11/12/26 16:45:47.03
>>863
\vec{a}・\vec{b} / |\vec{a}|・|\vec{b}| = cosθで、あとの奴らは何でござる蟹？
865:１３２人目の素数さん
11/12/26 21:43:19.42
Letx, y, z>0 with xyz=1.
Prove that x^3+y^3+z^3+6≧(x+y+z)^2
866:１３２人目の素数さん
11/12/26 21:56:48.42
>>864
x = tanξ, y = tanη とおくと、
θ = ξ + η,
tanθ = tan(ξ+η) = (x+y)/(1-xy), (加法公式)
そこで
cosθ = cosξ･cosη - sinξ･sinη
= (1-xy)･cosξ･cosη,
sinθ = sinξ･cosη + cosξ･sinη
= (x+y)･cosξ･cosη,
を辺々掛けて右辺に
(cosξ)^2 = 1/{1 + (tanξ)^2} = 1/(1+x^2),
(cosη)^2 = 1/{1 + (tanη)^2} = 1/(1+y^2),
を使ったでご猿。
867:１３２人目の素数さん
11/12/26 22:16:26.36
>>866
なんと！そんなやり方が…
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ＜ ナルホドナー！
ヽ::::... .ワ.....ノ
( つ旦O ,.-、 ,.-、 ,.-、
と＿)_) (,,■) (,,■) (,,■)
868:１３２人目の素数さん
11/12/27 00:09:48.53
>865
僕の考えてたこととは違ってたりして勉強になりますた。
ありがとうございます。m(__)m
863の者ですが、
A(1,x),B(1,-y)とすると
x+y=2△OAB (Oは原点)
となります。
2△OAB=|↑a||↑b|sinθ
ってことを考えてました。
869:１３２人目の素数さん
11/12/27 04:40:53.32
蟹、猿、おにぎり…、なるほどな
870:１３２人目の素数さん
11/12/28 23:56:03.00
>>498
0 < a,b ≦ c,d としても一般性を失わない。
題意により ab ≦ 1 ≦ cd,
また、a+b+c+d ≧ 2√(ab) +c+d ≧ 2√(ab) + 2/√(ab) ≡ t とおくと t ≧ 4,
左辺を g(a,b,c,d) とおくと
g(a,b,c,d) - g(√(ab), √(ab),c,d)
= (√a - √b)^2･{1/ab - 9/[(a+b+c+d)(2√ab +c +d)]}
≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(t^2)}
≧ (√a - √b)^2･(1 - 9/16) ≧ 0, >>508
∴ a=b の場合を考えれば十分。以下、数セミ（2012/01）と同様。
s ≡ a+b+c+d ≧ 2a + 2√(cd) = 2a + 2/a ≡ t とおくと t≧4,
(左辺) = 2/a + (c+d)/cd + 9/s
= 2/a + (a^2)(s-2a) + 9/s
= 2/a -2a^3 + (a^2･s + 9/s) ≡ f(s),
sの変域は [t,∞) で、極小となるのは s = 3/a のとき。
(i) a ≧ 1/√2 のとき、t≧3/a,
f(s) ≦ f(t) = t + 9/t
= 25/4 + (t-4)(t - 9/4)/t
≧ 25/4,
(ii) a ≦ 1/√2 のとき、t≦3/a,
f(s) ≧ f(3/a) = 2/a +6a -2a^3 (aについて単調減少)
= 9/√2 + (1/√2 - a) + (2/a)(1/√2 - a)^2･{2 -(√2)a -a^2},
≧ 9/√2 > 25/4,
871:１３２人目の素数さん
11/12/29 18:30:34.49
> 789 (790, 800, 801,
次の命題の(2)のn=2の場合と, (1)でm=n=1の場合を合わせると得られます.
命題. m, n は非負整数, r は2以上の整数,
x,y,z≧0 とするとき, 以下の不等式が成立する.
(1) x^(m+n) + y^(m+n) + z^(m+n) ≧ x^m y^n + y^m z^n + z^m x^n
(2) x^(n+2) y + y^(n+2) z + z^(n+2) x ≧ xyz(x^n + y^n + z^n)
(3) x^(n+r) y^r + y^(n+r) z^r + z^(n+r) x^r
≧ xyz(x^(n+r-2) y^(r-1) + y^(n+r-2) z^(r-1) + z^(n+r2) x^(r-1))
証明は, 並べ替え不等式や, 重み付きAM-GM不等式を使うだけです.
斉次交代不等式は, 斉次対称不等式と異なり, Muirheadの不等式等が
使えなくて, 時々, 不等式の形が弱くなります.
> 770 に3変数3～5次斉次対称不等式の話を書いたけど,
3変数6～8次斉次対称不等式についても似たような定理(もっとステートメントが
長い)があって, 大体それで解決できてしまいますが,
5次以上の3変数斉次交代不等式のほうは, あまり強力な一般論がありません.
872:１３２人目の素数さん
11/12/29 19:47:35.43
ｷｬｽﾌｨ高校数学板
不等式ｽﾚより
743 じゅー [2011/12/29(木) 16:01:06]
出題です��
実数 a,b,c,d,e,f が��
ae + bf + cd + af + bd + ce =0��
ad + be + cf + de + ef + fd = 0��
a^2 + b^2 + c^2 = 1��
d^2 + e^2 + f^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 2��
を満たすとき��
|ae + bf + cd - af - bd - ce|��
の最大値を求めて下さい。��
考え方もよければお願いします。��
873:１３２人目の素数さん
11/12/29 19:51:21.65
スマホの2ch mateとかゆーので書き込むと
文字化け(？)するのか...
874:１３２人目の素数さん
11/12/30 04:48:34.62
>>871 (3)
・並べ替え（チェビシェフ）:
Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積) より
x{x^(n+r-1)･y^r} + y{y^(n+r-1)･z^r} + z{z^(n+r-1)･x^r} ≧ {x^(n+r-1)･y^r}z + {y^(n+r-1)･z^r}x + {z^(n+r-1)･x^r}y,
・ x^(n+r)･y^r を{(n^2+nr+r^2) -r-n}個、y^(n+r)･z^r をr個、z^(n+r)･x^r をn個でAM-GM。
875:１３２人目の素数さん
11/12/30 05:00:25.30
>>823 >>825
Problem 372. の Solution を貼っておこう....
abc=1 ゆえ、例によって a=z/y, b=x/z, c=y/x とおく。
(左辺) = y^2／[z(z+y) +x(x+y)] + z^2／[x(x+z) +y(y+z)] + x^2／[y(y+x) +z(z+x)]
≧ (x^2 +y^2 +z^2)^2／{y^2･[z(z+y) +x(x+y)] + cyclic} （← コーシー または 重み付きAM-HM)
= (x^2 +y^2 +z^2)^2／{xy(x+y)^2 +yz(y+z)^2 +zx(z+x)^2}
= {(1/2)(x^2 -y^2)^2 +3(xy)^2 + cyclic}／{xy(x+y)^2 +cyclic}
= 3/4 + {(5/16)(x^2 -y^2)^2 + (3/16)(x-y)^4 + cyclic}／{xy(x+y)^2 +cyclic},
≧ 3/4,
*)
(x^2 -y^2)^2 = (x+y)^2･(x-y)^2 = 4xy(x-y)^2 + (x-y)^4,
(xy)^2 = (1/4)xy(x+y)^2 -(1/4)xy(x-y)^2,
876:１３２人目の素数さん
11/12/30 05:24:30.98
>>791-794
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
Bunchin師匠の独演会
877:１３２人目の素数さん
11/12/30 06:22:02.22
>>823
Problem 377.
nは正の整数とする。
i=1,2,･･･,n に対して z_i および w_i は複素数で、次を満たす:
ε1, ε2,････,εn = ±1 のすべて（2^n とおり）の組合せについて、
| Σ[i=1,n] εi･z_i | ≦ | Σ[j=1,n] εj･w_j |,
が成り立つ。次式を証せ。
Σ[i=1,n] |z_i|^2 ≦ Σ[j=1,n] |w_j|^2,
878:１３２人目の素数さん
11/12/31 06:13:08.99
>>877
条件式は (両辺) ≧0 だから、2乗しても成り立つ。すなわち、
{Σ[i=1,n] εi･zi}{Σ[j=1,n] εj･(zj)~} ≦ {Σ[i=1,n] εi･wi}{Σ[j=1,n] εj･(w_j)~},
Σ[j=1,n] εj･(wj)~},
Σ[i=1,n][j=1,n] εi･εj･zi･(zj)~ ≦ Σ[i=1,n][j=1,n] εi･εj･wi･(wj)~,
εのすべて(2^nとおり）の組合せについて加えると、
εi･εj → 2^n (i=j)
→ 0 (i≠j) （±1が同数あるから）
となり、i=j だけが残る。よって
Σ[i=1,n] zi･zi~ ≦ Σ[j=1,n] wj･wj~,
879:１３２人目の素数さん
12/01/01 04:29:42.89
C.1043. (201009)
f(x) = (x+a)^2 /{(a-b)(a-c)} + (x+b)^2 /{(b-c)(b-a)} + (x+c)^2 /{(c-a)(c-b)},
の値を求めよ。ここに a,b,c は相異なる実数である。
K.266. (201011)
bd > 0 のとき、(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の中間にある。
bd < 0 のとき、(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の外側にある。
880:１３２人目の素数さん
12/01/01 04:39:55.40
年明け早々 簡単すぎた .... orz
(略解)
C.1043.
f(x) ={(c-b)(x+a)^2 + (a-c)(x+b)^2 + (b-a)(x+c)^2} /{(a-b)(b-c)(c-a)} = 1,
または f(-a) = (b-a)/(b-c) + (c-a)/(c-b) = 1, f(-b) = 1, f(-c) = 1, から。
K.266.
{(a/b) - (a+c)/(b+d)}{(a+c)/(b+d) - (c/d)} = (ad-bc)^2／{bd(b+d)^2},
B.4306.
相加･相乗平均で
(左辺) = 16^(x^2 + y) + 16^(y^2 + x)
≧ 16^{(x^2 + y + y^2 + x)/2 + 1/4}
= 16^{(1/2)(x + 1/2)^2 + (1/2)(y + 1/2)^2}
≧ 16^0
= 1,
等号条件から x = y = -1/2,
B.4340.
a1 + a2 + ･･･ + an = s とおく。
φ(x) = {x/(s-x)}^2 = {s/(s-x) - 1}^2 は x<s で下に凸。
881:１３２人目の素数さん
12/01/03 08:06:41.12
>>865
(x+y+z)/3 = A, (xyz)^(1/3) = G とおく。 A-G ≧ 0,
(左辺) - (右辺) = 9{A^3 + (x-A)(y-A)(z-A)} - 9AAG
= 9AA(A-G) + 9(x-A)(y-A)(z-A)
= 9AA(A-G) + 9{2A^3 -(xy+yz+zx)A +xyz}
= 9AA(A-G)/4 + (9/4)(2A+G)(A-G)^2 + (3/4)F1(x,y,z)
≧ 0,
ここに
F1(x,y,z) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)
= (x+y+z)^3 -4(x+y+z)(xy+yz+zx) + 9xyz ≧ 0, (Schur)
ぬるぽ
882:１３２人目の素数さん
12/01/03 20:12:43.06
02-01-0014 安 藤 哲 哉 (千 葉 大 理) ] 3 変数斉次巡回不等式と代数曲面
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
これ気にならん？ ('A`)プケラ
883:１３２人目の素数さん
12/01/04 00:09:32.16
>>882
■射影幾何学における２つの定理
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
「代数曲線・代数曲面入門」新装版 －複素代数幾何の源流－
安藤哲哉（著）
出版社：(有)数学書房 (2011/01)
判型: A5判、496頁、
定価: 7350円
ISBN-10: 490334262X
ISBN-13: 978-4903342627
URLﾘﾝｸ(www.sugakushobo.co.jp)
日本人初のフィールズ賞受賞者小平邦彦先生をはじめ多くの日本人数学者が貢献した複素代数幾何学への入門書。
定義・命題・定理・証明などの修正、および誤植の訂正をして新装版として出版。
「代数曲線・代数曲面入門」－複素代数幾何の源流－
安藤哲哉（著）
出版社: 白揚社 (2007/02)
判型：A5判、478頁、22cm
定価：7350円
ISBN-10: 4826931077
ISBN-13: 978-4826931076
安藤 哲哉
1959年愛知県瀬戸市生まれ。岐阜県(旧)明智町出身。1982年東京大学理学部数学科卒業。同大学院を経て、1986年千葉大学講師。千葉大学理学部情報・数理学科助教授。理学博士(東京大学)、専門は代数幾何学。(BOOK)
884:１３２人目の素数さん
12/01/06 19:22:20.17
> 882
その話の内容の2/3は下に書いてあります。
URLﾘﾝｸ(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
残りの1/3の内容は、暇を見つけてタイプします。
日本語のメモ程度のものはタイプしてありますが、UPするにはどうも。
885:あのこうちやんは始皇帝だった
12/01/06 19:29:55.16
>>884
お前は、定職に就くのが、先決だろが！！！！！！！！！！
886:１３２人目の素数さん
12/01/08 05:57:33.72
難しい…、ｺﾞｸﾘ
887:１３２人目の素数さん
12/01/10 23:35:14.84
〔補題〕
a,b,c が実数のとき
|(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ {1/(3√6)}{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}^(3/2),
888:１３２人目の素数さん
12/01/11 00:36:08.04
>>887
(略証)
bはaとcの中間にある、としてもよい。
(a-b)(b-c)(c-a) = ⊿ とおくと
|⊿| ≦ (1/4)(|a-b|+|b-c|)^2 |c-a| = (1/4)|c-a|^3,
ところで、
(c-a)^2 = (1/3){2(a-b)^2 + 2(b-c)^2 - (a-2b+c)^2} + (2/3)(c-a)^2
≦ (2/3){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}
= (4/3)(s^2 -3t),
なお、a,b,c ≧ 0 のときは
|⊿| ≦ 0.227083346211･s(s^2 -3t),
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com) , 527
高校数学 - 不等式
889:１３２人目の素数さん
12/01/11 22:07:10.38
>>887
⊿^2 = {(a-b)(b-c)(c-a)}^2
= (1/54){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}^3 - (1/27){(2a-b-c)(2b-c-a)(2c-a-b)}^2,
= (4/27)(s^2 -3t)^3 - (1/27){(3a-s)(3b-s)(3c-s)}^2,
890:１３２人目の素数さん
12/01/11 22:28:53.84
889すげっ。
メモメモ...φ(．．)
891:１３２人目の素数さん
12/01/15 04:08:40.30
>>887-889
(2a-b-c)/3 = a - s/3 = a ',
(2b-c-a)/3 = b - s/3 = b ',
(2c-a-b)/3 = c - s/3 = c ',
と置くのがいいらしいヨ
casphy - 高校数学 - 不等式 - 749
892:１３２人目の素数さん
12/01/15 23:37:42.81
おもしろいね
893:１３２人目の素数さん
12/01/15 23:49:34.37
〔補題〕
a,b,c ≧ 0
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
のとき
|⊿| ≦ {(a+b+c)^3 -27abc}/(6√3),
casphy - 高校数学 - 不等式 - 748-750
894:１３２人目の素数さん
12/01/20 14:45:56.52
最近知った不等式と言えば 「小澤の不等式」 ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
URLﾘﾝｸ(mainichi.jp)
895:１３２人目の素数さん
12/01/21 03:12:10.06
>>894
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)不確定性原理#小澤の不等式
896:１３２人目の素数さん
12/01/22 17:12:30.47
落ちたのかと思った ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
897:１３２人目の素数さん
12/01/22 22:36:25.33
いや落ちてたでしょ
898:１３２人目の素数さん
12/01/22 22:56:54.51
a<b<c
rr2r=2r^3
3^3b^3-27(b^2-r^2)b=27r^2b/6*3^.5=4.5r^2b/3^.5
899:１３２人目の素数さん
12/01/23 23:53:25.33
ふたばから
x^y+y^x>1
x,y>1を示せ
対数とか取らずに解いて欲しいですね
900:１３２人目の素数さん
12/01/23 23:54:14.95
既出
901:１３２人目の素数さん
12/01/24 01:34:42.06
>>899
過去ログを見たまえ
902:１３２人目の素数さん
12/01/24 01:45:26.56
x=y=1/2
903:１３２人目の素数さん
12/01/28 00:35:32.84
a、b、c >0 のとき、a^3/(a+b)^2 + b^3/(b+c)^2 + c^3/(c+a)^2 ≧ (a+b+c)/4
さいきん立読み中に見かけた問題だが、既出な伊予柑 ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
904:１３２人目の素数さん
12/01/28 00:42:37.07
>>899
むしろ対数を取って証明する方法を知りたい
さあ、改造手術の時間です！
a、b >0に対して、 a^a + b^b ≧ a^b + b^a > 1
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
905:１３２人目の素数さん
12/01/28 00:54:02.62
>>903
a^3/(a+b)^2≧(2a-b)/4から示す
906:１３２人目の素数さん
12/01/28 01:40:14.79
>>905
どこから出てくるん、その発想
907:名無しさん
12/01/30 21:15:10.90 AiSkvLuw
>>903
ではでは、次はどんな方法で？
a、b、c >0 のとき、a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ (a+b+c)/2
一般化はできますか？ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
a、b、c >0 のとき、a^(n+1)/(a+b)^n + b^(n+1)/(b+c)^n + c^(n+1)/(c+a)^n ≧ (a+b+c)/？
908:名無しさん
12/01/30 21:17:38.49 AiSkvLuw
専ブラから書き込めなかったので、落ちたのかと思ったぜ…
IDが出てるし、何が起こったのだ ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
909:名無しさん
12/01/30 21:30:41.60 xfpFxcpO
まじだ
910:名無しさん
12/01/30 21:34:49.65 qQ0NhdK4
>>907
a、b、c >0 のとき、a^(n+1)/(a+b)^n + b^(n+1)/(b+c)^n + c^(n+1)/(c+a)^n ≧ (a+b+c)/2^n
911:名無しさん
12/01/30 21:44:24.85
>>907
a^2/(a+b)≧(3a-b)/4から示す
912:名無しさん
12/01/30 21:58:49.60
>>911
どこから捻り出すのか教えて栗々ﾎﾟﾝﾎﾟﾝ ( ﾟ∀ﾟ)！
913:名無しさん
12/01/30 22:01:11.43
そのコツが分かれば、a^4/(a+b)^3 + b^4/(b+c)^3 + c^4/(c+a)^3 でも作れる鴨
914:名無しさん
12/01/30 22:32:37.59
a、b、c >0 のとき、a^(n+1)/(a+b)^n + b^(n+1)/(b+c)^n + c^(n+1)/(c+a)^n ≧ (a+b+c)/2^n
( ﾟ∀ﾟ) しゅっび どぅっび～
915:名無しさん
12/01/30 22:41:55.32
>>912
a^2/(a+b)≧(xa+(1-x)b)/2
から上手くなってくれるように調整
2a^2≧xa^2+ab+(1-x)b^2
(a-b)((2-x)a+(1-x)b)≧0
からx=3/2だとうまくいくなーと
916:名無しさん
12/01/30 22:52:48.88
>>915
ぐぬぬ…、なるほどな～
そうやって理詰めで作り出すんですね～ ヽ('A`)ノ