| l＾,人| ` `-' ゝ | キロメートル平方と呼びたいものですね
| ` -'＼ ｰ' 人 しかし100m^2は100メートル平方になっちゃって混乱のもとですね
| /(l ＿＿／ ヽ、 100mX100mの土地を100メートル平方だっていいますからね
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 m^2は平方メートル。km^2は平方キロメートル
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ と呼ぶ姑息なやり方でなんとかしのいでるんですね
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718:１３２人目の素数さん
12/06/25 17:33:48.20
>>715-716
正解です。
問題文ミスすみません。
719:１３２人目の素数さん
12/06/26 01:17:08.56
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720:１３２人目の素数さん
12/06/26 05:36:02.49
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721:１３２人目の素数さん
12/06/26 05:50:42.68
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722:１３２人目の素数さん
12/07/05 00:10:05.16
立体Vの表面上の任意の点Pについて、
Pから一番遠い点までの距離が常にKとなる立体Vは
球以外にあるだろうか。
723:１３２人目の素数さん
12/07/05 00:22:58.71
ある。たとえば、マイスナーの四面体。
724:１３２人目の素数さん
12/07/05 06:01:47.80
(x+1)/y + (y+1)/x = 4 の整数解(x、y)をすべて求め、それ以外にないことを示せ
725:１３２人目の素数さん
12/07/07 19:17:43.99
>>724
(x, y) = (1, 1) は解である。
対称性から、x≧y としてもよい。
(x, y) が解ならば、(x, 4x-y-1) (4y-x-1, y) も解。
(x, y) = (a_(n-1), a_n) (a_n, a_(n-1)) を解とすると、
漸化式
a_(n+1) = 4a_n - a_(n-1) -1,
a_0 = 1
a_1 = 2
より
a_k = 1/2 + {(2+√3)^(n+0.5) + (2-√3)^(n+0.5)}/(2√6),
これ以外にもある鴨
726:１３２人目の素数さん
12/07/08 06:41:20.07
>>725
たぶん、そこからは(x,y)=(-5,-1)から派生する系列が出てこない。
厳密な議論をするには、
問題の条件を、x(x+1)+y(y+1)=4xy (x≠0，y≠0)
と読み替えた上で、a=x+yとおくと、
x,yがともに整数⇔a,xがともに整数 となり、
条件式を6x^2-6ax+a(a+1)=0と変形してxについて解くと
x=(3a±√(3a(a-2)))/6となることから
3a(a-2)が平方数 …というような議論をすることになりそう。
ちなみに、aが奇数となる場合に限ると、aとa-2が互いに素となることから，
(a,a-2)=(p^2,3q^2)or(3q^2,p^2)or(-p^2,-3q^2)or(-3q^2,-p^2) (ただし、p,qは奇数)
となり、p^2-3q^2=±2となるが、mod3における議論よりp^2-3q^2=-2
これは、２次体k(√3)における整数p+q√3のノルムが-2となることを意味するので、
k(√3)の単数が±(2+√3)^n (nは任意の整数) だけであることを利用すると
p+q√3=±(1+√3)(2+√3)^n，p-q√3=±(1-√3)(2-√3)^n（複号同順）となり、
ここからp,qの一般項 → aの一般項 → x,yの一般項が求まる。
aが偶数となる場合については、まだ解き切れていない。
727:１３２人目の素数さん
12/07/08 07:12:26.57
>>726 に自己レス訂正。
＞aが奇数となる場合に限ると、
とか
＞aが偶数となる場合については、まだ解き切れていない。
とか書いたが、よく考えてみるとaの偶奇で場合分けをしているのではない
ことに気付いた。
実際は、aとa-2が同じ奇素数を因数として持たないことから、
p,qを整数として、
(a,a-2) = (p^2,3q^2) or (3q^2,p^2) or (-p^2,-3q^2) or (-3q^2,-p^2)
or (2p^2,3q^2) or (3q^2,2p^2) or (-2p^2,-3q^2) or (-3q^2,-2p^2)
or (p^2,6q^2) or (6q^2,p^2) or (-p^2,-6q^2) or (-6q^2,-p^2)
or (2p^2,6q^2) or (6q^2,2p^2) or (-2p^2,-6q^2) or (-6q^2,-2p^2)
と考え、最初の４ケースだけをまず検討した所。
（その際の２次体での議論は問題ないはず）
728:１３２人目の素数さん
12/07/08 14:25:20.27
>>727 さらに訂正。寝ぼけてた。
＞(a,a-2) = (p^2,3q^2) or (3q^2,p^2) or (-p^2,-3q^2) or (-3q^2,-p^2)
＞ or (2p^2,3q^2) or (3q^2,2p^2) or (-2p^2,-3q^2) or (-3q^2,-2p^2)
＞ or (p^2,6q^2) or (6q^2,p^2) or (-p^2,-6q^2) or (-6q^2,-p^2)
＞ or (2p^2,6q^2) or (6q^2,2p^2) or (-2p^2,-6q^2) or (-6q^2,-2p^2)
これって、真ん中２行は間違いで、
(a,a-2) = (p^2,3q^2) or (3q^2,p^2) or (-p^2,-3q^2) or (-3q^2,-p^2)
or (2p^2,6q^2) or (6q^2,2p^2) or (-2p^2,-6q^2) or (-6q^2,-2p^2)
だけが正解でした。すんません。
さらに、mod 3で検討して
(a,a-2) = (3q^2,p^2) or (-p^2,-3q^2) or (2p^2,6q^2) or (-6q^2,-2p^2)
だけが残る。
729:１３２人目の素数さん
12/07/08 15:55:20.44
答えの流れを整理
a=x+yとおくと、x=(3a±√(3a(a-2)))/6が整数より
i) (a,a-2)=(3q^2,p^2)
ii) (a,a-2)=(-p^2,-3q^2)
iii) (a,a-2)=(2p^2,6q^2)
iv) (a,a-2)=(-6q^2,-2p^2)
のいずれかとなる（p,qは整数）
i),ii)のとき，p^2-3q^2=-2より、k(√3)におけるノルム-2の整数を考え
p+√3q=±(1+√3)(2+√3)^n，p-q√3=±(1-√3)(2-√3)^n（複号同順）
iii),iv)のとき，p^2-3q^2=1より、k(√3)における単数を考え
p+√3q=±(2+√3)^n，p-q√3=±(2-√3)^n（複号同順）
ここからp,q→a→x,yの順に計算した結果をまとめると
A(k)=((3-√3)(2+√3)^k+(3+√3)(2-√3)^k)/12 と置いて
i),iii)より
(x,y)=(1/2+A(n),1/2+A(n+1)),(1/2+A(n+1),1/2+A(n)) （nは任意の整数）
ii),iv)より
(x,y)=(1/2-A(n),1/2-A(n+1)),(1/2-A(n+1),1/2-A(n)) （nは整数、n≠-1,0,1）
となる。
（なお、最後でn≠-1,0,1としたのは、x,y≠0より）
730:１３２人目の素数さん
12/07/08 16:13:48.74
>>729 補足
A(1-k)=A(k)なので、重複を除外すると、結論部分は
(x,y)=(1/2+A(n),1/2+A(n+1)) （nは任意の整数） または
(x,y)=(1/2-A(n),1/2-A(n+1)) （nは整数、n≠-1,0,1）
だけ言えばよかった。
731:１３２人目の素数さん
12/07/09 23:05:20.55
>>725 の補足
与式は
(x - 1/2)^2 + (y - 1/2)^2 + 1/2 = 4(x - 1/2)(y - 1/2), （60ﾟ双曲線）
と表わせるから、
(x, y) が解ならば (1-x, 1-y) (1-y, 1-x) も解。
ここから、(-5, -1) の系列が出てくる。
732:１３２人目の素数さん
12/07/10 01:58:05.15
(1)
3辺の長さが全て整数で、周長が n であるような互いに合同でない三角形の個数を f(n) とおくとき、
数列 {f(n)} から生成される母関数 F(x) = Σ[n=0 to ∞] f(n) x^n を閉じた式で表せ！
(2)
S(x、y) = Σ[2m≧n≧0、2n≧m≧0] x^m y^n （|x|<1、|y|<1） の閉じた式を求めよ！
母関数たん (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
733:１３２人目の素数さん
12/07/10 20:51:50.83
(1)
f(n)は1≦a≦b≦c…(i)、a+b＞c…(ii)、a+b+c=nの整数解(a,b,c)の個数に等しい
(i),(ii)より、b≦c≦a+b-1]
Σ[k=0,∞]f(k)x^k
=Σ[1≦a≦b≦c , a+b＞c]x^(a+b+c)
=Σ[b≦c≦a+b-1 , 1≦a≦b]x^c*x^(a+b)
=Σ[1≦a≦b](x^(a+b)(Σ[c=b,a+b-1]x^c))
=Σ[1≦a≦b]x^(a+b)(1-x^a)x^b/(1-x)
=1/(1-x)Σ[1≦a≦b]x^(2b)(x^a-x^(2b))
=1/(1-x)Σ[1≦b](x^(2b)(Σ[a=1,b]x^a-x^(2a)))
=1/(1-x)Σ[1≦b]x^(2b)((1-x^b)x/(1-x)-(1-x^(2b)x^2/(1-x^2))
=x/((1-x)(1-x^2))Σ[1≦b](x^(2b)-x^(3b)-x^(3b+1)+x^(4b+1))
=…
=x^3/((1-x^2)(1-x^3)(1-x^4))
=x^3/((1-x)^3*(1+x)^2*(1+x^2)*(1+x+x^2))
(2)
0≦m≦2n , 0≦n≦2m
⇔m/2≦n≦2m , 0≦m
mが偶数のとき、m=2k(k≧0)とおけて、これを満たすnはk～4k
mが奇数のとき、m=2k+1(k≧0)とおけて、これを満たすnはk+1～4k+2
S(x,y)
=Σ[0≦m≦2n , 0≦n≦2m]x^m*y^n
=Σ[k=0,∞](x^(2k)Σ[n=k,4k]y^n)+Σ[k=0,∞](x^(2k+1)Σ[n=k+1,4k+2]y^n)
=…
=(x^2*y^2+xy+1)/((1-x^2*y)(1-x*y^2))
734:１３２人目の素数さん
12/07/11 00:20:59.86
>>733
正解です。神すぐる…。周長を2nに変えると…
(1)’
3辺の長さが全て整数で、周長が 2n であるような互いに合同でない三角形の個数を g(n) とおくとき、
数列 {g(n)} から生成される母関数 G(x) = Σ[n=0 to ∞] g(n) x^n を閉じた式で表せ！
735:１３２人目の素数さん
12/07/11 12:54:20.50
F(x)の式から{f(k)}が9階回帰数列であることや
f(k)が2p+3q+4r+3=kの非負整数解の個数であることが分かるな。
(∵(a,b,c)=(q+r+1,p+q+r+1,p+q+2r+1)とするとa,b,cは周長kの三角形の3辺になり,
逆に周長nの三角形の3辺a,b,cから(p,q,r)=(-a+b,a+b-c-1,-b+c)によって1組の解が定まる)
>>734
F(-x)=Σ[k=0,∞]f(k)(-x)^k より、
F(x)+F(-x)
=Σ[k=0,∞]f(k)(x^k+(-x)^k)
=Σ[k≧0,k:偶数]2f(k)x^k
=Σ[i=0,∞]2f(2i)x^(2i)
一方、
F(x)+F(-x)
=x^3/((1-x^2)(1-x^3)(1^x^4))+(-x^3/((1-x^2)(1+x^3)(1-x^4)))
=2x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))
以上より、
Σ[i=0,∞]f(2i)(x^2)^i = x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))
f(2i)=g(i)、更にx^2を改めてxと置き換えて
Σ[i=0,∞]g(i)x^i=x^3/((1-x)(1-x^2)(1-x^3))