12/03/12 23:00:13.00
>>254
問題ではf(x)はn次関数となっているが、ここでは仮にn次以下の整数次関数とし、
n次のf(x)をF(n,x)と書くものとする。
F(n,x)は、グラフがn+1個の固定点を通るようなn次以下の関数なので、
F(n,x)は一意に決まる。
F(1,1)=1、F(1,2)=0より、F(1,x)=-x+2であり、F(1,0)=2 …(1)
ここで、nを2以上の整数とし、g(x)=(F(n,x)-F(n,x+1)+1)/2とおくと、
g(x)はn-1次以下の関数であり、（参考： >>256 ）
1≦k≦nとなる整数kに対して
kが偶数ならばg(k)=0，kが奇数ならばg(k)=1が成立するので、
g(x)=F(n-1,x)である。
F(n-1,0)=g(0)=(F(n,0)-F(n,1)+1)/2=F(n,0)/2
∴ F(n,0)=2・F(n-1,0) …(2)
(1)(2)より、任意のnに対してF(n,0)=2^nが成立。
また、2以上の整数nに対し、F(n,0)≠F(n-1,0)なので、
関数F(n,x)はn-1次以下の関数ではありえないこととなり、
F(n,x)は必ずn次関数となるので、f(x)をn次関数とした元の問題においても
上記結果は成立する。