10/11/16 23:29:13
初等数論の問題をいろいろ挙げてみましょう^^
(なるべくは初等数論の領域で解ける問題が望ましいです^^)
そもそも初等数論とは何かがわからない人は
次のURLにあるページのElementary number theoryの項を参照に^^
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
ただ曖昧な部分もあるので その点は融通を利かせましょう^^
なるべくそこらへんに転がっていない問題を挙げましょう^^
有名どころの問題の解答はネットで すぐみつかっちゃいます^^
たとえば、国際数学オリンピックの問題などはまさにその典型です^^
そのような有名すぎる問題を挙げても それは大抵は既に十分に議論されています^^
(しかしながら、何らかのオリジナル要素(改変,拡張etc)を加えたものなら歓迎^^)
また、解答が事前に用意されていない問題を挙げるときは そのことを明記しておきましょう^^
初等数論の問題を解くときはいくらかの道具を想定しておくのが基本です^^
以下のURLにたくさんの良く知られた道具(記号の説明含む）がありますので参考にどうぞ^^
URLﾘﾝｸ(www.artofproblemsolving.com)
2:１３２人目の素数さん
10/11/16 23:32:46
前スレで未解決の問題です^^
① (m,n)＝(2,3),(2,5),(3,2),(5,2)のとき、
x+y+z=0を満たす任意の実数x,y,zに対して
(x^{m+n}＋y^{m+n}＋z^{m+n})/(m＋n)＝(x^m＋y^m＋z^m)(x^n＋y^n＋z^n)/mn
が成り立つことが分かっている。他に整数解(m,n)は存在するか？全て求めよ
② 以下の条件を満たす正の整数(a,x,y,n,m)の組をすべて求めよ
a(x^n－x^m)＝(ax^m－4)y^2
m≡n (mod 2) かつ ax は奇数
③ 自然数Nの10進表示を a[1]a[2]..a[n] 等とする。
N = (a[1]+2)*(a[2]+2)*...*(a[n]+2)
を満たすような自然数Nを全て求めよ。
④ フィボナッチ数列類似の多項式列{F(n)}を次のように定義する：
F(0) = 0, F(1) = 1, F(n+2) = F(n+1) + x^n F(n).
このとき、任意の自然数nに対して、
F(5^n) は 1 + x + x^2 + … + x^(5^n - 1) で割り切れることを示せ。
⑤f^3=g^2+1 を満たすf,g∈C(X)＼C は存在するか。
(C(X)は複素係数の有理関数体のことです^^)
3:１３２人目の素数さん
10/11/16 23:41:15
皆さんおやすみです^^
⑥123456a+234567b+345678c+456789d+567890e+678901f+789012g
+890123h+901234i=123456789 を満たすような
0以上の整数a,b,c,d,e,f,g,h,iを求めよ。
⑦自然数x_1, x_2, ..., x_nが
1/x_1+1/x_2+...+1/x_n=1 を満たすとき
x_1+x_2+...+x_n の最大値を求めよ。
⑧x^2+ax+b, x^2+bx+a がともに整数根をもつような整数a,bの組を全て求めよ。
⑨2^x+3^yが19で割り切れるような正整数x,yの組は
どのくらいの割り合いで存在するか。
⑩a^a*b^b=c^c を満たす整数a,b,c＞1の組は無限に存在するか。
⑪次の条件を満たす素数p,qの組を全て求めよ。(New! 容易)
[条件]
p*q は三角数であり、p+q は平方数である。
4:１３２人目の素数さん
10/11/17 01:24:56
猫に小判、まで読んだ。
5:アゲ猫 ◆MuKUnGPXAY
10/11/17 02:58:40
猫
6:１３２人目の素数さん
10/11/17 05:35:05
/＼ /＼
/:::::::ヽ＿＿＿＿/::::::::ヽ、
丿 ::.__ .::::::::::::: __ ::::ヽ_ ,. ､ / ／
／ ／● ヽ_ヽｖ /: ／●ヽ ::::::ヽ ,.〃´ヾ.、 / ／
/ ／￣￣√_＿＿丶 ￣￣＼ ::::| ／ |l ', / ／
| .:::::::::: / / ｔｰｰｰ|ヽ ..::::: ::|r'´ ||--‐r､ ',
| .:::::. ..: | |ヽ .,..ィ'´ l', '.j '. おれは猫さまだｗ
| ::: | |⊂ニヽ| | 'r '´ ',.r '´ !| ＼
| : | | |:::T::::| ! l! ....:.:.:.:.:.:ヽ､ ,ｌ ＼
＼: ﾄ--^^^^^┤ ゝ､.,_ ---‐‐‐----ゝ､ノ
7:１３２人目の素数さん
10/11/17 08:21:16
321
8:１３２人目の素数さん
10/11/17 09:58:01
三ケタ以内の素数の中で、もっともエロイ
自然数は何か。
また 三ケタ以内の自然数の中で
最もニートな自然数は何か。
9:１３２人目の素数さん
10/11/17 11:42:57
127はエロいね
0721に似ている
210はまさにニートだね
10:猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY
10/11/17 16:16:37
/＼ /＼
/:::::::ヽ＿＿＿＿/::::::::ヽ、
丿 ::.__ .::::::::::::: __ ::::ヽ_ ,. ､ / ／
／ ／● ヽ_ヽｖ /: ／●ヽ ::::::ヽ ,.〃´ヾ.、 / ／
/ ／￣￣√_＿＿丶 ￣￣＼ ::::| ／ |l ', / ／
| .:::::::::: / / ｔｰｰｰ|ヽ ..::::: ::|r'´ ||--‐r､ ',
| .:::::. ..: | |ヽ .,..ィ'´ l', '.j '. ワシは口先猫やがなｗ
| ::: | |⊂ニヽ| | 'r '´ ',.r '´ !| ＼
| : | | |:::T::::| ! l! ....:.:.:.:.:.:ヽ､ ,ｌ ＼
＼: ﾄ--^^^^^┤ ゝ､.,_ ---‐‐‐----ゝ､ノ
猫
11:１３２人目の素数さん
10/11/18 18:33:54
Wilsonの定理:
n≧3 とする。このとき、
(ｎ-1)!≡-1 mod n <=> n:素数
12:１３２人目の素数さん
10/11/20 22:38:47
>>11
・pが素数のとき
{1,2,…,p-1} は乗法群をなし、位数1の元は1, 位数2の元は p-1 のみ。
位数3以上の元x では x≠x^(-1) だから {x,x^(-1)} をペアにすれば
(n-1)! ≡ Π (位数2の元) = p-1 ≡ -1 (mod p),
・n=4 のとき
(n-1)! = 3! = 6 ≡ 2 (mod 4)
・nが4より大きい合成数のとき、
{1,2,……,n-1} 中に n|ab…, a≠b なる {a,b,…} があるから
(n-1)! ≡ 0 (mod n)
n=p^2 (p≧3) のとき {p, 2p}
n=p^k (k≧3) のとき {p, p^(k-1)}
n=Π[i=1,m] (p_i)^(e_i) のとき {(p_1)^(e_1), (p_2)^(e_2), ……, (p_m)^(e_m)}
13:shin hattori
10/11/21 00:40:35
>>1
⑨
[2],[3]∈(Z/19Z)* は生成元であるから、
答えは 1/18 の割り合いで存在している。
⑧
x^2+ax+b, x^2+bx+a (|a|≧|b|)が共に整数根を持っていたと仮定する。
このとき、a^2-4b, b^2-4a は共に平方数(0も含む)であるといえる。
(逆に a^2-4b, b^2-4aが平方数ならば 問題の2つの多項式は整数根を持つ)
A=a^2-4b, B=b^2-4a とおく。a,bの符号に応じて場合をわける。
1) b=0 であるとき
A=a^2, B=-4a であるから、a= -m^2(m:非負整数)となる。
2) a,b＞0 であるとき
a≦6ならば (a,b)=(4,4),(6,5)であることはすぐ確認できる。
a≧7ならば (a-3)^2＜a^2-4a≦A＜a^2 の成立がいえる。
これとAのパリティから A=(a-2)^2 の成立がいえる。
A=(a-2)^2 ⇔ a^2-4b=a^2-4a+4 ⇔ -4b=-4a+4 ⇔ b=a-1
このとき、B=b^2-4a=(a-1)^2-4a=a^2-6a+1 であるから、
(a-5)^2＜B＜(a-3)^2 がいえるので、B=(a-4)^2 となるが、
両辺のパリティが一致することはない。
14:shin hattori
10/11/21 00:41:52
3) a＞0 かつ b＜0 であるとき
a^2＜A≦a^2+4a＜(a+2)^2 がいえるから
A=(a+1)^2 がいえるが 両辺のパリティは一致しない。
4) a＜0 かつ b＞0 であるとき
a≧-4 ならば (a,b)=(-2,1),(-3,2),(-4,3) がすぐ確認できる。
a＜-4 ならば (a+4)^2＜a^2+4a≦A＜a^2 がいえるから、
Aのパリティもみることで A=(a+2)^2 ⇔ a^2-4b=a^2+4a+4 ⇔ b=-(a+1)
このとき、B=b^2-4a=(a+1)^2-4a=(a-1)^2 となっている。
5) a,b＜0 であるとき
a^2＜A≦a^2+4a＜(a+2)^2 がいえるから矛盾となる。
以上より、求める整数a,b(|a|≧|b|)の組は
以下に挙げるもので全てであると結論できる。
(a,b)=(4,4),(6,5),(-n,n-1),(-n^2,0) (n:正整数)
15:shin hattori
10/11/21 00:45:27
失礼。結論の部分にだけ少しミスがあった。
(-n^2,0)のところだけはn=0を許すとする。
16:１３２人目の素数さん
10/11/21 19:43:11
11番は単純だけど綺麗だね。
忘れられた頃に大学入試の問題として採用(≒パクる)されてそうｗ
17:１３２人目の素数さん
10/11/21 22:47:36
もっと問題追加しろカスが
18:１３２人目の素数さん
10/11/21 23:43:46
文句いうなら自分でやってみろよカスが
19:１３２人目の素数さん
10/11/22 00:09:04
更新＆問題追加しました^^
① (m,n)＝(2,3),(2,5),(3,2),(5,2)のとき、
x+y+z=0を満たす任意の実数x,y,zに対して
(x^{m+n}＋y^{m+n}＋z^{m+n})/(m＋n)＝(x^m＋y^m＋z^m)(x^n＋y^n＋z^n)/mn
が成り立つことが分かっている。他に整数解(m,n)は存在するか？全て求めよ
② 以下の条件を満たす正の整数(a,x,y,n,m)の組をすべて求めよ
a(x^n－x^m)＝(ax^m－4)y^2
m≡n (mod 2) かつ ax は奇数
③ 自然数Nの10進表示を a[1]a[2]..a[n] 等とする。
N = (a[1]+2)*(a[2]+2)*...*(a[n]+2)
を満たすような自然数Nを全て求めよ。
④ フィボナッチ数列類似の多項式列{F(n)}を次のように定義する：
F(0) = 0, F(1) = 1, F(n+2) = F(n+1) + x^n F(n).
このとき、任意の自然数nに対して、
F(5^n) は 1 + x + x^2 + … + x^(5^n - 1) で割り切れることを示せ。
⑤f^3=g^2+1 を満たすf,g∈C(X)＼C は存在するか。
(C(X)は複素係数の有理関数体のことです^^)
20:１３２人目の素数さん
10/11/22 00:09:44
おやすみです^^
⑥123456a+234567b+345678c+456789d+567890e+678901f+789012g
+890123h+901234i=123456789 を満たすような
0以上の整数a,b,c,d,e,f,g,h,iを求めよ。
⑦自然数x_1, x_2, ..., x_nが
1/x_1+1/x_2+...+1/x_n=1 を満たすとき
x_1+x_2+...+x_n の最大値を求めよ。
⑧a^a*b^b=c^c を満たす整数a,b,c＞1の組は無限に存在するか。
⑨次の条件を満たす素数p,qの組を全て求めよ。
[条件] p*q は三角数であり、p+q は平方数である。
⑩τ(n^2-2)=22 を満たす正整数nは存在するか。
⑪lim[n→∞]v_2(Π_[k=1,n](3^k-1))/n を計算せよ。
⑫次の条件を満たす奇数n(＞3)を全て求めよ。
[条件] どんな奇数m(1＜m＜n)に対しても、
(n^m-n)/(m^n-m) は奇分数に約分できない。
(奇分数とは分母分子がともに奇数の有理数のこと)
21:１３２人目の素数さん
10/11/22 00:17:47
あ、記号τを説明なしに用いていました^^;;
各正整数nに対して、τ(n)はnの正の約数の個数を表すとします。
(人によっては τの代わりに σ_0 や dなどを用いるかもです)
記号v_2の意味も一応説明してきますね^^
各正整数nに対して、v_2(n)は 2^k|n を満たす最大の整数kを表すとします。
たとえば、v_2(60)=2 となります。なぜなら 60=2^2*3*5 と分解できるので。
22:１３２人目の素数さん
10/11/22 01:49:56
σ_0
23:１３２人目の素数さん
10/11/22 01:55:22
σ_0 は お顔にみえるね。
σ_1 は正の約数の総和。(例:σ_1(6)=1+2+3+6=12)
σ_2 は正の約数の2乗和。(例:σ_2(6)=1^2+2^2+3^2+6^2=50)
σ_3 は正の約数の3乗和。(例:σ_2(6)=1^3+2^3+3^3+6^3=252)
この視点でみると σ_0(6)=1^0+2^0+3^0+6^0=4 だから
σ_0 を正の約数の個数とするのはとても自然におもえる。
なお、一般にσ_k(k:非負整数)は乗法的関数になる。
つまりσ_k(mn)=σ_k(m)*σ_k(n) (when gcd(m,n)=1) である。
24:１３２人目の素数さん
10/11/22 11:11:33
wikipedia「合同式」で前の版の方がよかったのではないかと議論があります
履歴を見れば熾烈な編集合戦があったこともわかります
専門的コメントあればこちらに
ｽﾚﾘﾝｸ(hobby板)
このスレは総本山的スレで、管理者が複数名書き込んでいます
管理者や常連がwikipediaの利用者ページでトリップを公開してる通り、本物です
25:１３２人目の素数さん
10/11/22 12:54:07
＾＾は前スレURLくらい貼れや
26:１３２人目の素数さん
10/11/22 18:48:00
>>25
言うだけじゃなく張れ。
初等整数論の問題
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
27:１３２人目の素数さん
10/11/22 18:52:00
990
>直接関係するわけじゃないけど、
>構成的に双射Z→Qを作るときは
>p^{2n} --> p^n
>p^{2n+1} --> p^{-n}
>とするのが好き。
p^0-->p^0
p^1-->p^0
28:１３２人目の素数さん
10/11/22 19:09:36
双射になってねえよね。
しかしそんな初等的な話をされてもねｗ
"問題"のほうがずっと頭つかうわな。
29:１３２人目の素数さん
10/11/22 20:20:34
直接関係するわけじゃないけど、
構成的に双射Z→Qを作るときは
p^{2n} --> p^n
p^{2n-1} --> p^{-n}
-1 --> -1
0 --> 0
とするのが好き。
30:Ｌ
10/11/22 20:27:23
⑪の解答
v_2公式を用いて計算できます。
各正整数rに対して、f(r)=v_2(3^r-1)とおきます。
rが奇数のとき、f(r)=1 であります。
rが偶数のとき、v_2の公式より、
f(r)=v_2(3^2-1)+v_2(r)-1=v_2(r)+2 となります。
また、vはまるで対数のように計算できるところにも注意です。
たとえば、v_2(32)=v_2(4)+v_2(8)=2+3=5 とできます。
ですから、ΠをΣに変えることができるわけです。(逆もしかり)
以上に述べたことに基づき、計算を実行してみます。
F(n):=v_2(Π_[k=1,n](3^k-1))=Σ[k=1,n]f(k) (∵掛け算を足し算にした)
=Σ[k=1,[(n+1)/2]]f(2k-1)+Σ[k=1,[n/2]]f(2k)
=[(n+1)/2]+Σ[k=1,[n/2]](v_2(2k)+2)
=[(n+1)/2]+2[n/2]+Σ[k=1,[n/2]](v_2(2k))
ここで、v_2(2k)=v_2(2)+v_2(k)=1+v_2(k) であり、
Σ[k=1,[n/2]]v_2(k)=v_2(Π[k=1,[n/2]]k) (∵足し算を掛け算にした)
=v_2([n/2]!)=[n/2]-s_2([n/2]) (∵階乗の指数公式)
であることから、結局、F(n)=[(n+1)/2]+4[n/2]-s_2([n/2]) となる。
ということは求める極限値は有限の値として存在していて、
それは 5/2 であるという結論に達することをみるのは易しい。
(注意: sのオーダーはlogであることに注意してください)
31:Ｌ
10/11/22 20:34:16
5/2 デスカ・・・
ということは 3^1-1, 3^2-1, ... , 3^n-1 とn個の数を並べて、
それぞれが2で何回割り切れるかどうかをみたとき、
その回数の平均値は 2.5(=5/2)ということですよね。
32:１３２人目の素数さん
10/11/22 21:17:28
>>28
その三行が>>27より頭を使ってるのか。
33:１３２人目の素数さん
10/11/22 22:25:42
直接関係するわけじゃないけど、
構成的に双射Z_p→Q_pを作るときは
x = p^e u と素元と単元の積にして、
p^{2n} --> p^n
p^{2n-1} --> p^{-n}
とできるね。
34:１３２人目の素数さん
10/11/22 23:01:32
>>20
ちょっと早すぎるかもしれないけど
⑩の回答おしえてくれない？
存在しないことの証明は厳しい気がする。
35:１３２人目の素数さん
10/11/22 23:30:23
>>34
まだ１日も経っていないよ
さすがに時期尚早だろｊｋ
36:１３２人目の素数さん
10/11/22 23:32:04
>>34はいつもの人だからスルー推奨
37:１３２人目の素数さん
10/11/22 23:59:47
>>11
頭の悪い書き込みですまないが、
wilsonの定理のもっとも早い証明方法の1つとしては
X^(p-1)-1∈F_p[X] に根と係数の関係を使うことだとおもう。
これだと一発で終わる。いわゆるワンラインソルーションだね。
まあただし、これの群論的な一般化、
たとえば、「有限可換群の元の総積は位数2以下の元となる」
を証明するときには 良く知られているように、
有限生成アーベル群の構造定理を適用するのだけど、
(適用すれば、たちまちに、そのことが確認できるが)
wilsonの定理みたいに簡潔すぎる解答はないわけだ。
38:１３２人目の素数さん
10/11/23 00:06:34
①Fermat(フェルマ小定理)という単語は
度々、初等数論の問題の解説に使われるわけだけど、
(初等)群論的にはほとんど明らかだから、
(Z/pZ (p:素数)は有限体であるから 乗法群(Z/pZ)*に
ラグランジュの定理(の系)を適用することで 小定理が直截従う)
そういう意味で Fermatの小定理という単語を用いる理由はない。
なぜならば、群論において ラグランジュの定理は
ほとんどの場合において、(初歩的すぎる問題は除く)
ことわりをいれられずに暗黙のうちに用いられているから。
39:１３２人目の素数さん
10/11/23 00:26:00
進学校の高校3年だが、
modの分数演算で試験の答案を書いたら、
×にされたんだが。。。
[どんな自然数nに対しても 3^(2n-1)+2^(n+1) が7で割り切れることを示せ]
3^(2n-1)+2^(n+1)≡(1/3)(9^n)+2*2^n≡(1/3)2^n+2*2^n≡(7/3)2^n≡0 mod 7
証明終わり。(この方法をごく最近2chで知ったあとに同じ問題がでたｗ)
modは整数じゃないと使えないとかいわれたんだが。
こういう計算をしていいのは gcd(3,7)=1 より明らかだからと反論したら、
modは整数同士の計算にしか使えないといわれた。鬱だ。
40:１３２人目の素数さん
10/11/23 00:46:51
>>39
君の方法はとても簡潔で正しい。
ただそれはmodのことをなにもわかっていないと勘違いされる可能性がある諸刃の剣。
大学入試などの試験には使わないほうが良いよ。
ちょっとスレチだとおもうよ？
41:１３２人目の素数さん
10/11/23 01:52:54
何の説明もなしに1/3 て書いたらそりゃ不正解にされるな。
1≡3×5 をうまく入れて、本当は逆元知ってるけど使わないんだぜ、
という余裕を見せなきゃ。
42:１３２人目の素数さん
10/11/23 02:10:47
41のいっているとおり、
もとの式を3倍したものが7で割り切れることをいえばいいね。
そうすれば 3^(2n)+3*2^(n+1)≡2^n+3*2*2^n=(1+6)*2^n≡0
分数計算を回避できたわけだ。まあスレチだ。
43:オナ豚
10/11/23 02:58:40
>>19
>>20
難易度指標(1～10)
① 5
② 9?
③ 9
④ 8
⑤ 6
⑥ 2
⑦ 5
⑧ 8
⑨ 3
⑩ ?
⑪ 4
⑫ 4
解けていないのがほとんどだけど最低限の思考はしたよ
6以上のはオレには解けそうにない問題ね 完全にお手あげ
44:１３２人目の素数さん
10/11/23 07:51:16
誰かこれを解いてくれ
10^210/10^10+3 の整数部分の一の位の数字を求めよ
ただし3^21=10460353203 を用いてよい
45:Ｌ
10/11/23 08:00:26
>>44
既出ですよ。
前スレのhattoriさんの解答をほぼそのまま貼り付けますね。
d=10^10+3 とおく。
10^210=(10^10)^21≡(-3)^21= -10460353203 ≡ -460353200 (mod d)
よって 10^210 = dk-460353200 を満たす正整数kが取れる。
(これから 0≡3k (mod 10)を得るので kは10で割りきれる)
これから 10^210/d = k - 46035320/d がいえる。
これから 10^210/(10^10+3)の整数部分は k-1に等しいといえる。
10|kだったので k-1の下1桁は9であるといえる。答えは 9
46:１３２人目の素数さん
10/11/23 15:24:25
>>20
⑦
x[1]=2
x[m+1]=Π[k=1,m](x[k])+1(m<n)
x[m+1]=Π[k=1,m](x[k])(m=n)
のとき
x[1]+x[2]+・・・+x[n]が最大になると
思うんですが証明できない。
47:１３２人目の素数さん
10/11/23 15:29:39
>>46
訂正
>>20
⑦
x[1]=2
x[m+1]=Π[k=1,m](x[k])+1(m+1<n)
x[m+1]=Π[k=1,m](x[k])(m+1=n)
のとき
x[1]+x[2]+・・・+x[n]が最大になると
思うんですが証明できない。
48:１３２人目の素数さん
10/11/23 19:00:27
>>45
ありがとうございます。。
49:１３２人目の素数さん
10/11/24 00:07:01
⑥って コンピュータを用いて、力技でやりたいろころだけど、
大雑把にカウントしてみると 100^9 = 10^18 通りぐらいあるね。
もしかして これはある意味むずかしいということでは？
50:１３２人目の素数さん
10/11/24 04:09:41
880
1
1
1
9
5
1
2
3
51:１３２人目の素数さん
10/11/24 04:39:28
>>50
それで全て？ どのくらい時間かかった？
検索方法は 上界を抑えての全数調査？
52:１３２人目の素数さん
10/11/24 04:42:57
ヤマカン
53:１３２人目の素数さん
10/11/24 04:48:00
じゃあそれで全てとは言い切れないね。
勘でいわせてもらうと、解は結構あるとおもうよ。
この問題はコンピュータで全数調査しようとすると
ざっと見積もって(粗いが) 10^18通りぐらいあるから、
それなりにアルゴリズムを工夫しないと このPCじゃ無理っぽい。実は難問か
54:１３２人目の素数さん
10/11/24 05:08:12
>>53
いわゆるコインの問題は 変数の個数が一般の場合は(4変数以上)
NP-hard ということが知られているから 注意が必要。
とくにフロベニウス数が閉じた式で得られるのは2変数までで、
3変数以上(3変数ですら！)は存在しないとされている。絶望的。
幸運なことにこの問題は"全て"求めることを要求していない。
ゆえに >>50 のレスは⑥の回答として扱われ、
この問題はオナ豚さんの言っている通り 確かに易しいとなる。
55:１３２人目の素数さん
10/11/25 09:54:02
>>43
4以下の解けよ。
4以下が本当ならな。
56:１３２人目の素数さん
10/11/25 15:38:22
⑨次の条件を満たす素数p,qの組を全て求めよ。
[条件] p*q は三角数であり、p+q は平方数である。
p=11, q=5 は条件を満たす組の1つである。
条件を満たす素数p,q(p≧q)の組を任意に取る。
p*q=m(m+1)/2 ⇔ 2pq=m(m+1) なる整数m＞2が取れる。
よって、 p-2q=1 または p-2q=-1 である。
後者の場合、p+q=3q-1≡-1 (mod 3) であるから、
p+qは平方数になりえず、矛盾であるといえる。
よって、p-2q=1 であり、このとき、p+q=3q+1 である。
3q+1=n^2 ⇔ 3q=(n+1)(n-1) を満たす整数n＞2が取れる。
ということは n-1=3 ⇔ n=4 の成立がいえる。
このとき、q=5 であり、p=11 であるといえる。
以上より、求める素数p,q(p≧q)の組は p=11,q=5のみである。
57:１３２人目の素数さん
10/11/25 20:04:16
あげまん
58:１３２人目の素数さん
10/11/26 21:28:53
GIVE UP(´・ω:;.:...
問題提出
1) 下3桁が同じ数字の平方数で、2番目に小さいものを求めよ。(オリジナル?)
2) 2^29は9桁の数であり、桁に重複はない。
抜けている数字を求めよ。(電卓等を使うな) (オリジナル?)
3) [√n]+[√(n+1)]+[√(n+2)]=[√(9n+8)] を示せ。(有名問題)
59:１３２人目の素数さん
10/11/26 21:32:59
(1)(3)はすぐわかった
60:１３２人目の素数さん
10/11/26 21:35:56
>>59
せめて方法を書け。
そのほうが他の人がうれしがるぜ？
61:１３２人目の素数さん
10/11/26 21:40:49
以下、58の問題を叩く流れになると予想。
そこで事前にオレが食い止める。
いいか、オリジナルかどうかは本人が
そう思っているなら なんら問題ない。
謙虚に？なぞ付けなくて良い。
3)は √(9n+8)＜√n+√(n+1)+√(n+2)＜√(9n+9)
をテクニカル(とくに中辺＜右辺は)に示すことができて、
さらに、mod 9で 8は平方数でないことから
√(9n+8)は整数になりえないといえるので
上の不等式とあわせて終了となる。
62:１３２人目の素数さん
10/11/26 21:48:58
>>60
modmodmodだ
63:１３２人目の素数さん
10/11/26 21:50:36
(1)も有名だからな
64:１３２人目の素数さん
10/11/26 21:53:24
調子にのってふたたび投稿
4) ax+by(x,yは非負整数)で表現でない正整数の個数が97となるような
正の整数a,b(a≧b)の組を全て求めよ。
65:１３２人目の素数さん
10/11/26 21:54:54
>>58
10000
一番めは1444
66:１３２人目の素数さん
10/11/26 21:56:13
>>64
うはっチョー難問
67:１３２人目の素数さん
10/11/26 21:58:29
1)は0を除いたら 462^2 = 213444 というのが2番目だね。
213444 って面白くねえ？ 見た目的にｐｐｐ
68:shin hattori
10/11/26 22:04:10
>>64
良く知られた結果より、
(a-1)(b-1)/2 = 97 を解けばよい。
よって、(a,b)=(195,2),(98,3)
trivialな一般化
正整数の定数a,b(a≧b)に対して、
ax+by(x,yは非負整数)で表現でない正整数の
個数が素数となるとき、b≦3 が示せる。
69:１３２人目の素数さん
10/11/26 22:12:57
(問題)
一般に自然数Nが与えられたとき、
それを反転させたものをNの反転数N'と呼ぶことにする。
たとえば、N=426 のとき、N'=624 である。
N-N' が3の冪乗になるとき、Nをおちんちんナンバーと呼ぶことにする。
全ての おちんちんナンバーを求めよ。 (確実にオリジナル問題です)
70:１３２人目の素数さん
10/11/26 22:16:15
ちょっと次のように変更しておきます。
このままだと解の表現がいびつになるので。
N-N'の形で表現できる数を "おちんちんナンバー" とします。
そこで おちんちんナンバーな3の冪乗を全て求めよとします。
71:１３２人目の素数さん
10/11/26 22:17:36
>>69
表現自重汁
キチガイすぎるｗ
72:１３２人目の素数さん
10/11/26 22:22:13
s(N)=s(N') ゆえ N-N'≡s(N)-s(N')≡0 (mod 9)
よって、3はおちんちんナンバーではない。
21-12 = 9
41-14 = 27
81はどうなのか調べ中。
73:１３２人目の素数さん
10/11/26 22:37:36
おてぃん
てぃんage
74:１３２人目の素数さん
10/11/26 22:46:08
>>58
2)
「2^29は9桁の数であり、桁に重複はない。」より
抜けている数をxとすると、2^29を9で割った余りは
0+1+2+3+4+5+6+7+8+9-x=45-x≡9-x mod 9
また、二項定理を利用して
2^29≡(3-1)^29≡C[29,1]*3-1≡86≡5 mod 9
2^29を9で割った余りは5
9-x=5よりx=4 抜けているのは4
75:１３２人目の素数さん
10/11/26 23:13:10
φ(9)=6より、2^29≡1/2≡5
これが 2^29をmod 9で計算する最速の方法
76:１３２人目の素数さん
10/11/26 23:21:34
>>58
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
77:１３２人目の素数さん
10/11/27 02:12:39
今日はもう遅い(2時^^;)ですが更新しました^^
>>70 OT-numberでいいでしょうか？^^ そのままだと困ります^^;
① (m,n)＝(2,3),(2,5),(3,2),(5,2)のとき、
x+y+z=0を満たす任意の実数x,y,zに対して
(x^{m+n}＋y^{m+n}＋z^{m+n})/(m＋n)＝(x^m＋y^m＋z^m)(x^n＋y^n＋z^n)/mn
が成り立つことが分かっている。他に整数解(m,n)は存在するか？全て求めよ
② 以下の条件を満たす正の整数(a,x,y,n,m)の組をすべて求めよ
a(x^n－x^m)＝(ax^m－4)y^2, m≡n (mod 2) かつ ax は奇数
③ 自然数Nの10進表示を a[1]a[2]..a[n] 等とする。
N = (a[1]+2)*(a[2]+2)*...*(a[n]+2)
を満たすような自然数Nを全て求めよ。
④ フィボナッチ数列類似の多項式列{F(n)}を次のように定義する：
F(0) = 0, F(1) = 1, F(n+2) = F(n+1) + x^n F(n).
このとき、任意の自然数nに対して、
F(5^n) は 1 + x + x^2 + … + x^(5^n - 1) で割り切れることを示せ。
⑤f^3=g^2+1 を満たすf,g∈C(X)＼C は存在するか。
78:１３２人目の素数さん
10/11/27 02:33:59
おやすみです^^
⑥自然数x_1, x_2, ..., x_nが
1/x_1+1/x_2+...+1/x_n=1 を満たすとき
x_1+x_2+...+x_n の最大値を求めよ。
⑦a^a*b^b=c^c を満たす整数a,b,c＞1の組は無限に存在するか。
⑧τ(n^2-2)=22 を満たす正整数nは存在するか。
⑨次の条件を満たす奇数n(＞3)を全て求めよ。
[条件] どんな奇数m(1＜m＜n)に対しても、
(n^m-n)/(m^n-m) は奇分数に約分できない。
(奇分数とは分母分子がともに奇数の有理数のこと)
⑩一般に自然数Nが与えられたとき、
それを反転させたものをN'などと書くことにする。
たとえば、N=1234 のとき、N'=4321 である。
N-N'の形で表現できる数を OT-number と呼ぶことにする。
3の巾で書けるようなOT-numberを全て求めよ。
79:１３２人目の素数さん
10/11/27 03:31:13
>>20⑫=>>78⑨
x,yが正整数でxが奇数かつx>1、yが偶数のときv_2(x^y-1)=v_2(x-1)+v_2(x+1)+v_2(y)-1だから
v_2(n^m-n)=v_2(n-1)+v_2(n+1)+v_2(m-1)-1, v_2(m^n-m)=v_2(m-1)+v_2(m+1)+v_2(n-1)-1
[条件]⇔どんな奇数m(1<m<n)に対してもv_2(n^m-n)≠v_2(m^n-m)
⇔どんな奇数m(1<m<n)に対してもv_2(n+1)≠v_2(m+1)………………(*)
今nが[条件]を満たす奇数とし、n+1=(2^a)*b (b:正の奇数)と素因数分解されるとする
（n> 3よりb=1かつa≧3、またはb=3かつa≧2、またはb> 3かつa≧1であることに注意）
もしb> 1なら m=(2^a)(b-2)-1 とおくとmは奇数で1<m<nかつv_2(n+1)=a=v_2(m+1)となり(*)に反する
よって b=1 で n=2^a-1 (a≧3)
逆に n=2^a-1 (a≧3) ならどんな奇数m(1<m<n)に対しても v_2(m+1) < a = v_2(n+1)なので[条件]を満たす
以上より求めるnは2^a-1 (a≧3)
80:１３２人目の素数さん
10/11/27 20:43:31
9=10-01=9
18=42-24
27=41-14
36=73-37
45=72-27
54=71-17
63=70-07
72=91-19
81=90-09
90=????
99=100-001
90はOT-numberじゃないのかな？？
3桁でやると 99の倍数にならざるをえないから、
90がOT-numberだとすると4桁以上で考える必要がある。
81:１３２人目の素数さん
10/11/27 20:58:35
>>80
90 = 1101-1011
どんな9の倍数もOT-numberというのは正しいだろうか。
もしそうだとしたら、⑩は自動的に解けたことになる。
82:shin hattori
10/11/27 22:16:27
解決には至っていないけど >>81 は明確に否定できる。
[命題] (9の倍数の部分は >>72 が言及している)
nがOT-numberであるとし、n=N-N'とする。
Nの最上位の桁と最下位の桁をa[m],a[0]とする。
nは9の倍数であり、n≡a[0]-a[m] (mod 10)が成立する。
さらに mが偶数ならば nは11の倍数であるともいえる。
(証明)
N=Σ[i=0,m]a[i]*10^i とするとき、n=N-N'より、
n = (1-10^m)a[0]+(10^m-1)a[m]+Σ[i=1,m-1](10^i-10^(m-i))a[i] ・・(*)
右辺は9で割り切れるので、nは9で割り切れることがいえる。
(これを示すだけならば >>72 の方法が明快であるといえる)
(*)のΣ部分は10で割り切れるので、両辺をmod10でみることで 10|n がいえる。
mが偶数のときは 10^2≡1 (mod 11)に注意して、
(*)の両辺を mod11でみることで 11|n がいえる。
83:shin hattori
10/11/27 22:17:53
[主張]
108+9d (d∈Z, 0≦d≦7)の形の数は OT-numberではない。
(証明)
上記の形の数が OT-number(=n)とし、n=N-N'とする。
nはその定め方から、10でも99でも割り切れず、n＜189 である。
また、nは3桁以上なので、Nは3桁以上であるといえる。
Nが3桁であるとすると、[命題]より、99|n がいえる。
これは不適ゆえ、Nは4桁以上であるといえる。
Nの最高位の桁と最下位の桁をa[m],a[0]とする。
a[m]≠a[0]だとすれば、すぐわかるように n≧189がいえる。
これは不適ゆえ、a[m]=a[0] であることがいえる。
ここで [命題]を用いれば 10|n がいえる。これは矛盾。
84:１３２人目の素数さん
10/11/28 03:29:17
今日はリスト更新は無しです^^;
(∵最後に更新してから 10レスもないので)
おやすみです^^;(もっと早く寝ないと^^;)
⑩は(少なくとも私には)解けそうにないですが、
いくつか得た簡単な結果を問題にしてみました^^
⑪ 次の(1),(2)を証明せよ。
(1) 10^n+8がOT-numberとなるような整数n＞1は存在しない。
(2) 9*10^n は常にOT-numberである。
(2) OT-numberでない3の巾(つまり 3^m(m:正整数)の形の数)は無限に存在する。
(3)は⑩に直接関係しているとおもわれますが、⑩の回答には遠い^^;
85:１３２人目の素数さん
10/11/28 03:55:43
(2)が2つもありますね^^;
(3)に相当する問題は次のように改変しておきます^^;
(3)連続する4つの3の巾が全てOT-numberになることはない。
たとえば、3^2, 3^3, 3^4, 3^5 のうち、
3^2,3^3,3^4はOT-numberであるが 3^5はそうでない。
86:１３２人目の素数さん
10/11/28 17:57:44
⑩の提案者ですが 私の用意していた解答は誤っているようです。
当初は「全ての3の累乗はOT-numberである」と思っていたのですが...
お騒がせしてすみませんでした... それと次も正しくないですね
「n≡1(mod 4)ならば 3^nはOT-numberではない」大きな数の反例があるようです。
しかしながら >>85の(3)は正しいようです。>>84のレス内容から当然ですが...
87:１３２人目の素数さん
10/11/29 01:57:43
自然数Nを1つ取る。Nに左から3を1個くっつけできる数をMとする。
さらにMに左から3を何個(≠0個)かくっつけてできる数をM'とする。
もしMが素数だとするならば、M'はMの倍数にできることを証明せよ。
たとえば、N=7とすれば、M=37 であり、M'=33337=901M とできる。
88:87
10/11/29 02:04:23
問題修正。
M'は本質的でないから次のようにする。
素数Nを1つ取る。
Nに左から3を何個(≠0個)かくっつけてできる数をMとする。
MはNの倍数にできることを証明せよ。
たとえば、N=13とすれば、M=33333313=2564101*N とできる。
89:１３２人目の素数さん
10/11/29 03:00:33
>>88
N=2または5のときはそれぞれM=32, 35でOK
N≠2, 5のときは(10,N)=1だから10^k≡1 (mod N)を満たす正整数kが存在する
ここで9|10^k-1でNは素数だから(9,N)=1または3、よって3N|10^k-1
Nがd桁ならM=N+10^d*(10^k -1)/3とすればN|M
90:１３２人目の素数さん
10/11/29 03:59:15
>>88
以下、>>89 をわずかに改良したバージョン。
Nは素数である必要はない。
ただし、10と互いに素であることが重要。
10と互いに素でさえあれば、可能である。
10と互いに素でない場合、すぐに反例がみつかる。
ただし、素数に限定した場合、10と互いに素でないのは
N=2,5だけであり、この場合は可能であることがいえる。
(N,10)=1のとき、10^k≡1(mod N) かつ
v_3(k)≧v_3(N)-1を満たす正整数kが取れる。
このとき、v_3((10^k-1)/3)=1+v_3(k)≧v_3(N) であるから、
10^k≡1(mod N)とあわせて N|(10^k-1)/3 がいえる。
Nがd桁ならば M=N+10^d*(10^k -1)/3とすれば N|M
91:１３２人目の素数さん
10/11/29 12:22:13
1から9までならなにを連続で付け加えても同じだね。
92:１３２人目の素数さん
10/11/29 16:45:43
＜問題＞
10進表記で、ある4桁の整数を9倍したら元の数の各桁の数字を逆に入れ替えた整数になった。元の整数はいくつか。
＜解説＞
小学生の算数問題なので解説は省略。1089です。
しかし、何倍かして逆に入れ替えた数となるのは、
1089を9倍したときの9801と、2178を4倍したときの8712になるときだけだそうです。
さぁ、これを証明してみせなさい。
嘘です＾ｐ＾
じゃ、10進法以外だったらどんなのがあるのかなぁ…
＾＾さんが楽しい問題に改題してくれることを祈ってます（笑）
93:１３２人目の素数さん
10/11/29 17:28:30
＞何倍かして逆に入れ替えた数となるのは、
＞（１）を（２）倍したときの（３）と、（４）を（５）倍したときの（６）だけだそうです
これで十分立派な東大入試問題に大変身ｗ
94:１３２人目の素数さん
10/11/29 17:53:25
URLﾘﾝｸ(imepita.jp)
95:１３２人目の素数さん
10/11/29 18:34:45
>>92 の自身の才能を少しだけ使って改題してみようぜ？
>>93
それはウソ。桁数の制限をはずした場合、あきらかに無限にある。
4桁の場合を任意回数連結させればいい。たとえば
871287128712... は 217821782178... で割り切れる。
じゃあ、こういう明らかなものを除いた場合の可能性は？
そういう問題にした場合、それはかなりの有名問題であり、
基本解は 1089 と 2178 しかないことが証明できる。
96:１３２人目の素数さん
10/11/29 20:16:03
>>95
どこで有名なんだよｗ
書けよｗ
>>92
2進数の場合は明らかに成り立たないｗ
97:１３２人目の素数さん
10/11/29 20:17:10
>>92はｎ進数4桁の一般解まで拡張できる
98:１３２人目の素数さん
10/11/29 20:18:20
>>92はｎ進数4桁ｍ倍の一般解まで拡張できる
99:１３２人目の素数さん
10/11/29 20:28:29
>>98
ちょっと書いてくれない？
100:１３２人目の素数さん
10/11/29 20:45:43
>>96
たとえば次のURLの23番目のコメントに回答があるよ
URLﾘﾝｸ(trickofmind.com)
解法はかなり素朴で(ただし少し長い)
要は帰納的に話を進めることができる。
詳細はpost23を見てほしい。丁寧に書いてある。
日本人のサイトでも回答みたことあるけど、
おおむねそれと同じ方法だった。
おそらくこういう素朴な方法しかないのだろう。
101:１３２人目の素数さん
10/11/29 20:58:01
>>99
すこしは自分で考えろよ。
ヘッド比較すれば あとは基本的な解析だけだよ。
解析という言葉を使うのも嫌なぐらい。
>>92 はだからもっと難しい一般化を訊いているのでは。
102:１３２人目の素数さん
10/11/29 21:22:32
私女だけど、URLﾘﾝｸ(trickofmind.com) のURLを最初から書いていればこんなに荒れなかったと思う
答える方って、全体的に余裕ないよね
103:１３２人目の素数さん
10/11/29 21:59:18
>>101
いやいや難しくない？
たとえば 2桁の場合ですら全ての解をパラメタp表示することは困難では？？
あまり人を疑いたくないけど、>>98 は拡張できていないとおもうよ。
つまり解答を持っていないと。
104:１３２人目の素数さん
10/11/29 22:22:23
>>103
一般解の意味が違うだけでは？
一般解=全ての解 ではないでしょ
105:１３２人目の素数さん
10/11/29 23:29:18
>>103は＾＾以下の数学力しかないんだから、＾＾の判断を仰げやｗ
106:１３２人目の素数さん
10/11/29 23:31:05
>>103みたいなのって本当気持ち悪いな
そろそろ消えろよお前
問題解くだけのマシーンかよおまえ
107:１３２人目の素数さん
10/11/29 23:41:52
>>103
お前まだいたのかよ
問題を拡張できる ⇒ 解答が用意されている
というのは正しくないだろ
108:御手洗景子
10/11/30 22:36:13
それよりおまえら草むしれよ
109:１３２人目の素数さん
10/11/30 23:56:30
>>103
数検スレででかい顔してんじゃねーよ
110:１３２人目の素数さん
10/12/01 19:07:29
お前も草むしれよ が正しいかと
111:１３２人目の素数さん
10/12/02 21:24:30
>>20⑩=>>78⑧
条件を満たす正整数nをいっこ求めてみた。
τ(n^2-2)=22 ⇔ n^2-2=p^21 (pは素数)または n^2-2=p*q^10 (p,qは相異なる素数)
後の場合、mod 4で見ればq≠2が分かり、さらに2がmod qで平方剰余だからq≡±1 (mod 8)
q=7とすると、x^2≡2 (mod 7^10) ⇔ x≡±266983762 (mod 7^10)
n=266983762+(7^10)a (a：奇数)とおいて(n^2-2)/(7^10)が素数かどうかをチェックしていくと
a=7,n=2244310505のとき(n^2-2)/(7^10)=17831401727は素数となり、このnが条件を満たすことがわかる。
112:１３２人目の素数さん
10/12/02 21:49:49
>>111
GJ! なるほどね！
次の予想(名前忘れた)は正しいとされているからね
[予想]
整数係数の多項式(最高次の係数は正)をPとしよう
Pに関して簡単な理由がないかぎり(曖昧であるが)
P(n)が素数となるような整数nは無限に存在する
この予想を考えればτ(n^2-2)の問題は
存在するが答えであると目星がつくわけだ
(先にqを適切にとれば n^2-2がpq^10の形になる整数nが取れると思うから)
以上の考えのもとで >>111 の回答をみてみれば いかに無駄がないかわかる
さきにqを決めておくのが重要であり、pを先に固定すると絶望できる。
そうなると q=2,3,5,7,... とやっていくわけだが、
平方剰余の第2補充法則から q=7が最初の候補だとわかる。
n^2-2は微分すると 2nであり よって多項式とmodに関するHasseの定理から
n^2≡2 (mod 7^10)を満たす整数nは存在していることがいえて、
具体的にその形を全て求めることができる
113:１３２人目の素数さん
10/12/02 23:37:45
更新しました^^ おやすみでした^^
① (m,n)＝(2,3),(2,5),(3,2),(5,2)のとき、
x+y+z=0を満たす任意の実数x,y,zに対して
(x^{m+n}＋y^{m+n}＋z^{m+n})/(m＋n)＝(x^m＋y^m＋z^m)(x^n＋y^n＋z^n)/mn
が成り立つことが分かっている。他に整数解(m,n)は存在するか？全て求めよ
② 以下の条件を満たす正の整数(a,x,y,n,m)の組をすべて求めよ
a(x^n－x^m)＝(ax^m－4)y^2, m≡n (mod 2) かつ ax は奇数
③ 自然数Nの10進表示を a[1]a[2]..a[n] 等とする。
N = (a[1]+2)*(a[2]+2)*...*(a[n]+2)
を満たすような自然数Nを全て求めよ。
④ フィボナッチ数列類似の多項式列{F(n)}を次のように定義する：
F(0) = 0, F(1) = 1, F(n+2) = F(n+1) + x^n F(n).
このとき、任意の自然数nに対して、
F(5^n) は 1 + x + x^2 + … + x^(5^n - 1) で割り切れることを示せ。
⑤f^3=g^2+1 を満たすf,g∈C(X)＼C は存在するか。
114:１３２人目の素数さん
10/12/02 23:40:16
インターセプト！
115:１３２人目の素数さん
10/12/02 23:44:54
⑥自然数x_1, x_2, ..., x_nが
1/x_1+1/x_2+...+1/x_n=1 を満たすとき
x_1+x_2+...+x_n の最大値を求めよ。
⑦a^a*b^b=c^c を満たす整数a,b,c＞1の組は無限に存在するか。
⑧任意の素数pに対して、適当に符号を取れば、
pn^2±2 が平方数となる整数nの存在がいえる。
⑨4桁の自然数Mをp進法において反転させたものをNとする。
どのような整数k＞1に対しても M=kN を満たすような
正整数p,M(k＜p)の組が存在するというのは正しいか？
⑩4桁の自然数Mをp進法において反転させたものをNとする。
M=2N が成立するような正整数p,M(p＞1)の組を全て求めよ。
116:Ｌ
10/12/03 00:16:37
⑨ 正しい:
p=k^2+k-1, L=(k+1)p+1(2桁) として LL(4桁)を考えればよい
117:１３２人目の素数さん
10/12/03 02:14:38
>>116
kLが3桁になるから不味いんじゃ？
>>113⑤
118:117
10/12/03 02:17:02
途中で送信ボタン押してしまった(汗)
>>113⑤
楕円曲線y^2=x^3-1は有理関数でパラメトライズできない・・・てのはだめ？
119:１３２人目の素数さん
10/12/03 03:00:02
>>117
LLはLを2つ並べたものじゃない？
p=k^2+k-1, L=(k+1)p+1 のとき
L=kL' (L'はLを反転させたもの)
よって、LL(Lを2つ並べたもの)に対して M=LLとすると
M'=L'L'=L'p^2+L'=(1+p^2)L'=(1+p^2)kL=k(Lp^2+L)=kM
120:１３２人目の素数さん
10/12/03 03:03:36
k(k+1)がpを越えてしまうから不味いということかｗ
121:１３２人目の素数さん
10/12/03 03:07:47
ああでも kL'は3桁にならないからＯＫじゃね？
kLは別に3桁になってもいいけど
122:119
10/12/03 03:13:20
最後の行がおかしいから修正
kM'=kL'L'=k(L'p^2+L')=(1+p^2)kL'=(1+p^2)L=M
123:１３２人目の素数さん
10/12/03 03:23:20
>>118
たとえば X^3+Y^3=Z^3 だとすると、
X,Y,ZはZ係数の2変数多項式でパラメトライズできる。
それをみると際どい感じがするけど 多分問題のはできないだろうね
それをどうやって証明するかだけど
初等数論の問題といっているわけだから初等的な道具だけで
証明を完成させることができるとおもうのだけど(俺は思いつかないが)
124:１３２人目の素数さん
10/12/03 03:24:23
正)X^3+Y^3=Z^2
誤)X^3+Y^3=Z^3
125:１３２人目の素数さん
10/12/03 04:06:30
>>115 の⑤はpに関する条件が抜けているとおもう。
このままだと ⑤の主張は誤っているとなる。(p=5)
126:名無しさん＠英語勉強中
10/12/03 08:57:58
n∈N∩Z[√(-1)]とすると
n=2^tΠ_{i=1..r}p_i^{e_i}Π_{j=1..s}q_j^{f_j}
(但し, p,q∈Zは夫々p≡1(mod 4),q≡3(mod 4)なる素数とする)
と表せる。この時,
nがGaussian integerの二つの平方の和とし表せる ⇒ f_1,f_2,…,f_sは全て偶数になる
の反例を探しているのですがどなたか反例を教えて下さい。
127:117
10/12/03 09:28:46
6=(2+√(-1))^2+(2-√(-1))^2
128:１３２人目の素数さん
10/12/03 10:22:38
>>126
前スレで必要十分条件の問題があったよ
129:１３２人目の素数さん
10/12/03 10:33:52
貼り付け(スレチということで番号付けされなかったけど)
179 ：１３２人目の素数さん ：2010/10/12(火) 00:49:14
⑤はもし出題するとすれば次のようになるでしょう^^;
⑤ Z[√-1] においては次のことがいえる。p=1+√-1 とおく。
x=a+b√-1が2つの平方数の和で表現できることは
2|b かつ v_p(x)≠1,3 であることと同値である。
(Z[√-1]においては平方数の差も和も表現できる数は同じです
というのも z→iz という対応を考えればよいわけですから^^;)
130:１３２人目の素数さん
10/12/03 10:40:28
だから >>126 の条件n∈N∩Z[√(-1)] の中で考えるならば
最小の反例は自動的に n=3=2^2+i^2 になる
131:１３２人目の素数さん
10/12/03 12:19:33
>>125
>>115 の⑧は酷いことになっていました^^; すみません^^;
⑧素数pに対して、p=2,p≡-1(mod 4) であることは
pn^2±2が平方数となるように整数nと符号が選べることの必要十分条件である。
これを証明せよ
>>129
懐かしいものを挙げてきましたね^^;
mod 4=λ^4 で決まると言ったほうが簡潔だったかも^^;
mod 4というのはもちろんZ[√-1]の中でということです。
そういっておけば ZをZの中で2つの平方数の差に分解できるような
ものを分類せよというよく知られた問題の結論との類似がみえますね^^;
132:１３２人目の素数さん
10/12/03 17:52:28
>>131
できた
p=2のときはほぼ明らか。p≧3,p≡-1(mod 4)とする。
X^2-pY^2=1 の最小の正整数解(X,Y)を取る。
(X+1)(X-1)=py^2 であるから次の4通りの場合がある。
1) X+1=pA^2, X-1=B^2 を満たす正整数A,Bが取れる
2) X-1=pA^2, X+1=B^2 を満たす正整数A,Bが取れる
3) X+1=2pA^2, X-1=2B^2 を満たす正整数A,Bが取れる
4) X-1=2A^2, X+1=2pB^2 を満たす正整数A,Bが取れる
3),4)のときは 2=|2pA^2-2B^2| ⇔ B^2-pA^2=±1 を得る。
p≡-1(mod 4)より B^2-pA^2=1 であることがいえる。
(∵一般に p≡-1(mod 4)のときは S^2-pT^2=-1は整数解を持たない)
しかしこれはX,Yの最小性に反する。
1),2)のときは |pA^2-B^2|=2 となるので ゆえに示された
133:shin hattori
10/12/03 18:10:39
>>132
逆を示す必要があるとおもうのですが。
といっても 逆はすごく簡単みたいです。
pn^2±2 が平方数だとします。
2|n ならば pn^2±2≡±2(mod 4)であり 矛盾。
そうでないなら pn^2±2≡p±2(mod 4)であり p≡1(mod 4)でないといえる
134:１３２人目の素数さん
10/12/03 20:26:04
>>132
∵の部分の理由をおしえてくれないかい？
135:１３２人目の素数さん
10/12/03 20:50:17
>>134
第1補充法則から明らか
136:１３２人目の素数さん
10/12/03 23:18:19
以下の数列 a(n) を考える
「n^k + 1 が素数とならない最小の自然数をｋとするとき a(n) = k と定義する」
例えば、n=10のとき 10^1 + 1 = 11 (素数)、10^2 + 1 = 101 (素数)、10^3 + 1 = 1001 (合成数)
なので、a(10) = 3 である。
実は、これは、URLﾘﾝｸ(oeis.org) にある数列なのですが、nが小さいうちは取りうる値としては
1,2,3のみです。 そこで問題は、果たして、この数列の取りう上限値、あるいは条件を定めることが出
来るかどうか？ です。フェルマーの小定理とか使えますか。
137:１３２人目の素数さん
10/12/04 00:10:51
>>136
n^3＋1 ＝ (n＋1)(n^2－n＋1)
138:１３２人目の素数さん
10/12/04 00:24:09
>>136
非常に難しい
すぐにわかることは >>137 が分解しているように
n＞1ならば a(n)≦3 であるということぐらい
n+1, n^2+1 がともに素数となるような
正整数nは無限に存在すると予想するの妥当だから
一番頻度の低い3は無限回でてくると予想されるわけだ
139:１３２人目の素数さん
10/12/04 17:29:01
[問題]
f[1]=f[2]=1, f[n+2]=f[n+1]+f[n]によって数列を定めるとき
任意の素数pに対して f[p]≡(5/p) (mod p) であることを示せ
140:１３２人目の素数さん
10/12/04 17:55:44
>>139, p≠2,5とする。
f[p]=(1/√5)(φ^p-(φ*)^p)={(1+√5)^p-(1-√5)^p}/(2^p√5)
ここで mod pで考えるならば 分子≡1^p+(√5)^p-(1^p-(√5)^p)≡2(√5)^p
よって、f[p]≡{(√5)^(p-1)}/(2^(p-1))≡{5^{(p-1)/2}}/1≡(5/p) ■
141:１３２人目の素数さん
10/12/04 18:05:56
>>140
それは初等数論の方法に含まれるかい？
mod pの意味が高校数学のそれとは違う
142:１３２人目の素数さん
10/12/04 18:10:09
どう見ても初等的。
143:１３２人目の素数さん
10/12/04 18:14:54
代数的にはとても簡単だが初等数論的かどうかなら際どいか(√5の部分)
144:１３２人目の素数さん
10/12/04 18:18:04
>>140
高校生:「分子の部分は無理数だよね。
無理数部分をmodでみていいのですか？
問題文のmodと あなたのmodは整合性がとれているのですか？」
145:１３２人目の素数さん
10/12/04 18:23:26
くだらねえよ
ここは高校生スレじゃねえよ
すこし勉強したら誰だってわかることなんだから
いちいちつっこまんでええわ
高度なことやっているわけじゃないんだからさ
146:１３２人目の素数さん
10/12/04 18:23:29
√5が出てくるのがよほどいやなら2項定理で分子を展開してやればいいだろ。
結局>>140と同じになる。
147:１３２人目の素数さん
10/12/04 18:30:33
>>146 で終了だな
分子を展開すれば √5は分母と相殺できる。
さらに分数をmodでみるのが嫌な人は
両辺に2^pやらを掛け算すれば万事OK
148:１３２人目の素数さん
10/12/04 18:41:36
>>146
サンクス
149:１３２人目の素数さん
10/12/05 22:35:53
またいつもの人が暴れたのか
150:１３２人目の素数さん
10/12/05 23:09:48
おやすみでｓ^^
① (m,n)＝(2,3),(2,5),(3,2),(5,2)のとき、
x+y+z=0を満たす任意の実数x,y,zに対して
(x^{m+n}＋y^{m+n}＋z^{m+n})/(m＋n)＝(x^m＋y^m＋z^m)(x^n＋y^n＋z^n)/mn
が成り立つことが分かっている。他に整数解(m,n)は存在するか？全て求めよ
② 以下の条件を満たす正の整数(a,x,y,n,m)の組をすべて求めよ
a(x^n－x^m)＝(ax^m－4)y^2, m≡n (mod 2) かつ ax は奇数
③ 自然数Nの10進表示を a[1]a[2]..a[n] 等とする。
N = (a[1]+2)*(a[2]+2)*...*(a[n]+2)
を満たすような自然数Nを全て求めよ。
④ フィボナッチ数列類似の多項式列{F(n)}を次のように定義する：
F(0) = 0, F(1) = 1, F(n+2) = F(n+1) + x^n F(n).
このとき、任意の自然数nに対して、
F(5^n) は 1 + x + x^2 + … + x^(5^n - 1) で割り切れることを示せ。
⑤f^3=g^2+1 を満たすf,g∈C(X)＼C は存在するか。
151:１３２人目の素数さん
10/12/05 23:10:59
⑥自然数x_1, x_2, ..., x_nが
1/x_1+1/x_2+...+1/x_n=1 を満たすとき
x_1+x_2+...+x_n の最大値を求めよ。
⑦a^a*b^b=c^c を満たす整数a,b,c＞1の組は無限に存在するか。
⑧4桁の自然数Mをp進法において反転させたものをNとする。
M=2N が成立するような正整数p,M(p＞1)の組を全て求めよ。
⑨|P(n)|が素数となるような整数nが5つ存在するような
3次の可約な整数係数多項式Pを1つ求めよ。(可約に注意)
⑩各整数n＞1に対して、nの最小素因数をp(n)と表すとき、
min{p(n^2+37)|n∈Z,n＞1}を計算せよ。(駄問失礼です^^;)
152:１３２人目の素数さん
10/12/05 23:15:31
⑨はタイプミスがありました^^;
p(n):= (nの最小の奇素因数) としてください^^;
(nが奇素因数を持たないときは p(n)=1 とします)
n^2+37＞2は4で割り切れることはないので、問題の値は2より大です^^;
153:１３２人目の素数さん
10/12/05 23:30:04
>>152
⑨じゃなくて⑩だね。
⑨は存在自体非自明だね。
154:１３２人目の素数さん
10/12/07 01:21:45
(2x+5)(2x^2-1)：x=-3,-2,-1,0,1
(2x+3)(x^2-3x+1)：x=-2,-1,0,1,2
(x+2)(x^2-3x+1)：x=-3,-1,0,1,3
155:１３２人目の素数さん
10/12/07 03:17:22
>>154
すげえな どうやってみつけたか聞いていいか？
156:１３２人目の素数さん
10/12/07 03:49:29
すごくないよ
157:１３２人目の素数さん
10/12/07 04:00:22
(6x+11)(x^2-x-1)
x=-2,-1,0,1,2.
158:１３２人目の素数さん
10/12/07 04:45:04
>>155
キモはPの2次因子の形が決定できるということ。
P=QR, deg(Q)=1, deg(R)=2とすると、|P|が素数なら
(1) |Q|=1で、|R|は素数 --高々2通り
または
(2) |R|=1で、|Q|は素数 --高々4通り
特に、|P(n)|が素数となるnが5つあるなら、(2)の場合が少なくとも3通りなければならない。
Rの2次項係数が正であるとしておく。
|R(a)|=|R(b)|=|R(c)|=1（a,b,cは整数でa<b<c）とすると、R(a)=R(c)=1, R(b)=-1
(i) a+c=2bのとき
d=c-b=b-aとおくとdは正整数でR(x)=k(x-b+d)(x-b-d)+1（kは正整数）
このとき-1=R(b)=1-kd^2⇔kd^2=2 これよりk=2, d=1、よってR(x)=2(x-b)^2-1.
(ii) a+c≠2bのとき
2次関数の軸に関する対称性よりR(b')=-1, a<b'<c、b≠b'となる整数b'が存在する。b<b'としてよい。
-2=R(b')-R(a)はb'-aで割り切れるからb'-a=1 or 2。同様にc-b=1 or 2。
a<b<b'<cだから、この4数は隣り合う数の差が1でなければならない。
R(x)=k(x-a-1)(x-a-2)-1（kは正整数）とおくと1=R(a)=2k-1⇔k=1、よってR(x)=(x-a-1)(x-a-2)-1
こうやってRの形を決めたらあとは1次因子Qが条件を満たすように決めればいい。
159:１３２人目の素数さん
10/12/08 01:28:12
>>158
サンクス！
素数6個は不可能ぽいが5個の場合はいくらでも例が作れそうなんだな
160:１３２人目の素数さん
10/12/08 22:10:04
⑩ 19が答えである。1^2+37=2*19 であるが、
(-37/p)をp=3,5,7,11,13,17に対して計算してみると全て-1になるから。
実際に計算してみると次のようになる(補充法則および相互法則を利用)
(-37/3)=(-1/3)= -1
(-37/5)=(-2/5)=(2/5)=-1
(-37/7)=(-2/7)=-(2/7)=-1
(-37/11)=(-2^2/11)=-1
(-37/13)=(2/13)=-1
(-37/17)=(-3/17)=(3/17)=(17/3)=(2/3)=-1
問題として考えられるもの。
「もうちょっとminの値の19が大きくなるような
なるべく小さな定数は37のほかになにがあるか」
161:１３２人目の素数さん
10/12/11 15:30:00
-58.
p<=23.
-163.
p<=37.
-11302.
p<=43.
-30493.
p<=61.
-106177.
p<=71.
162:１３２人目の素数さん
10/12/11 19:30:00
-2430943.
p<=73.
163:１３２人目の素数さん
10/12/11 22:50:36
pに対して定数の絶対値は爆発的に大きくなっていく.
164:１３２人目の素数さん
10/12/12 19:24:24
[問題]
各整数n≧6に対して、τ(n!)|n! が成立することを示せ。
165:１３２人目の素数さん
10/12/13 02:08:11
おやすみです^^
① (m,n)＝(2,3),(2,5),(3,2),(5,2)のとき、
x+y+z=0を満たす任意の実数x,y,zに対して
(x^{m+n}＋y^{m+n}＋z^{m+n})/(m＋n)＝(x^m＋y^m＋z^m)(x^n＋y^n＋z^n)/mn
が成り立つことが分かっている。他に整数解(m,n)は存在するか？全て求めよ
② 以下の条件を満たす正の整数(a,x,y,n,m)の組をすべて求めよ
a(x^n－x^m)＝(ax^m－4)y^2, m≡n (mod 2) かつ ax は奇数
③ 自然数Nの10進表示を a[1]a[2]..a[n] 等とする。
N = (a[1]+2)*(a[2]+2)*...*(a[n]+2)
を満たすような自然数Nを全て求めよ。
④ フィボナッチ数列類似の多項式列{F(n)}を次のように定義する：
F(0) = 0, F(1) = 1, F(n+2) = F(n+1) + x^n F(n).
このとき、任意の自然数nに対して、
F(5^n) は 1 + x + x^2 + … + x^(5^n - 1) で割り切れることを示せ。
⑤f^3=g^2+1 を満たすf,g∈C(X)＼C は存在するか。
166:１３２人目の素数さん
10/12/13 02:10:28
⑥自然数x_1, x_2, ..., x_nが
1/x_1+1/x_2+...+1/x_n=1 を満たすとき
x_1+x_2+...+x_n の最大値を求めよ。
⑦a^a*b^b=c^c を満たす整数a,b,c＞1の組は無限に存在するか。
⑧4桁の自然数Mをp進法において反転させたものをNとする。
M=2N が成立するような正整数p,M(p＞1)の組を全て求めよ。
⑨各整数n≧6に対して、τ(n!)|n! が成立することを示せ。
⑩次の条件を満たす整数m＞1を全て求めよ。
[条件]あるf∈Z[X]が存在していて、(1),(2),(3)を満たしている
1) ∃n∈Z f(n)≡0 (mod m)
2) ∃n∈Z f(n)≡1 (mod m)
3) ∀n∈Z f(n)≡0 ∨ f(n)≡1 (mod m)
167:１３２人目の素数さん
10/12/15 01:01:35
任意の正整数∋ｎに対し、
Σd ＝Σn/d を示せ。
d|n d|n
Σdとはｎの約数の和である。
d|n
例：ｎ＝12のとき
Σd＝1+2+3+4+6+12＝28
d|12
Σ12/d＝12/1＋12/2＋12/3＋12/4＋12/6＋12/12＝28
d|12
すいませんがわかる方、証明お願いします。
168:１３２人目の素数さん
10/12/15 01:33:25
>>167
nの正の約数(k個あるとします)を
d_1,d_2,..,d_k とおきますと、
n/d_1, n/d_2, ..., d/d_k も
k個の異なるnの約数となります。
さて、Σ[d|n]d はnの約数を全て足し合わせるということですから、
したがって、Σ[1≦i≦k]n/d_i と一致することがいえるわけです。
Σ[1≦i≦k]n/d_i = Σ[d|n]n/d は 明らかですから これで終わり。
169:訂正
10/12/15 01:37:33
d/d_k は n/d_k の間違いです。
各n/d_i がnの約数になっていることは
n/(n/d_i) = d_i(正整数) の成立からいえます。
n/d_1, n/d_2, ..., n/d_k がそれぞれ異なっているのは
d_1,d_2,..,d_k が異なっていることからいえます。
ですから個数を比較することで、
{d_1,d_2,..,d_k} = {n/d_1, n/d_2, ..., n/d_k} がいえるのです。
170:１３２人目の素数さん
10/12/15 16:21:36
a,b,c,d∈Ｚ＋でab-cd=1を満たすとする。
このとき(a+b)/(b+d)は既約分数であることを示せ。
171:１３２人目の素数さん
10/12/15 16:24:24
なめとんのか？
172:猫はCat ◆MuKUnGPXAY
10/12/15 16:25:52
見てるよ。
猫
173:１３２人目の素数さん
10/12/15 17:31:06
>>170
入試問題で言えば、設問の小問①ってとこじゃね。
もちろんＤＱＮ大
174:１３２人目の素数さん
10/12/15 17:35:06
なにこの素敵な問題群
175:Ｌ
10/12/15 18:52:08
>>170
反例) a=2,b=5,c=1,d=9 とすると、
ab-cd=1 であるが、(a+b)/(b+d)=7/14 となってしまう
おそらく正しい問題文は次の通りかと。
a,b,c,d∈Ｚ+ でad-bc=1を満たすとする。
このとき(a+b)/(c+d)は既約分数であることを示せ。
[解答例]
a+b,c+dの共通素因子が存在したとし、それをpとすると、
b≡-a, c≡-d (mod p)であるから、
1≡ad-bc≡ad-(-a)(-d)≡0 (mod p)
これは明らかに矛盾である。
176:１３２人目の素数さん
10/12/15 20:18:16
>>175
だな、俺もそう思う。
177:１３２人目の素数さん
10/12/16 08:48:36
x,y,z∈Zとし,x^2+y^2≠0でz≡3 (mod 4)でzは平方数でないとする。
この時,(x^2+y^2)zは平方数の和(つまり,(x^2+y^2)z=a^2+b^2(但し,a,b∈Z, a^2+b^2≠0))として表せない。
は正しいでしょうか? 正しくないなら反例をお願い致します。m(_ _)m
178:１３２人目の素数さん
10/12/16 12:15:53
うわー、>>173顔真っ赤だなー、真っ赤だわ
179:１３２人目の素数さん
10/12/16 12:17:48
178 １３２人目の素数さん[sage]：2010/12/16(木) 12:15:53
うわー、>>173顔真っ赤だなー、真っ赤だわ
180:Ｌ
10/12/16 14:12:54
>>177
正しいです
z≡-1(mod 4)より、v_p(z)が奇数となるような素数p≡-1(mod 4)が取れます。
そのとき、v_p((x^2+y^2)z)も奇数ですから、2つの平方数の和で表現不可です。
181:Ｌ
10/12/16 20:23:40
>>166
⑩問題文を次のように見やすくしておきます。
f(Z/mZ)={0,1}を満たすf∈Z[X]が存在するような
整数m＞1を全て求めよ(Z/mZ={0,1,2,..,m-2,m-1})
[回答]
求める整数m＞1は素数冪だけである。これを示す。
mが素数冪であるとき、f(X)=X^(φ(m))とすればよい。
mが素数冪でないとき、m=a*b なる互いに素な整数a,b＞1の組が取れる。
f(Z/mZ)={0,1} を満たすf∈Z[X]が存在したと仮定する。
このとき、f(Z/aZ)={0,1} かつ f(Z/bZ)={0.1} が成立する。
f(α)=0 in Z/aZ かつ f(β)=1 in Z/bZ
を満たすα+aZ∈Z/aZ, β+bZ∈Z/bZ の組が取れる。
中国剰余定理より、x≡α(mod Z/aZ)かつx≡β(mod Z/bZ)
を満たすようなx∈Zが取れるが、そのようなxに対して、
f(x)≡0,1 (mod Z/mZ) は成立していない。
182:１３２人目の素数さん
10/12/16 22:21:25
>180
どうも有難うございました。お蔭様で解決できました。
183:１３２人目の素数さん
10/12/17 17:28:49
１つの天秤とそれぞれ
3^0=1,3^1,3^2,....,3^(n-1)キロのｎ個の錘が与えられたとする。
何個かを一方の皿に乗せ、別の何個かをもう一方のさらに乗せることによって、
全ての重さＮ個を量ることが出来る。このことを示せ。
ただしＮは1≦Ｎ≦((3^n)-1)/2の範囲の整数とする。
（ヒント：次の形の整数の和を考えよ。
e_0+3e_1+3^2e_2+.....+3^(n-1)e_n-1
ただし、e_i=-1,0,1）
184:１３２人目の素数さん
10/12/17 17:50:39
>>183
>>1
まあ3進展開の一意性より明らかといっておこう。
(係数は0,1,2から-1,0,1にずらしても性質は不変)
185:１３２人目の素数さん
10/12/20 19:26:50
＜答え＞
k を整数とすると
p を満たすのは 4k＋2
k＝2l(エル)＋1
よって解は (5-√21)/2 です
池沢春人「黒鉄－クロガネ－」より抜粋（笑）
URLﾘﾝｸ(a-draw.com)
＜問題＞
以上の解を満たすような数IAの整数問題を作成しなさい＾ｐ＾
186:１３２人目の素数さん
10/12/20 19:45:14
>>183-184
平衡３進法
187:１３２人目の素数さん
10/12/20 20:32:15
>>185
おもしろいｗ どっからとってきた？その漫画ｗ
188:１３２人目の素数さん
10/12/20 21:10:20
>>185
f(p):={(p-2)-4√(p-1)}/8 が
X^2+aX+b∈Z[X] の正の根となるような
最小の自然数pに対して、f(p)の値を求めよ。
189:１３２人目の素数さん
10/12/20 21:26:38
>>187
あぁ、書き忘れてました
今週の週刊少年ジャンプです＾ｐ＾
190:１３２人目の素数さん
10/12/20 21:27:27
>>188
もっと数IAっぽく書いてくれ
もしくは東大入試問題っぽくｗ
191:１３２人目の素数さん
10/12/20 21:27:54
>>185
ちょっと解答が足りないけれど．
パラメータpを次のようにとる．
・pは平方数を因子に持たない正の偶数でかつ[p/4]が奇数になるような数であり，
さらにf(x)=x^2-5x+p/6=0がx>0に2つの解を持つ．
このとき，実数の方程式f(x)=0の解になりうる最小の数を求めよ．
192:１３２人目の素数さん
10/12/20 21:48:56
{(p-2)-4√(p-1)}/8∈R が正の代数的整数となる
最小の自然数pに対して、上記の数を求めよ。
193:１３２人目の素数さん
10/12/20 22:01:09
黒鉄が凡人でないことを考慮すると、
p=4k+2, k=2l+1 などはあまり明らかでないほうがよい。
なんらかの飛躍により、この2つが得られたと思うべき。
(明らかなのにpがなんとかこうとかとワザワザ言うのはおかしい)
ここまでにでた例は全て簡単すぎる。
しかも >>188 も >>191 だいたい似ている。
>>191 は数IAっぽいが pが明らかすぎる。
>>188 は数IAぽくない書き方をしている。
194:１３２人目の素数さん
10/12/20 22:11:04
>>188,>>192
p=6で(1-√5)/2はx^2-x-1の根では？
ダメ出しされてしまったので，もう少しよいのを考えてみよう．出来るかわからないけど．
195:１３２人目の素数さん
10/12/20 22:16:42
>>193
東大入試レベルにとどめておけよｗ
196:１３２人目の素数さん
10/12/20 22:28:57
>>194
正と書いてあるので p=6は弾かれる。((1-√5)/2は負である！)
同様にp=14も弾かれる。
197:１３２人目の素数さん
10/12/20 22:34:04
>>196
なるほど，失礼しました．
198:１３２人目の素数さん
10/12/20 23:08:04
「よって『解』は」で受けるような問いの種類はかなり限られると思うのだが。
199:１３２人目の素数さん
10/12/20 23:08:25
ヨロシクは素数である. (4649)
このような面白い素数をなるべくたくさんみつけよ。
200:１３２人目の素数さん
10/12/20 23:14:41
訳注： 田代はヤク中である
201:１３２人目の素数さん
10/12/20 23:18:39
>>200
ぐうにゅうふいたｗｗ
202:１３２人目の素数さん
10/12/20 23:47:08
>>199
8753（はなこさん) は素数
203:１３２人目の素数さん
10/12/21 00:30:19
０７２１ならＴＥＮＧＡ
204:１３２人目の素数さん
10/12/21 00:33:09
>>203
それは素数じゃねえぞ
0127なら素数なんだけどね？？
205:１３２人目の素数さん
10/12/22 17:14:43
答えが(5-√21)/2になる問題を考える時点で超高難度
k＝2l(エル)＋1みたいな要素入れるのなんて無理
206:１３２人目の素数さん
10/12/22 17:44:31
スレが伸びなくなってきたな。
新作問題が出ない。
数版の限界か？
207:１３２人目の素数さん
10/12/22 18:44:07
ゴガギーン
ドッカン
ｍ ドッカン
＝＝＝＝＝） ）) ☆
∧_∧ | | ／ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
（ ）| |＿＿＿＿＿ ∧＿∧ ＜ おらっ！出てこい>>1
「 ⌒￣ | | || （´Д｀ ） ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
| / ￣ | |/ 「 ＼
| | | | || || /＼＼
| | | | | へ//| | | |
| | | ﾛ|ﾛ |／,へ ＼| | | |
| ∧ | | | |／ ＼ / （ ）
| | | |〈 | | | |
/ / / / | / | 〈| | |
/ / / / | | || | |
/ / / / =-----=-------- | |
208:１３２人目の素数さん
10/12/22 20:51:00
>>206
2chにおいて板はばんって読むんじゃなくていたってよむんだぜ？
209:１３２人目の素数さん
10/12/22 22:15:10
ハァ？他力本願なユトリは精神病院でも行けよ～
210:１３２人目の素数さん
10/12/22 22:19:08
その他力本願の使い方は誤用
211:１３２人目の素数さん
10/12/22 22:55:33
URLﾘﾝｸ(souchong2010.blog118.fc2.com)
程度が知れるぜ宗教野郎
212:１３２人目の素数さん
10/12/22 22:59:11
>>211
個人のブログがソースかよ
213:１３２人目の素数さん
10/12/22 23:34:48
バカか？文系の話するスレじゃねぇから
誤用かどうかは個人個人のブログでやってろよっていう
ソースだろ？もしかしておまえそれ反論でもしてるつもりなのか？
214:１３２人目の素数さん
10/12/22 23:42:13
>>213
そのブログにも辞書に誤用だって載ってるって書いてあるのに
215:１３２人目の素数さん
10/12/22 23:56:59
ソースは誤用
216:１３２人目の素数さん
10/12/23 00:33:47
おっやみです^^
①x+y+z=0を満たすような任意の実数x,y,zに対して
(x^{m+n}＋y^{m+n}＋z^{m+n})/(m＋n)=(x^m＋y^m＋z^m)(x^n＋y^n＋z^n)/mn
が成立するような整数m,nの組を全て求めよ
② 以下の条件を満たす正の整数(a,x,y,n,m)の組を全て求めよ
a(x^n－x^m)＝(ax^m－4)y^2, m≡n (mod 2) かつ ax は奇数
③ 自然数Nの10進表示を a[1]a[2]..a[n] 等とする。
N = (a[1]+2)*(a[2]+2)*...*(a[n]+2)
を満たすような自然数Nを全て求めよ。
④ フィボナッチ数列類似の多項式列{F(n)}を次のように定義する：
F(0) = 0, F(1) = 1, F(n+2) = F(n+1) + x^n F(n).
このとき、任意の自然数nに対して、
F(5^n) は 1 + x + x^2 + … + x^(5^n - 1) で割り切れることを示せ。
⑤f^3=g^2+1 を満たすf,g∈C(X)＼C は存在するか。
⑥自然数x_1, x_2, ..., x_nが
1/x_1+1/x_2+...+1/x_n=1 を満たすとき
x_1+x_2+...+x_n の最大値を求めよ。
217:１３２人目の素数さん
10/12/23 00:35:14
⑦a^a*b^b=c^c を満たす整数a,b,c＞1の組は無限に存在するか。
⑧4桁の自然数Mをp進法において反転させたものをNとする。
M=2N が成立するような正整数p,M(p＞1)の組を全て求めよ。
⑨各整数n≧6に対して、τ(n!)|n! が成立することを示せ。
⑩a^2+b^2+b^2=2(ab+bc+ca)+p^n を満たすような
素数p,整数n,平方数a,b,cの組(p,n,a,b,c)は存在するか。
(ここでは平方数はm^2(m:正整数)の形で表現される数)
⑪|2^x-3^y|=p を満たす整数x,yの組が存在するような
p≡-7(mod 24)なる素数pはp=17以外に存在するか。
⑫x^4+y^4=z^2+1 を満たす整数x,y,zの組は無限に存在するか。
(x^4+y^4=z^2 が非自明な整数解を持たないことは良く知られている)
218:１３２人目の素数さん
10/12/23 00:43:18
⑩にタイプミスが^^;;
×a^2+b^2+b^2
〇a^2+b^2+c^2
219:１３２人目の素数さん
10/12/23 03:10:00
存在しない。
220:１３２人目の素数さん
10/12/23 03:20:00
ｘ＾４＋１＾４＝（ｘ＾２）＾２＋１。
221:１３２人目の素数さん
10/12/23 03:38:41
すみません^^; ⑫は訂正します^^;
寝ている間に問題の誤りに気づいてしまいました^^;
⑫x^4+y^4=z^2+1 を満たす整数x,y,z＞1の組は無限に存在するか。
(x^4+y^4=z^2 が非自明な整数解を持たないことは良く知られている)
1を許してしまうと >>220 の例により無限にあるとなります^^;
222:１３２人目の素数さん
10/12/23 16:55:30
>>221
⑪の設定の理由は？ なぜ mod24？ なぜ2と3の累乗？ なぜ -7？
理由があるなら(あるとおもうけど)教えてちょ。
223:１３２人目の素数さん
10/12/23 19:27:32
>>222
a^m-b^n(a,bはa,b＞1なる整定数)はどんな素数を取りうるか
という問題がさきにあったわけです。
そこで、a,bとして最小なペアはa=2,b=3があるわけです。
絶対値がついているのは取りうる値の個数を増やすため。
このままでは問題はとても難しいので、
さきに素数をmodで限定することを考えるわけです。
mod mで考えるとして、mはなるべく小さいほうがいいでしょう。
このとき、次のことがいえるわけです。
任意に互いに素な整数m,s(1＜m＜24)の組を固定したとき、
|2^x-3^y|=p を満たす整数x,yの組が存在するような
p≡s(mod m)なる素数pは少なくとも2つ存在する。
(おそらく無限に存在するのだとはおもいますが、
未解決問題が絡むゆえ、そのことの証明は困難でしょう)
そのことに注目したので、mod 24で考えているわけです。
-7の理由は単純です。p≡-7(mod 24)でないとすれば
条件を満たすpは少なくとも2つ存在するからです。
224:１３２人目の素数さん
10/12/23 19:35:21
mod mなどと書いてしまいましたが これは別の文字を使うべきでした^^;
-7の理由も書きなおしておきます^^;
「-7≡s を満たさない24と互いに素な整数sを任意に固定するとき、
|2^x-3^y|=p を満たす整数x,yの組が存在するような
p≡s(mod m)なる素数pは少なくとも2つ存在するから」
225:１３２人目の素数さん
10/12/23 19:54:00
2=3^1-2^0
3=2^2-3^0
5=2^3-3^1
7=3^2-2^1
11=3^3-2^4
13=2^4-3^1
17=3^4-2^6
19=3^3-2^3
23=2^5-3^2
29=2^5-3^1
31=2^5-3^0
37=2^6-3^3
226:１３２人目の素数さん
10/12/25 11:53:00
自作問題。いわゆる"初等的な"解答があるかは分からない。
問題：
Nから{0,1}への写像全体の集合族をXと置く。
Xの2元f , g：N → {0,1} に対して、f＋g∈Xを次のように定義する。
(f＋g)(n)：＝ 「f (n)＋g(n) を2で割った余り」 (n∈N)
次に、f∈Xに対して
E(f)：＝lim[n→∞]＃{ i｜1≦i≦n, f (i)＝1}/n
と置く(fによっては、E(f)は存在しないこともある)。
次が成り立つことを示せ。
「Xの任意の点列{f_n}_{n∈N}に対して、あるg∈Xが存在して
E(g＋f_n)＝1/2 (n∈N)が成り立つ。」
227:１３２人目の素数さん
10/12/25 16:01:57
集合論の問題か。1/2であるこも本質ではないし、
{0,1}も別に本質ではない。
228:１３２人目の素数さん
10/12/25 16:17:48
>>227
{0,1}は重要では？？
適当に構造をみて 良く知られた定理をアプライする問題だとおもう。
それをあてるクイズゲームだとおもえばいい。
229:１３２人目の素数さん
10/12/25 16:47:49
(問題)
XをR^nのコンパクトな凸集合とし、Int(X)≠φとする。
Xの境界はR^nの球面と同相であることを証明せよ。
230:１３２人目の素数さん
10/12/25 16:57:27
>>226
選択公理は必要ですか？
選択公理がなくとも解けますか？
231:226
10/12/25 17:26:24
>>227
{0,1}である必要は無いけど、「二元集合」であることは大切。
そして、「二元集合」の場合は「1/2」が大切で、1/2以外の値だと
反例が作れる。例えば「0」に置き換えて
「Xの任意の点列{f_n}_{n∈N}に対して、あるg∈Xが存在して
E(g＋f_n)＝ 0 (n∈N)が成り立つ。」
という主張を考えてみると、実はこれは成り立たない。
f_1(i) ＝ 1 (i∈N)
f_n(i) ＝ 0 (i∈N,n≧2)
としてXの点列{f_n}_{n∈N}を定義すると、これが反例になっていて、
どのようなg∈Xをとってきても「 E(g＋f_n)＝ 0 (n∈N) 」が
成り立つようには出来ない。
232:１３２人目の素数さん
10/12/25 17:35:13
>>226
用意してある解答例は選択公理と独立？
233:226
10/12/25 17:40:30
>>230,>>232
使ってる道具の性質上、可算選択公理は使ってるはず。
でも、いわゆるあの「選択公理」とは独立。
234:１３２人目の素数さん
10/12/26 04:02:32
問題5.
pを3以上の素数とする。
(1) nを正の整数とするとき、Σ[i=1_n] i･p^i を p,n を用いて表せ。
(2) p-1以下の正整数kに対して、正整数a(k)をb(k)を
b(k) = {Σ[j=1,p-1] j^k}･a(k) と定める。
1≦k≦p-1 の全てのkについてb(k)がpの倍数であるとき a(k)も全てpの倍数だ
と言えるか？
東大入試作問者スレ１９-153
235:１３２人目の素数さん
10/12/26 04:21:55
>>234
(1) 与式を f_n(p) とおく。
(p-1)f_n(p) = (p-1)pΣ[i=1,n] i･p^(i-1)
= p･{n･p^n - Σ[i=1,n] p^(i-1)}
= p･{n･p^n - (p^n - 1)/(p-1)}
= p･{n･p^(n+1) - (n+1)･p^n + 1)}/(p-1),
∴ f_n(p) = p･{n･p^(n+1) - (n+1)･p^n + 1)}/(p-1)^2,
(2)
k=p-1 のときは j^(p-1)≡1 (mod p) より
Σ[j=1,p-1] j^(p-1) ≡ p-1 ≡ -1 (mod p)
よって
p|b(p-1) ⇒ p|a(p-1)
しかし 1≦k≦p-2 のときは
Σ[j=1,p-1] j^k ≡ 0 (mod p)
の場合もあるので……
236:１３２人目の素数さん
10/12/26 04:58:20
>>234
(2) あきらかにいえない
>>235 に正しい解答があるが、
敢えてはっきりというならば、
たとえば a(p-1)=p, a(i)=1 (1≦i＜p) としても
問題の条件を満たすことがいえる。
237:１３２人目の素数さん
10/12/26 22:13:08
>>216
④
F(n;x) の次数は [ ((n-1)/2)^2 ]
>>217
⑩
平方数の定義により
a=A^2, b=B^2, c=C^2 (A,B,Cは正整数)
よって
p^n = a^2 + b^2 + c^2 -2(ab+bc+ca) = -(A+B+C)(-A+B+C)(A-B+C)(A+B-C),
右辺の４つの因子はすべて偶 または すべて奇。
238:１３２人目の素数さん
10/12/26 23:41:05
>>237
④,⑩のいずれも解答の途中だね
そこまでなら皆わかっているハズ(`･ω･´)
239:１３２人目の素数さん
10/12/27 01:00:00
０＜ａ≦ｂ≦ｃ。
ｃ－ａ－ｂ＜ａ＋ｃ－ｂ≦ｂ＋ｃ－ａ＜ａ＋ｂ＋ｃ。
（ｃ－ａ－ｂ）＋（ａ＋ｂ＋ｃ）＝（ａ＋ｃ－ｂ）＋（ｂ＋ｃ－ａ）。
240:御手洗景子
10/12/27 02:48:02
>>217
⑩ 先に結論を書くならば、
「そのような組はギリギリ存在しない」
以下にそのことの証明を述べることにする。
a≧b≧c と仮定する。(そう仮定しても一般性を失わない)
a=x^2, b=y^2, c=z^2 を満たす正整数x,y,zの組を取る。
d=gcd(x,y,z)として、x=ds,y=dt,z=du を満たす正整数s,t,uの組を取る。
a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)=(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z) と分解できて、
右辺=d^4(s+t+u)(s+t-u)(s-t+z)(s-t-u) となるので、とくに、
(s+t+u)(s+t-u)(s-t+z)(s-t-u) はpの巾であることがいえる。
ここで、s+t+u＞s+t-u≧s-t+z＞s-t-u＞0 に注意しておく。
(ⅰ) p≧3 であるときを考える。
p|s+t+u,s+t-u,s-t+z であることから、p|2s,2t,2u がいえる。
pが奇素数であることとあわせて、p|s,t,u がいえる。矛盾。
(ⅱ) p=2 であるときを考える。
s+t+u≡s-t-u (mod 2) であるので、2|s-t-u となる。(s-t-u＞0に注意)
よって、4|s+t+u,s+t-u,s-t+u であることがいえる。
そこから、4|2s,2t,2u が得られるので、2|s,t,u がいえる。矛盾。
解答のポイントを箇条書きすると...
1) 簡単な因数分解に気づく
2) 3つの数のGCDを取る
3) 大小関係に気をつける
4) pが奇素数かどうかでわける
241:１３２人目の素数さん
10/12/29 00:46:35
a^2+b^2=c^3+1
242:１３２人目の素数さん
10/12/29 02:59:33
>>241
(|a|,|b|,c) = (1, n^3, n^2)
(|a|,|b|,c) = (8m^6 -1, 4m^3, 4m^4)
243:１３２人目の素数さん
10/12/29 03:12:12
残った問題は難しいのしかないな
244:１３２人目の素数さん
10/12/29 14:00:00
ｐ＾ｄ＝ｃ－ａ－ｂ。
ｐ＾ｅ＝ａ＋ｂ＋ｃ。
ｐ＾ｆ＝ａ＋ｃ－ｂ。
ｐ＾ｇ＝ｂ＋ｃ－ａ。
ｐ＾ｄ＋ｐ＾ｅ＝ｐ＾ｆ＋ｐ＾ｇ。
ｐ＾ｅ，ｐ＾ｆ，ｐ＾ｇはｐ＾（ｄ＋１）の倍数でｐ＾ｄはｐ＾（ｄ＋１）の倍数でないので矛盾。
245:１３２人目の素数さん
10/12/29 17:18:03
>>244
GJ
246:１３２人目の素数さん
10/12/30 04:36:31
御手洗景子嬢晒し上げ
□投稿者/ 御手洗景子 ＠ 一般人(4回)-(2010/06/17(Thu) 21:05:50)
URLﾘﾝｸ(mixi.jp)
(1)1/(1-x-x^2)=Σ(n=0～∞)a_n（x^n)に対して、a_0，・・・,a_10を求め、その規則性を見つけよ。そして、どうしてその規則性が成り立つのか説明せよ。
(2)（2-x）/（1-x-x^2)Σ(n=0～∞)a_n（x^n)に対して、a_0，・・・,a_10を求め、その規則性を見つけよ。そして、どうしてその規則性が成り立つのか説明せよ。
(3)（x^2）/（1-x-x^2-x^3)Σ(n=0～∞)a_n（x^n)に対して、a_0，・・・,a_10を求め、その規則性を見つけよ。そして、どうしてその規則性が成り立つのか説明せよ。
できるだけ、詳しく教えてください。お願いします。
247:１３２人目の素数さん
10/12/30 05:02:11
>>246
別人だろjk
偶然名前が一致したか、恨みがあるかの2択しかありえない。
248:１３２人目の素数さん
10/12/30 10:02:12
相当マルチしまくりだったからなｗ
249:１３２人目の素数さん
10/12/30 20:40:24
>>231
もしよろしければ解答おねがいできますか？
過疎ってきているから、加速燃料になるはｚ...
250:１３２人目の素数さん
10/12/30 22:42:08
>>246
両辺に 分母を掛けて x^k の係数を比較する。
(1) a_0 =1, a_1 -a_0 =0, a_k -a_(k-1) -a_(k-2) =0, (k≧2)
∴ a_n = F_(n+1), Fibonacci数列。
(2) a_0 =2, a_1 -a_0 =-1, a_k -a_(k-1) -a_(k-2) =0, (k≧2)
∴ a_n = F_n +2F_(n-1),
(3) a_0 =0, a_1 -a_0 =0, a_2 -a_1 -a_0 =1, a_k-a_(k-1)-a_(k-2)-a_(k-3) =0, (k≧3)
∴ a_n = T_(n-3) Tribonacci数列。
251:250
10/12/30 22:45:40
>>246 訂正
(3) a_n = T_(n-１)
252:１３２人目の素数さん
10/12/31 02:05:23
>>221
⑫ の例
(x,y,z) =
( 5, 7, 55)
(13, 13, 239)
(27, 37, 1551)
( 8, 17, 296)
(32, 17, 1064)
(28, 47, 2344)
(76, 47, 6184)
(44, 63, 4416)
(64,111,12984)
(22, 31, 1076)
(46, 31, 2324)
(46, 97, 9644)
さて、無限にあるかどうか…
253:１３２人目の素数さん
10/12/31 02:45:34
そんだけ解あるならば無限にありそうだね。
それでも証明はかなり厳しそうだけど。
それより⑦のほうが真っ暗だとおもう。1つすらみつけられない。
問題文から察するに解は1つはありそうだけど。。。もしくは罠？
254:１３２人目の素数さん
10/12/31 02:47:39
素因数
255:１３２人目の素数さん
10/12/31 03:16:05
まあその2題に関しては解答は用意されているわけだし問題なかろう。
256:１３２人目の素数さん
10/12/31 03:17:27
④
⑥
は削除しろ
257:１３２人目の素数さん
10/12/31 03:34:59
>>256
④はなぜ？ かなり難しい問題であるのはわかるけど...
258:１３２人目の素数さん
10/12/31 06:28:09
>>253
⑦の類題
a^a*b^b*c^c=d^d を満たす整数a,b,c,d＞1の組は存在するか?
259:１３２人目の素数さん
10/12/31 07:13:05
>>258
存在する。 a=12,b=12,c=8,d=24
しかしながら、⑦自体は1つも解がみつけられない。
ということで 解がそもそも存在するかどうか教えてくれ
>>1
260:１３２人目の素数さん
10/12/31 15:00:00
ａ＝２＾（２＾（２ｎ＋１）－（ｎ＋１）２＾（ｎ＋１））（２＾ｎ－１）＾（２＾（ｎ＋１））。
ｂ＝２＾（２＾（２ｎ＋１）－（ｎ＋１）２＾（ｎ＋１）＋２ｎ）（２＾ｎ－１）＾（２＾（ｎ＋１）－２）。
ｃ＝２＾（２＾（２ｎ＋１）－（ｎ＋１）２＾（ｎ＋１）＋ｎ＋１）（２＾ｎ－１）＾（２＾（ｎ＋１）－１）。
261:１３２人目の素数さん
10/12/31 15:18:51
>>257
死ね屑
262:１３２人目の素数さん
10/12/31 17:42:40
>>258
存在する。 a=b=c=4, d=8
263:１３２人目の素数さん
10/12/31 18:47:09
⑦の解の見つけ方。
d=gcd(a,b,c)とおく。a=ds,b=dt,c=du とおく。
すると そのもとで a^a*b^b=c^c ⇔ d^(s+t)*s^s*t^t=d^u*u^u
ここで たとえば u=s+t-1 とすれば、d*s^s*t^t=u^u となるので、
s^s*t^t|u^u=(s+t-1)^(s+t-1) を満たす正整数s,tを見つければ十分である。
s+t-1 が s,tで割り切れてくれたら十分であるのだがそれは不可能。
そこで、s=a^2,t=b^2 なる置き換えを行う。a-b=1 のときを考えれば、
aが2の累乗にならざるをえないことがいえる。それから >>260 を得る。
(共通項を抹消すると 2^(2n), (2^n-1), 2^(n+1)*(2^n-1) が残る)
264:１３２人目の素数さん
10/12/31 18:48:12
あ、ちなみに わたしは 260ではないので、彼がどうやって解を得たのかは知らんよｗ
265:１３２人目の素数さん
10/12/31 18:48:50
④
⑥
は削除しろ
266:１３２人目の素数さん
10/12/31 19:22:12
>>265
提案者？
267:１３２人目の素数さん
10/12/31 20:16:32
>>241
(|a|,|b|,c) = (4, 7, 4)
(17, 21, 9)
(6, 36, 11)
(12, 51, 14)
(21, 48, 14)
268: 【凶】 【1175円】 株価【30】 u
11/01/01 00:45:18
今までで解かれてなくて＾＾が削除したのは、
出題者が取り下げたの以外で１つあった。（旧スレ①）
長期間だれも解かなかったから、という理由だったが
今やリストの大半が長期間放置されているね。
個人的には④⑥はまだ考えているから残しておいてほしいけど。
269: 【小吉】 【1002円】 株価【30】
11/01/01 00:47:28
つまらん
270:１３２人目の素数さん
11/01/05 22:30:15
暇つぶし用の易問だから各5分以内に解いてね
①2より大きい自然数nを考える。n進数で2011とあらわされる自然数が2011の倍数となるnを全て求めよ
②kを正整数とする。(a^2+k)/2011が整数になる正整数aが無限に存在するようなkを全て求めよ。
③nを正整数とする。(a^n+1)/2011が整数となる正整数aが無限に存在するnを全て求めよ。
271:１３２人目の素数さん
11/01/06 03:44:42
手計算で5分以内は厳しい。2011は素数。p=2011とおく。
①2X^3+X+1∈F_p[X] がX-10を因子にもつことは明らか。
残り2つの因子を決定するのは少々計算が面倒。
② (-k/p)を計算すればよいがこれもやはり面倒なだけである。
③ (-1/2011)=-1より、nが偶数のときは条件を満たす正整数aは存在しない。
nが奇数のときは 2011|a+1 なる正整数aを取ればよい。(無数に取れる)
272:１３２人目の素数さん
11/01/06 18:30:56
1/x1 + 1/x2 + 1/x3 + … + 1/xn ＜1
(但し、x1,x2,x3,…,xnは正の整数)
を満たす左辺の最大値を与えるx1～xnは、
x1=2 ,x(n+1)=Π(k=1～n)xk +1
という定理、結果はよく見るが、
証明は知らない。（名前すら知らないので調べようがない）
これを認めれば⑥は解けるか？
273:１３２人目の素数さん
11/01/06 19:05:46
>>272
あのさあ、その問題文で検索すると
URLﾘﾝｸ(okwave.jp)
がヒットするんだけど
なめてんの？
274:１３２人目の素数さん
11/01/06 19:12:12
ぺろぺろ
275:１３２人目の素数さん
11/01/06 19:35:24
>>272
それは誰でも知っているとおもうけど、
それ使ったところでなにか発展しますか。
276:１３２人目の素数さん
11/01/06 19:45:33
④
⑥
は削除しろ
277:１３２人目の素数さん
11/01/06 23:07:56
>>276
④はなぜ？ かなり難しい問題であるのはわかるけど...
提案者？
278:１３２人目の素数さん
11/01/06 23:26:56
まあまあ
残った問題で解けそうなものから潰していこうぜ。
279:１３２人目の素数さん
11/01/06 23:40:56
>>277
お前それしかいえんのか？
280:１３２人目の素数さん
11/01/07 00:10:54
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
猫
281:１３２人目の素数さん
11/01/07 13:17:07
>>271
面倒でも全部書いて
282:１３２人目の素数さん
11/01/09 08:12:56
>>270 >>281 p=2011 とおく。
① 2X^3 +X +1 = 2(X-10)(X-109)(X+119) + (13X-129)p
≡ 2(X-10)(X-109)(X+119), (mod p)
・n ≡ 10 (mod p) のとき、
2n^3 +n +1 = 2(n-10)^3 + 60(n-10)^2 + 601(n-10) + p ≡ 0, (mod p)
・n ≡ 109 (mod p) のとき、
2n^3 +n +1 = 2(n-109)^3 + 654(n-109)^2 + 71287(n-109) + 1288p ≡ 0, (mod p)
・n ≡ -119 (mod p) のとき、
2n^3 +n +1 = 2(n+119)^3 - 714(n+119)^2 + 84967(n+119) - 1676p ≡ 0, (mod p)
283:１３２人目の素数さん
11/01/09 15:50:51
>>282
具体的に F_p多項式 分解したのは
存在の 証明が 他に無いから
284:１３２人目の素数さん
11/01/10 19:17:49
↓数オリスレから拾ってきたｗ
↓おまえらなら瞬殺だよな？ｗ
１．１以上９以下の整数の組（a,b,c,d）であって、
０＜b-a＜c-b＜d-c をみたすものはいくつあるか。
２．２０１１以下の正の整数のうち３で割って１余るものの総和をA、
３で割って２余るものの総和をBとする。
A-Bを求めよ。
３．相異なる７以下の正の整数a,b,c,d,e,f,gを用いて
a*b*c*d+e*f*gと表せる素数を全て求めよ。
５．２０１１以下の正の整数のうち、一の位が３または７であるもの
すべての積をXとする。Xの十の位を求めよ。
８．２桁の正の整数x、yがあり、xの十の位はyの一の位と等しく、
yの十の位はxの一の位と等しい。また、xとyの積をPとすると、
Pは４桁の整数になり、Pの下２桁を２桁の整数とみなしたものは
上２桁を２桁の整数とみなしたものより２３大きくなった。
このとき、Pの値を求めよ。
１０．正の整数に対して定義され、正の整数値を取る関数ｆであって、任意の正の整数ｘ、ｙに対して
(x+y)f(x) ＜＝ x^2 + f(xy) + 110
をみたすものを考える。このとき、f(23)+f(2011)としてありうる最小の値と最大の値を求めよ。
285:１３２人目の素数さん
11/01/10 23:27:48
１２．ｎを２以上の整数とする。非負実数a1,…,aｎが a1＋…＋aｎ＝１ をみたすとき、
{Σ(i=1～n)(i*ai)}*{Σ(i=1～n)(ai/i)}^2
としてありうる最大の値を求めよ。
数オリスレでは１２が誰も解けないみたいだから、おまえら助けてやれや
286:１３２人目の素数さん
11/01/10 23:49:03
現役離れたおっさんには無理だにゃ～
287:１３２人目の素数さん
11/01/11 00:19:54
＾＾の人に期待か
288:１３２人目の素数さん
11/01/11 00:37:16
>>285
1
289:１３２人目の素数さん
11/01/11 00:40:56
a1=1
a2=…=aｎ=0
290:１３２人目の素数さん
11/01/11 00:48:11
＞12番が１とかいう噂が漂っているが証明でもないくせにそんな自明解だったら財団に切れるぞ
291:１３２人目の素数さん
11/01/11 01:29:57
>>290
勝手に切れてろ
292:１３２人目の素数さん
11/01/11 06:26:45
>>288
an ＝ (1－1/n)*(1/3)
a1 ＝ 1－an
a2 ＝ … ＝ a_{n-1} ＝ 0
とすると、nが十分大きいとき与式は1を超える。
293:１３２人目の素数さん
11/01/11 09:07:16
>>285
全展開後の相加→相乗平均から、
a1= …= aｎのとき最大値 n {Σ(i=1～n)(i)}*{Σ(i=1～n)(1/i)}^2 を取る？
294:１３２人目の素数さん
11/01/11 09:43:44
368 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/01/11(火) 07:11:40
＜さらに転載＞
12
4(n+1)^3/27n^2
a_2~a_n-1を0として3次関数の増減調べただけ。
たしかa_1=(2n-1)/3(n-1) a_n=(n-2)/3(n-1)。
でも（僕のあてにならない感覚ですが）感覚的にこれは正しそう。証明が無理・・・
これ以上の式が答えであることは確実です。
295:１３２人目の素数さん
11/01/12 09:19:53
上から目線の例の人もお手上げか
296:１３２人目の素数さん
11/01/12 09:23:59
というかまだ今年はあらわれてないな
297:１３２人目の素数さん
11/01/12 14:18:53
>>271が例の人だろｗ
298:１３２人目の素数さん
11/01/12 18:33:40
最大値が存在することは簡単に証明できるけど、(ほぼ明らかだが)
具体的にそれがなにかはあの問題の場合は難しいきがする。
スレチ-不等式スレ池
299:１３２人目の素数さん
11/01/12 20:19:25
>>297
^^じゃないだろ
300:１３２人目の素数さん
11/01/12 23:12:20
＾＾の人と上から目線の例の人は違うよ
301:１３２人目の素数さん
11/01/15 08:51:26
>>284
1. 1≦b-a, 2≦c-b, 3≦d-c,
辺々たすと、 6≦d-a,
d-a=6: (1,2,4,7) (2,3,5,8) (3,4,6,9)
d-a=7: (1,2,4,8) (2,3,5,9)
d-a=8: (1,2,4,9) (1,2,5,9)
2.
A = 1 + 4 + 7 + ･････ + 2011,
A = 1 + 4 + ･････ + 2008 + 2011,
A = 1 + 4 + ･････ + 2008 + 2011,
相加平均して
A = 1/3 + 2 + 5 + ･････ + 2009 + 2011*(2/3)
= 1/3 + B + 2011*(2/3)
= B + 1341,
3.
題意により、abcd と efg は互いに素。
∴ 6を含む項はまた2,3,4も含むはずだから、
{a,b,c,d} = {2,3,4,6}, {e,f,g} = {1,5,7} p=144+35=179,
5.
(10a+3)(10a+7) = 100a(a+1) + 21 ≡ 21 (mod 200)
(100b+21)(100c+21)(100d+21)(100e+21)(100f+21) ≡ 1 (mod 100),
∴ 50ごとに１に戻るので 2000以上の因数を考えればよく、
2003ｘ2007 = 4020021 ≡ 21 (mod 100) より 2
8.
P = 3154 = 38 * 83
302:１３２人目の素数さん
11/01/15 11:55:02
>>301
5の無駄を省いたバージョン
φ(100)=40, 任意の非負整数nに対して、(10n+3)(10n+7)≡21 (mod 100)
したがって、問題の積≡21^(201)≡21^(40*5+1)≡21 (mod 100)
303:１３２人目の素数さん
11/01/15 12:28:01
任意に a+b=10^k を満たす正整数a,b,kの組を固定する。(a,bはk桁とする)
3k+1桁以下の正整数のうち下k桁がaまたはbであるような数の総積をPとする。
このとき、P-1は10^(2k)で割り切れることを証明せよ。
304:訂正
11/01/15 12:30:15
(10,ab)=1 を条件に追加しておく。 これでＯＫ
305:１３２人目の素数さん
11/01/15 19:56:58
>>285
4(n+1)^3/27n^2
306:１３２人目の素数さん
11/01/15 22:46:20
>>285
つまり、与式の最大に関しては、 (x,0,････,0,1-x) を考えれば十分だから
(与式) ≦ {x + n(1-x)}{x + (1-x)/n}^2
= {x + n(1-x)}{[1 +(n-1)x]/2}^2･(2/n)^2
≦ {(n+1)/3}^3･(2/n)^2 (← 相乗･相加平均)
= 4(n+1)^3／(27n^2), >>305
等号成立は x = (2n-1)/(3(n-1)) のとき
307:１３２人目の素数さん
11/01/15 22:48:51
>>305
>>306
どうしてa1, an以外は0なの？
308:１３２人目の素数さん
11/01/15 23:04:27
>>306
『与式の最大に関しては、 (x,0,････,0,1-x) を考えれば十分だから』
なぜ？ それはかなり非自明な匂いがしますが・・・
309:１３２人目の素数さん
11/01/15 23:14:31
そのレベルですか
まずはn=3の場合はやってみてはいかがですかな
310:１３２人目の素数さん
11/01/15 23:28:20
>>305>>306
>>294で既に出てるよ。
311:306
11/01/15 23:33:50
>>285 >>294 >>307-308
〔補題〕与式の最大に関しては、 (x,0,････,0,1-x) を考えれば十分。
(略証)
(与式) = F(a_1,a_2,････,a_n)･G(a_1,a_2,････,a_n)^2,
と書ける。ここに
F(t_1,t_2,････,t_n) = Σ(i=1～n) i･t_i,
G(t_1,t_2,････,t_n) = Σ(i=1～n) t_i／i,
いま
x = {1/(n-1)}Σ(j=1～n-1) (n-j)･a_j,
1-x = {1/(n-1)}Σ(j=2～n) (j-1)･a_j,
とおけば
⊿F = F(x,0,････,0,1-x) - F(a_1,a_2,････,a_n) = 0,
⊿G = G(x,0,････,0,1-x) - G(a_1,a_2,････,a_n)
= (1/n)Σ(j=2～n-1) {(n-j)(j-1)/j}･a_j > 0,
また
y = {1/(n-1)}Σ(j=1～n-1) (n-j)･a_j／j,
1-y = {n/(n-1)}Σ(j=2～n) (j-1)･a_j／j,
とおけば
⊿F = F(y,0,････,0,1-y) - F(a_1,a_2,････,a_n)
= Σ(j=2～n-1) (n-j)(j-1)･a_j > 0,
⊿G = G(y,0,････,0,1-y) - G(a_1,a_2,････,a_n) = 0,
いずれの場合も F･G^2 は増加する。
よって頭書の結論を得る。(終)
312:１３２人目の素数さん
11/01/15 23:34:00
証明が重要なわけで それが書かれていない時点でお察し。
313:１３２人目の素数さん
11/01/15 23:34:59
>>312
晒しあげ
314:１３２人目の素数さん
11/01/15 23:37:21
恥ずかしいヤツがいると聞いて飛んできたｗｗｗｗｗｗ
315:１３２人目の素数さん
11/01/15 23:38:10
>>311
やるね今年の１年
316:１３２人目の素数さん
11/01/15 23:42:31
遅い時間で良かったな
317:１３２人目の素数さん
11/01/15 23:43:56
ほらはやく初等数論の問題うｐれやゴラっ
318:１３２人目の素数さん
11/01/15 23:53:16
>>312
自分はできてないくせになんで態度でかいん？
319:１３２人目の素数さん
11/01/15 23:58:20
わからなくてイライラしてるから
320:１３２人目の素数さん
11/01/15 23:58:25
不等式への招待 第５章
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
57 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/01/12(水) 21:00:00
１＜ｍ＜ｎ。
０≦ａ。
ｂ＝（ｎ－ｍ）ａ／（ｎ－１）。
ｃ＝（ｍ－１）ａ／（ｎ－１）。
ａ＝ｂ＋ｃ。
ｍａ＝ｂ＋ｎｃ。
ａ／ｍ≦ｂ＋ｃ／ｎ。
（ｘ＋ｎ（１－ｘ））（ｘ＋（１－ｘ）／ｎ）＾２
＝（２ｎ－２（ｎ－１）ｘ）（１＋（ｎ－１）ｘ）＾２／２ｎ＾２
≦（（２ｎ＋２）／３）＾３／２ｎ＾２
＝４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２。
59 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/01/14(金) 05:00:00
１≦ｉ≦ｎ。
（ｉ－１）（ｉ－ｎ）≦０。
ｎ≦ｉ（ｎ＋１－ｉ）。
１／ｉ≦（ｎ＋１－ｉ）／ｎ。
Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
≦Σ（ｉａ（ｉ））Σ（（（ｎ＋１－ｉ）／ｎ）ａ（ｉ））＾２
＝Σ（ｉａ（ｉ））（（（ｎ＋１）／ｎ）Σ（ａ（ｉ））－（１／ｎ）Σ（ｉａ（ｉ）））＾２
≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。
321:１３２人目の素数さん
11/01/15 23:58:29
だれができたとかできないとかどうでもよい。
ただそこに証明が書かれたかどうかが重要だ。
322:１３２人目の素数さん
11/01/16 00:00:27
自分で書き足したら
323:１３２人目の素数さん
11/01/16 00:00:28
さすが不等式の住人達。
59の回答はとても明快。
324:１３２人目の素数さん
11/01/16 00:01:24
>>321
必死すなあ
325:１３２人目の素数さん
11/01/16 00:02:03
つか常識的に考えて
>>312 は >>311 のレスをみていないよ。
だって わずか10秒の差だぜ？
326:１３２人目の素数さん
11/01/16 00:02:36
>>323
示すべき式が違うわけだが
327:１３２人目の素数さん
11/01/16 00:03:18
>>325
それがどうした？
328:１３２人目の素数さん
11/01/16 00:04:34
答えだけでいいよ
329:１３２人目の素数さん
11/01/16 00:04:41
>>326
ほんとうだ 57のアイデアでFAか
330:１３２人目の素数さん
11/01/16 00:09:56
>>323
何がすごいって投稿時間