11/12/29 18:30:34.49
> 789 (790, 800, 801,
次の命題の(2)のn=2の場合と, (1)でm=n=1の場合を合わせると得られます.
命題. m, n は非負整数, r は2以上の整数,
x,y,z≧0 とするとき, 以下の不等式が成立する.
(1) x^(m+n) + y^(m+n) + z^(m+n) ≧ x^m y^n + y^m z^n + z^m x^n
(2) x^(n+2) y + y^(n+2) z + z^(n+2) x ≧ xyz(x^n + y^n + z^n)
(3) x^(n+r) y^r + y^(n+r) z^r + z^(n+r) x^r
≧ xyz(x^(n+r-2) y^(r-1) + y^(n+r-2) z^(r-1) + z^(n+r2) x^(r-1))
証明は, 並べ替え不等式や, 重み付きAM-GM不等式を使うだけです.
斉次交代不等式は, 斉次対称不等式と異なり, Muirheadの不等式等が
使えなくて, 時々, 不等式の形が弱くなります.
> 770 に3変数3～5次斉次対称不等式の話を書いたけど,
3変数6～8次斉次対称不等式についても似たような定理(もっとステートメントが
長い)があって, 大体それで解決できてしまいますが,
5次以上の3変数斉次交代不等式のほうは, あまり強力な一般論がありません.