11/04/24 21:12:48.23
>>3がさらっと
＞x,yの小数部をa,bとする。(0<a,b<1)
＞[x]+[y]=[x+y]は
＞[a]+[b]=[a+b]が必要十分条件。
と書いているが、
一般のnについてこれをきっちりと示そうと思う。
任意の実数xは、床関数floorを用いて
x=a+b
a=floor(x)
b=x-a
と表せる。
このとき0≦b<1である。
これを用いて題意の式を表現し直すと
∑[i=1,n][ai+bi]=[∑[i=1,n](ai+bi)]
∑[i=1,n](ai+[bi])=[∑[i=1,n]ai+∑[i=1,n]bi]
∑[i=1,n]ai+∑[i=1,n][bi]=∑[i=1,n]ai+[∑[i=1,n]bi]
∑[i=1,n][bi]=[∑[i=1,n]bi]
したがって、題意のxiは任意の実数であるが、
区間[0,1)内の実数を考えればよい。