11/11/06 17:48:05.83
>>270 いや、高校数学で充分足りる
272:１３２人目の素数さん
11/11/06 18:02:19.72
ロジックって、一体何を目的にして何に向かって
研究してるの？
273:１３２人目の素数さん
11/11/06 18:20:57.12
証明論とかって計算機畑の方が主流？
ここ最近の研究事情がどうなってるのかわからん。
274:１３２人目の素数さん
11/11/06 18:23:49.45
>>269
＞数学の外で一国をつくればよい。
ずいぶん壮大なことをのたまっているようだが、今の体制で
本当にそのようなことを実現するなら、政治的な力が必要だな。
内部から変化することはありえないから。
こんなところで愚痴ってないで、お前が先頭に立って
排斥運動の1つでもやってみたらどうだねｗ
275:１３２人目の素数さん
11/11/06 18:28:10.07
ロジックというのは、ロジックに関係しているというだけの
雑学の総称？
276:１３２人目の素数さん
11/11/06 18:48:03.53
「AはAに関係してるものの総称」
277:１３２人目の素数さん
11/11/06 19:35:09.95
>>276
アニメやゲームはそういう感じで使われているね
278:１３２人目の素数さん
11/11/06 21:24:26.00
>>271
基礎的な定理には初等的な証明、理解の仕方があるのは、
代数だって変わらんでしょ。けどそれじゃ数学的構造理解しているとは言えない。
279:１３２人目の素数さん
11/11/06 21:38:02.64
>>243-244 >>247 >>249-252 >>260-261
あなたのスタイルがちょっと古かったりおおげさだったりするのが皆の癇にさわって
いるだけかも。既知かも知れんが、学生だとすればなかなか力ある。
しつこくがんばれば将来性あるよ。めげるな。
280:１３２人目の素数さん
11/11/06 22:05:42.78
基礎論による理論の構造分析を、通常数学の学習や理論の創造に役立てたい。
オススメの基礎論学習コースある？
学習者は代数専攻の数学修士として。
281:１３２人目の素数さん
11/11/07 05:44:38.12
>>279
人を駄目にする褒め方をしてはいけない
282:１３２人目の素数さん
11/11/07 05:50:42.76
むしろボロクソにけなしまくる方が駄目にするんじゃねえの？？
283:１３２人目の素数さん
11/11/07 07:16:52.39
>>279
全然見当違い。
そもそも論理式の値が真偽値でないとする発想が既知外。
てゆーか自画自賛だろ。トンデモがよくやる手だｗ
284:１３２人目の素数さん
11/11/07 07:52:43.55
ファジー論理
285:１３２人目の素数さん
11/11/07 08:00:25.69
過去にもいたよね、方程式の解が実数でないものを認めようとしたり
小さい数から大きな数を減じてみようとしたり。
286:１３２人目の素数さん
11/11/07 10:17:53.15
>>285
それを今やって大発見だと思う人がいたら可哀相な人だよね。
287:１３２人目の素数さん
11/11/07 10:28:23.70
>>272 とか、
>>280 とか、
真面目な質問に答える能力のある人はいないの？
288:１３２人目の素数さん
11/11/07 11:13:58.64
じゃあ俺が、
といっても俺も素人なんであんまり真に受けないでね。
さしあたり完全性定理とか不完全性定理を知りたいなら、
朝倉 現代基礎数学 15 数理論理学 鹿島亮著
を読んで、証明とか説明に不足を感じたら
J.R.Shoenfied著のMathematical Logic
を読めばいいと思う。
モデル理論の代数幾何への応用とかは知らないんで。
289:１３２人目の素数さん
11/11/07 11:50:14.30
完全性定理、不完全性定理は、エンダートンで
勉強しました。その次にくるのは何がよいでしょうか？
290:１３２人目の素数さん
11/11/07 17:31:06.56
>>289
エンダートンを読了したのならば数理論理学に関して一通りの基礎は身に付いたはずなので
次は自分が特に興味のあるテーマのモノグラフやサーベイに進むのが良いでしょう。
291:１３２人目の素数さん
11/11/07 18:52:20.60
代数方面の人なら幾何的モデル理論とかが良いんじゃないかな
別にモデル論の知識は無くても読めるように書いてあるよ
基礎論全般の勉強なら新井敏康の数学基礎論が良いよ
包括的な入門書の中では一番レベルが高いんじゃないかな
292:１３２人目の素数さん
11/11/07 20:37:37.55
Endertonたけぇｗ
仕方ないからこれにしよう・・・
Lectures in Logic and Set Theory: Volume 1, Mathematical Logic (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) [ペーパーバック]
George Tourlakis (著)
293:１３２人目の素数さん
11/11/07 20:49:01.48
>>291
へえ、モデル理論仕込まなくても読めるんですか。
アリ。
294:１３２人目の素数さん
11/11/07 21:15:27.88
モデル理論の代数幾何への応用なら
江田の数理論理学、これは絶対おススメ。
295:１３２人目の素数さん
11/11/07 22:10:14.58
証明論で良い本ある？
296:１３２人目の素数さん
11/11/07 22:48:43.42
Umm
APPLIED LOGIC SERIESとかCambridge University Pressのコンピュータサイエンスの
論理シリーズは良書が多いねぇ
297:１３２人目の素数さん
11/11/07 23:32:17.19
>>294
生協で見たことあるが、そんな特徴ある本なの？
読んでみないと分からんもんだね。
298:１３２人目の素数さん
11/11/08 17:18:48.13
ウィトゲンシュタインの論考ってどうなの？
基礎論的には。
299:１３２人目の素数さん
11/11/08 18:05:45.72
数学としての基礎論にとっては無価値だろ。
300:１３２人目の素数さん
11/11/08 18:10:42.83
数学として基礎論は無価値だろ。
301:１３２人目の素数さん
11/11/08 18:54:12.25
ウィトゲンシュタインの像とかいう概念を
直観主義で再現するみたいなパワポ見たことあるよ
302:１３２人目の素数さん
11/11/08 20:17:17.36
論理学なんかやって何の意味があるんだ？
303:１３２人目の素数さん
11/11/08 21:46:59.04
もちろん数学の基礎付けですよ！
304:１３２人目の素数さん
11/11/08 21:53:03.38
論理学は木の研究
目標は新たな計算機の創造
うひ
305:１３２人目の素数さん
11/11/08 22:39:11.92
論理学なんかで数学の基礎付けができるのか？
306:１３２人目の素数さん
11/11/08 22:49:07.15
量化の代入的解釈(substitutional quantification )って何ですか？ぐぐってもよくわからなかったのですが。。。
307:１３２人目の素数さん
11/11/08 23:36:34.25
例えば述語論理で言語の定数が0,1,2のとき、
「∀xP(x)が真」を、「P(0)が真＆P(1)が真＆P(2)が真」
と置き換えて解釈をする流儀。
モデルの側の領域と無関係と考えるような意味論。
ただ強完全性とコンパクト定理が成り立たない。
308:１３２人目の素数さん
11/11/09 00:09:01.98
>>307
なるほど。解説ありがとうございます。
>モデルの側の領域と無関係と考えるような意味論。
領域と無関係というのは、領域自体考えに入れないということですか？
たとえば、普通ならP(0)が真 iff V(0)∈V(P)と考えると思うのですが、上の意味論ではP(0)の真理値はどうやって決まるのでしょうか？
309:１３２人目の素数さん
11/11/09 08:14:34.34
例えば
P(x)のモデルMでの解釈が{2,3}で、
言語の定数記号がa,b、
そのMでの解釈がそれぞれ2と3だとする。
このとき代入したもの
P(a/x)とP(b/x)を解釈すると両方真。
つまり∀xP(x)が真。
ところがモデルMの領域全体がどうなっているかは不明！
310:１３２人目の素数さん
11/11/09 13:40:46.76
>>309
そういうことでしたか、よく分かりました。
311:１３２人目の素数さん
11/11/10 15:23:53.16
論理学なんかで数学の基礎付けができるのか？
312:１３２人目の素数さん
11/11/10 15:25:57.13
それは未来人に訊いてください
313:１３２人目の素数さん
11/11/10 16:50:53.13
ロジック抜きでどうやって数学を構築するのかと…
314:１３２人目の素数さん
11/11/10 18:28:52.13
トポスとか圏論とか
315:１３２人目の素数さん
11/11/10 18:47:35.69
>>314
そりゃ集合論抜きでロジック構築する方法だろ＾＾；
316:１３２人目の素数さん
11/11/10 19:42:13.85
数学の基礎付けがどうとかいうのは
今時（ロジックの中でも）時代遅れで、
研究者はほとんどそんなこと気にしちゃいない
317:１３２人目の素数さん
11/11/10 19:55:31.55
きさまら同じ話題を難解ループしてんだよｗ
318:１３２人目の素数さん
11/11/10 20:20:19.96
お前もいつまでこのスレ読んでるつもりだ？
319:１３２人目の素数さん
11/11/10 20:33:33.69
命ある限り読むつもりだよｗ
その5辺りから読んでるんだから
320:１３２人目の素数さん
11/11/10 20:34:33.65
その１からのログを保持してる俺はそろそろ飽きてきた
321:１３２人目の素数さん
11/11/10 20:39:10.71
なぜなにスレッドの
洗濯小売はどうなったのか？
322:１３２人目の素数さん
11/11/10 22:44:01.56
>>316 では、今のロジシャンは何をやりたいの？
323:１３２人目の素数さん
11/11/10 22:47:13.21
ただのパズラー？
324:１３２人目の素数さん
11/11/10 22:58:40.05
従来の論理学は
コンピュータサイエンスに移ったよ。
洋書のCSシリーズのが充実している。
325:１３２人目の素数さん
11/11/10 22:59:07.72
パズラーに失礼の無いように
326:１３２人目の素数さん
11/11/11 09:49:01.53
第二不完全性定理の証明がわかりません。具体的には、
PA|- Pr(【φ】)→Pr(Pr(【φ】))
をどうやって証明するのかがわかりません。
不完全性定理ってなかなか難しいですね。
327:１３２人目の素数さん
11/11/11 19:49:22.09
補題
Σ1文φについてPA|-φ→Pr(【φ】)
328:１３２人目の素数さん
11/11/11 21:57:15.05
>>327
定義に関する帰納法で証明すればいいんですかね？
φが原子論理式のとき
φが��Ψのとき
φが、、、、
んーいまいちまだ分からないんですが。
329:１３２人目の素数さん
11/11/11 22:14:05.71
たとえば
PA|- ∀x∀y(x=y→Pr(【x=y】))
はどうやって証明するんでしょうか？
330:１３２人目の素数さん
11/11/11 22:56:20.05
>>329
PAの定義や証明体系に依存する。
331:１３２人目の素数さん
11/11/12 01:49:07.93
>>330
たしかにそうですね、、、定義も書かずすみませんでした。
ところで、第二不完全性定理を証明する際に使われる導出性条件(derivability conditions)というのが３つありますよね。
D1 PA|- φ→Pr(【φ】)
D2 略
D3 PA|- Pr(【φ】)→ Pr(【 Pr(【φ】) 】)
このうちのD1とD3は何が異なるのでしょうか？ Pr(【ψ】)をD1のφとして考えれば、 D3はD1に含まれる気がするのですが。
332:１３２人目の素数さん
11/11/12 03:39:12.71
D1が間違っているように見えるが、君の参考にしている本には本当にそう書いてあるかい？
333:１３２人目の素数さん
11/11/12 06:54:09.56
>>331
D1はPA|-φならばPA|-Pr(【φ】) だと思いますよ。
334:１３２人目の素数さん
11/11/12 09:05:16.20
D1が間違っていました、失礼しました。
335:１３２人目の素数さん
11/11/12 09:38:08.20
次の論理法則を証明せよ：－
「前提が偽であることは帰結も偽であることを何ら保証するものではない。」
336:１３２人目の素数さん
11/11/12 12:01:57.63
やばい数学オリンピック辞典見てみたけどさっぱり内容がわからない・・
337:１３２人目の素数さん
11/11/12 12:37:56.98
１ |-A←→B
２ |-A ⇔ |-B
1と2って同値でしょうか？
338:１３２人目の素数さん
11/11/12 13:28:48.48
１から２を示す。
|-A←→B
|-A→B∧B→A
|-A→B------(1)
|-B→A------(2)
もし|-Aなら(1)とMPで|-B、|-A⇒|-B
もし|-Bなら(2)とMPで|-A、|-B⇒|-A
よって |-A ⇔ |-B。
逆に２から１は一般に出ない。
339:１３２人目の素数さん
11/11/12 16:46:34.16
>>338
助かりました、ありがとうございます。
340:１３２人目の素数さん
11/11/12 17:06:01.89
>>269
＞関数解析にとっても代数方程式は重要なの。
＞整数論と関数解析は分けることができないの。
この屁理屈だと、数学と物理学も分けることができない、となる。
物理学にとっても、数学は重要であるからだｗ
もちろん、他の学問でも同じことだが。
＞向かう方向はおなじだから。
具体的に、どこだいｗｗｗｗｗｗｗ
341:１３２人目の素数さん
11/11/12 21:19:30.75
>>340
どこが屁理屈なのかわからない
342:１３２人目の素数さん
11/11/12 21:22:49.41
>>341
つまり、数学と物理学は分けることができない、と
343:１３２人目の素数さん
11/11/12 22:55:45.50
猫は？
344:１３２人目の素数さん
11/11/12 22:58:56.97
なにかと忙しいらしい
54: 11/09(水)21:06 AAS
猫がカンボジア国籍取得。五輪に前進。
57: 11/12(土)09:51 AAS
猫 五輪確定？カンボジア3選手が選考レース辞退
来年のロンドン五輪男子マラソンを目指し、カンボジア国籍を取得した猫が出場する五輪選考レース「東南アジア競技大会」(16日、ｲﾝﾄﾞﾈｼｱ)を出走予定の同国代表3選手が辞退｡同レースに出走する同国選手は猫のみになった｡
345:１３２人目の素数さん
11/11/13 05:08:28.07
>>342
数理物理学抜きの数学は考えられないな
346:１３２人目の素数さん
11/11/13 10:25:14.55
>>345
数理論理学抜きの数学も考えられんよ
347:345
11/11/13 11:21:31.05
>>346
全く同意する。
数理論理学は数学の重要な分野だと思う。
348:１３２人目の素数さん
11/11/13 11:54:52.99
ベン図さえあれば論理学いらん
349:１３２人目の素数さん
11/11/13 12:00:45.38
全く同意する。
アダルトビデオは映像芸術の欠くべからざるジャンルだ。
350:１３２人目の素数さん
11/11/13 12:06:48.71
>>342 数学と物理の一部は分けられない。
でも、数学と論理学は分けられる。
数学と物理を僧侶と牧師に例えるなら
基礎論はただの禿げてる人。
見かけは僧侶に近いが考えていることは違う
僧侶と牧師は見かけは違うしスタイルも違うが
考えている方向性は同じ
351:官軍（一兵卒）(＾o＾)
11/11/13 12:42:52.49
(Ｐ⊃Ｑ)⊃(￢Ｑ⊃￢Ｐ) は tautology であり。
“(ＰならばＱである)ならば、(ＱでないならばＰではない)”が成立する。
しかし、[Ｐ⊃(ＱＶＲ)]⊃[(Ｐ⊃Ｑ)Ｖ(Ｐ⊃Ｒ)] は tautology であるのに
“ＰならばＱかＲであるならば、ＰならばＱかまたはＰならばＲである”は
成立しない。
352:１３２人目の素数さん
11/11/13 12:44:46.23
ことがら Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ が在り、これらについて次の２つの関係が成り立って
いるものとする。
(ｲ) Ａであれば、Ｂか又はＣである。
(ﾛ) Ｄであれば、ＢでもＣでもない。
このとき、以下の主張 (1) ～ (8) のうち正しいものを列挙せよ。尚、解法も述べよ。
(1) Ｄでなければ、Ａではない。
(2) Ｃであれば、Ｄではない。
(3) Ａでなければ、Ｄでないか又はＢではない。
(4) Ａでなければ、Ｄではない。
(5) Ｂでなければ、Ａでないか又はＤである。
(6) Ｂでなければ、Ａでないか又はＣである。
(7) Ｂであれば、Ｃではなく、Ｄでもない。
(8) ［Ｂでなければ、Ｄではない］か又は［Ｄでなければ、Ｂではない］
353:１３２人目の素数さん
11/11/13 14:58:00.91
結局、導出性条件(derivability conditions)の証明がわからず、第二不完全性定理もしっかり理解できなかった。
354:１３２人目の素数さん
11/11/13 15:32:57.93
>>350
＞数学と物理の一部は分けられない。
一部とは具体的に何を指すか？
もし「理論物理学」を指すならあなたが間違っている。
理論物理学は、物理であって数学ではない。
なぜなら理論物理学も物理現象を扱うからである。
理論物理学は数学のように証明によって
その真偽が決まるわけではない。
355:１３２人目の素数さん
11/11/13 15:37:15.51
>>350
＞でも、数学と論理学は分けられる。
物理において数学が使われているように
数学において論理が使われているだけだ
というのであれば、もちろん分けられる。
し・か・し、論理の数学的研究は、道具の使い方の研究ではない。
論理そのものの数学的構造を調べることにある。
したがって、数学の証明には全く役に立たないことは多々ある。
証明に役立たない論理の研究は無意味だというのは
物理に役立たない数学の研究は無意味だというのと
同程度に見識が狭い。
356:１３２人目の素数さん
11/11/13 15:43:41.36
>>350
>（数学と物理は）
>見かけは違うしスタイルも違うが
>考えている方向性は同じ
と思ってるなら数学も物理も分かってない。
数学では、ユークリッド幾何も非ユークリッド幾何も意味がある。
しかし物理学では、ニュートン力学と相対論の両方が意味がある、
ということはない。意味があるのは物理現象と整合する理論だけだ。
ちなみに、ニュートン力学の速度の合成はユークリッド的
相対論の速度の合成はクラインの円盤の変換として
実現できるので非ユークリッド的である。
357:１３２人目の素数さん
11/11/13 15:53:35.40
>>356
物理学でも、
ニュートン力学と相対論は、両方意味があるよ。
状況に応じて使い分けられている。
358:１３２人目の素数さん
11/11/13 15:56:21.05
>>350
>（基礎論は見かけは数学に近いが)考えていることは違う
まず基礎論という言葉は論理学を指すものではないから
論理学という意味で言っているのならば、明確に間違っている。
さて、>>356で、「物理的世界」のように
「数学的世界」があるわけではないことを
ユークリッド幾何と非ユークリッド幾何の
例で示した。
数理論理学の研究から、多種多様な数学の存在が示される。
もし、数学と物理は「唯一無二の世界」を探求する点で似ており、
論理学は「多種多様な可能世界」を想定する点で異なるというなら
その人は、数学を誤解している。数学は「多種多様」なのであって
数理論理学はその事実を示しているに過ぎない。
359:１３２人目の素数さん
11/11/13 15:58:14.42
>>357
ニュートン力学は単に「方便」として用いられているにすぎない。
非ユークリッド幾何もごく小さい箇所では、ユークリッド的であると
みなせるのと同様な意味で、だ。
しかし、そのことは、ニュートン力学が
物理的に「正しい」ことを意味しない。
360:１３２人目の素数さん
11/11/13 16:05:43.86
>>359
物理に正しいも間違いもないよ。
全てはモデルなんだから。
真実があるとしたら、それは神のみが知りうる。
それが物理学のとる立場だ。
大学生になったら、そういうことを意識してくださいね！
361:１３２人目の素数さん
11/11/13 16:35:17.23
>>359
ニュートン力学は、正しいよ。
通常の状態では、相対論と一致するとてもよい近似理論。
精度の高さと計算効率の良さから、今でも使われている。
というより、ほとんどニュートン力学だよ。
相対論が必要になるのは、かなり特殊な状況だ。
362:１３２人目の素数さん
11/11/13 16:52:36.52
>>361
GPSで使うぞい
363:猫 ◆MuKUnGPXAY
11/11/13 18:28:46.96
通常の場合、（どんな）物理理論にも適応限界が存在すると考えるのが
自然ですね。ソレは取りも直さず物理理論の正当性は（数学的な厳密性
ではなくて）実験結果との整合性に依って担保されるからであり、また
実験から得られる数値データには必ず誤差が含まれるという事実にも注
意が必要ですね。でも数学に於ける主張には如何なる適応限界も存在し
ません。ソレは『その命題が成立する条件が全て明確にされてる』から
ですね。
猫
364:１３２人目の素数さん
11/11/13 18:33:16.64
>>361
相対論は電磁気学の一部だろ。電磁気学は認めない立場とかそういう特殊な方？
365:１３２人目の素数さん
11/11/13 18:34:41.32
特殊相対性理論の方な
366:１３２人目の素数さん
11/11/13 18:36:26.66
>>353
まずはΣ1完全性定理を
ゲーデル数で算術化するところから考えよう。
367:１３２人目の素数さん
11/11/13 18:46:39.06
>>364
電磁気学は、相対論の前に出来ていると思いますよ？
相対論なしでも電磁気学はなりたつと思います。
もちろん相対論とも矛盾しないですが。
368:１３２人目の素数さん
11/11/13 19:11:30.37
数学わからない人は、マクスウェルの方程式と
特殊相対性理論の関係もわからないんですねえ。
369:１３２人目の素数さん
11/11/13 20:09:28.34
例えば磁場は相対論効果によるものだし、特殊相対論の原題は
「動いている物体の電気力学」で、電磁気学のうち取り扱いがいい加減だった
相対運動をする場合の理論なんだよ。
実は伸び縮みするとか結構どうでもいい話。
ウケがいいからクローズアップされるだけで。
370:１３２人目の素数さん
11/11/13 21:38:20.80
前の話を蒸し返すけど、物理なんかの測定から理論を抽出するところは逆数学じゃないの？
逆数学にそういった応用例とかないのかしらん？
371:１３２人目の素数さん
11/11/13 21:57:42.68
そもそも逆数学じゃないそれ。
そーゆーのは「抽象」っていう。
372:１３２人目の素数さん
11/11/13 22:01:47.42
ガウス？
373:１３２人目の素数さん
11/11/13 22:07:48.80
逆数学とやらは知らんが、そんなガチガチにやっても絶対流行らん。
374:１３２人目の素数さん
11/11/13 22:12:27.72
ここでまともに逆数学なんて語られていないから
参考にしないほうが良いよ。
375:１３２人目の素数さん
11/11/13 22:35:30.31
>>366
形式化されていない∑1完全性定理なら証明できました。が、形式化されたそれを証明する方法がよくわかりません。
ところで、私は前原先生の本をベースに勉強しています。
以下のページでは、前原先生の証明を土台にして第二不完全性定理を証明しているみたいなんですが、これって正しいですか？
URLﾘﾝｸ(miuse.mie-u.ac.jp)
376:１３２人目の素数さん
11/11/13 22:38:53.70
>>375の追記
とくに定理12以降の部分についてです。これなら私にも理解できそうなんですが、
他の文献と比べて記述があっさりしている気がして本当に正しいのか不安に思ってしまいました。
377:１３２人目の素数さん
11/11/14 00:39:36.38
第二不完全性条件に関して質問をしている者です。
自分なりに考えてみたのですが、以下の証明って正しいでしょうか。
表現定理より、再帰的述語ならばPAで数値別に表現可能である。
r is recursive ⇒ PA|-R
また、
PA|-R ⇒ PA|-Pr(【R】)
は証明できる。
したがって、
r is recursive ⇒ PA|-Pr(【R】)
また、証明できる論理式に対して仮定を増やしても、その論理式は証明できるので、
PA|-R→Pr(【R】)
は証明できる。
ゆえに、
r is recursive ⇒ PA|-R→Pr(【R】)
378:１３２人目の素数さん
11/11/14 01:18:05.53
>>377
間違えがある。
rが再帰的、つまり表現可能とは、
r⇒PA|-R
￢r⇒PA|-￢R
の2つが満たされること。
rが再帰的⇒PA|-Rにならない。
そしてそのPDFは証明の誤りや脱字や
定義の足らない部分が多数含まれている、
読まないほうが良い。
379:１３２人目の素数さん
11/11/14 05:08:59.80
ことがら Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ が在り、これらについて次の２つの関係が成り立って
いるものとする。
(ｲ) Ａであれば、Ｂか又はＣである。
(ﾛ) Ｄであれば、ＢでもＣでもない。
このとき、以下の主張 (1) ～ (8) のうち正しいものを列挙せよ。尚、解法も述べよ。
(1) Ｄでなければ、Ａではない。
(2) Ｃであれば、Ｄではない。
(3) Ａでなければ、Ｄでないか又はＢではない。
(4) Ａでなければ、Ｄではない。
(5) Ｂでなければ、Ａでないか又はＤである。
(6) Ｂでなければ、Ａでないか又はＣである。
(7) Ｂであれば、Ｃではなく、Ｄでもない。
(8) ［Ｂでなければ、Ｄではない］か又は［Ｄでなければ、Ｂではない］
380:１３２人目の素数さん
11/11/14 05:10:34.13
論理法則とはそも何ぞや？
381:１３２人目の素数さん
11/11/14 08:52:14.54
>>380
そういうのは数理論理学ではなくて論理学がやることだね
382:１３２人目の素数さん
11/11/14 09:15:32.61
>>384
数理論理学（＝記号論理学）と論理学とはどう違うのさ？ ヽ(^。^)ノ
383:１３２人目の素数さん
11/11/14 10:16:00.81
記号を使うかどうか
384:１３２人目の素数さん
11/11/14 10:21:26.09
「記号論理学」には「(アリストテレス流の)伝統的論理学」は含まれない。
385:１３２人目の素数さん
11/11/14 14:53:23.90
>>380 ：１３２人目の素数さん：2011/11/14(月) 05:10:34.13
＞
＞論理法則とはそも何ぞや？
論理法則＝トートロジー
386:１３２人目の素数さん
11/11/14 18:44:59.32
ゲーデルオリの証明で不完全性定理アプローチしとんか
モデル論使えば一発なんやけどな
387:１３２人目の素数さん
11/11/14 19:42:18.19
ゲー・デルオリって誰
388:１３２人目の素数さん
11/11/14 19:43:51.28
ゲロ出る俺
389:１３２人目の素数さん
11/11/14 20:28:44.06
ゲーデルオリジナルの略にきまっちょるがな
390:１３２人目の素数さん
11/11/14 21:55:34.44
超素人なんだけど、ゲーデルの不完全性定理と対角線論法の関係を教えてくれ
何と何が対応しているんだ？
対角線論法じたいは、数学ガールで分かった。しかし不完全性定理はあの本でもイミフだった。
391:１３２人目の素数さん
11/11/14 22:14:05.98
第1不完全性定理はPAの中の論理式で、
￢を付けても付けなくても証明不可能なものが存在すると主張する定理。
この論理式はゲーデル文と言われ、対角線論法はゲーデル文をつくる際に必要。
対角化定理(不動点定理)自体は数学のあらゆる場所に登場する。
チューリング機械の停止判定問題が否定的に解ける件などもこれが原因。
392:１３２人目の素数さん
11/11/14 23:01:20.98
>>389
ヴェルタース・オリジナルみたいなもん？
393:１３２人目の素数さん
11/11/15 00:22:52.63
>390
「不完全性定理と対角線論法の関係」という話だと、もうちょっと突っ込んだ考えが必要。
Webだとこれが良くまとまっていると思う。
(pdf)自己言及の論理と計算
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
394:１３２人目の素数さん
11/11/15 01:46:48.53
>>378
>間違えがある。
>rが再帰的、つまり表現可能とは、
>r⇒PA|-R
>￢r⇒PA|-￢R
>の2つが満たされること。
>rが再帰的⇒PA|-Rにならない。
仰る通りです。私が間違ってました。
>そしてそのPDFは証明の誤りや脱字や
>定義の足らない部分が多数含まれている、
>読まないほうが良い。
たしかに、題からしてすごい間違いを犯してますね。
ただ、私の気になる第二不完全性定理の箇所に関しては、私には誤りが見つかりませんでした。そして、非常に分かりやすい証明でした。
具体的にどこが誤っているか教えていただけませんか？
よろしくお願いします。
395:１３２人目の素数さん
11/11/15 07:24:03.09
>>392
知りません///
>>393
良くかけてるとおもう
>>394
誤りがあるか否かが問題ではない
誤りがると信じるか否かが問題である
396:１３２人目の素数さん
11/11/15 14:45:36.71
言及されてる論文も貼っとく。
URLﾘﾝｸ(www.springerlink.com)
397:１３２人目の素数さん
11/11/15 21:28:16.27
>>390
URLﾘﾝｸ(www.age.ne.jp)
398:１３２人目の素数さん
11/11/15 22:03:40.15
>>338
>逆に２から１は一般に出ない。
具体的な反例は？
399:394
11/11/15 22:57:44.24
>>395
そうですか、残念です。
もう少し考えてみます。
400:１３２人目の素数さん
11/11/15 22:58:52.36
演繹定理から逆も成り立つ＾＾；
401:１３２人目の素数さん
11/11/15 23:01:53.16
>>363
数学についてはもちろんおっしゃるとおりですが，物理理論にとって実験結果
との整合は実は単なる結果であって，その理論の単純さや美しさこそが正当性
の根拠なのではないでしょうか（たとえば特殊相対論）．
そろそろ２１世紀の科学哲学が必要なのでは？
402:１３２人目の素数さん
11/11/15 23:07:07.64
実験との整合性は物理理論の目的
特殊相対性理論では、マイケルソン・モーリーの実験の意味を考えるのが、
アインシュタインの研究の動機。
403:１３２人目の素数さん
11/11/15 23:17:36.97
>>402
知ってのとおり天動説だって観測との整合性はあった．
アインシュタインはマイケルソンモーリーの実験を知らなかったという
説もある（それは十分あり得ることだろう）．
このあたりはこの板のみなさんにはいうまでもないだろうが．
404:１３２人目の素数さん
11/11/15 23:21:18.86
俺が彼氏にフェラチオしてるときはもっと激しくジュパジュパ音を出してあげてるよ
405:１３２人目の素数さん
11/11/15 23:22:45.71
理論が美しい、とか誰が判定するんだ？
406:１３２人目の素数さん
11/11/15 23:27:08.83
>>405
単純さなら，相当程度客観的に評価できるんでないかい．
407:１３２人目の素数さん
11/11/15 23:37:59.91
>>399
本当に間違っているか不明。
余り信じないほうが良い。
ゲーデルの証明は複雑で、粗探しは大変そう。
そのPDF書いた人もself-containedじゃないと
ことわりを入れてるのでなおさら難しい...。
不完全性定理は有限の立場、つまり2項述語∊を使ってよいなら、
集合論を経由してかなりシンプルに証明できる。
408:１３２人目の素数さん
11/11/15 23:38:50.87
訂正：
不完全性定理は有限の立場、
↓
不完全性定理は有限の立場を出て、
409:１３２人目の素数さん
11/11/15 23:43:22.09
>>400
演繹定理って、
Γ,A|-B ⇒ Γ|-A→B
のことだよね？
Γ|-A ⇒ Γ|-B
とは、違うのでは？
410:１３２人目の素数さん
11/11/15 23:54:38.09
>>409
|-A⇔|-B を仮定。
|-A⇒|-B について考えると、
|-A より {B}|-A
演繹定理を使って
|-B→A-------(1)
逆に|-B⇒|-A について考えると、
|-A→B-------(2)
(1),(2)から |-A←→B □
411:１３２人目の素数さん
11/11/15 23:58:26.37
>>407
真摯なコメントありがとうございます。
>不完全性定理は有限の立場、つまり2項述語��を使ってよいなら、
>集合論を経由してかなりシンプルに証明できる。
様相論理を使う証明のことですか？
もう導出性条件の有限な証明を理解するのは諦めようかな、、、。
412:１３２人目の素数さん
11/11/16 00:06:41.74
>>410
まちがっとるやろ．
それは，|-Aかつ|-Bから|-A←→Bを出しとるんや．
413:１３２人目の素数さん
11/11/16 00:07:10.52
>>410
>|-A より {B}|-A
ここは、
|-A⇒|-B より、 {B}|-A⇒|-B
としか、言えないのでは？なので、以下も
>演繹定理を使って
>|-B→A-------(1)
|-B→A⇒|-B
としか言えないと思いますが。
414:410
11/11/16 07:10:46.56
>>412-413
完全に間違っていた
415:１３２人目の素数さん
11/11/16 07:50:18.61
>>411
公理的集合論を使った証明ですね。
補題：集合論は集合モデルの存在を証明できない、
を使ってPAの第2不完全性を証明。
第1はRE集合での証明がシンプルで見通しが良い。
詳細な論理式についての議論を省ける。
ただし集合が胡散臭いなら無理...。
416:１３２人目の素数さん
11/11/16 19:33:17.57
確かに今じゃ数理論理学は、哲学方面のほうが盛んだよな。
クリプキの定理とか数学史を塗り替えるものだし。
417:１３２人目の素数さん
11/11/16 20:22:30.89
394さんの質問にお答えします。
まず関係というからには「何に関する何項関係か」を明示する必要があります。
例：「nは素数である」は数nに関する１項関係である。n+3<m は数n,mに関する２項関係である。
そしてたとえば「数 n,m に関する２項関係が論理式Aによって表現される」という場合には、
A中に n,m に対応する自由変数記号 x,y があって、x,y に「数n,mを表す項」を代入した論理式のことを
論じる必要があります。
そこで件の悲惨なPDFですが、たとえば89ページの下から4～3行目の
定理11より、関係 Bew(「r」) は論理式 bew(『r』) によって表現される。
という部分に次の質問をすれば簡単に終わりかと思います。
関係 Bew(「r」) は何に関する何項関係ですか？
論理式 bew(『r』) 中の対応する自由変数記号はどれですか？
（注意：83～84ページにあるように『r』は定数を表す項であって自由変数記号を含みません）
418:１３２人目の素数さん
11/11/16 22:19:31.52
>>417
解説ありがとうございます。
納得しました。たしかに、皆様の仰る通り、このpdfは間違いがけっこうありました。たとえば、 他にも、pp91の(15.6)から(15.7)にかけての箇所も誤りですよね？
417さんのおかげで、より深い理解が得られました。ありがとうございます。
419:１３２人目の素数さん
11/11/16 22:31:12.25
>>417
追記
もし、第二不完全性定理の証明について解説しているネット上の資料をご存知でしたら、教えていただけませんか？
言語は英語でも構いません。それと、証明の方法は、様相論理等によるものではなく、第一不完全性定理の証明を形式化してする証明によるものでお願い致します。
、、、なんかものすごい厚かましいですね、すみません。
420:１３２人目の素数さん
11/11/17 00:13:52.72
URLﾘﾝｸ(www.scribd.com)
URLﾘﾝｸ(phil.gu.se)
余談だが可証性述語を様相演算子に置き換えることで、
第2不完全性定理は証明できない。
そもそもの3つの可導性条件を満たすことを示すのが
この証明の最大の難所なわけで、これは第1不完全性定理の
算術化を避けては通れない。
しかしこの算術化を厳密に行うテキストはほとんど皆無で、
大抵は3つの条件を事実として認めるか、アウトラインを述べるにとどまる。
かつてNatarajan Shankarは定理自動証明機械を用いて完全な証明を試みたが、
そのプログラム中にはエラーが発見された...。
またBoolosははじめから様相論理で算術を展開したが、
これは強い体系のため、第2不完全性定理よりも弱い定理になることが指摘されてしまう...。
421:１３２人目の素数さん
11/11/17 04:41:25.90
次の問題にこたえよ。 解答のみならず、解法も記せ。
【問題】ことがら Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ があり、これらについて 次の２つの
関係が成り立っているものとする。
（ｲi Ａであれば、Ｂか又はＣである
（ﾛ）Ｄであれば、ＢでもＣでもない
このとき、以下の主張（１）～（７）のうち正しいものを列挙せよ。
（１）Ｄでなければ、Ａではない
（２）Ｃでなければ、Ｄではない
（３）Ａでなければ、Ｄでないか又はＢではない
（４）Ａでなければ、Ｄではない
（５）Ｂでなければ、Ａでないか又はＤである
（６）Ｂでなければ、Ａでないか又はＣである
（７）Ｂであれば、Ｃではなく、Ｄでもない
、
422:１３２人目の素数さん
11/11/17 11:19:21.45
スレチ
論理学スレか質問スレでやれ
423:１３２人目の素数さん
11/11/17 15:35:49.54
いちいちコピペに反応するな
424:１３２人目の素数さん
11/11/17 16:31:46.49
>>420
参考資料と解説ありがとうございます。資料は後ほどじっくり読んでみたいと思います。
やはりderivability conditions の証明は相当に難しいのですね。
すみません、まだ疑問があります。以下の推論はどこがおかしいでしょうか。以下を認めるとD1からD3がでてきてしまうのですが。
D1より
PA|- A ならば PA|-Pr(【A】)
また、
PA,A|- A
ゆえに、
PA,A|- Pr(【A】)
演繹定理より、
PA|- A→ Pr(【A】)
425:１３２人目の素数さん
11/11/17 18:39:44.83
>>424
＞PA|- A ならば PA|-Pr(【A】)
＞また、
＞PA,A|- A
＞ゆえに、
＞PA,A|- Pr(【A】)
ここがおかしい。
PA,A|-A のとき、
A|-A かつ PA|-/-A があり得る。
426:１３２人目の素数さん
11/11/17 19:38:25.07
>>425
>PA,A|-A のとき、
>A|-A かつ PA|-/-A があり得る。
すみません、、まだよく分からないのですが、
PA|-/-Aのときは、Prの定義より、PA,Aから Pr(【A】)は証明できないということでしょうか。
427:１３２人目の素数さん
11/11/17 19:58:19.69
>>426
証明の前にわかっていること。
PA|-A が成り立つとき、PA|-Pr(【A】) を結論してよい。
証明の仮定。
PA,A|-A
例えばAがPAから独立とする。
するとPA|-/-A。
このとき、PA|-Pr(【A】)もしくはPA|-/-Pr(【A】)。
ここで、PA|-/-Pr(【A】)の場合を考える。
すると、A|-Pr(【A】)もしくはA|-/-Pr(【A】)。
さらに、A|-/-Pr(【A】)の場合を考えると、
PA,A|-/-Pr(【A】)
428:１３２人目の素数さん
11/11/17 21:36:37.32
>>427
よくわかりました。丁寧な解説ありがとうございます。
429:１３２人目の素数さん
11/11/17 23:01:37.14
>>428
ほんとにわかった？
Pr述語が途中ですり替わっているだけでしょ？
424はきちんと書けば、つぎのようになるでしょ。
D1より
PA|- A ならば PA|-Pr( PA,【A】)
また、
PA,A|- A
ゆえに、
PA,A|- Pr( PA+A,【A】)
演繹定理より、
PA|- A→ Pr( PA+A,【A】)
つまり、この最後が Pr( PA,【A】) でなければD3は出てこないでしょ？
Pr( PA+A,【A】) はまあ自明だよね。
430:官軍（一兵卒）(＾o＾)
11/11/18 02:03:43.06
>>424
＞演繹定理より
ﾜﾛﾀYO
431:１３２人目の素数さん
11/11/18 14:31:35.38
電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索
432:１３２人目の素数さん
11/11/18 16:17:35.18
魂は幾何学
誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
テロ装置の再読願います
433:１３２人目の素数さん
11/11/18 22:31:02.80
数学、特にその中核となる数論は、
古代の人、未来の人、遠い外国の人、もしかしたら
宇宙人とさえも交信可能な、コミュニケーション素材。
でも基礎論は今の限定された人々のあいだだけだな。
434:１３２人目の素数さん
11/11/18 22:33:47.42
虎の威を借る狐
って言葉知ってるか？ｗ
435:１３２人目の素数さん
11/11/22 02:57:04.13
通常の整数ではなく、代数的整数でも宇宙人と交信可能だというわけか。
代数的整数の定義は、必然的に選ばれたものだとでも？
436:１３２人目の素数さん
11/11/22 19:12:38.48
RのQ-線形空間としての基底は存在するが、それを「具体的に構成して見ることは出来無い。」を証明するにはどんな枠組、手法が要るの？
437:１３２人目の素数さん
11/11/22 20:30:32.85
選択公理とパラレルになってる
438:１３２人目の素数さん
11/11/23 02:47:31.19
選択公理の成り立たないモデルを作る必要がある罠
439:１３２人目の素数さん
11/11/23 09:46:17.55
>>433
自然数も実数と同様に人の作ったウソである
440:１３２人目の素数さん
11/11/23 10:13:50.48
>>439
ウソという言葉に否定的なニュアンスを勝手に感じてはならないわけですね。
441:１３２人目の素数さん
11/11/23 11:09:09.69
イヌやサルにとって自然数も実数もまったく必要がないものである．
442:１３２人目の素数さん
11/11/23 12:34:43.78
イヌヤサルは物を数えるのに自然数は用いていないちう主張？
443:１３２人目の素数さん
11/11/23 12:44:02.85
1,2,3,∞
444:１３２人目の素数さん
11/11/23 13:35:33.45
数学はつまるところ数量の科学でしょ？といったら笑われたｗ
構造・作用・空間の科学だと。
でもそういう概念も数量記号化不可能なものなら数学ではないんじゃ・・・
445:１３２人目の素数さん
11/11/23 13:37:34.74
数量的概念のはいらない数学なんてありうるのでしょうか？
あったとしてもそれはある公理系をもった記号論理学にすぎなくなるのでは。
446:１３２人目の素数さん
11/11/23 14:18:31.81
>439
そうすると類別も対応も嘘になるから何にもできなくなると思う。
447:１３２人目の素数さん
11/11/23 14:55:53.34
嘘、というか、都合のよいフィクション
448:１３２人目の素数さん
11/11/23 15:12:46.43
自然数全体の集合というのは、便宜的なものにすぎないが、
自然数に対する興味は知性的な頭脳集団の存続する限り
残るだろう。
素数はどれくらいあるか？(リーマン予想)
不定方程式に整数解はあるか？(フェルマー予想)
そして素晴らしいことには、この二つの問いには
19世紀以来、継続的に散発的でない進展があるということ。
449:１３２人目の素数さん
11/11/23 15:17:52.53
ただし、数論と比較して、幾何学は、
もともとの意味の幾何学(クライン以前)は、継続的な進展は途絶え、
数学としての深みのある問題はなくなってしまったので、
数論の進展も永久に残るかどうかは分からない。しかし、
それは数学ないし知性自体の死を意味するかもしれない。
450:１３２人目の素数さん
11/11/23 15:49:07.89
最近集合論を勉強しているけど
座標を前にしてRの直積、写像、ベキ乗について考えてるとなんだか
わけがわからなくなってくる。それぞれが原子、運動、空間の範囲
みたいに見えてくる。しかしそうするとそもそも集合って何って思え
てきて頭が死ぬ！
451:１３２人目の素数さん
11/11/23 16:13:15.63
その程度で死ぬ頭ならそのまま死んだ方がいい
452:１３２人目の素数さん
11/11/23 17:29:15.38
>>449
「クライン以前の幾何学」（初等幾何）というのは
「ガロア以前の代数学」（初等代数）というのと
同程度の意味しかない。
クライン以降、幾何学はリー群論に進化してしまった。
453:１３２人目の素数さん
11/11/23 17:34:03.03
>>450
ある人に、集合とは何か？と聞かれたので、
「｛｝と，だけで表わせるもの」
と答えてやった。
{},{{}},{{},{{}}},･･･
上記の最初の３つの集合は、それぞれ
自然数の０，１，２に対応する。
454:１３２人目の素数さん
11/11/23 17:37:59.01
>>446
＞そうすると類別も対応も嘘になるから
どうも私の発言を誤解しているようだが、
私は０とか１とか２とかいう数がウソ（つまりフィクション）
だといったのではない。
それらをひっくるめた概念としての自然数というものが
ウソ（つまりフィクション）だといったのである。
例えば数学的帰納法というのは、あくまで願望にすぎない。
455:１３２人目の素数さん
11/11/23 17:39:28.89
数学は小説と同じ
人間の思考パターンの表現
数学が研究しているのは、脳という神経組織の振る舞い。
456:１３２人目の素数さん
11/11/23 18:03:22.65
>>453
可視化へ進みすぎじゃあないか
前に少しグラフを習ったので、それだと考えると「見える」んだけどなあと思った。
つまり座標成分を点、写像は線と考えればいい。（完全）二部グラフならそれぞれの数が
そのまま一致する。特に意味が無いけど、、
457:１３２人目の素数さん
11/11/23 18:08:30.09
>>453
それは余り説明になっていない。
それにその書き方は一部の集合論の流儀にすぎない。
458:１３２人目の素数さん
11/11/23 18:38:53.26
>>456
点と線で視覚化できる集合写像はごく一部にすぎないけど。
459:１３２人目の素数さん
11/11/23 18:59:57.61
>>457
まあいいじゃん、聞いてきた相手もちゃんとした説明が欲しいんじゃないだろうし。
460:１３２人目の素数さん
11/11/23 20:44:22.77
>>452 まぁ、ある意味そう言うこと。
しかし数論の場合は、ガロア以前の問題を
ガロア以後の研究が解決し続けているのに対し、
幾何学は、問題自体を捨て去った。
捨てずに追いかけ続けたのが、和算。
日本人の性質を表しているようだ。
因みに幾何学という語が日本で使われ出したのは
明治以降。
461:１３２人目の素数さん
11/11/23 21:05:08.00
初等幾何学が研究されなくなったのは、
難しい問題がなくなったからではない。
難しい問題の全てが解決されないか、
解決されても散発的な解法しか発見されなくなったから。
462:１３２人目の素数さん
11/11/23 21:07:40.13
最近解かれたケプラー予想は初等幾何の問題。
そういう意味では進展は無いわけではないし
研究も全くなくなったわけではない。
しかし、発見された解法はどれも美しくない。
463:１３２人目の素数さん
11/11/23 23:27:01.85
現実と虚構をわざと混同させる意図のもと構成されたフィクション。
464:１３２人目の素数さん
11/11/24 06:33:55.54
>>460
＞幾何学は、問題自体を捨て去った。
とは思わんね。幾何学を合同変換群における不変式論と
定義しなおしてしまった時点で、不変式かどうか判定
すればすむ問題は、もはや問題ではない。
465:１３２人目の素数さん
11/11/24 06:39:59.15
>>457
残念だが、ZFCでは集合論に集合以外のものは出てこない。
つまり{}と,以外で書き表さねばならないようなものは出てこない。
もちろん、内包的な定義は存在する。
しかし、これを外延的に表わせたとするなら
やはり{}と,しか出てこない。
自然数であれ実数であれ複素数であれ、集合である。
すべて{}と,で表わせる。面倒だから省略記法で誤魔化してるだけだ。
466:１３２人目の素数さん
11/11/24 07:01:01.81
>>465
一部の集合論がZFCだって言ってるんだけど。
467:１３２人目の素数さん
11/11/24 07:07:32.62
>>466
一部というには、大きすぎるような。Axiom of Foundation が特殊
といいたいということでも、ちょっとなぁ。
468:１３２人目の素数さん
11/11/24 07:43:18.26
内包公理さえうまく定義すれば集合なんてブラックボックスでも形式化できる。
しかし{}と,だけで書けるってのおかしい。
非可算無限個の集合を紙の上にかけるなら元々ZFCなんていらないし。
469:１３２人目の素数さん
11/11/24 10:43:13.01
>>464
初等幾何の全ての問題が捨て去られたわけではないね。
ケプラー予想などを除く最も主要だった問題群は、
今や代数幾何学という分野名で数論と密接に関連して
研究され続けていると。
470:１３２人目の素数さん
11/11/24 11:00:32.48
しかし数論の問題と違って、幾何学は、
問題を昇華する過程で、結局古典的問題は
原型をとどめたままでも面白いものは無くなり、
結局捨て去られてしまったのだと思う。
円を有限分割して同体積の正方形に
できないことは、まだ証明されてから
一世期たっていないはずだが、
ケプラー予想ほどではないけど、あまり評価されてないと思う。
471:１３２人目の素数さん
11/11/24 11:34:46.08
19世紀クラインは、幾何学の問題を不変式論に
還元したというより、群や不変式という
代数学の言葉を使って、幾何学の意味の
拡大を行ったというほうが正しいだろう。
それまで幾何学と思われなかったことまで
幾何学という言葉で綺麗にくくれると。
16世紀にデカルトがすでにユークリッド幾何学を
方程式論に還元できることは言っていた。
しかし、それでも和算家は、
幾何は幾何として研究していたわけで。
472:１３２人目の素数さん
11/11/24 13:37:31.72
つまんねぇの。
473:１３２人目の素数さん
11/11/24 18:26:00.68
第一不完全性定理の仮定はω無矛盾でなく無矛盾でよいと聞きますが、
その場合は証明の定義を変更する必要があると
474:１３２人目の素数さん
11/11/24 18:27:11.10
>>473
ミスしました。
第一不完全性定理の仮定はω無矛盾でなく無矛盾でよいと聞きますが、
その場合は証明の定義を変更する必要があるとwikipediaにはあります。
しかしそれでは定理の一般化とは言えないのではないでしょうか？
475:１３２人目の素数さん
11/11/24 18:35:59.28
wikipediaじゃ数学の勉強にはならん。
証明読め。
476:１３２人目の素数さん
11/11/24 18:38:22.54
>>475
新井敏康の本では証明の定義を変えているという訳ではないようです。
wikipediaの記述が間違いなのでしょうか？
477:１３２人目の素数さん
11/11/24 18:50:53.34
なぜわざわざω無矛盾にしたのだろうかという考察が岩波文庫の不完全性定理本にある。
478:１３２人目の素数さん
11/11/24 20:26:01.91
>>474
証明の定義というより可証性述語の定義。
今新井の本をちらっと見たけど
第一不完全性定理の証明の前に
算術化を行ってProv(a,b)を定義していて、
第一不完全性定理でロッサー述語を一気に導入して証明してた。
ロッサー述語は定理の条件のω無矛盾が無矛盾に広げられる。
ゲーデルも論文出したときは無矛盾にしたかったらしいよ。
479:１３２人目の素数さん
11/11/24 20:30:45.57
>>478
ということは、純粋な一般化ということでいいのでしょうか？
証明の中でPrの定義を変更していますが、証明する事柄にPrは現れないので。
480:１３２人目の素数さん
11/11/24 21:13:54.22
ゲーデルとロッサーの原論文を読めばすぐに済むことをわざわざ質問する意図がわからない。
481:１３２人目の素数さん
11/11/24 21:15:53.77
ゆとり世代なめるなよ
482:１３２人目の素数さん
11/11/24 21:37:03.43
>>479
純粋な一般化とは何だろうか？
483:１３２人目の素数さん
11/11/24 21:41:54.66
>>482
「ω無矛盾な公理系には証明も反証も不可能な論理式が存在する」という定理を
「無矛盾な公理系には証明も反証も不可能な論理式が存在する」という形に一般化されますが、
この時の「証明」の定義は前者と後者で別物なのでしょうか？
新井敏康「数学基礎論」を読む限りでは両者における「証明」の定義は同じ物のようですが、
484:１３２人目の素数さん
11/11/24 21:43:16.48
というかそういう疑問を抱く時点で両者の証明を理解してない。
485:１３２人目の素数さん
11/11/24 21:51:41.38
対角線論法と不完全性定理は何と何が対応しているんだ？
486:１３２人目の素数さん
11/11/24 21:56:15.96
ゲーデルの完全性定理、不完全性定理の証明は面倒ではあるけど難解ではないからちゃんと読めよ。
それが解れば周辺論文もそんなに難しくないことがわかる。
広中やワイルズやペレルマンの論文よりずっと読みやすいぞ、内容も平易だし。
487:１３２人目の素数さん
11/11/24 21:57:58.47
>>485
証明を読めば解る
488:１３２人目の素数さん
11/11/24 22:06:24.94
>>483
同じ。
>>485
対角定理で証明も反証もできない論理式をつくる。
489:483
11/11/24 22:08:54.76
>>488
ありがとうございます!
490:483
11/11/24 22:18:31.37
何度も申し訳ありません。
もうひとつわからない部分があります。
新井敏康「数学基礎論」においてderivability conditionsのうちの
(D2)Pr(【A→B】)∧Pr(【A】)→Pr(【B】)
を証明してありますがよく分かりません。
考えている公理系をPAというものとして、PAの標準モデルが存在することを用いて
原始再帰的関数の問題に帰着させて証明するのではいけないのでしょうか？
491:483
11/11/24 22:25:25.50
>>490
(D2)PA|-Pr(【A→B】)∧Pr(【A】)→Pr(【B】)です。すみませんでした。
492:１３２人目の素数さん
11/11/24 22:31:42.84
ここまでくると何で理解できないのかが理解できない
教科書を燃やして数学を勉強するのを諦めた方がいい
493:１３２人目の素数さん
11/11/24 22:41:44.91
>>490
よく言っていることが理解できないけど
それで証明できるなら別に良いと思う。
494:１３２人目の素数さん
11/11/24 22:44:30.60
>>486 比べるんじゃない。
価値が全然違う。
495:１３２人目の素数さん
11/11/24 22:44:33.77
内容をキチンと吟味せず結果だけ質問しても何にもならないよ。
496:１３２人目の素数さん
11/11/24 22:45:45.54
>>494
価値なんぞ較べてないだろ
難易度が違うと言っている。
497:１３２人目の素数さん
11/11/24 22:49:20.70
そんなかじゃペレルマンのが圧倒的に難解だろうな
498:１３２人目の素数さん
11/11/24 23:00:28.77
予備知識のあるなしによるが内容の前提が一般数学の知識内におさまらない分
ペレルマンのが一番難解かもね。
それに較べたら予備知識ほぼゼロでも理解できるんだからゲーデルの論文なんて
有り難すぎて涙が出るくらいだ。
499:１３２人目の素数さん
11/11/24 23:19:46.19
ゲーデルの論文ひいては数理論理学は数学ではない（から素人でも理解しやすい）、という可能性は？
500:１３２人目の素数さん
11/11/24 23:24:52.14
理解しやすくはない、ゲーデルは証明は厳密詳細にやってるから、全て理解するのは面倒くさい。
でもあれが数学の証明でないなら、俺は数学の証明を読んだことがないな。
あれくらい諄い数学の証明はそうそうないぞ。
501:猫にコネは不必要 ◆MuKUnGPXAY
11/11/25 00:20:49.81
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
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猫
502:１３２人目の素数さん
11/11/25 00:22:29.22
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
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芳雄
503:１３２人目の素数さん
11/11/25 07:12:33.12
>>474
wikipediaにちゃんと
「命題の証明より小さな、否定命題の証明が存在しないという性質を追加」
って書いてあるじゃん。これが(ロッサーの方法の)全てだよ。
ところで、「矛盾の証明が存在しない」はPAで証明できないが
「すべての矛盾の証明について、
これより小さな矛盾の否定の証明が存在する」
はPAで証明できる。もし「矛盾の証明が存在しない」ならば確かに
「すべての矛盾の証明について、
これより小さな矛盾の否定の証明が存在する」
が、逆は真ではない。したがって、このことは、第二不完全性定理に
何ら疑念を生じさせるものではない。
504:１３２人目の素数さん
11/11/25 08:37:39.57
>>500 それは君の数学の経験が浅いだけ。
505:１３２人目の素数さん
11/11/25 08:43:33.93
>>499
そうだね。
高校数学すらほとんど使っていない。
帰納法くらいか。
数学というよりパズル。
506:１３２人目の素数さん
11/11/25 09:21:51.82
>>503
しかし僕の持っている本では証明の定義は変えてありません。
あくまで定理を示す中で証明可能性述語を変形したものを
用いるのみで、定理のステートメントにおける「証明」の定義は
ゲーデルのものとロッサーのもので 変わっていません。
507:１３２人目の素数さん
11/11/25 10:02:59.16
>>506
その「持ってる本」を明示しなよ。伏せる必要ないだろ？
508:483
11/11/25 11:00:01.17
>>507
新井敏康「数学基礎論」です。
509:１３２人目の素数さん
11/11/25 22:01:31.69
>>465
それは通常ｎ番目の自然数と解釈されるような
推移的集合しか記述しない。
510:１３２人目の素数さん
11/11/25 22:15:17.39
\
511:１３２人目の素数さん
11/11/25 22:51:17.77
>>506
定理で示される証明と
可証性述語が表現する証明はちげーよ
512:483
11/11/26 00:51:08.93
>>511
それでは>>483において両者の「証明」の定義は同じということで良いのですか？
513:１３２人目の素数さん
11/11/26 01:04:28.23
たりめー
可証性述語はその証明も反証もできない論理式探すためのどーぐ
何を意味してるかなんてかんけーねー
514:１３２人目の素数さん
11/11/26 02:50:11.55
>>504
車種・車メーカー板に居る人？
515:１３２人目の素数さん
11/11/26 16:29:29.28
>>506
＞あくまで定理を示す中で証明可能性述語を変形したものを用いる
「その変形を、新しい証明の定義とする」と読めない奴は池沼。
516:１３２人目の素数さん
11/11/26 18:33:06.39
ゲーデルの第二不完全性定理の証明は、何をもって、証明されているか
ということが問題なのだ。いかなる本にも、証明は書いてないのだ。
このような、方法で、証明ができるということが書いてあるのだ。
この違いは専門家とよく話さないとわからないもので、このような
ところで説明されてわかることではない。
517:１３２人目の素数さん
11/11/26 20:07:34.59
ゲーデルの第二不完全性定理の証明ごときで
専門家と話す事なんかない。
数学としてはエレメンタリーな組み合わせ論の証明にすぎない
518:１３２人目の素数さん
11/11/26 20:09:09.83
哲学や論理学としてみたら一流の結果かもしれないが、
数学としてみたら二流以下の結果
519:１３２人目の素数さん
11/11/26 20:21:06.16
平方剰余の相互法則のような、いつまでも高いレベルでの一般化があるようなよい定理だと思うが。
520:１３２人目の素数さん
11/11/26 20:51:50.70
平方剰余の相互法則の一般化の様に豊かな応用が無い。
521:１３２人目の素数さん
11/11/26 20:55:04.45
平方剰余の相互法則は、フェルマー予想界隈の
研究からの要請があって、一般化されてきたのであって、
単にいじくりまわしていたわけじゃ無い。
522:１３２人目の素数さん
11/11/26 21:04:32.09
>>515
証明の定義自体は何もかわってないはず。
523:１３２人目の素数さん
11/11/26 21:07:30.84
>>516
一応新井の本には証明が全部入ってる。
ただし冪関数ありのPAだけど。
524:１３２人目の素数さん
11/11/26 21:39:39.54
>>523
３章を読み終わっているなら聞きたいんだが、
P101の補題3.3.2は証明になっていないと思うんだが、どう？
525:１３２人目の素数さん
11/11/26 21:54:48.30
>>521
それは出鱈目が過ぎる
526:１３２人目の素数さん
11/11/26 22:01:08.85
>>521 どう？
527:１３２人目の素数さん
11/11/26 22:02:04.34
訂正
>>525 どう出鱈目？
528:１３２人目の素数さん
11/11/26 22:54:15.96
>>527
フェルマー予想界隈の「要請」から一般化されたとか歴史的におかしいだろ。
529:１３２人目の素数さん
11/11/26 23:14:52.57
第二不完全性定理をどこまで弱い算術で
証明できるかという方面の研究はあるよ
まあ割と些事だけどね
でも518はどうせP=?NP問題とかも
数学としてはエレメンタリーな二流の問題とか言って
切って捨てるんだろうな
530:１３２人目の素数さん
11/11/26 23:25:41.21
>>524
確かに何をやっているのか理解できない。
「でよい。 ■」って何だよｗ
531:１３２人目の素数さん
11/11/26 23:37:03.89
>>528 平方剰余の相互法則の重要な応用として、
全ての整数が四つの平方数の和で表されるという定理がある。
この種の問題(フェルマー予想はp乗数の和の問題)を初めとして
重要な応用を目指して一般化されてきた。
無目的に一般化してきたわけでは無い。
532:１３２人目の素数さん
11/11/26 23:39:27.44
>>529
前半。些事、そうですね。
後半。それは解けてみてからでなくては
わからないけれど、今までの状況からすると
その可能性はかなり高いですね。
533:１３２人目の素数さん
11/11/27 00:02:56.01
>>530
やっぱりそうだよね。
どうも破綻していると思えてならない
534:１３２人目の素数さん
11/11/27 00:42:06.34
>>531
ルジャンドルによる四平方定理の証明は1770年。
平方剰余の相互法則を証明したガウスが生まれる前のこと。
535:１３２人目の素数さん
11/11/27 01:18:37.60
>>534 それって証明に不備があったやつでしょ？
19世紀にディリクレが埋めたけど。
536:１３２人目の素数さん
11/11/27 01:21:34.41
とにかく平方剰余の相互法則の応用でそのルジャンドルの定理も
証明出来るし、相互法則の一般化でより深い整数論の定理がいろいろ証明できるのよ。
537:１３２人目の素数さん
11/11/27 01:44:25.69
もひとつ補足しておくと、
平方剰余の相互法則は、何も無いところから
いきなりガウスが見つけたものじゃなくて、
ルジャンドルの平方和の研究の中に
その芽があるんです。相互法則のステートメントで
使うカッコをルジャンドル記号と言うでしょ。
538:１３２人目の素数さん
11/11/27 04:00:55.62
>>537
相互法則を発見したのはオイラーじゃなかったっけ？
539:１３２人目の素数さん
11/11/27 05:41:22.25
>>523
普通の数学の定理と異なっている内容であることに気がついていない
証拠なのだ。
第一不完全性定理とは、全く性質が異なっていることに気がつくべき
なのだが、普通気がつかない。
540:１３２人目の素数さん
11/11/27 06:17:01.75
>>539=>>516かい？
思わせぶりなことを書いても、2chじゃただのハッタリとしか思われないよ
541:１３２人目の素数さん
11/11/27 07:18:09.67
suimasenga
圏論と論理学の関係について教えてください
清水によれば圏は普遍論理だそうですが
542:１３２人目の素数さん
11/11/27 08:31:32.56
>>540
ぶっちゃけ、第一より第二が大事！と発狂する奴は
「無矛盾厨」なる人格障害の可能性が大。
>>529の研究の中には、以前、紹介があった自己検証体系も
含まれると思われるが、あれはあれでちょと面白い。
どうでもいいが平方剰余の相互法則のような
エレメンタリーな「算数」をありがたがる
小学生は無限を扱うこのスレッドには
立ち入らないでいただきたい。
543:１３２人目の素数さん
11/11/27 08:37:22.48
論理推論を算術計算でシミュレートする、というアイデアを
数学として認めたくない人はいる。大抵は爺ィだが。
544:１３２人目の素数さん
11/11/27 09:59:03.95
>>540
483 にこんなところで訊くなといっているだけ。
545:１３２人目の素数さん
11/11/27 12:40:59.08
>>542 平方剰余の相互法則はエレメンタリーな
ままでは終わらない、とても深い理論。
代数屋はもちろん、幾何でも解析でも
こんなことは常識なのに、基礎論屋とはやっぱり
感覚が違うなと感じる。
常識をわきまえたうえであえて傍流に入ると言うなら
まだわかるが、常識を最初から認識してない。
数学で無い別の価値観をもった非数学分野だと
いうなら、それでいいんだけど。
546:１３２人目の素数さん
11/11/27 14:03:31.53
>>545
自演乙
547:１３２人目の素数さん
11/11/27 15:37:47.45
>>545
平方剰余の相互法則は、幾何や解析どころか
代数でも自分の研究とは無関係と思う人は数多い。
これこそ常識であって、545の考えは他の数学者には
通用しない「俺様常識」に過ぎない。
548:１３２人目の素数さん
11/11/27 16:26:01.98
>>547
そんな事はない。
そんな事言ってるのは、せいぜい、数学の流れを見る余裕も無く、
学位や就職の為だけの論文作成作業におわれている
底辺院生か底辺ポスドクぐらいだろ。
549:１３２人目の素数さん
11/11/27 16:32:04.61
>>547 たぶんあなたの言っている数学者は、
かなり広義の意味であって、志の低い人たち。
歴史に名を残す様な数学者は一人もはいっていないと思う。
550:１３２人目の素数さん
11/11/27 16:33:17.10
コイツどんだけ数論を過大評価してるんだｗｗｗ
551:１３２人目の素数さん
11/11/27 16:39:40.24
っていうか、まともな数学者の多くは、
代数とか幾何とか解析とか数論とか、分けてなんかいないよ。
何でも使うから。
552:１３２人目の素数さん
11/11/27 16:51:54.56
んだ。必要ならメタ数学の定理も使う。
553:１３２人目の素数さん
11/11/27 17:04:33.97
>>552 少しね。でも、基礎論のアイデアを
使うだけで、基礎論の研究は使わ無い。
というか、基礎論の重要な成果のほとんどは
もともと普通の数学者が作った。彼らを後世が
どう呼ぶかは後世の人が決めたのであって、
やってる数学者本人は、自分の専門分野なんて
気にしてない。
基礎論からキャリアをはじめて基礎論屋を
名乗っている人のやってる研究はみんな役に立たない。
(一部の役に立てようとして研究しているものは除いて)
554:１３２人目の素数さん
11/11/27 18:55:45.54
今のロジックの主流はモノイダル論理ですね。
これは∧と∨を同一視したものです。
またリテラルはAと￢Aを同一視します。
これは圏論との関連もあって非常に重要な位置を
数学基礎論において担っていますね。
数論はモノイダル論理で書き換えることができます。
例の平方剰余の相互法則もモノイダル論理の一推論規則にすぎないです。
555:１３２人目の素数さん
11/11/27 19:51:33.51
>>554 何の狙いがあって、そんな事をやっているのですか？
556:１３２人目の素数さん
11/11/27 19:58:40.23
「すぎない」を使う奴の文章は信用しないことにしている
557:１３２人目の素数さん
11/11/27 20:23:24.33
>>555
まずモノダイル論理はすべての計算モデルで解釈可能です。
次に非常にシンプルでコンパクト閉圏と対応しており、
数学全体の記述をすることも可能です。
おそらくモノダイル論理が導入されたのは
ジラールによる線形論理の研究がはじめてでしょうが、
今では言語哲学、分析哲学、計算機科学、公理的集合論といった
あらゆる世界で運用されるようになっています。
クミルの竪琴とよばれる推論規則などは
修正クリプキ構造T1-Stepを張ったデントライトの海で
展開される特殊なモノダイル論理で、ジュークの宇宙を再現することができますね。
特にフィッシャーのSSS_ΩやF0-代数との関連で注目されています。
558:１３２人目の素数さん
11/11/27 21:18:49.35
＞基礎論の重要な成果のほとんどはもともと普通の数学者が作った。
まず、基礎論の重要かつ基本的な成果はゲーデルによって挙げられた。
述語論理の完全性定理、自然数論の不完全性定理、選択公理の相対無矛盾性etc．
「普通の数学者」が基礎論以外の数学でも成果を挙げている、という意味なら
ゲーデルが基礎論以外の数学で挙げた重要な成果を一つでいいから教えてほしい。
559:１３２人目の素数さん
11/11/27 21:20:42.82
>>558
ゲーデル解
560:１３２人目の素数さん
11/11/27 21:22:52.18
>>559
残念ながら、その成果は、ゲーデルが論理学においてあげた
華々しい成果に比べると大したことがない。
561:１３２人目の素数さん
11/11/27 21:26:19.72
ゲーデルはロジシャン中のロジシャンだろ
数学者ではない、と思う
562:１３２人目の素数さん
11/11/27 22:05:06.09
ゲーデルは相対性理論もやった
563:１３２人目の素数さん
11/11/27 22:06:38.16
>>557 ですから、そうする事によって、何を目指しているのですか？
564:１３２人目の素数さん
11/11/27 22:16:57.58
>>563
理論物理や数論幾何で頻出するユニポテント群の
構造解析にマスセル-ドーソンの創造なんていう
解釈可能世界を導入する際にユニ楽園という
議論領域の全体を動くような広義圏論のステンレステンソル代数の
一つのアイディアとなるってことですね。
パースのアイディアは存在の海なんて煩雑なものだから。
565:１３２人目の素数さん
11/11/27 22:22:34.16
無茶苦茶やなぁ
566:１３２人目の素数さん
11/11/27 22:24:23.93
それからブラウンが提唱した形式の法則なんかはCalculusに基く
ブール代数の構成を可能にした「区別」という、
マトゥラーナ＝ヴァレラ図式による拡大可能な
システムの自己観察機能による再循環になってる。
例えば「横断」による算法、これは自己同型写像による対象aの分布関数
R：Spec(∑_N0)；B(a,ε)→Vll(-<>r)
を意味するもので、primary algebra の公理からアイオーンの時間の固体化、
即ちリンデンバウム補数の位相が閉であること(ArrX/R)、
また複素散乱ウカシェベッチ型ベクトルの縮減対応から得られる
「埋め込み」が線型写像であること⇔Θ：ξ(Asc(3))ΛΓ(A_0)→Γ(A_0)の作用が存在する。
直線的被覆が「シミュラークルの質料」というXの規定なんかが有名。
567:１３２人目の素数さん
11/11/27 22:28:12.64
さらにはヒルデガルド対応ってのがる。
一般Tate仮説の∃￢%がKe(C*)の底鎖列として定義される場合に、
任意カントール空間の実効的閉集合世界のMedvedev次数構造が
immunityは以下の可換図式と同値。
s → bl → bel → I
↓ ↓
b → tl → w
つまりVintage代数がストーン双対ってこと。
あとは、identification in the limit をベール空間の集合へ一般化した
学習還元可能性。学習は以下のようなもの。
心象自制有界学習(P ≦bl Q)：
(∃ψ)(∃c)(8g 2 Q) [limn(gn)(g) 2 P
& #fn :(g n) , (g n + 1)g < c]:
誤謬有界学習(P ≦bel Q)：
(∃ψ)(∃c)(8g 2 Q) [limn(gn)(g) 2 P
& #f(g n) : n 2 !g < c]:
剰余類学習(P ≦tl Q)：
(∃ψ,;;;;,ψ_k )(∀g∈ Q)(∃m ≦ k) limnψm(gn)(g) ∈ P:
あるいは、ジュリア閉集合が、
(∀m) P ∧ Im ≠∮となるような
有理区間の計算可能な枚挙fImg が存在しないとき。
568:１３２人目の素数さん
11/11/27 22:29:33.79
さらに、中間休止RC0が論理のイマージュとなった「差異」、
セリーの合弁写像Fmin：など、アームストロングの公理系による裏付け、
ドゥルーズのindetermineとideeの分裂など・・・。
最近では以下のようなボニファスの記述(無限還元公理)がある。
Tc1：aを中心とした推論可能域をｒをa；ｒと記述する
Tc2：消滅を∃￢%とする
Tc3：∃￢%のヒルデガルド対応は∃%である
Tc4：∃%の次は0；ｒとする
Tc5：0；ｒ→1；ｒの対応でModanponetが一階無効
569:１３２人目の素数さん
11/11/27 22:30:40.26
ちなみにセリーの合弁写像の根拠を与える。
ギヨーム理論が数詞と内部空間をゼロ複数、S単数などの空間的配置で
形態論に内在する意味の精神過程を捉えるエルチュードだとは自明。
P; Q 2 ω＾ω だから、P がQ にculervent還元(P s Q) とは、
ある双対アルゴリズム が存在して，任意のg 2 Q に対して
(g) 2 P となるときを指すから、T の定理とL反駁の
分離関数全体の集合Sep(T) はr.e.separating class
と呼ばれる特殊な実効埋蔵閉集合になる。
つまり完備側芽のTerr分解X_0[－，]：が以下のように変形される。
Ps j= (8x; y)(9z)(x < y ! x < z < y).
(9e0; : : : ; ek )(8g 2 Q)(9m k) em(g) 2 P
これがセリーの合弁写像と同型である。
570:１３２人目の素数さん
11/11/27 22:38:25.64
つまらない
571:１３２人目の素数さん
11/11/27 22:43:35.02
知の欺瞞、ﾁｮｰひもカルト、圏論カルト
572:１３２人目の素数さん
11/11/27 22:49:54.30
具体的な内容についていけない場合は
カルトと批判すればOKとｗ
573:１３２人目の素数さん
11/11/27 23:21:58.96
>>566-569
止めろ。アホ！
574:１３２人目の素数さん
11/11/28 00:05:28.92
>>572
ｗをつければ高みに立てると思っているのだろうか
575:１３２人目の素数さん
11/11/28 02:29:48.13
>554
ついていけなくて悪いが……モノダイル論理ってもしかして双対を扱えるの？
もしそうならちょっと興味があるなぁ。
576:１３２人目の素数さん
11/11/28 03:20:01.88
>>575
知の欺瞞
577:１３２人目の素数さん
11/11/28 10:26:41.08
>>566-569
もっと書け！
578:１３２人目の素数さん
11/11/28 10:37:03.52
情報板ではダメそうなのでここにきました．教えて下さい．
プログラムの表示意味論って何のためにあるのですか？
分かり切ったことをあらためて書き下しているようで狙いがわかりません．
おまけに継続やエラーや入出力などつまらない所（論理の範囲外である
所）で当然のようにツギハギを重ねているようにみえます．
そのツギハギが表示的意味論の生き甲斐なのでしょうか？
579:１３２人目の素数さん
11/11/28 18:16:29.65
質問です。
不完全性定理を証明するために、形式的体系を算術化しますよね。
その算術化の方法について、どうしてβ関数によるものを考えるのでしょうか。
田中「数学基礎論講義」には
「形式的算術では指数関数が最初から与えられているわけではないので、それとは異なるコード化技法が必要になる」pp.57
とあります。
しかし形式的体系（たとえばPA）に指数関数記号がなくても、
原始再帰関数（つまり指数関数）は表現可能なのだから、実質的には指数関数記号があると考えてもよい気がするのですが。
どうなのでしょうか。
580:１３２人目の素数さん
11/11/28 18:46:48.46
掛け算がないだけで第一不完全性定理も成立しませんので。
581:１３２人目の素数さん
11/11/28 18:50:25.58
その表現可能性を示すためにβ関数を使うんじゃなかったっけ？
582:１３２人目の素数さん
11/11/28 18:58:31.98
東大のゲーデルと20世紀のやつの三巻にそのあたり詳しく書いてある
583:１３２人目の素数さん
11/11/28 19:06:59.11
あれは駄本個人的に
584:１３２人目の素数さん
11/11/28 20:34:05.86
理由書かないと駄レス
585:１３２人目の素数さん
11/11/28 21:13:44.36
あれは良本個人的に
586:１３２人目の素数さん
11/11/28 22:34:14.39
>>578
妙に的確で変な質問だな。自分からは言いたくないもんだから誰かに言わせたいみたいな。
理由自分でちゃんとわかってるだろ。
587:スレタイスレ446
11/11/28 23:54:27.03
>>578
表示的意味論・操作的意味論・公理的意味論ってのは単なる意味論の分類。
大雑把に言って、
表示的意味論≡数学的意味、
操作的意味論≡抽象機械、
公理的意味論≡論理学的意味。
プログラミングの文脈で述べられるが、
見方によっては数学のモデル理論なんかも表示的意味の領域理論の一種と呼べる。
公理的意味論は普通の数理論理学だけあって
決定不能な命題が他の意味論より発生しやすい。
たとえば並列性の概念をもった理論などは、
数理論理学では一般に記述不能。
これは並列性特有の非束縛決定不能性(Unbounded nondeterminism)命題などが原因。
例えばデッドロックみたいなイメージ。
ただし時相論理なんかで計算状況の断片だけ切り取ったりするくらいは可能。
その一方でKowalskiが計算可能性よりも推論規則の方が
多くの命題を生成可能であると証明しているから、
単純に包含関係があるわけでもない。
以前向うのスレで紹介したゲーム論的意味論で不完全性定理が成り立たない自然数論の構成も、
単純な表示的意味論による解釈を2つのプレイヤーの戦略に置き換えると、
並行的な現象であるクラスの決定不能性が破れてしまうという原理によるものだろう。
ちなみにエラー補足や継続などもプログラム言語の内部。
>>579
コードとデコードの保証。算術化って素数の冪乗でもできるけど、
PAに指数関数なかったら例えば論理式なんかがゲーデル数化できない。
>>582
田中の本をまとめたのがその本だよ。
588:スレタイスレ446
11/11/29 00:04:16.60
>>579
追記：詳しくはその本の9章参照。
589:１３２人目の素数さん
11/11/29 01:30:11.43
>>578は何を読んで次の様に感じたのだろうか？
> おまけに継続やエラーや入出力などつまらない所（論理の範囲外である
> 所）で当然のようにツギハギを重ねているようにみえます．
表示的意味論でもcontinuation semanticsのスタイルで最初から記述すればツギハギにはならない。
ただ初学者向けにdirect semanticsのスタイルで定式化してからエラーや入出力を扱うとなるとcontinuationスタイルに変える必要がそこで生ずるので
知らない人にはツギハギみたいに見えるかも。
因みにcpoやそれに関する再帰方程式に関する領域論は別にして、トイ言語でないプログラミング言語に対する表示的意味論については
日本語ではロクな教科書はないので、英語の教科書で勉強するしかない。日本語の教科書によっては「表示的意味定義とはインタプリタを書く事である」
なんて大きな勘違いをしているとしか思えないのが岩波の某有名教科書シリーズにあったりするからね。
>>587
> >>578
> 表示的意味論・操作的意味論・公理的意味論ってのは単なる意味論の分類。
> 大雑把に言って、
> 表示的意味論≡数学的意味、
> 操作的意味論≡抽象機械、
> 公理的意味論≡論理学的意味。
公理的意味論は、論理的意味というよりも証明の為の形式的体系で、それに対する解釈を与え、公理的意味論の健全性の基準を与えるのが
表示的意味論と考えれば良い。公理的意味論を与えただけでは矛盾していたりする可能性があるが、同一のプログラミング言語に
表示的意味論も与えて、その表示的意味という解釈に対して公理的意味論の体系が健全である事を示せば、公理的意味論で与えた
証明体系を安心して使用できる事になる。
これが>>578が質問していた表示的意味論を与える意義は何か？という問いへの答え。
590:１３２人目の素数さん
11/11/29 01:34:42.22
>>588
その本のpp80の注意.には
PAにはすべての原始再帰関数に対する関数記号とそれらに関する公理が入っていると考えてもよい
とあるので、原始再帰関数である指数関数の記号と公理もPAには入ってると考えてもよいのですよね？
となると、β関数の意義って何なのかがよく分からなくなるのですが、いかがでしょうか。
591:１３２人目の素数さん
11/11/29 02:46:09.24
representable functor
592:１３２人目の素数さん
11/11/29 07:12:51.67
こんなところで訊くなといっているのだが、わからないやつだね。
原始帰納関数が何故、表現可能となるか、とくに帰納法のところを
どう書くか考えないで、結果が成り立つことばかりいっているから
わからないのだ。
593:スレタイスレ446
11/11/29 07:45:34.33
>>575
コンパクト論理のことだろう。
>>589
それが正しい回答だろう。
>>590
スコーレム関数として考えると、
理論から関数記号をとっても、
その関数に関係する論理式をユニークにとって保存拡大できるので、
はじめから原始再帰的関数をすべて入れてても結果は同じ。
しかし今回は指数関数が入っていないとして話を始めるので
β関数を導入しますよ、ということ。
594:１３２人目の素数さん
11/11/29 18:25:42.28
>>592
周りに聞ける人がいないもので。
今質問しているのは、形式的体系の算術化に関することなので、表現定理云々はあまり関係ないように思うのですが。
>>593
コメントありがとうございます。少し考えをまとめます。
第二不完全性定理を証明する際にPAの証明をPA内部で証明しますよね。
そのとき、形式的体系を指数関数を使ってコーディングするかβ関数を使ってするかで、その方法は異なってきますよね
指数関数によるコーンディングを選んだ場合、PAの証明をPA内部で証明するにはPAに予め
指数関数記号とその公理が予め含まれていないといけないように思われます。
これに対して、β関数によるコーディングを選んだ場合なら、予め指数関数記号とその公理がPAに含まれていなくても、
PAの証明をPA内部で証明することができます。これがβ関数を導入する意義であります。
しかし、>>590,593にあるように実質的にはPAには指数関数記号とその公理が備わっていると考えてもよいので、
実は指数関数でコーディングをしても、PAの証明をPA内部で証明するには何ら不都合はない。 □
以上の考え方でおかしいところはあるでしょうか？
よろしくお願いします。
595:１３２人目の素数さん
11/11/29 19:08:35.84
いや指数関数が入ってない場合は
β関数はもっと前に第一不完全性定理を証明するときに
既に導入されるでしょ
596:スレタイスレ446
11/11/29 20:50:01.89
>>594
そんな感じですね。
カントール対関数でユニークにエンコード、
β関数でユニークにデコード、
両方とも可証性述語の定義に必要。
指数関数というか原始再帰的関数とそれに関する公理を
すべてぶっこんだPAの保存拡大はPRAとかよく言われます。
余談：ところで不完全性定理はT|-/-Con(T)でしたが、
Π1^0文に関してはWKL0|-φ⇒PRA|-φとなり、
ヒルベルト・プログラムの断片的実現と呼ばれます。
ですからケーニッヒ補題が超越的とかいう書き込みが上の方にありますが、
ケーニッヒ補題を使った文は有限の立場の文に置き換えれますね。
597:１３２人目の素数さん
11/11/29 20:54:48.16
全くわからないやつだね。
有限列をどうやって表すかってことなんだよ。これができなければ、
なにも表現できないんだよ！
598:１３２人目の素数さん
11/11/29 22:07:07.10
>>595
β関数を導入しなくても、第一不完全性定理は、
PAに指数関数の記号と公理がない状態で指数関数によるコーディングで証明できると思うのですが。
>>596
よかった、>>594の考え方であってたのですね。安心しました。
PRAなるものがあるのですね、知りませんでした。勉強になります。余談に関しては知識が追い付かずよく理解できませんが、
いずれ分かるようになれたら良いと思います。
>>597
私の読解力がないせいだとは思うのですが、言っていることがよくわかりません。
「有限列をどうやって表すか」というのは形式的体系を自然数に
エンコードする方法のことですよね？いろいろ種類はあると思いますが、
私は素数のべき乗によるものと対関数によるものぐらいしか思いつきません。
599:１３２人目の素数さん
11/11/30 07:19:13.98
要するに、論理式で書くというkとがわかっていないんだね。
600:１３２人目の素数さん
11/11/30 07:27:47.20
>>596
PRAはPAの保守拡大どころか、それより弱い体系なんだけど……
＞PAに指数関数の記号と公理がない状態で指数関数によるコーディングで証明できる
要は E(x,y,n) : y = x^n とか P(x,y) : 「y は x の証明である」とかを
加法と乗法だけを用いた論理式で表現しないといけないわけだけど、
どうやって実行するつもりなんですか？
601:スレタイスレ446
11/11/30 07:48:04.07
>>600
＞PRAはPAの保守拡大どころか、それより弱い体系なんだけど……
確かにそうでしたね・・・。
量化付きの文の帰納法が制限されていたのを忘れていました。
だから有限の立場というんだった。
602:１３２人目の素数さん
11/11/30 09:33:43.93
>>600
表現定理により、原始再帰的関数および原始再帰的述語はPAにおいて数値別に表現できますよね。
となれば、たとえば8=2^3はPAにおいて、PA|-8=2・2・2・1 と表現できるのではないのでしょうか。
・・・と思いましたが、なんか怪しいですね。
表現定理は一応一通り自分で証明したつもりだったんですが、改めて各文献に目を通したらきちんと理解してなかったみたいです。
とくに今になって>>592さんの言う原始帰納法の箇所が実はめちゃくちゃ大事だったことに気が付きました。
今日もう一度しっかり勉強してから、質問させていただきます。
ありがとうございました。
603:１３２人目の素数さん
11/11/30 09:44:15.71
追記：
＞PAに指数関数の記号と公理がない状態で指数関数によるコーディングで証明できる
この発言に関して、完全に私が誤ってました。
604:１３２人目の素数さん
11/11/30 10:10:00.35
cs2011_terui.pdfがピンポイントかも。
605:１３２人目の素数さん
11/11/30 11:36:54.26
>>586 >>587 >>589
ありがとうございます．参考になりました．
でもやはり表示的意味論の爽快感がどこにあるか不明です．
（健全性の根拠というのも内向きの意義のようですし）
λ計算の意味論は自明なほどに簡潔です．
プログラミング言語と表示的意味論とは本来似合わないのでは？
表示的，操作的，公理的の３分類もいまいちですね．
意味論といえば表示的に決まっているでしょう？
公理的意味論はむしろ証明論ですね．
606:１３２人目の素数さん
11/11/30 20:26:05.47
>>605
横からスマン、
個人的な意見だけれど、表示されるものがなんなのか明確なコンセンサスが
あるわけじゃないからいろんな理論が出てくるんだろうと思っている。
表示されたものがなんであるかによってその３分類が出てくると考えると
そこそこしっくりくる。
607:589
11/12/01 02:32:26.27
>>605
> でもやはり表示的意味論の爽快感がどこにあるか不明です．
> （健全性の根拠というのも内向きの意義のようですし）
しかし、プログラミング言語に対して定義したホーア論理の体系に対して健全性が保証されていなければ、そのホーア論理の体系で検証しても
全くの徒労となる可能性があるのだから、公理的意味論に対して健全性を示す事は最低限必要不可欠な事ですよ。
> λ計算の意味論は自明なほどに簡潔です．
それはλ計算はプログラミング言語として見れば極めて単純なトイ言語だからに過ぎない。
それと、意味定義に用いるメタ言語がλ記法という、対象言語のλ計算とそっくりのを用いるから更に簡潔に見えるだけ。
> プログラミング言語と表示的意味論とは本来似合わないのでは？
プログラミング言語の意味を実装と独立に与えるには表示的意味論を定義してやるしかない。
プログラミング言語を設計する人間は、本来は、その言語の表示的意味を定義するべきなのだ。
それが余りにも複雑怪奇な代物になれば、それは設計している言語の構成に問題がある証拠であり、
表示的意味がより分かりやすいように言語設計を改める必要がある事を示している。
プログラミング言語に対して定義された表示的意味は、その言語の利用者（ソフトウェア技術者）が知る必要はない代物なのは確か。
> 表示的，操作的，公理的の３分類もいまいちですね．
> 意味論といえば表示的に決まっているでしょう？
それは数理論理学屋の立場からすればその通りだが、プログラミング言語に対する形式的意味論の研究は、
数理論理学屋がプログラミング言語の研究に流れ込んで来るようになる前の1960年代後半～1970年代初頭に既に始まっているから、
コンピュータ・サイエンスの歴史からすれば、君のその主張は全く正しくない。
自然言語の意味論にしても、数理論理学の立場からは「意味論」という名前が相応しくないと感じる様々な意味論がある様にね。
> 公理的意味論はむしろ証明論ですね．
これも数理論理学の立場からすればその通りだし、589に書いた通り個人的には同じ意見だが、
587の人が書いている通り、プログラムの論理的な側面を「知る」為の「意味論」というのがコンピュータサイエンスの立場。
608:１３２人目の素数さん
11/12/01 05:54:50.23
>プログラミング言語の意味を実装と独立に与えるには表示的意味論を定義してやるしかない。
了解です．
>プログラミング言語を設計する人間は、本来は、その言語の表示的意味を定義するべきなのだ。
了解です．
>それが余りにも複雑怪奇な代物になれば、それは設計している言語の構成に問題がある証拠であり、
>表示的意味がより分かりやすいように言語設計を改める必要がある事を示している。
それが表示的意味論の具体的なメリットの一つですね．
>プログラミング言語に対して定義された表示的意味は、その言語の利用者（ソフトウェア技術者）が知る必要はない代物なのは確か。
そういう意味では，今のプログラミング言語は改める必要があることが既に示唆されているということでしょうか？
609:１３２人目の素数さん
11/12/01 08:38:45.01
>>605
>λ計算の意味論は自明なほどに簡潔です．
操作的意味論のこと？
λ計算だって表示的意味論、
というかスコット理論がが理論的根拠だよ？
610:１３２人目の素数さん
11/12/02 15:27:19.05
D無限大モデルが自明とは恐れ入るな。
611:１３２人目の素数さん
11/12/02 15:28:56.89
天才現る
612:１３２人目の素数さん
11/12/02 15:40:45.48
>>393とか、ちょっとでも理解できていたら、
表示的意味論が無意味とかλ計算の意味論が自明なんて思わないだろう。
613:１３２人目の素数さん
11/12/02 22:25:41.47
写像を学んでて思ったただの感想なんだけど、一般項とか自然数てなんだろうな。数列が
2,4,6,8,10,,n,,と並んでる場合一般項は2＋2(n-1)だ。
しかしこの並びを集合と考えると、この集合はmap(N,N)に含まれる
写像の一つに過ぎない。つまり｛f(1)=2、f(2)=4、、ｎ、、｝という写像。
そう思うとmap(Ｍ、Ｎ）の一般項てなんだろう。んで別に一般項て
わけじゃないけど、全単射というのがある。
そうすると自然数というかa<b<c...というように規則を持つ無際限な並びと
いうのは、map(Ｍ、Ｎ）に含まれる写像のうちで、ＭからＮへの全単射を持つ
写像という様に考えたほうがいいのかもしれないと思った。まああくまで集合
ありきの考え方であって、自然数は集合から定義されるものではないのかもしれ
ないけど。
614:613
11/12/02 22:26:55.37
間違えた。｛f(1)=2、f(2)=4、、ｎ、、｝の｛は（だわ。
615:１３２人目の素数さん
11/12/03 01:19:17.26
間違えてるのは書き込むスレッド
616:１３２人目の素数さん
11/12/03 01:26:34.73
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617:１３２人目の素数さん
11/12/03 02:06:54.44
>613
余代数ネタ？
ペアノの公理からして後続関数による定義だしな。
618:613
11/12/05 13:14:10.95
>>617
すまん勉強不足なもんで言ってる事がわからん、、
集合論を学んでると数に対する自明な感覚が失われてきて、もっと上手く定義
しなおせられれば気持ち良いんだが、わからないとものすご気持ち悪いまま終
わると言う感じ。が続く
順序数、とか、同型でない、とかなあ。
自然数は全然自然な無限でもなんでもないという事はよくわかったし、そういう横並びにかつ規則を
持って並んでる無限だけが無限じゃない、という事もわかった。でもそれは濃度と、写像（全単射）の
概念があれば十分なんじゃなかろうか。順序型ωと濃度アレフ０って区別のアプローチが違うだけで
どっちかがあればどっちかが要らないような気がする。
619:１３２人目の素数さん
11/12/05 14:46:58.37
>>617
0と後者関数から自然数全体を生成するのは
自由代数の最も基本的な例だから
余代数ではなくて代数。
余代数ならばωから下ってくる形の定義法になる筈。
620:613
11/12/05 16:41:32.92
ちょっと理解に苦しむまま集合への３０講を読んだ。６１３から感想を
乗せてしまって申し訳ないんですが、最後に１つ質問。
選択公理によって議論が巻き起こったと言う話があるようですが、そもそも
対角線論法は選択公理なしで行えますか？大まかな最低限の段階として
１自然数の集合が持つ元から、実数の集合が持つ元をただ一つ指定する。
２自然数の集合が持つ全ての元から、実数の集合の元をただ一つ指定する。
３自然数の集合が持つ全ての元から指定された実数の集合の元が、実数の集合
の元全てであるとすると、実数の集合が元として持たない実数が存在する事になり、
矛盾が生ずる。
４自然数の集合が持つ全ての元の個数（濃度）と、実数の集合が持つ全ての元の
個数（濃度）は異なる。
１の「実数の集合が持つ元をただ一つ指定する」、は選択公理なしで行えますか？
また
１の「自然数の集合が持つ元から」、という部分は、つまり自然数の集合が持つ
ただ一つの元からという事でしょうか（もし自然数の二つの元から指定していたら、
そのうちの一つによって実数の集合が持たない実数も指定できてしまうから）。
この場合、これは選択公理なしで行えますか？
621:１３２人目の素数さん
11/12/05 18:30:24.42
自然数と実数に1対1対応できないと言う証明、
>>620 証明を見直してもらうといいが、
選択公理なしに具体的な関数がつくれればいいわけ。
自然数の対角線論法なら選択関数はいらない。
ついでに、
集合とそのべき集合の濃度がちがうことは選択公理なしに証明できる。
（カントールベルンシュタインの定理）
基数にしてもきちんと公理的集合論の教科書のほうがやさしく書いてあるのに。
622:613
11/12/05 18:53:32.78
>>621
回答ありがとうございます。
＞具体的な関数がつくれればいい
ふむ、、自然数と実数なら単純にf(x)=xと考えられるからと言う事でしょうか？
あんまり多分野の数学を知らないので （a,b) ←関数によってこの形に（一意に）
出来ない集合同士というのがいまいちピンと来ないのですが、集合にも色々あるん
ですね。
＞きちんと公理的集合論の教科書
教科書選びは難しいですね。。