11/10/02 20:55:54.66
癖のある教科書に引っかからないようにしましょう
2:１３２人目の素数さん
11/10/02 21:01:46.62
僕が、柴垣がお薦めです！というとすごく非難されます。
でも、詳しければいいとか、易しければいいとか、
そういうことではないと思うんです。
3:１３２人目の素数さん
11/10/02 21:03:39.32
関連スレ
関数解析（Functional Analysis）
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
4:１３２人目の素数さん
11/10/02 21:10:56.54
関連過去ログ
関数解析＆ルベーグ積分
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
Functional Analysis, Lebesgue Integral II
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
Lebesgue積分ｾﾞﾐ
URLﾘﾝｸ(logsoku.com)
5:１３２人目の素数さん
11/10/03 17:22:22.80
R^1上のルベーグ可測な集合Aで
どんな開集合Oと零集合S1,S2をとってもA=(O∪S1)-S2とならないような
Aは存在しますか
6:１３２人目の素数さん
11/10/03 21:59:30.38
>>5
存在する。
集合A⊂Rに対して、Aの閉包をA^aと書き、Aの開核をA^iと書くことにする。
ルベーグ可測集合Aに対して、Aのルベーグ測度をm(A)と書くことにする。
補題1：Oは開集合でNはゼロ集合とする。このときO⊂(O∩N^c)^aが成り立つ。
補題2：閉集合 K⊂R であって、K^i＝φかつm(K)＞0を満たすものが存在する。
>5への回答：
補題2を満たすKを取る。このKが求めるAである。実際、ある開集合Oと零集合S1,S2が存在して
K＝(O∪S1)∩S2^c
と表せたとする。K ⊃ O∩S2^c であるから、
K ＝ K^a ⊃ (O∩S2^c)^a ⊃ O
が成り立つ(最後の包含は補題1を使った)。よって K ⊃ O となるので、
φ ＝ K ^i ⊃ O^i ＝ O
となる。すなわちO＝φとなる。このとき K＝S1∩S2^c ⊂ S1 だから
m(K)≦m(S1)＝0すなわちm(K)＝0となるが、これはm(K)＞0に矛盾する。
よって、どんな開集合Oと零集合S1,S2をとってもK＝(O∪S1)∩S2^cとならない。(終)
補足：K＝(O－S1)∪S2 も出来ない。この場合 K ⊃ O∩S1^c だから、あとは同じ議論で矛盾する。
7:１３２人目の素数さん
11/10/03 22:04:10.32
x∈Rを中心とする半径rの開球をB_r(x)と書くことにする。
開球と言っても、今の場合は1次元だからB_r(x)＝(x－r, x＋r)である。
補題1の証明：
O＝φのときは明らかに成立する。以下、O≠φとしてよい。
題意を示すには「x∈Oならばx∈(O∩N^c)^a」を示せばよい。すなわち、
「x∈Oならば『任意のr＞0に対してB_r(x)∩(O∩N^c)≠φ』」
を示せばよい。
x∈Oとする。あるr＞0が存在してB_r(x)∩(O∩N^c)＝φ が成り立つとする。このとき
B_r(x)∩O ⊂ N … (1)
が成り立つことが分かる。また、Oは開集合でx∈Oだから、B_{r_1}(x)⊂Oなるr_1＞0が取れる。
よって、r_2＝min { r, r_1 } と置けば B_{r_2}(x) ⊂ B_r(x)∩O となる。これと(1)から
B_{r_2}(x) ⊂ N
となる。よって 0 ＜ m(B_{r_2}(x)) ≦ m(N) ＝ 0 となって矛盾する。
よって、任意のr＞0に対してB_r(x)∩(O∩N^c)≠φが成り立つ。以上より、成立。
8:１３２人目の素数さん
11/10/03 22:13:53.82
補題2の証明：
I＝[0,1]と置く。有理数全体の集合をQと置く。Qは可算集合だから、
Q＝{p_k｜k＝1,2,3,…} と番号づけて表示できる。
O ＝ ∪[k＝1～∞] B_{ 0.01^k }(p_k)
と置くと、明らかに
Q ⊂ O … (1)
である。また、Oは開集合であり、
m(O) ≦ Σ[k＝1～∞] 2*0.01^k ＝ 2/99
が成り立つ。次に、K＝I∩O^c と置く。このKが求めるKである。以下でこれを示す。
まず、Kは明らかに閉集合である。次に、
I＝(I∩O^c)∪(I∩O)＝K∪(I∩O)⊂K∪O
が成り立つ。よって
1＝m(I)≦m(K)＋m(O)≦m(K)＋2/99
すなわち m(K)≧1－2/99＞0 となる。さらに、K^i＝φである。実際、K^i≠φだとすると、
x∈K^i なるxが存在する。このとき、あるr＞0が存在してB_r(x)⊂K^i が成り立つ。これと
K^i ⊂ K ＝ I∩O^c ⊂ O^c ⊂ Q^c
より、B_r(x) ⊂ Q^c が成り立つことになる。しかし、B_r(x)＝(x－r, x＋r) には
必ず有理数が含まれるから、矛盾する。以上よりK^i＝φである。(終)
9:１３２人目の素数さん
11/10/06 16:53:11.59
>>6-8
証明理解しました
測度が0じゃないカントール集合のようなモノを作ればいい訳ですか
ありがとうございました！
10:１３２人目の素数さん
11/10/19 22:45:57.22
sage
11:１３２人目の素数さん
11/10/20 18:17:33.18
よくわからない問題があるので是非よろしくお願いします。
ｆ（ｘ）＝sin(2πｘ） （0.1)＼Ｑ
∞ （0.1)∩Ｑ
の||f||Ｌ∞（E)
と
g(x)=1/x (0.1)
の||g||Ｌ∞（E)
の二問です。
よろしくお願いします。
12:１３２人目の素数さん
11/10/20 18:26:41.97
>>11
E=(0,1)だとして
どんなに小さいε>0に対しても{x∈E | 1-ε≦f(x)≦1}の測度が0より大きくて
{x∈|E | |f(x)|>1}の測度が0だから ||f||_L∞(E)=1
またどんなに大きいC>0に対しても{x∈E | g(x)>C}の測度が0より大きいから
||g||_L∞(E)=∞
13:１３２人目の素数さん
11/10/20 22:16:41.35
１２番さん
ありがとうございます。
また質問するかもしれないです。
本当にありがとうございます。
14:１３２人目の素数さん
11/10/21 05:28:05.65
pink
15:１３２人目の素数さん
11/10/22 22:56:47.26
R上のルベーグ測度に関する絶対連続測度μを考える
μ-測度収束位相において、C_0^∞(R)がR上μ-可測関数全体のなす線形空間の閉部分空間となる例は有るか？
f_nが測度収束 ∀ε,δ>0∃N∀n,m>N ( m(|f_m-f_n|<ε)<δ)
16:１３２人目の素数さん
11/10/26 18:39:40.84
わからない問題があります。
E∈ｍ ｍ（Ｅ）＜∞
1≦p＜q≦∞のとき
Lq(E)⊂Lp(E)を示せ。
またｆ∈Lp(E)→||f||Lp(E)≦Ｃｏ||f||Lq(E)
となる Ｃo(fによらない）があることを示せ。
お願いします。
17:KingMathematician ◆5lHaaEvFNc
11/10/27 00:04:35.38
q_n(n=1,2,…)を有理数の列ですべての有理数が一度ずつ入る列としよう.
∪(q_n-2^(-n)..q_n+2^(-n)) はBorel可測となりその測度は1以下になるはずだが, 本当にこれでいいのか.
18:KingMathematician ◆5lHaaEvFNc
11/10/27 00:06:45.12
n番目の区間のBorel測度は2^(-n+1)になるから,和集合のBorel測度は2以下になるはずだが,本当にこれでいいのか.
19:１３２人目の素数さん
11/10/27 03:01:10.48
僭越ながら高校生の者です。ルベーグ積分を勉強したいのですがどの教科書がいいですか？
20:１３２人目の素数さん
11/10/27 03:19:15.20
>>19
う～ん。
とりあえずは志賀浩二の「ルベーグ積分３０講」だな。
自分も高校の時に読んで良かった。
ソレ以外だと、適当なのがないな。
21:１３２人目の素数さん
11/10/27 04:51:00.58
中野剛志先生がＴＰＰ賛成論者の詭弁を全滅させたようです
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
中野先生が敗北宣言、暗殺される？
日本が米国の植民地に。すでに９９％手遅れか？
URLﾘﾝｸ(www.nicovideo.jp)
テレビ・新聞にだまされるな。
気づいたら、
「ｍｙ日本」で検索
22:１３２人目の素数さん
11/10/27 08:59:31.16
TPP
23:１３２人目の素数さん
11/10/27 13:48:06.57
経済学部で、測度論を勉強する必要があります。
数学は、高校数学と＋αで止まっています。
30講は読みましたが、あぁいう感じの本は読みにくかったです。
何をいいたいのかって言うと・・・
数学の知識が足りないくせに、なるべく論理的・厳密に測度論を理解したいというわがままな俺に、お薦めの本や、準備段階としてやるべきこと（集合位相は必須？）を教えてください。
目的は確率論です。
24:１３２人目の素数さん
11/10/27 14:14:24.96
>>23
積分と関数解析
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
25:１３２人目の素数さん
11/10/28 08:09:14.27
>>24
難しそうなので別のをお願いします
26:１３２人目の素数さん
11/10/28 08:59:23.83
change!
27:１３２人目の素数さん
11/10/29 10:13:08.13
新井仁之のルベーグ積分講義は厳密だっけな
28:１３２人目の素数さん
11/10/29 10:37:43.20
ルベーグ積分を厳密に書いてる本ってあまりないよ
29:１３２人目の素数さん
11/10/30 23:47:24.47
すみません質問させてください。
整数Z上の測度mで、・m(Z)=1
・(∀b∈Z)(∀A:Z上の可測集合)m(A)=m(A+b)
(A={a_i}としたとき、A+b={a_i+b})
を満たすとする。
このとき、mのような測度が存在するZ上ののσ加法族で最大のものはなんですか？？
30:１３２人目の素数さん
11/10/31 12:22:19.49
>>23
はっきりと言ってあげるね
君には測度論は二年早いよ
数学科ではまず微積分と線形代数を教養課程でみっちりやる
基礎がない君が背伸びしても何も身につかないよ
31:１３２人目の素数さん
11/10/31 13:00:38.86
>>30
経済学部の測度論なので、確率、確率過程が展開できればいいと思うので、厳密にやらなくてもいいと思うよ。
32:１３２人目の素数さん
11/10/31 13:04:44.39
分かった振りしとれば単位くらいはとれるよ。
33:１３２人目の素数さん
11/10/31 13:20:11.70
せや。測度の採点厳しくしたら経済学部の連中の大方は単位取れないw
34:１３２人目の素数さん
11/10/31 13:38:41.79
現代の解析は無限次元解析が主流
したがって、測度も無限次元位相ベクトル空間に値をとるものが重要
35:１３２人目の素数さん
11/10/31 13:40:26.11
無限次元ベクトル値測度が重要なの？
36:34
11/10/31 13:41:25.31
とハッタリをかましておく。
ほんまかいな
37:猫は闇将軍 ◆MuKUnGPXAY
11/10/31 18:03:49.04
>>36
こういう話はアルみたいですけどね：
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
でも普通に使われるのは：
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
だと思います。但し主流かどうかは知りませんが。
猫
38:KingMathematician ◆5lHaaEvFNc
11/11/01 22:33:38.99
自由度が可算でも, いろいろな空間がある.
Nを自然数全体からなる集合とする.
写像f:N→R,でR-{0}のfによる逆像が有限集合になるもの全体からなる空間とf:N→R全体からなる空間がある.
有限個しか0以外にならないほうが扱いやすいこともある.
39:１３２人目の素数さん
11/11/01 23:42:11.90
>>29
Z上のσ加法族Fが条件を満たすとするなら
(∀b∈Z)(∀A∈F) A+b∈F ……(1) という条件を満たさなければいけない
また A+b=A となるような正の整数bで最小の物をAの周期N(A)として
そのようなbがないならAは周期が無いとする
I_k={i∈Z | i/k ∈Z} とする。以下Fは条件(1)を満たすσ加法族とする。
このとき ( A∈F and N(A)=b ) → ( I_b∈F ) が成り立つことは何とか示せる
次に N(A_1)<N(A_2)<... となるような A_1,A_2,...∈Fがあるならば
{0}∈Fが成り立つこと、F=2^Zとなることも示せる
一方2^Zに対して>>29の測度は作れないので
ある自然数N>0があって F は周期がNより大きい元を持たないことになる
そして b>N として以下の F' を考えるとき、F' が I_b と F を含み(1) を満たす
σ加法族となること、また F' がそのようなσ加法族の中で最小となることを示せる
F' = { A'⊂Z | ある A_1,...,A_b ∈ F があって
A' = ((I_b + 1)∩A_1) ∪ ((I_b + 2)∩A_2) ∪...∪ ((I_b + b)∩A_b) となる }
Fに>>29のような測度が存在するとき、F'にもそんな測度があることを示せば
>>29を満たすσ加法族は常にそれより真に大きくてなおかつ条件を満たす
σ加法族を持つことになり最大どころか極大な物すら無いことになる
40:１３２人目の素数さん
11/11/04 07:28:56.56
>>29
何気に面白いなこれ。
ZのかわりにQを使って、んで完全加法性すててジョルダン測度にしたらどうなるだろ？
41:１３２人目の素数さん
11/11/04 11:41:38.97
>>29 を満たす測度空間が全て決定できたのだが、証明が長い(＾o＾)
42:１３２人目の素数さん
11/11/04 11:45:26.87
>>41
まじで！スゴいな。
43:１３２人目の素数さん
11/11/04 11:51:28.92
>>41
うpキボン
44:１３２人目の素数さん
11/11/04 19:22:51.00
全て決定出来たってことは一次元準結晶を離散化したような
なんか扱いが難しそうな奴は>>29を満たす例にならなくて
周期的な集合のみからなる測度空間だけが>>29の例に該当するのかな
45:１３２人目の素数さん
11/11/05 12:23:45.04
>29
その様なmは存在しない。
46:１３２人目の素数さん
11/11/05 14:11:14.60
>>45
>29で書かれている「可測集合」は、ボレル可測集合全体とか
ルベーグ可測集合全体とかの意味ではないぞ。
σ集合体から自分で設定するんだ。
F＝{φ, Z} とすれば、Fはσ集合体。
m(φ)＝0, m(Z)＝1 と定義すれば、mはF上の測度。
そして、測度空間(Z,F,m)は次を満たす。
・m(Z)＝1
・(∀b∈Z)(∀A∈F) A+b∈F
・(∀b∈Z)(∀A∈F) m(A)＝m(A+b)
だから、>>29 が成り立つような測度空間は
少なくとも1つは存在している。
47:１３２人目の素数さん
11/11/05 14:33:59.32
有限集合 Zn={0,1,2,...,n-1} 上の測度空間 {Zn,Fn,m_n} が与えられた時に
A∈F ⇔ ∃An∈Fn A = {a∈Z|∃b∈An a≡b (mod n)} となるZ上の集合族Fが作れて
m(A)をm_n(An)で定義した測度mとあわせて測度空間 {Z,F,m} を作れるよ
これ以外の F の例があるのか>>41に教えて欲しい
48:45
11/11/05 19:38:06.09
あ、そういうことか。
すると （Ｚ，Ｂ，Ｐ） を、
ａ∈Ｚ、Ａ∈Ｂ ⇒ Ａ＋ａ∈Ｂ
を満たす確率測度空間とする。
仮に、Ø≠Ａ≠Ｚ だとする。
ある ｎ∈Ｚ が存在し、
ｎ∈Ａ、ｎ＋１∉Ａ
または
ｎ∈Ａ、ｎ－１∉Ａ
である。
前者の場合、
Ｃ＝Ａ∩（Ａ＋１）∩（Ａ＋２）∩…∈Ｂ
ｎ∈Ｃ⊆｛…，ｎ－２，ｎ－１，ｎ｝
Ｂ∋Ｃ∩（Ｃ＾ｃ－１）＝｛ｎ｝
後者も同様。
よって、Ｂ＝｛Ø，Ｚ｝ 以外にはあり得ない。
49:１３２人目の素数さん
11/11/05 20:39:03.16
>>48
それも間違い。A＝{ 2x｜x∈Z } と置くと、B＝{φ, A, A^c, Z} はσ集合体である。
また、m(φ)＝0, m(A)＝1/2, m(A^c)＝1/2, m(Z)＝1と置くと、mはB上の測度になる。
そして、測度空間(Z,B,m)は次を満たす。
・m(Z)＝1
・(∀b∈Z)(∀A∈B) A+b∈B
・(∀b∈Z)(∀A∈B) m(A)＝m(A+b)
50:１３２人目の素数さん
11/11/05 20:41:20.45
ｎ∈Ｃ がどっから出てきたのか気になるわー
51:１３２人目の素数さん
11/11/05 20:41:58.61
抜けてた。
つまり、何が言いたいかというと、>>49 により、
B＝{φ, Z }以外にも存在するということ。
52:１３２人目の素数さん
11/11/05 20:43:34.12
何を言うてんの君
もう帰りや
53:１３２人目の素数さん
11/11/05 21:02:09.44
阿保の雑記帳
54:45
11/11/05 21:45:20.57
なるほど、確かに48は駄目だね
55:１３２人目の素数さん
11/11/19 08:34:53.73
電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索
56:１３２人目の素数さん
11/11/19 08:35:54.64
魂は幾何学
誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
無差別で猥褻、日本は危険
知ったかブッタの日本人
失敗作
57:１３２人目の素数さん
11/11/22 03:20:45.83
>>29
Zを整数の集合、FをZ上のσ集合族として測度空間(Z,F,m)が次を満たしたとする
(1)m(Z)=1
(2)(∀n∈Z)(∀A∈F) A+n∈F
(2)(∀n∈Z)(∀A∈F) m(A)=m(A+n)
まず{0}∈FならF=2^Zとなることと(1)～(3)を満たす(Z,2^Z,m)は存在しないことに注意する
A≠φとなるA∈Fをとってきて I_A=∩{a∈A}(A-a) とおくと(2)よりI_A∈Fである
0∈I_A より ∃i∈I_A(i≠0) が成り立つ。また i∈I_A, n∈Z → in∈I_A と i,j∈I_A → i+j∈I_A
となることを使えば、ある数n_Aがあって I_A={..., -2n_A, -n_A, 0, n_A, 2n_A, ...} だと示せる
次に I_F=∩{A∈F, A≠φ}I_A とおけば I_A の候補は可算個しかないので
右辺は実質は可算個の集合の共通部分になり I_F∈F となる
また 0∈I_F よりある数n_Fがあって I_F={..., -2n_F, -n_F, 0, n_F, 2n_F, ...} だと示せる
そして F' を I_F, I_F + 1,...., I_F + n_F -1 で生成されるσ集合族とすると(2)よりF'⊂Fである
A∈F, A≠φ ならば I_A は適当な数列 a_1,...,a_k があって I_A=∪_l (I_F + a_l) となるので
I_A ∈ F' である。また A = ∪{a∈A} (I_A + a) なので A∈F' である
よって F⊂F' より F=F' となる
以上より (Z,F,m) が(1)～(3)を満たすσ集合族ならば、ある数n_Fがあって
Fは I_F, I_F + 1,...., I_F + n_F -1 で生成されるσ集合族となることが分かる
という風に Z をもっと一般の可算環（って言葉あるっけ？）に出来そうな証明が出来た
58:１３２人目の素数さん
11/11/23 05:42:08.85
>>57
＞ i∈I_A, n∈Z → in∈I_A
n≧0のときは簡単だけど、n＜0のときはどうやって証明するの？
59:１３２人目の素数さん
11/11/23 17:19:54.94
>>58
A∈F, i∈I_A とする
B≡A∩(A^c+i)=φならば∀a∈A (a-i∈A) となり -i∈I_A が示せるので
それを証明する。B∈FなのでBは可算集合か空集合になる
Bが可算集合だとすると a2=a1+ni , n∈N となる a1,a2∈B があり
a2-i=a1+(n-1)i∈A となるがこの時 a2∈A+i となってしまうので矛盾する
よって -i∈I_A となる。また一般の n<0 の場合も ni∈I_A となる、って感じで
60:１３２人目の素数さん
11/11/23 19:38:08.77
>>59
サンクス。理解した。しかし凄いな。
61:１３２人目の素数さん
11/11/23 21:26:21.53
E＝[0.2]とし 非負単関数列sn E=[0.∞）が次で与えられている。
sn(x)= n (f(x)≧nのとき）
k/2^n(k/2^n≦f(x)≦k＋1/2^n) k=0.1.2・・・n2^n-1
のときf(x)=√x
(1)∫sn dxを求めよ (2)(1)のlim
の二問お願いします。
62:１３２人目の素数さん
11/11/23 22:21:00.41
>61意味不明
63:１３２人目の素数さん
11/11/23 23:40:46.88
62
√xの面積をルベーグ積分の定義で計算したいのです。
64:１３２人目の素数さん
11/11/26 22:39:33.97
いやそういうことじゃなくて、書いてあることが矛盾に満ちていて意味不明ということ
例えば、
> 非負単関数列sn E=[0.∞）が次
と、関数列と領域が何の脈絡もなく併記されているとか、
> E＝[0.2]とし
としておきながら、直後に
> E=[0.∞）
と矛盾したことを書く等
65:１３２人目の素数さん
11/11/27 16:49:10.50
申し訳ないです。
E=[0.2）とし 非負単関列sn E→[0.∞）です。
申し訳ないです。
66:１３２人目の素数さん
11/11/27 19:20:06.70
こりゃ駄目だ
67:１３２人目の素数さん
11/11/27 20:55:25.03
問題文そのまま移してるんですけど・・
68:１３２人目の素数さん
11/11/28 00:41:08.72
E=[0,2]として f(x): E→[0,∞) に対して
非負単関数列 s_n : E→[0,∞)が次で与えられているとする
s_n(x)= n (f(x)≧nのとき)
s_n(x)= k/2^n ( k/2^n≦f(x)≦(k+1)/2^n ( k=0,1,...,n*(2^n-1) ) )
f(x)=√x のとき
(1)∫_E s_n dx を求めよ (2)lim[n→∞]∫_E s_n dx を求めよ
が問題文だとして、(2)は∫_E √x dx だけど
(1)は計算するのめんどそうだ
69:132番目の素数さん
11/11/28 00:47:03.26
そうなんです
2番は楽なんですけど
1番の計算ができないので1番だけでもいいのでよろしくお願いいたします。
70:１３２人目の素数さん
11/11/30 03:31:44.42
やっぱり伊藤清三かなあ
吉田朋広ってどうなんだろ
71:１３２人目の素数さん
11/11/30 04:47:49.21
ルベーグ積分なんて余程のハズレでない限りどの本読んだって同じよ
…という訳にはならないけど学部で必要な知識得るだけだったら同じよ
72:１３２人目の素数さん
11/11/30 13:14:00.96
学部で必要な知識という事なら確かにそうだな
73:１３２人目の素数さん
11/12/02 04:09:15.84
ルベーグ積分って、今でも研究されてるの？
単に、ルベーグ積分ですって言っておいて、
定理を利用すると、証明しやすいってだけじゃないの？
74:１３２人目の素数さん
11/12/03 00:57:51.61
関数解析の問題なんですが
K⊂R^n 有界閉ならばC(K)がバナッハ空間になることを証明せよ
という問題なんですが
区間なら証明できるのですが一般の場合だと
どうすればいいのかわからないのでぜひよろしくお願いします。
75:１３２人目の素数さん
11/12/03 01:16:19.01
>>74
C(K)の収束は関数列の一様収束と同値を使えばできると思う。
76:１３２人目の素数さん
11/12/03 01:43:04.16
７５さん
ということは区間でも大丈夫っすね？
77:１３２人目の素数さん
11/12/03 02:32:45.50
>>76
KがコンパクトであればOK。
78:１３２人目の素数さん
11/12/04 14:29:16.07
>>73
例えば実数全体の集合の部分集合が必ず可測になるような公理の定め方には
どのような物があるか、みたいなのを数理論理学で考えてるのは73の例になるのかな
ならないならもっと別の例を用意せんとな
79:１３２人目の素数さん
11/12/04 15:42:41.12
>>73
研究対象かどうかはしらん。
ルベーグ積分は積分順序の交換ができようにつくられたもの。
80:１３２人目の素数さん
11/12/04 16:30:44.08
>>79
そりゃ見方が狭すぎる． 各種収束定理をお忘れか
81:１３２人目の素数さん
11/12/04 16:34:26.49
今のような形の測度論はコルモゴロフが（ひとまず）完成させた、という認識でいいんでしょうか
82:１３２人目の素数さん
11/12/04 17:05:53.53
>>80
だれかの受け売りです。
ルベーグ、単調、ファトーでしたっけ。
83:１３２人目の素数さん
11/12/04 17:40:57.46
>>82
ですね。 要するに何かの関数を少し抽象的な方法で構成しようというとき，
例えば身近な例だと常微分方程式の解の存在定理をPicardの反復法
で作る証明がありますね。目的とする関数へ収束するであろう関数列を
なんとかこしらえて，その収束先が確かに存在して目的関数が
満たすべき条件を満たしてるということが言いたい場面があるわけです。
Picardの反復法なんかは普通の微積分の範囲で済むんだけどさ。
コンパクト集合上で一様収束する関数列になってくれますからね。
もう少し面倒な，例えば偏微分方程式なんかでは考えてる台が
たとえコンパクトであっても一様収束性を言うのは厳しいなんてことが
よくあるわけです。そういうこところでルベーグ積分の理論が役に立つわけです。
ルベーグ積分が登場するまでの多変数関数論なんか大変だったんです。
とにかく目的関数に収束する関数を，まあ適当な部分列を取ることにしても
とにかく一様収束になるようにしないといけなかったから。
84:１３２人目の素数さん
11/12/09 12:16:40.22
測度さえ与えられれば積分は大抵は難しさもなく定義出来る
ルベーグ積分はルベーグ測度から与えられるもの
ルベーグ測度自体はR^n上の測度で殆ど固定化された定義がある
そう考えればルベーグ積分自体を研究してる人はいないと思うが
ある図形がルベーグ可測か研究してる人や一般的な測度を研究してる人や
ルベーグ可積分な関数全体のなす集合について研究してる人は今も普通にいる
85:１３２人目の素数さん
11/12/09 12:42:34.85
具体的に
86:１３２人目の素数さん
12/01/03 19:09:39.03
選択公理じゃなくてハーンバナッハの定理を仮定して
ルベーグ非可測な集合or関数を作る方法を教えて下さい
87:１３２人目の素数さん
12/01/03 19:36:04.31
Matthew Foreman and Friedriich Wehrung: The Hahn-Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set, Fund. Math., vol.138 (1999), pp.13-19
88:１３２人目の素数さん
12/01/04 23:17:31.00
ばかあげ
89:１３２人目の素数さん
12/01/08 21:24:04.94
選択公理じゃなくて決定性公理を仮定して
ルベーグ非可測な集合or関数を作る方法を教えて下さい
90:１３２人目の素数さん
12/01/08 21:40:14.25
ばかが質問してるぞ
91:１３２人目の素数さん
12/01/09 04:27:35.49
決定性公理はね
92:１３２人目の素数さん
12/01/09 12:29:02.98
公理あげ
93:１３２人目の素数さん
12/01/10 06:18:26.27
>>89
作れません
94:１３２人目の素数さん
12/01/10 15:33:41.19
>>93
決定性公理からは、作れないことが証明できるんですか？
それなら選択公理なんて捨てて、決定性公理をデフォルトの公理にしちゃえば丸く収まりますね。
95:１３２人目の素数さん
12/01/10 16:03:16.56
>>94
君みたいなバカがいなくなれば丸くおさまるよ
96:１３２人目の素数さん
12/01/10 16:49:11.17
>>ルベーグ積分が登場するまでの多変数関数論なんか大変だったんです。
フーン、そうだったのですネ。
一松さんの本、（パラパラと）みてみよう。
97:１３２人目の素数さん
12/01/10 16:51:40.85
>>96
> 一松さんの本、（パラパラと）みてみよう。
haa
98:１３２人目の素数さん
12/01/10 17:06:29.01
>97
faa
99:１３２人目の素数さん
12/01/10 17:07:58.29
pfaah
100:１３２人目の素数さん
12/01/10 20:30:27.58
pu～
101:１３２人目の素数さん
12/01/11 01:19:50.19
面倒くさいから世の中の関数は全部、可測でいい。
102:１３２人目の素数さん
12/01/11 02:34:20.68
>>101
選択公理（＝ツォルンの補題）を諦めればそれでもいいらしいからな。
103:１３２人目の素数さん
12/01/13 07:28:16.74
背理法を諦めれば、世の中の関数は全部連続でいい。
104:１３２人目の素数さん
12/01/13 08:45:34.76
厨房
105:１３２人目の素数さん
12/01/13 08:52:25.68
選択公理のなにが嬉しいのか，さっぱり分からん。
106:１３２人目の素数さん
12/01/13 10:06:55.91
ルベーグ積分や測度論の教科書を読めば、
選択公理の有りがたさが分かるでしょう
107:１３２人目の素数さん
12/01/13 10:19:34.30
選択公理使うと，ルベーグ積分できなくなるじゃん？
108:１３２人目の素数さん
12/01/13 10:24:21.10
ルベーグ非可測集合の存在 …ダネッ！！
109:１３２人目の素数さん
12/01/13 14:22:15.85
>>106
それだけだろ
110:１３２人目の素数さん
12/01/13 14:49:26.22
選択公理はむしろ代数で、Zornの補題の形でしょっちゅう使われるわな
111:１３２人目の素数さん
12/01/13 15:08:50.89
ベクトル空間の基底の存在
112:１３２人目の素数さん
12/01/13 15:48:19.97
すれち
113:１３２人目の素数さん
12/01/13 18:18:50.53
>>106
どこら辺でありがたくなる？
ベールの範疇定理は解析で必須だし、この証明で可算従属選択公理は必要になるけど、
可算従属選択公理だけなら非可測関数の非存在と両立するよ。
114:１３２人目の素数さん
12/01/14 18:56:35.92
exp(-x)を０→∞でルベーグ積分した値とexp(-x)をリーマン積分した値は一致しますか？
115:１３２人目の素数さん
12/01/14 18:58:08.84
>>114の補足ですがリーマン積分の範囲も０→∞です
116:無頓着先生
12/01/14 22:01:08.14
>>115
僕はどうしてそういう疑問をもったのかなー
117:１３２人目の素数さん
12/01/14 22:33:22.33
>>116
ルベーグ積分とリーマン積分の違いについて少し興味を持ったので調べてみたところ、
狭義でリーマン可積分⇒ルベーグ可積分で積分値一致
ですが広義なら常にそうではないとあったので具体的な関数でいうとどうなるのかなと
118:無頓着先生
12/01/14 22:36:02.02
>>117
> 狭義
> 広義
正確にいってごらん
119:１３２人目の素数さん
12/01/14 22:45:39.92
広義の積分
積分範囲が無限
狭義の積分
通常の定積分
120:電話のお姉さん
12/01/14 22:48:21.27
じゃーちがうわね
もういいかな
121:１３２人目の素数さん
12/01/14 22:54:14.80
眠い。
122:１３２人目の素数さん
12/01/14 23:05:55.94
洗濯小売りが一つ
洗濯小売りが二つ
洗濯小売りが三つ
…
洗濯小売りがアレフ0
洗濯小売りがアレフ0+1
…
洗濯小売りがアレフ1
…
洗濯小売りがアレフ2
…
洗濯小売りが(アレフ)^2
…
123:１３２人目の素数さん
12/01/15 07:07:29.95
例えばZFに「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」って公理を追加しただけで
「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」を証明する方法も見つかっていない
軽々と公理変えればいいと言えばいいってもんでもない
124:１３２人目の素数さん
12/01/16 07:31:32.21
「R^nの部分集合は全部ルベーグ可測である」って公理を追加したらいいんでね？
125:１３２人目の素数さん
12/01/17 11:18:08.55
>>124
このばあい、「R^nで定義された関数は全部ルベーグ可測関数である」
となりませんか？
126:１３２人目の素数さん
12/01/17 15:36:29.48
同値なように思われるけれども
127:１３２人目の素数さん
12/01/19 21:45:21.60
>>126
それで､それで､どうなる??
128:１３２人目の素数さん
12/01/21 07:09:25.70
決定性公理から「R^nの部分集合は全部ルベーグ可測である」って導かれるの？
129:１３２人目の素数さん
12/01/23 21:49:15.75
ばかあげ
130:１３２人目の素数さん
12/02/02 05:17:03.30
マーティンの公理ってルベーグ測度や積分に何か関係あるのでしょうか？
131:１３２人目の素数さん
12/02/05 23:24:01.08
吉田洋一のルベグ積分入門ってのを読んでみたけどサッパリわからなかった
132:１３２人目の素数さん
12/02/06 11:21:11.96
>>131
同感。結局，ルベグ積分てなんなんだぁ！！（魂の叫び）
133:１３２人目の素数さん
12/02/06 21:43:39.78
>>131
>>132
私は文系なので、数学ⅠＡⅡＢまでしか知りませんでした。
金融論では確率、微分方程式と測度論が必須ですから、
ルベーグ積分を勉強しはじめました。
しかし、当初、さっぱりわかりませんでした。
それは今から考えると、高校数学と異なる考え方に
全くついていけてなかったことが原因だと思っています。
当初は、何がわからないのかさえ自分ではわかりませんでした。
結局、地道に努力するしかないのです。
いきなりルベーグ積分や測度論の本を読んでも、
１行ずつはなんとかわかっても、全体像は、わからないと思います。
大学で使用する位相、集合、解析学の入門書をよく読んで、
ひとつずつ自分の頭でよく考えて、大学数学というものの
考え方に十分慣れていく必要があります。
がんばってください。
134:１３２人目の素数さん
12/02/06 21:44:50.18
>>131
>>132
追伸：
もし、あなた方が文系なら、まずは数Ⅲを
丁寧にやりなおすことをお薦めします。
135:１３２人目の素数さん
12/02/07 01:05:14.56
>>128
集合論では R も R^n も同相。集合論では R = 2^ω だからね。
よって ZF+DC に「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」って公理を追加したら
自動的に「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」となる。
当然これらは決定性公理から導かれる。
136:１３２人目の素数さん
12/02/07 08:43:26.97
同相って言うなよ……
137:１３２人目の素数さん
12/02/07 09:16:51.39
RとR^nが同相になるってどんな集合論だよ
138:１３２人目の素数さん
12/02/07 09:19:35.90
同型の間違いだろ。
139:１３２人目の素数さん
12/02/07 10:49:07.08
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
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140:１３２人目の素数さん
12/02/07 19:04:00.25
等濃のまちがいじゃねーの？
141:１３２人目の素数さん
12/02/08 01:55:38.72
おいおい、数オタのくせにどいつもこいつも定義が変わると思考停止かよｗｗ
「R = 2^ω」と書いてあるだろうが！(2^ω)^n と 2^ω が同相なんて教養レベルの演習問題。
142:１３２人目の素数さん
12/02/08 02:02:36.63
>>141
その「同相」の英訳は？仏訳でもいいや
143:１３２人目の素数さん
12/02/08 02:06:06.38
homeomorphic
144:１３２人目の素数さん
12/02/08 02:11:50.32
集合論では離散位相辺りを入れるのが常識なの？
145:１３２人目の素数さん
12/02/08 02:14:03.03
ωには離散位相が入っているのが普通。一般に順序数には順序位相が入っているかな、ωの場合はたまたま離散移送になるってだけ。
146:１３２人目の素数さん
12/02/08 02:17:47.82
それは知らなかった。
知っていれば、確かに教養レベルの練習問題だな。
147:１３２人目の素数さん
12/02/08 02:22:58.25
補足すると集合論でも R＝2^ω とは限らず R=ω^ω の場合もある。
要するに集合論では、R をどちらだと思っても（あるいは通常の実直線だと思っても）、
結論が同じになるような話ばかり扱っているので、扱いやすい定義を使っている。
「すべての実数の集合がルベーグ可測」はその例で、どの定義を使っても同値。
なぜならルベーグ零集合を除いて同相だから。
148:１３２人目の素数さん
12/02/08 03:06:11.23
同相じゃないんじゃん。
149:１３２人目の素数さん
12/02/08 05:58:40.33
何言ってんだ？ R＝2^ω や R=ω^ω の定義の下では、R^n は R と厳密に同相だよ。
150:１３２人目の素数さん
12/02/08 07:28:04.61
くそ論スレへ
151:１３２人目の素数さん
12/02/08 07:36:48.58
測度論なんてくそ論の一部だろｗ
152:１３２人目の素数さん
12/02/08 08:35:05.57
R と R^n は集合論だと同相だけど
位相幾何じゃ同相じゃない、とかいうのは
どう好意的に見てもナンセンス
単に濃度にしか依存しない話を扱っているだけなのだから
そういえば良い
153:１３２人目の素数さん
12/02/08 09:01:53.92
R=2^ωなんて定義見たこと無いけど
文献挙げてもらえるかな
154:１３２人目の素数さん
12/02/08 16:05:28.39
>単に濃度にしか依存しない話を扱っているだけなのだから
測度論勉強したことある？
ルベーグ可測性は濃度にしか依存しないなんて、御バカのいうことだｗ
155:１３２人目の素数さん
12/02/08 17:04:40.84
同じ濃度（連続濃度）でも、測度は無限にも有限にも零にも、あるいは非可測にもなりますものね。
156:１３２人目の素数さん
12/02/08 17:09:59.39
それは間違った氷系を採用するからだ
157:１３２人目の素数さん
12/02/08 19:29:25.01
>>135
R^nルベーグ測度はn次元単位立方体に対して1を与え
直交するn方向の並進に対して不変な測度だから
濃度が等しいという理由だけでn=1からn>1が自動的というのは
書き過ぎだと思いますが？
158:１３２人目の素数さん
12/02/08 19:54:26.04
濃度にしか依存しない話というのは測度論じゃなくて
集合論のつもりだったんだが……
159:１３２人目の素数さん
12/02/08 22:07:58.61
ここは数学板だよな？その住人が、数学ではすべてが定義次第ってことを理解できていないのか？
通常とは定義が違うよと２度も注意があったにもかかわらず（しかも1度は定義変更の心の解説つきでだ）、
いまだに自分の定義で話しているバカと、数学なのに「定義がおかしい」と言ってるバカばかり。
「定義がおかしい」が数学的な批判になりうるのは ill-defined っていう批判だけだろ。
どいつもこいつも数学のリテラシーがなさすぎ。
160:１３２人目の素数さん
12/02/08 22:36:10.06
矛盾してないだけで意味の無い話なんて腐るほどあるよ
161:１３２人目の素数さん
12/02/08 22:41:18.39
>>160
「しかも1度は定義変更の心の解説つきでだ」
162:１３２人目の素数さん
12/02/08 22:50:23.86
>>160
意味があるかどうかは数学的内容を理解してから判断すべきものでは？
少なくともいまは
「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」から「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」が導かれるか？
という話をしているのだから、
これを示せているのなら意味のある話ってことでいいんでない？
問題はこれが示せているかどうか数学的内容を見てから判断すればいい。
163:１３２人目の素数さん
12/02/08 23:15:16.84
つまり同相ではない。
164:１３２人目の素数さん
12/02/08 23:18:06.09
だから同型だって
165:１３２人目の素数さん
12/02/08 23:20:57.26
バカばっかｗｗ
166:１３２人目の素数さん
12/02/08 23:25:02.09
>>162
通常の定義と違う時点で興味を失う人が大半じゃねえの？
167:１３２人目の素数さん
12/02/08 23:27:07.80
>>166
最終的なステートメントはどちらの定義でも同値だと>>147が説明しているだろ。
168:１６２
12/02/08 23:38:09.63
言い方が悪かったね。以下のように直せばいいかな？
>>160
意味があるかどうかは数学的内容を理解してから判断すべきものでは？
少なくともいまは
「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」から「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」が導かれるか（ただしRは実直線）？
という話をしているのだから、
これを示せているのなら意味のある話ってことでいいんでない？
問題はこれが示せているかどうか数学的内容を見てから判断すればいい。
169:１３２人目の素数さん
12/02/08 23:38:45.51
>>167
でもその理由を説明しているなぜなら～以下が意味不明だよね
170:１３２人目の素数さん
12/02/08 23:41:04.80
頭悪いんじゃね？測度論勉強しなおした方がいいよ。
171:１３２人目の素数さん
12/02/08 23:48:35.84
ていうかωって何？
172:１３２人目の素数さん
12/02/08 23:49:09.81
＞「すべての実数の集合がルベーグ可測」はその例で、どの定義を使っても同値。
＞なぜならルベーグ零集合を除いて同相だから。
これがちょっと意味わからないよね
2^ωとω^ωと通常のRはどれも同相じゃないし
173:１３２人目の素数さん
12/02/08 23:52:17.48
同相じゃないからわざわざ「ルベーグ零集合を除いて」とついているんだろ。
174:１３２人目の素数さん
12/02/08 23:56:12.27
ていうかそもそも2^ωやω^ωのルベーグ測度はどうやって定義するんだ
175:１３２人目の素数さん
12/02/08 23:59:41.38
だからωって何なんだ？
R=2^ωって意味不明なんで教えろ
176:１３２人目の素数さん
12/02/09 00:00:42.61
標準的な2^ωやω^ω上のルベーグ測度、と言ってもいいが、
「ルベーグ零集合を除いて同相」から induce される測度と言ってもいい。
（この場合、2^ωやω^ω側に測度がまだ定義されていないので
「ルベーグ零集合」も定義されていないが、同相から外れた部分は零集合という意味。）
177:１３２人目の素数さん
12/02/09 00:00:46.63
ωはキンタマにきまっとるやろ
178:１３２人目の素数さん
12/02/09 00:09:10.21
スレたたてたよ、移動してね
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
179:１３２人目の素数さん
12/02/09 00:32:02.79
ここの住人には、測度論の基本的な知識もないのかね？
「ルベーグ零集合の任意の部分集合はルベーグ可測」という基本的知識があれば
>>147の解説で十分分かると思うんだがね。
180:１３２人目の素数さん
12/02/09 00:32:59.92
つまりその「ルベーグ零集合を除いて同相」をどうやって構成するかが
議論の肝なわけだ。決定性公理が必要になるのもここなのかな？
181:１３２人目の素数さん
12/02/09 00:34:52.68
すれちだ
182:１３２人目の素数さん
12/02/09 00:36:55.57
>>168のステートメントを示すのに決定性公理は全く関係ない。
決定性公理は「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」を導くというだけ。
183:１３２人目の素数さん
12/02/09 00:41:05.96
Cantor空間が[0,1]の測度１の部分空間として埋め込める、って有名な定理でないの？
(0,1)と通常のRが同相なんだからそれで終わりじゃんｗ
184:１３２人目の素数さん
12/02/09 00:42:41.86
あ、失礼、Cantor空間2^ωじゃなくて、Baire空間ω^ωね。
Cantor空間はコンパクトだから無理。
185:１３２人目の素数さん
12/02/09 00:43:26.56
ω^ωが無理数全体と同相なのは知ってる
186:１３２人目の素数さん
12/02/09 00:44:37.95
>>185
有理数全体はルベーグ零集合なんだから、それで終ってないか？
187:１３２人目の素数さん
12/02/09 00:44:44.93
2^ωにもω^ωにもちゃんと名前があるのに
なんでR=2^ωと定義する、なんて言うんだ！
188:１３２人目の素数さん
12/02/09 00:47:45.18
>なんでR=2^ωと定義する、なんて言うんだ！
私がそう名付けたわけじゃない。
記述集合論（測度論その他の研究）では、
そういう言い回しが定着してるんだから仕方ない。
189:１３２人目の素数さん
12/02/09 00:50:30.25
だからωは一体何を指してるのかと聞いてる
どうして誰も答えてくれないの？
2＾ωって冪集合なの？
190:１３２人目の素数さん
12/02/09 00:54:32.38
Cantor空間とBaire空間でぐぐれ
191:１３２人目の素数さん
12/02/09 01:01:33.27
>>190でググったらただの自然数じゃねえかよ
ωが何かを聞いてんだから自然数だと言えばいいだろうがハゲが
192:１３２人目の素数さん
12/02/09 01:03:17.80
うるせえ！
193:１３２人目の素数さん
12/02/09 01:04:46.88
普通の数学的知識があれば>>141-146あたりでωが何かは推測付くだろ。
教えてクンかよ、おまえは。
194:１３２人目の素数さん
12/02/09 01:06:09.15
>>193
は？
そうに決まってんだろハゲが
195:１３２人目の素数さん
12/02/09 01:17:05.91
てか、ルベーグとか測度論は勉強したけどこんな話知らんかったがな
基礎論とかが出てくるし
ただの2＾ωとかω^ωとかをカントールだとか偉そうな名前付けてるしｗｗｗ
196:１３２人目の素数さん
12/02/09 01:20:36.34
「ルベーグ零集合を除いて同相」っていうか「可算個の点を除いて同相」だな。
197:１３２人目の素数さん
12/02/09 01:27:23.80
確かに>>147のどこに説明不足があったのかわからんな。
198:１３２人目の素数さん
12/02/09 04:07:36.18
>R と R^n は集合論だと同相だけど
>位相幾何じゃ同相じゃない、とかいうのは
>どう好意的に見てもナンセンス
これって
「(N,+) は高校までは単位元がないけど、
大学じゃ単位元がある、とかいうのは
どう好意的に見てもナンセンス」
というのと同じだね。
199:１３２人目の素数さん
12/02/09 04:14:58.12
>>176
殆ど全てが例外だから、同相なんだとか馬鹿な主張してるわけか。
200:１３２人目の素数さん
12/02/09 08:26:16.68
記述集合論は測度論その他の研究とは違うので
誤解を呼ぶ書き方は止めてちょ
代数的整数論（可換環の研究）と書くよりもっと酷いくらい
201:１３２人目の素数さん
12/02/09 08:28:57.29
記述集合論と測度論の関係についてkwsk
202:１３２人目の素数さん
12/02/09 18:27:23.16
まあ、あれだ、数オタなんて「数学は定義が・・・」と偉そうに言ってるが
所詮は人間、見慣れない定義がでてきた途端に簡単なことも意味不明になってしまう、
そういう良い例だｗ
203:１３２人目の素数さん
12/02/09 19:29:46.17
>>202
小平先生も、人の証明を読んで間違いがないことは確認できても、わかったといえないことがある、みたいなことを書いてるし。
慣れてないと、わけわからんことはあるさ。
204:１３２人目の素数さん
12/02/09 21:15:10.22
RとR^nが同相かどうかは
＞R をどちらだと思っても（あるいは通常の実直線だと思っても）、
＞結論が同じになるような話
だと言っているという理解で良いですか？
一点付け加えて拡大したら任意の位相空間はコンパクトになる事くらい知ってるでしょう？
（ルベーグ零集合を除いて）全ての位相空間はコンパクト空間だということで良いんですか？
同相かどうかは一点取り除いたり付け加えたりしただけで保たれない性質なんだから
測度論的に意味のある違いが無くても、位相空間としても同じだとか言っちゃダメだと思うよ。
205:１３２人目の素数さん
12/02/09 22:01:06.91
>>204
あほ。スレの流れから「結論」がどれだか読み取れないアスペだなｗ
206:１３２人目の素数さん
12/02/09 22:04:45.31
いや単純に>>172がルベーグ測度の完備性を知らなかっただけじゃない？
見たことあっても、身についていないっていうか。
207:１３２人目の素数さん
12/02/09 22:30:58.15
2^ωとR^nはどういう風に同一視するんですか？
普通の全単射取るともう滅茶苦茶になって
並進不変（平行移動しても測度は同じ）じゃなくなるからまずいと思う
208:１３２人目の素数さん
12/02/09 22:49:01.54
まだ分かっていない者もおるようだからオジサンが解説してあげよう。
１、「非可測集合が存在するか否か」という問題は、
(※)空以外の開集合が正測度を持つ完備な測度空間
については「零集合を除いた同相」によって不変。
（ここで「零集合を除いた同相」では、測度自体は変わるが
零集合は零集合にうつることに注意。）
２、従って「非可測集合が存在するか否か」という問題の対象は、
測度空間というより、
(※)の「零集合を除いた同相」という同値関係による同値類と考えるべきである。
３、すると目的の結論は「R と R^n が同じ同値類である」となる。
（R と R^n と、それらの同値類を以下混同する。）
４、これを示す為に、R と R^n の代表元として、
ω^ω と (ω^ω)^n を（2^ω と (2^ω)^n でもいいが）取ろう。
するとこれらは同相だから当然ながら同値である。
これだけのことだ。
209:１３２人目の素数さん
12/02/09 23:01:12.78
ここの住人は初学者が多いんだから、
★★時と場合によって（考えている問題によって）同一視の仕方を替える★★
っていう抽象的な議論になれていないんじゃなかな。
>>207
並進不変とかってこの場合何も関係ないでしょ？
「並進」の構造はいまは無視していい。
210:１３２人目の素数さん
12/02/09 23:44:11.70
同相がhomeomorphicって上で出てたが
どう考えてもRとR^nは同相=homeomorphicではない
card(R)=card(R^n)と間違えてる初心者君なんだろうな
しっかり勉強するまでROMってろよ
211:１３２人目の素数さん
12/02/09 23:51:16.24
>>210
それネタのつもり？つまんない
212:１３２人目の素数さん
12/02/10 00:21:11.03
分かってないのに自信満々でズレまくりのレスが沢山って、
いいねこういうの、２ｃｈらしくて素晴らしい。
213:１３２人目の素数さん
12/02/10 00:48:47.73
>>212
じゃあ分かるように説明してくれ
あと参考文献もあげてくれ
勉強するから
214:１３２人目の素数さん
12/02/10 00:50:50.46
>>208の説明で分からんのなら無理だろうね。
抽象的な数学的議論にもっと慣れてきてから出直してね。
215:１３２人目の素数さん
12/02/10 00:56:13.85
>>214
だから分かんないから参考文献挙げてって頼んでるんだよ
どの本のどの章あたりとかでいいから
俺の方で勝手に勉強しとくから
無理かどうかはそのあとで決める
取り敢えず目は通してみたい
これお願いしてるんだよ
216:１３２人目の素数さん
12/02/10 01:58:41.44
>>215
そもそも君がどの程度、測度論を知っているかが分からないと。
それに、色々な結果を使ってるのだから、一つの文献にまとまって書いてあるとも限らない。
せめてどこが分からないから（例えば>>208の１～４の内のどれ、とか）
その部分の参考文献を教えて、と聞くべき。
217:１３２人目の素数さん
12/02/10 02:44:44.92
同型類が分かったとしても、それに属する個々の元がわかるわけではない。
218:１３２人目の素数さん
12/02/10 03:08:06.10
>>216
Rと2＾ωが同相のところ
同相が「連続全単射かつ逆写像も連続」ではなさそうだし
その同相の定義とRと2＾ωが同相ってのを確認できる文献
測度論は伊藤清三全部読んだからいいよ
以上よろしくおねがいします
219:１３２人目の素数さん
12/02/10 03:09:56.74
>>216
間違った
RとR^nが同相、つまり4のところ
220:１３２人目の素数さん
12/02/10 03:15:23.49
同相は「連続全単射かつ逆写像も連続」以外の意味はないだろｗ
(2ω)^n と 2^ω が同相っていうのが分からんのか？
221:１３２人目の素数さん
12/02/10 03:26:08.44
>>220
そうならRとR^nは同相じゃないじゃないか
？？
222:１３２人目の素数さん
12/02/10 03:44:22.16
あー、零集合を除いた同相という同一視を同相と表現していたんだな
223:１３２人目の素数さん
12/02/10 03:46:11.40
R=2^ω とか R=ω^ω という（通常とは違う）定義の下で R と R^n が同相って書いてはあるけど、
通常の実数直線の意味で R と R^n が同相だなんて誰も言っていないんだけどね。分かってる？
224:１３２人目の素数さん
12/02/10 04:00:19.68
>>223
Rと2＾ω、ω＾ωが零集合を除いて同相ってことじゃなかったの？
225:１３２人目の素数さん
12/02/10 08:45:45.09
>>224
別にそれがメインの主張ではない。が、勿論、その主張は正しい。
226:１３２人目の素数さん
12/02/10 20:12:29.55
つまり、誰も言ってないというのは間違いだと認めたわけだ。
227:１３２人目の素数さん
12/02/10 22:39:41.70
>>226
下手くそ、釣りならもっとうまくやれよ。
228:１３２人目の素数さん
12/02/10 23:07:29.52
釣りではなく、負け惜しみに見えるが。
229:１３２人目の素数さん
12/02/11 05:20:47.43
集合論で R を 2^ω や ω^ω と同一視するのは、
零集合を除いて同相だからというより、
もっと強いことがいえて可算集合を除いて同相だからだと思う。
別に測度だけ扱っているわけじゃない、Baireの範疇とかも考えるし。
だからと言って位相幾何みたいに位相空間として扱っているわけでもない。
可算個を除いて同相、で定義されるような構造として R を見ているのだと思う。
230:１３２人目の素数さん
12/02/11 07:15:06.65
-200％意味不明
231:１３２人目の素数さん
12/02/11 16:00:39.34
>>-200％意味不明
意味不明
232:１３２人目の素数さん
12/02/12 02:22:37.92
「とってもよく意味が分かる」とか
「意味が分かりすぎて面白くない」とか、
そういうことを言いたいのでは？
233:１３２人目の素数さん
12/02/12 03:34:30.47
「集合論では等濃でしかものを見ない」というのは、
「数学では答えは一つ」などという無知な一般人の誤解と同じようなものである。
234:１３２人目の素数さん
12/02/12 04:24:57.25
こちらでどうぞ
俺様の測度と積分論
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
235:１３２人目の素数さん
12/02/12 05:37:37.74
「集合論ではR^1のすべての部分集合が可測となる話しかない」という234の前提も
「数学では答えは一つ」などという無知な一般人の誤解と同じようなものであるｗｗ
236:１３２人目の素数さん
12/02/12 06:45:05.88
測度論を道具ではなく研究の対象にしているのは、
いまどき集合論くらいのものなのだから、
このスレが集合論スレの一つになるのは自然なことだな。
237:１３２人目の素数さん
12/02/12 07:15:17.75
age
238:１３２人目の素数さん
12/02/12 08:00:57.42
集合論ではルベーグ積分も研究されていますか？
239:１３２人目の素数さん
12/02/15 04:26:20.16
教科書は何がおすすめ？
240:１３２人目の素数さん
12/02/15 19:17:30.75
とりあえず伊藤清三買っとけ
241:１３２人目の素数さん
12/02/16 09:43:20.54
測度論では外測度から可測集合を定義しますよね？
その時に可測集合族は「外測度がその集合族上で測度となるようなσ加法族」の中で最大のものと言えるのでしょうか？
242:１３２人目の素数さん
12/02/16 11:09:02.92
>>241
それはたとえば有限加法的測度から測度を構成するときですね
（有限加法的測度のような「元ネタ」がないと外測度が定義できない）
Γ可測集合の定義 Γ(A∩E)+Γ(A∩E^c)≦Γ(A) for all A
だから Γ(B∩D)+Γ(B∩D^c)＞Γ(B) for some B
なる D を追加できるるかという問題とすると
外測度の定義に基づいてΓ(B)をΓ(I_n)で近似 したとき
加法性が十分大きなnで破れる（から追加不可能よって最大）
ということでどうでしょう？
243:１３２人目の素数さん
12/02/16 13:29:06.20
>>242
ご回答をありがとうございます。
確かにジョルダン測度から構成された外測度なら可測集合族が｢最大｣と言えます。
それで一般の外測度ではどうかと思って質問させて頂いたのです。
244:１３２人目の素数さん
12/02/18 10:08:39.41
x∈(-1,2)ならA(x)=x^2 , x∈R-(-1,2)ならA(x)=0 とする
f(x)∈L^1(R) かつ ∫_R f=1 とする
このとき lim[t→∞] ∫_R f(x)A(tx)dx はどう求めればいいですか
245:１３２人目の素数さん
12/02/18 14:20:56.97
A=x^2 (-1/t,2/t)
Σf(x)(2/t-(-1/t))((-1/t)^2)=3Σ(1/t)^3f(x)<SfAdx<3Σ(1/t)(2/t)^2->0
246:１３２人目の素数さん
12/02/18 14:26:14.29
SfAdx<3Σf(x)(1/t)(2/t)^2->0
247:１３２人目の素数さん
12/02/18 16:23:42.28
∫_R f(x)A(tx)dx=∫ f(x)x^2dx (-1/t,2/t)->Sf(0)0^2
248:１３２人目の素数さん
12/02/19 03:43:03.20
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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249:１３２人目の素数さん
12/02/19 12:05:02.62
ガロアがツイートすれば。。。
250:１３２人目の素数さん
12/02/19 13:25:13.09
アーベルとかいうイケメンを見たお（ ＾ω＾）
251:１３２人目の素数さん
12/02/19 19:42:14.40
>>94 釣りですか？
252:１３２人目の素数さん
12/02/21 08:59:44.05
>>241,243
それは両方あると思います
X={1,2,3} 上の外測度Γで
Γ可測集合族がΓを測度にする最大の定義域になる場合と
広げられる場合が作れる
と思います
>>243 の疑問を最初から持っていたならば
ご自身で検討できると思いますのでお任せします
忙しくてすっかり２ｃｈに来ることが無くなりました
この件ではこれで立ち去ります
253:１３２人目の素数さん
12/02/21 10:06:16.95
すみません >>252 を取り消します
あらためて >>241,243 さんに
「Xが有限集合のときはどうか？」という問題を提出します
私が次に戻ってくるまでこのスレがあるかどうか分かりませんが
254:１３２人目の素数さん
12/02/21 20:44:49.13
>>252、>>253
お答え頂きありがとうございます。最大とならない場合をつくることまではしていなかったので考えてみようと思います。
ただ、この問いは基本的なものだと思うのですが、
測度論の本をいくつか読んでみても書いてないのは不思議です…
255:１３２人目の素数さん
12/02/22 07:27:40.99
ほとんど定義から明らかだと思うのだが
256:１３２人目の素数さん
12/03/10 04:28:14.32
というわけでRとR^nは同相なのね
257:１３２人目の素数さん
12/03/14 02:35:48.98
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258:１３２人目の素数さん
12/03/15 06:18:57.36
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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259:１３２人目の素数さん
12/03/16 07:30:03.77
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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260:１３２人目の素数さん
12/03/17 00:21:02.41
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261:１３２人目の素数さん
12/03/17 05:07:36.06
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262:１３２人目の素数さん
12/03/17 09:41:24.08
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12/03/17 17:11:52.57
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264:１３２人目の素数さん
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