11/08/18 11:06:23.27
R:可換環
S:Rの乗法的部分集合
(a,s),(b,t)∈R×S
として,R×Sにおける関係～を
(a,s)～(b,t)⇔(∃u∈S)[(at-bs)u=0]
と定義すると～は同値関係で,この同値関係でR×Sを類別したとき
(a,s)を含む同値類をa/sと表し,同値類全体をS~Rと表す.
S~Rに以下の演算を定義する:
加法:a/s+b/t = (at+bs)/st,
乗法:(a/s)(b/t) = ab/st.
S~Rは可換環である.
S~Rを,RのSによる商環と呼び,
特にSがRの非零因子の全体であるとき,S~RをRの全商環と呼ぶ.
SがRの非零因子のみからなるとき
aとa/1を同一視してRはS~Rの部分環であると考えてよい.
Rが整域のとき,その全商環Kは体であり,Rの商体と呼ぶ.
有理数体Qは有理整数環Zの商体である.
と
代数学(新数学講座 4)
に書いてある。
商体の演算で
(a/b)(1/c) = a/bc